探究加速度與力、質量關系的一般圖像

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2025）4-0062-3

“探究加速度與力、質量的關系\"實驗是普通高中物理教科書必修一的重要內容。如圖1所示，為平衡小車受到的阻力，采取了把木板的一側墊高的方法；同時為了用槽碼重力代替小車受到的拉力，采取了使槽碼質量遠小于小車質量的操作。而在真實情境中，由于紙帶要受到摩擦，更換小車質量后，若不改變斜面傾角，原來阻力和重力分力的平衡會被破壞；另外，隨著槽碼質量的增加，槽碼質量遠小于小車質量的操作也被破壞。實驗所得的圖像往往不一定過原點，斜率也在變化。

1 小車加速度的理論推導

使用如圖1所示的裝置探究加速度與力、質量的關系時，設小車質量為M，槽碼質量為 m ，斜面傾角為θ，小車與斜面之間的動摩擦因數為 μ 打點計時器與紙帶之間的摩擦力是 ，連接槽碼和小車的繩子上拉力為 F ，車和槽碼的加速度均為 。忽略細線和滑輪之間的摩擦，根據牛頓第二定律，分別列出小車和槽碼運動的受力方程

兩式相加可得

2 理想條件下加速度與力、質量的關系

本實驗采取控制變量法研究加速度與力、質量的關系。由于學生還沒有正式學習牛頓第二定律，不能利用該定律計算繩上的拉力，只能平衡阻力之后把槽碼重力當作小車受到的合外力，為此就要滿足 m lt; lt; M 這個條件。

推導過程如下：

當重力分力與阻力平衡即 M g s i nθ=μ M g c o sθ + ，（3）式變成

若滿足 m lt; lt; M 時 ，M+m≈M ，（3）式進一步變成a=1 0

滿足上述兩個條件時，（1）式可以變成 F = 。此時，槽碼重力就是小車所受合外力，所以a=F

滿足上述兩個理想條件進行實驗，可以得到：小車質量一定時，小車加速度和合外力的圖像是一條過原點的直線；合外力一定時，小車加速度和小車質量倒數的圖像也是一條過原點的直線。因此，小車的加速度與自身受到的合外力成正比，與小車質量成反比。

3 真實情境下加速度與力、質量的關系

使用圖1所示的實驗裝置，讓小車沿著斜面做勻速直線運動，用水平儀測得斜面傾角為 計算可得小車與木板間的動摩擦因數約為 0 . 0 5 。將細繩直接拴著穿過打點計時器的紙帶由合適數量的曲別針帶動，使紙帶做勻速直線運動，可得紙帶阻力約為 下面我們使用特殊值法和畫圖法分析真實情境下小車加速度與槽碼重力、質量的關系。

3.1 小車質量一定時，加速度與槽碼重力的關系

當槽碼質量為0時，將 m = 0 代人（3）式，可得 。即 圖像與縱軸的截距為 當此值為正數時，說明斜面傾角 θ 過大；其物理意義是不掛槽碼時小車就有加速度，平衡阻力過度。當此值為負數時，說明斜面傾角 θ 過小；圖像與橫坐標的截距是正數，其物理意義是只有當掛一定質量的槽碼時，小車才能剛好保持勻速直線運動，說明平衡阻力不足或者沒有平衡阻力。當此值為0時，說明斜面傾角 θ 合適，剛好平衡了阻力。

根據（3）式，當槽碼質量 為無窮大時，可忽略 $M _ { ☉ }$ ，得 即 圖像中加速度的值趨近于 g 。其物理意義是當槽碼質量無窮大時，小車所受其他力都可以忽略不計，相當于槽碼自己在做自由落體運動，所以加速度是 g 。

在槽碼拉動小車的系統中，必然存在此結論：小車質量一定時，槽碼重力越大，系統加速度越大。

于是，我們可以大概推測 圖像的變化趨勢，是截距不一定為0的、其值不斷增大并趨近于 a = g 的圖線。

為了能夠使用Geogebra軟件準確畫出 a -mg圖像，根據（3）式，令自變量 x = m g ，設 0 . 0 2 N， M=1 k g， g=9 . 8 N/ k g ，分別畫出斜面傾角 θ 為 時的 a-m g 圖像，如圖2所示。

此圖像與我們采用極限法分析的結果一致。

另外，觀察 m g 較小時的 a - m g 圖像（圖3），可以看出，當 m lt; lt; M 時，圖線斜率基本不變，這與學生分組實驗的結果一致。

3.2 槽碼質量一定時，小車加速度與小車質量倒數的關系

為了確定槽碼質量（合外力）一定時，小車加速度與小車質量是否成反比，可作出小車加速度與小車質量倒數的關系圖像。

根據（3）式，當 1 / M=0 ，即小車質量 M 為無窮大時，可忽略所掛槽碼質量 、紙帶摩擦力 ，得a-1 / M 圖像與縱軸的截距為 。當此值為正數時，說明斜面傾角 θ 過大。其物理意義是質量無窮大的小車能在斜面上做勻加速運動，即平衡摩擦力過度。當此值為負數時，說明斜面傾角 θ 偏小。圖像與橫坐標的截距是正數，其物理意義是只有當小車質量 M 較小時，才能被一定質量的槽碼拉著保持勻速直線運動，說明平衡阻力不足或者沒有平衡阻力。當此值為0時，說明斜面傾角 θ 合適，小車的重力沿斜面分量與小車所受摩擦力平衡。

當小車質量倒數1/M為無窮大時，小車質量變，這與學生分組實驗的結果一致。

M 為0，代人（3）式可得 a-1 / M 圖像中加速度的值 。其物理意義是當小車質量為0時，槽碼自己帶著紙帶做勻加速運動。若能忽略紙帶摩擦，則小車加速度趨近于 g 。

在槽碼拉動小車的系統中，必然存在此結論：槽碼質量一定時，小車質量倒數越大，系統加速度越大。

于是，我們可以推測 a - 1 / M 圖像的變化趨勢，是截距不一定為0、其值不斷增大且趨近于 的圖線。

為了能夠使用Geogebra軟件準確畫出 a -1/M圖像，根據（3）式，我們令自變量為 ，設定 ，分別畫出斜面傾角 時的 a-1 / M 圖像（圖4）。

此圖像與我們采用極限法分析的結果一致。另外，觀察1/M較小即 M 較大時的 a-1 / M 圖像（圖5），可以看出當 m lt; lt; M 時，圖線斜率基本不

4結論

通過分析小車加速度與槽碼重力、小車質量倒數的一般圖像，發現有許多一致性。兩圖都是截距為正時代表斜面傾角過大，說明平衡摩擦力過度；截距為負時代表斜面傾角過小，說明平衡摩擦力不足或者未平衡摩擦力。兩圖斜率都在變小并趨近于某個特定值；而且在自變量較小時都具有較好的線性。同時，若不考慮紙帶摩擦，兩圖像的截距和極值完全一致。本文有助于加深對實驗的理解，進行誤差分析。

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書物理必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019：88-92.

[2]何述平.探究加速度與力和質量關系的平衡摩擦研究[J].物理教師，2016，37（2）：29-31.

（欄目編輯 劉榮）