

中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1003-6148(2025)4-0073-4
各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等、方向相同的電場(chǎng)叫勻強(qiáng)電場(chǎng)。相互靠近且正對(duì)的、帶等量異種電荷的平行金屬板的電場(chǎng)中,中央部分的電場(chǎng)可以看作勻強(qiáng)電場(chǎng);勻強(qiáng)電場(chǎng)的周圍存在著非勻強(qiáng)電場(chǎng),將其稱作勻強(qiáng)電場(chǎng)的邊緣電場(chǎng),簡(jiǎn)稱邊緣電場(chǎng)[1]。在涉及勻強(qiáng)電場(chǎng)的很多問題中,為了使問題簡(jiǎn)化,往往都忽略了邊緣電場(chǎng)。那么,在各種具體問題中,邊緣電場(chǎng)是否都可以忽略呢?
1 平行板電容器的電容
平行板電容器由一對(duì)平行、正對(duì)的金屬板組成,板間距離遠(yuǎn)小于板的大小。帶電平行板電容器的電場(chǎng)如圖1所示。如果忽略邊緣電場(chǎng),即認(rèn)為電荷在極板上的分布和電場(chǎng)線在空間的分布是均勻的(圖2),那么由高斯定理容易求得場(chǎng)強(qiáng)



式中, σ 是面電荷密度,即單位面積所帶的電荷量, Q 是極板上的電荷量, s 是極板面積。兩板間的電壓

式中, d 是極板間距離。電容器的電容

這就是平行板電容器的電容公式。
由于同一極板上的電荷之間相互排斥,極板邊緣的電荷較為密集,電容器中電荷和電場(chǎng)線的真實(shí)分布情況如圖1所示。極板中央部分用于產(chǎn)生勻強(qiáng)電場(chǎng)的電荷
小于極板上的總電荷 Q 兩極板間的真實(shí)電壓

可見,由于存在邊緣電場(chǎng),平行板電容器的電容公式給出的電容值小于真實(shí)值。那么,這種差異在極板間距離遠(yuǎn)小于極板大小的情況下是否可以忽略呢?
為討論方便,假設(shè)極板是圓形的。由對(duì)稱性知道,圓形極板帶電后,在同一圓周上的各點(diǎn),面電荷密度 σ 相同。如果極板的半徑 R 較小,那么除了圓心 o 處的電荷受到四周電荷對(duì)它的作用力的合力等于0,其他點(diǎn)的電荷受到以它到 o 的連線為半徑的圓內(nèi)的電荷作用力的合力均沿半徑向外,且離 o 越遠(yuǎn)的電荷所受的合力越大,如圖3所示。于是,離 o 越遠(yuǎn)的點(diǎn), σ 越大。如果 R 較大,那么 o 點(diǎn)附近的任何電荷,周圍電荷對(duì)它的作用力的合力為0,遠(yuǎn)處電荷對(duì)它的作用力可以忽略。這樣,在以 o 為圓心、半徑較小的一個(gè)圓內(nèi), σ 可以看作處處相等,外圍環(huán)上的 σ 較圓內(nèi)大,且離 o 越遠(yuǎn)處 σ 越大。

上面只考慮了同一極板上電荷之間的斥力
。事實(shí)上,極板邊緣上的電荷還受到另一極板的吸引力
,如圖4所示。在 d 不變
趨向于 ∞ 的情況下,
和
將趨向于大小相等、方向相反。在這種情況下,極板邊緣部分與中央部分的 σ 將趨向于相等。

根據(jù)上面的分析,可以將圓形極板上的電荷分布簡(jiǎn)化為圖5所示的模型:在半徑為 R-Δ R 的圓內(nèi),電荷均勻分布,面電荷密度為 σ ,在寬度為Δ R 的環(huán)上,平均面電荷密度
當(dāng)d 不變且
時(shí)
和樂 k 均趨于 0
要考慮邊緣電場(chǎng)時(shí),平行板電容器可以看作是兩個(gè)電容器的并聯(lián),一個(gè)是兩個(gè)圓面正對(duì)的電容器,另一個(gè)是兩個(gè)環(huán)面正對(duì)的電容器。前者的電容

