數學最值問題求解攻略

最值問題貫穿于函數、不等式、幾何等各個知識點中。在數學學習中，掌握最值問題的求解方法，不僅能幫助我們在考試中取得較好成績，還能提升我們的數學素養，為未來的學習和生活奠定堅實的基礎。

一、函數之舞：探尋最值的奇妙世界

（一）函數最值的定義與意義

函數的最值，即函數在定義域內取得的最大值和最小值。它反映了函數在特定區間上的變化趨勢和取值范圍。例如，對于二次函數 ，當 a gt; 0 時，函數有最小值；當alt;0時，函數有最大值。這個最值可以通過頂點坐標公式（，4d -b2） 來求得。

函數最值的意義在于它能夠幫助我們更好地理解函數的性質。通過求最值，我們可以確定函數的取值范圍，了解函數的單調性、對稱性等特征。同時，函數最值在實際問題中也有著廣泛的應用，如利潤最大化、成本最小化等問題都可以通過建立函數模型并求最值來解決。

（二）利用函數性質求最值的方法

1.單調性法：如果函數在某個區間上單調遞增或單調遞減，那么函數的最值一定在區間的端點處取得。例如，函數 在區間[-1，2]上，先求導 ，令 ，解得 x = ± 1 。當- 1 ≤ x lt; 1 時， ，函數單調遞減；當 1 lt; x ≤ 2 時， ，函數單調遞增。所以函數在 x = - 1 處取得極大值，在 x = 1 處取得極小值，比較端點值和極值可得函數在區間[-1，2]上的最值。

2.配方法：對于二次函數，我們可以通過配方法將其化為頂點式，從而方便地求出最值。例如，求函數 的最值時，可先將函數變形為 ，可知當 x = 1 時，函數取得最小值1。

3.換元法：當函數的表達式比較復雜時，可以通過換元法將其化為簡單的函數來求最值。例如，求函數 的最值時，可設 ，則 ，原函數變為 當 時，函數取得最大值 。（204號

二、不等式樂章：奏響最值的旋律

1.均值不等式：均值不等式是求最值的常用工具之一。對于正實數 ，有 當且僅當 a = b 時等號成立。

例題：求函數 的最小值。

解析：根據均值不等式， ，當且僅當 即 x = 1 時等號成立，所以函數的最小值為2。

2.柯西不等式：柯西不等式在求最值問題中也有廣泛的應用。對于兩組實數 和 （20 ，有 ，當且僅當 （204 時等號成立。

例題：已知 x ， y 為正實數，且 x + y = 1 ，求 的最小值。xy

解析：根據柯西不等式

又因為 x + y = 1 ，所以

當且僅當 且 x + y = 1 時等號成立，解得 此時函數取得最小值25。

三、幾何之美：勾勒最值的畫卷

1.解析幾何中的最值問題

在解析幾何中，我們可以通過建立坐標系，將幾何問題轉化為代數問題來求解最值。例題：求圓 上一點到直線 x + y - 2 = 0 的最短距離。解析：設上點i），點直距離d當湯 時 d 取得最小值為 。

2.立體幾何中的最值問題

在立體幾何中，我們可以利用空間向量、幾何性質等方法來求解最值。例題：在棱長為2的正方體 中，求異面直線 與 的距離。解析：以 D 為原點，分別以 D A ， D C ， 所在直線為 ， z 軸建立空間直角坐標系。設異面直線 與 的公垂線的方向向量為 ，分別求出 ， 。 （20 由 ， ，可得 ，即（204號令 z = 1 ，則 x = y = 1 ，所以 。再求異面直線上任意兩點的坐標，如 ， ， B （ 2 ， 2 ， 0 ） ， C （ 0 ， 2 ， 0 ） ，設點 E 在 上，點 F 在 上，且 ， ，求出 E 、 F 的坐標，進而求出 ，由 ，可求出 λ 和 μ 的值，從而確定 E 、 F 的位置，最后求出異面直線 與 的距離。

在解題過程中，我們要善于總結方法，靈活運用各種技巧，結合具體實例進行分析和求解。