勻強(qiáng)電場(chǎng)的邊緣電場(chǎng)總可忽略嗎

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148（2025）4-0073-4

各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等、方向相同的電場(chǎng)叫勻強(qiáng)電場(chǎng)。相互靠近且正對(duì)的、帶等量異種電荷的平行金屬板的電場(chǎng)中，中央部分的電場(chǎng)可以看作勻強(qiáng)電場(chǎng)；勻強(qiáng)電場(chǎng)的周圍存在著非勻強(qiáng)電場(chǎng)，將其稱作勻強(qiáng)電場(chǎng)的邊緣電場(chǎng)，簡(jiǎn)稱邊緣電場(chǎng)[1]。在涉及勻強(qiáng)電場(chǎng)的很多問題中，為了使問題簡(jiǎn)化，往往都忽略了邊緣電場(chǎng)。那么，在各種具體問題中，邊緣電場(chǎng)是否都可以忽略呢？

1 平行板電容器的電容

平行板電容器由一對(duì)平行、正對(duì)的金屬板組成，板間距離遠(yuǎn)小于板的大小。帶電平行板電容器的電場(chǎng)如圖1所示。如果忽略邊緣電場(chǎng)，即認(rèn)為電荷在極板上的分布和電場(chǎng)線在空間的分布是均勻的（圖2），那么由高斯定理容易求得場(chǎng)強(qiáng)

式中， σ 是面電荷密度，即單位面積所帶的電荷量， Q 是極板上的電荷量， s 是極板面積。兩板間的電壓

式中， d 是極板間距離。電容器的電容

這就是平行板電容器的電容公式。

由于同一極板上的電荷之間相互排斥，極板邊緣的電荷較為密集，電容器中電荷和電場(chǎng)線的真實(shí)分布情況如圖1所示。極板中央部分用于產(chǎn)生勻強(qiáng)電場(chǎng)的電荷 小于極板上的總電荷 Q 兩極板間的真實(shí)電壓

可見，由于存在邊緣電場(chǎng)，平行板電容器的電容公式給出的電容值小于真實(shí)值。那么，這種差異在極板間距離遠(yuǎn)小于極板大小的情況下是否可以忽略呢？

為討論方便，假設(shè)極板是圓形的。由對(duì)稱性知道，圓形極板帶電后，在同一圓周上的各點(diǎn)，面電荷密度 σ 相同。如果極板的半徑 R 較小，那么除了圓心 o 處的電荷受到四周電荷對(duì)它的作用力的合力等于0，其他點(diǎn)的電荷受到以它到 o 的連線為半徑的圓內(nèi)的電荷作用力的合力均沿半徑向外，且離 o 越遠(yuǎn)的電荷所受的合力越大，如圖3所示。于是，離 o 越遠(yuǎn)的點(diǎn)， σ 越大。如果 R 較大，那么 o 點(diǎn)附近的任何電荷，周圍電荷對(duì)它的作用力的合力為0，遠(yuǎn)處電荷對(duì)它的作用力可以忽略。這樣，在以 o 為圓心、半徑較小的一個(gè)圓內(nèi)， σ 可以看作處處相等，外圍環(huán)上的 σ 較圓內(nèi)大，且離 o 越遠(yuǎn)處 σ 越大。

上面只考慮了同一極板上電荷之間的斥力 。事實(shí)上，極板邊緣上的電荷還受到另一極板的吸引力 ，如圖4所示。在 d 不變 趨向于 ∞ 的情況下， 和 將趨向于大小相等、方向相反。在這種情況下，極板邊緣部分與中央部分的 σ 將趨向于相等。

根據(jù)上面的分析，可以將圓形極板上的電荷分布簡(jiǎn)化為圖5所示的模型：在半徑為 R-Δ R 的圓內(nèi)，電荷均勻分布，面電荷密度為 σ ，在寬度為Δ R 的環(huán)上，平均面電荷密度 當(dāng)d 不變且 時(shí) 和樂 k 均趨于 0