后者的電容

另一方面,因兩個(gè)圓面之間的電場(chǎng)是勻強(qiáng)的,因此有

平行板電容器的真實(shí)電容

化簡(jiǎn)并忽略 Δ R 的二次項(xiàng),得到

其中,C=εTR2
在 d 不變 ?? R 趨向于 ∞ 時(shí),△R/R和 k 趨于0,有

可見,對(duì)于平行板電容器的電容,在板間距離遠(yuǎn)小于極板大小的條件下,邊緣電場(chǎng)可以忽略。
2 帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)
如圖6所示,帶電粒子以一定的初速度射入帶等量異種電荷的平行金屬板產(chǎn)生的電場(chǎng),最后打在接收屏上。在計(jì)算粒子打在屏上什么位置時(shí),通常都是忽略邊緣電場(chǎng)的。那么,它真的可以忽略嗎?

設(shè)兩塊金屬板是邊長(zhǎng)為 l 的正方形,板間距離為 d ,所帶的電荷量分別是 + Q 和-Q。在 d lt; lt; l 時(shí),兩板正對(duì)區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)

要計(jì)算邊緣電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)是很困難的,下面作簡(jiǎn)化估算。設(shè)想把每塊極板上的電荷都集中到中點(diǎn),這對(duì)帶等量異種電荷的金屬板就成為一個(gè)電偶極子,如圖7所示。

位于兩電荷連線的垂直平分線上距連線中點(diǎn) o 為 r 的 P 點(diǎn),兩電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

電偶極子在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

在 rgt;gt;d 的條件下,得到

同樣,可以求得兩電荷連線上到 o 點(diǎn)的距離 rgt;gt;d 的
點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。
雖然
和
不相等,但它們都與
成反比。可以理解為,電偶極子電場(chǎng)中的其他點(diǎn),只要rgt;gt;d ,場(chǎng)強(qiáng) E 也與
成反比。
在 d lt; lt; l 的情況下,圖6中勻強(qiáng)電場(chǎng)右側(cè)邊緣電場(chǎng)中的各點(diǎn)均滿足 rgt;gt;d ,因此可以利用上面從電偶極子得出的結(jié)論,即邊緣電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)與
成反比。勻強(qiáng)電場(chǎng)右邊緣處,
,我們不妨設(shè)場(chǎng)強(qiáng)
(實(shí)際上是小于),與中心點(diǎn) o 相距 r = l 的點(diǎn),場(chǎng)強(qiáng)
,與0相距 的點(diǎn),場(chǎng)強(qiáng)
可見,邊緣電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)遠(yuǎn)小于勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng),帶電粒子在邊緣電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力也遠(yuǎn)小于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力。因此,在 d lt; lt; l 的情況下,對(duì)于帶電粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的問題,可以忽略邊緣電場(chǎng)。
3 電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做的功
靜電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng),帶電粒子在靜電場(chǎng)中沿任何路徑運(yùn)動(dòng)一周,電場(chǎng)力做的功都等于0;或者說,帶電粒子從電場(chǎng)中的一點(diǎn)移到另一點(diǎn),電場(chǎng)力做的功與路徑無關(guān),只與粒子的始、末位置有關(guān)。在圖1所示的電場(chǎng)中,帶電粒子從
點(diǎn)出發(fā),不管是經(jīng)過勻強(qiáng)電場(chǎng)(穿過極板上的小孔)到達(dá)b 點(diǎn),還是經(jīng)過邊緣電場(chǎng)到達(dá) b 點(diǎn),電場(chǎng)力做的功一定相等。帶電粒子從
點(diǎn)出發(fā),不管是經(jīng)過勻強(qiáng)電場(chǎng)還是經(jīng)過邊緣電場(chǎng)到達(dá) d 點(diǎn),電場(chǎng)力做的功也一定相等。在這兩種情況中,雖然邊緣電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)較小,但帶電粒子在其中走過的路程更長(zhǎng),因而電場(chǎng)力做的功并不小。在計(jì)算電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做的功時(shí),粒子通過邊緣電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)力做的功絕非“次要因素”,是不能忽略的。
下面舉兩個(gè)由于忽略了邊緣電場(chǎng)而導(dǎo)致科學(xué)性錯(cuò)誤的例子。
例1帶電粒子不斷通過靜電場(chǎng)加速。某省的一道高考試題的情境如下:一個(gè)水平放置的小型粒子加速器的原理如圖8所示,區(qū)域I和區(qū)域Ⅱ存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),區(qū)域Ⅲ存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)。區(qū)域Ⅱ中間上方的離子源S,水平向左發(fā)射出有一定初動(dòng)能的帶正電粒子。粒子經(jīng)區(qū)域I中的磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ,受電場(chǎng)力作用加速,然后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ,經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ上方的無場(chǎng)區(qū),向左勻速運(yùn)動(dòng),再次進(jìn)入?yún)^(qū)域I…如此反復(fù)回旋、加速,帶電粒子就不斷地被加速。當(dāng)粒子達(dá)到需要的動(dòng)能后,從P 處離開加速器。

