一類新型混沌系統的動力學分析及電路設計

關鍵詞：耗散系統；動態分析；混沌電路；電容一階狀態

中圖分類號：TN601 文獻標志碼：A 文章編號：1003-5168（2025）08-0004-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.08.001

Abstract：[Purposes] In order to study the influence square term cosine term on the dynamics Liu chaotic system，the nonlinear term Liu chaotic system is reconstructed.[Methods] The system dissipation equilibrium point stability the new chaotic system are analyzed by MATLAB stware. The results show that the system is a dissipative system the equilibrium point is an unstable point.In order to study the influence parameters on the system，the dynamic process the system parameters is analyzed by using the phase diagram，bifurcation diagram Lyapunov exponent diagram. In order to realize the mathematical model into a physical practical application model，the chaotic circuit the system is composed an adder，a multiplier，a linear resistor a capacitor， thedifferential equation is simulated by using the first-order state characteristics the capacitor.[Findings] The system is a dissipative system，the equilibrium point is an unstable point， has the complex characteristics periodic chaotic changes，which can increase the chaotic complexity the system under specific parameters ina specific interval.The results show that the designed chaotic circuit is consistent with the theoreticalresults，which verifies the feasibility the chaotic circuit.Conclusions]The system is more conducive to image chaotic encryption in specific high complexity intervals.

Keywords： dissipative system; dynamic analysis; chaos circuit; the first-order state capacitance

0 引言

混沌理論在信息加密通信、圖像加密及特征識別、憶阻器及神經網絡模擬腦活動等領域得到廣泛應用。何海濱等成功對一類具有外部干擾的慣性憶阻神經網絡固定時間聚類同步問題進行了研究；付正等2提出了新型的切換Lorenz混沌加密系統，并在該系統的基礎上實現了圖像的加密；李付鵬等3基于混沌系統群的加密算法，實現了圖像加密；唐貴基等4基于Chen系統實現了滾動軸承早期微弱故障檢測。目前，如何構造新的混沌系統并進行應用成為研究熱點，如多吸引子憶阻混沌系統、四翼混沌系統、糾纏混沌系統等在圖像加密中的應用。但實際工程多為復雜的模型，其構造方法大多數為在經典混沌模型的基礎上添加非線性項；或將脈沖函數、新型非線性器件（憶阻器、憶容器、憶感器）應用到經典混沌系統5；或在神經網絡中引入憶阻器等新型器件，使系統對初值更加敏感；或將整數階次的混沌微分方程擴展到分數階次分析，使系統分數階特性表現得更豐富；或將實數形式的混沌微分方程擴展到復數形式進行分析，從而使系統表現出復混沌特性[8；或將量子糾纏理論應用到混沌系統，構成糾纏混沌系統[9]。

利用混沌系統的基本分析工具可以研究系統的復雜多樣特性。Matlab軟件具有數據計算和圖像處理功能，因此可利用該軟件將計算過程程序化，并進行效果圖像展示，通過相圖方法將混沌狀態形象直觀化，根據狀態吸引子圖可在感官上判別該系統在當前時刻是否為混沌狀態。利用Lyapunov指數（LE）圖對系統走勢進行狀態動態定性分析，利用分岔圖觀察參數對系統的影響程度進行量化分析。通過電容微分器件的混沌電路，實現數學層到物理電路層的模擬，數學機理實現了應用實踐轉化。然而，在不同的實際工程中應用的混沌系統狀態不同，如電源系統需要混沌抑制、保密通信需要混沌同步理論、圖像的加密需要通過高復雜度混沌系統進行矩陣像素值隱藏及置亂等。復雜混沌系統在不同的應用領域中有著不同的潛在價值，因此對復雜混沌系統的構建及基本的動力學分析具有一定的應用價值。

本研究在Liu混沌系統的基礎上引人平方項及余弦項，構造出新的復雜混沌系統。為了驗證該系統豐富的動力學特性，通過基本的混沌分析方法對該系統的平衡點、LE圖及分岔圖進行了分析，從而得出系統的動力學特性。為了實現系統數學模型到電路模型的轉換，利用基本的電子器件完成了物理層電路的轉換，以便給實際工程的應用提供一定的借鑒。

1混沌系統與分析

為了能夠在Liu混沌系統的基礎上構造出一類含有平方項與余弦項的Liu復雜混沌系統，先對Liu混沌系統的第2個方程引入 項，再對Liu混沌系統的所有方程引入 d cos 項， d 為余弦項的耦合系數，從而構造出新的復雜混沌系統方程，見式（1）。

在該系統中，取 a = 5 ， b = 2 ， c = 1 5 ， d = 1 經計算，系統 L E 指數分別為 。因為最大的 L E 指數 gt; 0 ，所以判定該系統具有混沌特性[10]。通過計算系統各個方向的 L E 之和，得出 L E 之和不為0，這在一定程度上反映出該系統為耗散系統，從而為后續進一步分析該系統的動力學特性奠定了基礎。

1.1 耗散性分析

耗散性是判定系統是否為混沌的一種方法。因為保守系統體積不會發生變化，且各個方向的L E 之和為零，而耗散系統的體積會隨著演化衰減，運動軌跡吸引到有限的區域上，在相空間上表現為一個吸引子形態，見式（2）。