要考慮邊緣電場(chǎng)時(shí)，平行板電容器可以看作是兩個(gè)電容器的并聯(lián)，一個(gè)是兩個(gè)圓面正對(duì)的電容器，另一個(gè)是兩個(gè)環(huán)面正對(duì)的電容器。前者的電容

后者的電容

另一方面，因兩個(gè)圓面之間的電場(chǎng)是勻強(qiáng)的，因此有

平行板電容器的真實(shí)電容

化簡(jiǎn)并忽略 Δ R 的二次項(xiàng)，得到

其中，C=εTR2 在 d 不變 ?? R 趨向于 ∞ 時(shí)，△R/R和 k 趨于0，有

可見，對(duì)于平行板電容器的電容，在板間距離遠(yuǎn)小于極板大小的條件下，邊緣電場(chǎng)可以忽略。

2 帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)

如圖6所示，帶電粒子以一定的初速度射入帶等量異種電荷的平行金屬板產(chǎn)生的電場(chǎng)，最后打在接收屏上。在計(jì)算粒子打在屏上什么位置時(shí)，通常都是忽略邊緣電場(chǎng)的。那么，它真的可以忽略嗎？

設(shè)兩塊金屬板是邊長(zhǎng)為 l 的正方形，板間距離為 d ，所帶的電荷量分別是 + Q 和-Q。在 d lt; lt; l 時(shí)，兩板正對(duì)區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)

要計(jì)算邊緣電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)是很困難的，下面作簡(jiǎn)化估算。設(shè)想把每塊極板上的電荷都集中到中點(diǎn)，這對(duì)帶等量異種電荷的金屬板就成為一個(gè)電偶極子，如圖7所示。

位于兩電荷連線的垂直平分線上距連線中點(diǎn) o 為 r 的 P 點(diǎn)，兩電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

電偶極子在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

在 rgt;gt;d 的條件下，得到

同樣，可以求得兩電荷連線上到 o 點(diǎn)的距離 rgt;gt;d 的 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

雖然 和 不相等，但它們都與 成反比。可以理解為，電偶極子電場(chǎng)中的其他點(diǎn)，只要rgt;gt;d ，場(chǎng)強(qiáng) E 也與 成反比。

在 d lt; lt; l 的情況下，圖6中勻強(qiáng)電場(chǎng)右側(cè)邊緣電場(chǎng)中的各點(diǎn)均滿足 rgt;gt;d ，因此可以利用上面從電偶極子得出的結(jié)論，即邊緣電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)與 成反比。勻強(qiáng)電場(chǎng)右邊緣處， ，我們不妨設(shè)場(chǎng)強(qiáng) （實(shí)際上是小于），與中心點(diǎn) o 相距 r = l 的點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng) ，與0相距 的點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng) 可見，邊緣電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)遠(yuǎn)小于勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)，帶電粒子在邊緣電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力也遠(yuǎn)小于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力。因此，在 d lt; lt; l 的情況下，對(duì)于帶電粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的問題，可以忽略邊緣電場(chǎng)。

3 電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做的功

靜電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)，帶電粒子在靜電場(chǎng)中沿任何路徑運(yùn)動(dòng)一周，電場(chǎng)力做的功都等于0；或者說，帶電粒子從電場(chǎng)中的一點(diǎn)移到另一點(diǎn)，電場(chǎng)力做的功與路徑無關(guān)，只與粒子的始、末位置有關(guān)。在圖1所示的電場(chǎng)中，帶電粒子從 點(diǎn)出發(fā)，不管是經(jīng)過勻強(qiáng)電場(chǎng)（穿過極板上的小孔）到達(dá)b 點(diǎn)，還是經(jīng)過邊緣電場(chǎng)到達(dá) b 點(diǎn)，電場(chǎng)力做的功一定相等。帶電粒子從 點(diǎn)出發(fā)，不管是經(jīng)過勻強(qiáng)電場(chǎng)還是經(jīng)過邊緣電場(chǎng)到達(dá) d 點(diǎn)，電場(chǎng)力做的功也一定相等。在這兩種情況中，雖然邊緣電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)較小，但帶電粒子在其中走過的路程更長(zhǎng)，因而電場(chǎng)力做的功并不小。在計(jì)算電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做的功時(shí)，粒子通過邊緣電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)力做的功絕非“次要因素”，是不能忽略的。