在這個(gè)情境中,帶電粒子的動(dòng)能不斷增加,但并沒有外界提供能量,因而圖8所示的“加速器\"是一種能夠不斷向外提供能量的“永動(dòng)機(jī)”,是不可實(shí)現(xiàn)的。導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的根源,是題目忽略了不能被忽略的存在于區(qū)域Ⅲ周圍包括磁場(chǎng)區(qū)域的邊緣電場(chǎng)。
勞倫斯的回旋加速器能夠使帶電粒子不斷加速,在于它充分考慮了邊緣電場(chǎng)和靜電場(chǎng)的性質(zhì)。圖9是勞倫斯回旋加速器的原理圖,加速電場(chǎng)在兩個(gè)D形盒之間的狹縫處。金屬D形盒對(duì)電場(chǎng)起屏蔽作用,盒內(nèi)沒有電場(chǎng),邊緣電場(chǎng)在D形盒之外的空間。如此,帶電粒子在D形盒內(nèi)只受洛倫茲力作用做圓周運(yùn)動(dòng)。使用交變電壓(場(chǎng)),使帶電粒子每次通過狹縫都能被加速。如果不使用金屬D形盒,帶電粒子就不可能在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng);如果不使用交變電場(chǎng)而使用靜電場(chǎng),那么,不管怎樣設(shè)計(jì)電場(chǎng)和磁場(chǎng),帶電粒子在場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周,電場(chǎng)力做功都等于0,粒子就不可能被加速。

例2用電場(chǎng)和磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)。某題目的情境如下[2]:如圖10所示, M N 與 P Q 相距 L , M N 左側(cè)存在豎直向下、場(chǎng)強(qiáng)為 E 的勻強(qiáng)電場(chǎng)。質(zhì)量為 m 、電荷量為 + q 的粒子,從與MN相距2L的 o 點(diǎn)以垂直于 M N 大小為
的初速度向右射出。只要在 P Q 右側(cè)施加磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B 方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),粒子就能沿圖示的軌道回到 o 點(diǎn)。
這種利用電場(chǎng)和磁場(chǎng)控制帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方法似乎很巧妙,但我們應(yīng)該看到,帶電粒子從o 點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)一周再次回到 o 點(diǎn)時(shí),動(dòng)能比原來大了,因而這種方法是違反科學(xué)的。問題仍然在這種方法忽略了存在于MN右側(cè)的邊緣電場(chǎng)。
通過上面的研究得到,并非在所有情況中邊緣電場(chǎng)都可以忽略。對(duì)于平行板電容器的電容和帶電粒子通過勻強(qiáng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的問題,邊緣電場(chǎng)可以忽略;對(duì)帶電粒子先后通過勻強(qiáng)電場(chǎng)和邊緣電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一周,從而涉及電場(chǎng)力做功的問題,邊緣電場(chǎng)不能忽略。
參考文獻(xiàn):
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[2]黃晏.關(guān)于忽略勻強(qiáng)電場(chǎng)邊緣效應(yīng)的幾個(gè)錯(cuò)題分析[J].物理教學(xué),2020,42(3):53-55.
(欄目編輯 蔣小平)