余弦定理的巧妙應用

余弦定理作為三角函數的重要內容，不僅是解答三角形問題的工具之一，也是高考的高頻考點。在2023年高考全國甲卷理科數學卷中，該定理被考查了多次，充分體現了它在數學學習中的重要性。余弦定理的魅力在于它不僅擴展了勾股定理的應用范圍，還通過簡潔的公式揭示了三角形中邊與角之間的精確關系。我們可以通過余弦定理分析三角形的三邊和夾角的隱含聯系，從而解決復雜的幾何問題。

一、余弦定理的基本原理與幾何意義

在直角三角形中，勾股定理揭示了直角邊與斜邊的數量關系： 。如何將這一經典定理應用到更加普遍的任意三角形中呢？這就需要我們借助余弦定理的力量。

試想，將一個任意三角形 A B C 沿著其中一個頂點 C 做垂線，將其分割成兩個直角三角形。此時，原本的邊 ∣ c ∣ 被分割成兩段，設為 x 和 （ c - x ） ，而垂線 h 則成為這兩個直角三角形的公共邊。

根據勾股定理，我們可以分別寫出這兩個直角三角形中的邊長關系：

通過觀察這兩個式子，我們不難發現，只要消去式子中的未知量 h 和 x ，就能得到一個只包含a、b、 及角度 c 的等式。

經過一系列的代數變換，我們最終可以得到：

這就是我們熟悉的余弦定理公式之一。它將勾股定理的應用范圍從直角三角形擴展到了任意三角形，將直角的特殊性推廣到任意角，為我們解決更復雜的幾何問題提供了強有力的工具。

二、余弦定理的變形與擴展應用

（一）余弦定理的常見變形

余弦定理基礎形式為：

這一公式在各種情況下能夠靈活變形，以適應不同問題的解法需求。

一種常見的變形形式是利用余弦定理求解三角形的面積。在已知三角形的兩邊及其夾角的情況下，利用以下公式可以快速求得面積：

結合余弦定理，我們可以通過cosC表示角度，從而推導出邊長與面積的直接聯系。這種方法在不規則三角形中，特別是在邊長不相等的情境下非常實用。

另一個變形形式是在求解三角形中的高線時的應用。如△ABC中，已知兩邊 Δa 和 b 及其夾角 C ，則可以通過余弦定理求出第三邊 ，進而利用幾何關系求得高線。

（二）余弦定理在多邊形或立體幾何中的表現

余弦定理不僅在三角形中應用廣泛，在多邊形中也有一定的應用。以四邊形為例，若該四邊形可以分割成兩個三角形，則可以分別在每個三角形中應用余弦定理求解邊長和角度。這一形式特別適用于凸多邊形的計算。在五邊形及更高邊數的多邊形中，余弦定理的應用同樣基于將復雜多邊形拆解為若干個三角形，從而有效簡化計算的復雜度。

以2023年高考全國甲卷理科數學卷第11題為例，題目描述了一個四棱錐，底面為正方形，要求側面一個三角形的面積。在這個問題中，我們可以利用四棱錐的底面圖形為一個正方形來思考如何將其切割重組為若干個三角形，然后結合余弦定理來解題。通過這種方式，我們便可以計算出三角形的相關邊長和角度，從而求得所需的面積。

然而，若底面正方形的形狀發生變化，如變為一個不規則的四邊形，那么直接應用余弦定理的難度將顯著增加。此時，我們需要尋找其他方法來分割多邊形，或者采用更復雜的數學工具來處理。

此外，隨著多邊形邊數的增加，余弦定理的應用將變得更加復雜。因為每個多邊形都需要被分割為多個三角形，每個三角形都需要單獨計算。這種情況在普通題型中并不常見，即使出現，也可能以壓軸題的形式出現。

三、余弦定理在高考真題中的巧妙應用

以2023年高考全國甲卷理科數學卷第16題為例：已知 Δ ABC中， A B = 2 ， D 為 B C 上一點， A D 為 ∠ B A C 的平分線，則 A D = （20 。

解析：

如圖所示：記 A B = c ， A C = b ， B C = a 。

方法一：由余弦定理可得， ，

因為 b gt; 0 ，解得： ，

由 可得，

B （2 D C 解得： 。故答案為2。

方法二：由余弦定理可得， ，因為 b gt; 0 ，解得： ，由正弦定理可得， 解得：sinB=

因為 ，所以

又 ，所以 ，即 A D = A B = 2 。故答案為2。