下面舉兩個(gè)由于忽略了邊緣電場(chǎng)而導(dǎo)致科學(xué)性錯(cuò)誤的例子。

例1帶電粒子不斷通過靜電場(chǎng)加速。某省的一道高考試題的情境如下：一個(gè)水平放置的小型粒子加速器的原理如圖8所示，區(qū)域I和區(qū)域Ⅱ存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅲ存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)。區(qū)域Ⅱ中間上方的離子源S，水平向左發(fā)射出有一定初動(dòng)能的帶正電粒子。粒子經(jīng)區(qū)域I中的磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ，受電場(chǎng)力作用加速，然后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ上方的無場(chǎng)區(qū)，向左勻速運(yùn)動(dòng)，再次進(jìn)入?yún)^(qū)域I…如此反復(fù)回旋、加速，帶電粒子就不斷地被加速。當(dāng)粒子達(dá)到需要的動(dòng)能后，從P 處離開加速器。

在這個(gè)情境中，帶電粒子的動(dòng)能不斷增加，但并沒有外界提供能量，因而圖8所示的“加速器\"是一種能夠不斷向外提供能量的“永動(dòng)機(jī)”，是不可實(shí)現(xiàn)的。導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的根源，是題目忽略了不能被忽略的存在于區(qū)域Ⅲ周圍包括磁場(chǎng)區(qū)域的邊緣電場(chǎng)。

勞倫斯的回旋加速器能夠使帶電粒子不斷加速，在于它充分考慮了邊緣電場(chǎng)和靜電場(chǎng)的性質(zhì)。圖9是勞倫斯回旋加速器的原理圖，加速電場(chǎng)在兩個(gè)D形盒之間的狹縫處。金屬D形盒對(duì)電場(chǎng)起屏蔽作用，盒內(nèi)沒有電場(chǎng)，邊緣電場(chǎng)在D形盒之外的空間。如此，帶電粒子在D形盒內(nèi)只受洛倫茲力作用做圓周運(yùn)動(dòng)。使用交變電壓（場(chǎng)），使帶電粒子每次通過狹縫都能被加速。如果不使用金屬D形盒，帶電粒子就不可能在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；如果不使用交變電場(chǎng)而使用靜電場(chǎng)，那么，不管怎樣設(shè)計(jì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)，帶電粒子在場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周，電場(chǎng)力做功都等于0，粒子就不可能被加速。

例2用電場(chǎng)和磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)。某題目的情境如下[2]：如圖10所示， M N 與 P Q 相距 L ， M N 左側(cè)存在豎直向下、場(chǎng)強(qiáng)為 E 的勻強(qiáng)電場(chǎng)。質(zhì)量為 m 、電荷量為 + q 的粒子，從與MN相距2L的 o 點(diǎn)以垂直于 M N 大小為 的初速度向右射出。只要在 P Q 右側(cè)施加磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B 方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子就能沿圖示的軌道回到 o 點(diǎn)。

這種利用電場(chǎng)和磁場(chǎng)控制帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方法似乎很巧妙，但我們應(yīng)該看到，帶電粒子從o 點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)一周再次回到 o 點(diǎn)時(shí)，動(dòng)能比原來大了，因而這種方法是違反科學(xué)的。問題仍然在這種方法忽略了存在于MN右側(cè)的邊緣電場(chǎng)。

通過上面的研究得到，并非在所有情況中邊緣電場(chǎng)都可以忽略。對(duì)于平行板電容器的電容和帶電粒子通過勻強(qiáng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的問題，邊緣電場(chǎng)可以忽略；對(duì)帶電粒子先后通過勻強(qiáng)電場(chǎng)和邊緣電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一周，從而涉及電場(chǎng)力做功的問題，邊緣電場(chǎng)不能忽略。

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理選修 3 - 1[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]黃晏.關(guān)于忽略勻強(qiáng)電場(chǎng)邊緣效應(yīng)的幾個(gè)錯(cuò)題分析[J].物理教學(xué)，2020，42（3）：53-55.

（欄目編輯 蔣小平）