（20 a + b gt; 3 d 時，當 時， 系統能量隨時間衰減，從而得出該系統為耗散系統。

1.2 平衡點分析

對系統進行平衡點集分析，通過分析系統平衡的狀態，得出平衡點的性質。令系統全局式子為零狀態，見式（3）。

式（3）的解為 、

當平衡點為 時，分別對參數 x ， y ， z 進行偏微分處理，得到系統的雅可比矩陣，見式（4）。

計算出關于該系統平衡點矩陣的特征值：

根據勞斯一赫爾維茨穩定性判據（RouthHurwitzstabilitycriterion，簡稱R-H），得出該平衡點 是不穩定的[]

2參數影響分析

該系統參數的動態分析，采用混沌分析常用的方法，通過系統的直觀相圖、動態分岔圖及LE圖，分析系統的動力學變化特征。設定系統參數 b = 2 ， c = 1 5 ， d = 1 ， a ∈ [ 0 ， 3 0 ] ，系統隨參數 變化的分岔圖及LE圖如圖1所示。由圖1可知，系統在a ∈ [ 3 ， 1 7 ] ∪ [ 2 1 ， 2 7 ] 區間處于混沌狀態。其中，在 區間內，混沌復雜度特性較強；在a ∈ [ 2 1 ， 2 7 ] 區間內，混沌復雜度特性相對較弱；在a = 1 9 區間附近出現了短時間的周期現象。這說明系統隨參數 的實時變化表現為周期一混沌一周期一弱混沌一周期狀態。為進一步驗證以上分析的正確性，取了幾個特殊區間上的點做驗證相圖，參數 相圖如圖2所示。其中，圖2（a）對應a = 1 . 5 的周期狀態點、圖2（b）對應 a = 6 的混沌狀態點、圖2（c）對應 a = 1 9 的周期狀態點、圖2（d）對應 a = 2 5 的弱混沌狀態點。根據以上現象得出，參數 a 對系統的影響程度較大，較為敏感，導致整個區間內的系統狀態變化比較大，系統實時變化的動態特性較為豐富。

設定系統參數 a = 5 ， c = 1 5 ， d = 1 ， b ∈ [ 0 ， 1 0 ] 系統隨參數 b 變化的分岔圖及LE圖如圖3所示。由圖3可知，系統在 區間處于混沌狀態， b = 3 . 5 后系統脫離混沌狀態進入2倍周期，繼而進入單周期，且單周期時間較長。這說明參數 b 對系統的局部具有一定的混沌特性影響，其混沌狀態區間影響較短。

設定系統參數 a = 5 ， b = 2 ， d = 1 ， c ∈ [ 0 ， 1 5 ] 系統隨參數 c 變化的分岔圖及LE圖如圖4所示。由圖4可知，系統是由周期進入混沌的， c ∈ [ 5 ， 1 5 ] 為混沌區，且該區間分岔圖散點面呈擴散趨勢，其中 呈現遞增趨勢，說明該區間混沌特性與參數 c 成正比關系。為了進一步驗證以上分析的正確性，取特殊點來觀察系統的動態變化，參數 c 相圖如圖5所示。其中，圖5（a）和圖5（b）為周期特性，單渦卷狀態逐漸增強；圖5（c）和圖5（d）混沌特性逐漸增強，由單渦卷增強為雙渦卷狀態。根據以上現象得出，參數 對系統復雜度影響呈現增長趨勢，參數c 越大，系統的復雜度及混沌強度越強。

3系統電路設計

混沌電路采用電路中基本的元器件（加法器、乘法器、線性電阻及電容）進行組合，并利用Mul-tisim軟件進行連接。其中，前級為集成運放組成的加法器部分，實現電路基本的加法運算；后級為集成運放組成的電壓反向跟隨器部分，實現電壓的反向輸出；中間級集成運放為電容組成的微分部分。由于電容是動態器件，其電流大小是電容兩端電壓的變化率，也就是電容電壓的微分特性。因此，利用中間級集成運放及電容的一階微分狀態特性，進行橋接前后級集成運放電路模塊。通過將數學微分方程轉化為微分電路，從而進行實際混沌電路系統的模擬仿真，系統所構成的微分振蕩電路如圖6所示。該電路器件為常用器件，價格較低，電路形式簡潔，更容易實現，具有一定的應用性。根據所搭建的電路圖，可列出電路振蕩方程，見式（5）。

電路振蕩方程式（5）與系統混沌數學狀態方程式（1）在形式上相互對應。首先，利用Multisim軟件將兩個直流電源模塊進行組合成雙極性電源輸出模塊，并將電源電壓設置為12V，為集成運放供電；其次，將基本器件加法器、乘法器、線性電阻及電容分別組成系統的前級加法電路、中間級微分電路及后級反向電壓跟隨電路，按照等效電路圖進行電路搭建；再次，將混沌電路中間級集成運放輸出的x，y，z端口電壓，通過線束連接到雙蹤示波器上；最后，運行Multisim軟件，在運行過程中打開示波器顯示界面，將示波器調至雙電壓顯示輸出。示波器輸出電壓圖，其電壓相圖如圖7所示。由圖7可知，混沌電路的電壓輸出與數值計算效果基本一致，從而驗證了所搭建物理電路的可實現性及正確性。

4結語

通過在Liu混沌基礎上構造出一類含有平方項與余弦項的新型混沌系統，并進行一系列的分析，結果表明，該系統為耗散性混沌系統，且該系統受參數影響較大，具有復雜的周期一混沌變化特性，其中，參數 c 對系統的復雜度及混沌強度的影響呈遞增趨勢。同時，利用電容的微分特性實現了混沌系統數學模型到混沌電路的轉化，其混沌電路仿真結果與理論分析結果一致，從而證明了該混沌電路設計的正確性。因此，該系統在特定高復雜度區間更有利于圖像混沌加密，為圖像加密提供了一定的理論基礎。

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