
中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A文章編號:1003-6148(2025)4-0065-3
《普通高中物理課程標準(2017年版)》指出,學生應達到的目標有“具有建構模型的意識和能力;能運用科學的思維方法,從定性和定量兩個方面對相關問題進行科學推理、找出規律、形成結論。\"在以往的教學中,注重的是在教師的指導下,讓學生對已有的模型進行分析,學會拆模、析模,運用規律和方法解題,而沒有關注學生發現問題、建構模型的能力。根據實際情境建立模型是當前考試評價的重要方面,也是物理學科關鍵能力之一,因此教學的重心要前移,要注重引導學生建構模型,培養模型建構的能力。通過對結論的思考,反向建立模型,也是一種重要的建模能力培養方式。
1 光滑軌道的“等時圓”模型
在高中必修一“運動和力的關系”章節教學后,在牛頓第二定律和運動學結合的習題教學中,會涉及到一個基礎模型一“等時圓”,往往教學的過程是直接給出了“等時圓”的模型,讓學生去解決問題,然后再用相應的習題來拓展“等時圓”的應用。
模型如圖1所示,光滑圓軌道豎直放置,半徑為 R ,圓心為 o ,最低點為
為圓上任意一點。一物塊(可看成質點)從 A 處靜止開始下滑,試證明沿不同角度軌道下滑到圓周上的時間是定值。

證明連接
和 B C ,可知
,設∠ C A B = 6 ,則
,物塊下滑的加速度為a=gcosθ,由運動學公式可知 xAB=at2,解得t=
。根據最終
的表達式可知,下滑時間
與傾角 θ 無關,即從 A 點滑到圓周上任意一點的時間都相同。還可以推知,物塊從 A 點自由落至c 點從 B 點由靜止開始滑到 C 點所用的時間是相同的。
這個知識點解決的過程是通過給定的模型,讓學生運用學過的規律來解決提出的問題,雖然能夠讓學生記住這個模型,但對于這個“等時圓”是如何建構出來的,并沒有進行相應的鋪墊,使這個“圓”出現得非常突兀,沒有進一步培養學生建構模型的能力。
2 “等時圓\"模型的反向建構過程
2.1 最基礎的斜面下滑問題
如圖2所示,一個光滑的固定斜面長度為L ,傾角為 θ ,一物塊(可視為質點)從斜面頂端靜止下滑,求物塊滑到底端的時間。
解答 物塊沿斜面下滑的加速度為
根據運動學公式
,代人 L 和
進行計算,可得 

這個解題過程非常簡單,從物理意義上來理解,就是求解初速度為0、以 a=? s i nθ 的加速度通過了 L 的路程的時間。若將這個結果與自由落體的時間表達式
2h對比,此表達式是不是可以等效理解為物體以大小為 a = g 的加速度、通過了h= 的位移自由下落所用的時間呢?
2.2 從斜面到自由落體的反向建模
根據上題的思路,如何根據結論去建構一個相應的與斜面模型相關的自由落體模型呢?這涉及到如何在這個斜面模型上找到一個包含 L 和θ 的結構。既然是自由落體,那么我們可以建構下落到最低點的自由落體運動。對于如何找到θ ,根據數學知識,可以過斜面最高點作斜面的垂線,如圖3所示。從建構出來的從 A 至 B 的自由落體運動來看,AB的長度為L
。,可以較容易地判斷出沿斜面下滑的時間和自由落體的時間是相同的。

2.3 結合斜面及自由落體的“等時圓\"的建構
根據圖3,再進行深入思考,由于 θ 是任意取的,那么以
為斜邊構成的直角三角形中,物體以零初速度沿著連接 B 點的弦構成的光滑斜面下滑的時間都應當與從 A 點開始至 B 點的自由落體時間是相等的。如圖4所示,可以發現,這些軌道雖然傾角和長度都不一樣,但根據幾何原理,這些斜面的頂點都是在以
為直徑的一個圓上。將這些點連起來,考慮到左右對稱,則是一個完整的圓。如果考慮到三維空間,則是一個以A B 為直徑的球面。可得到結論:以 A B 為直徑的圓(球面)上,從任意一點連接最低點建構一個光滑斜面,物體以零初速度下滑到最低點的時間均相同。

如果要得到圖1所示的“等時圓”,只需要根據對稱性進行平移即可。因此,最終模型的結論應當是,光滑情況下,物體從頂點由靜止開始沿弦滑到球面上任意點(或者從球面上一點沿弦滑到最低點)的時間均是相同的。
3 同類型模型的建構
如圖5所示,一束光自空氣以入射角 α 斜射入水中,折射角為 γ ,在光進入水后經過 L 的距離需要的時間是多少?(已知光速為 ∣ c ∣ )

解答本題比較簡單,折射率
sina,光在水中的速度為
,然后只需要用公式 x = v t ,就可以直接得出答案 
但是,不同色光對同種介質的折射率是不一樣的,故以相同的人射角進入水中之后的折射角的大小是不同的,光速也是不同的。那么,一束復色光折射入介質中,經過相同的時間,不同色光都到達怎樣的位置呢?
設sinα和
是定值,那么時間的確定與 L 和siny有關。有了基礎“等時圓\"的建構,是不是也能同樣尋找一個定值來代替呢?可以引導學生進行圖6所示的模型建構。
XAcsinα,所以可知不同色光到達圓弧ABC上的時間都是相同的。
其中,
就是圖中的直徑 A C ,兩者的比值是定值。對于不同色光,雖然折射角 γ 和水中的光速是不一樣的,經歷相同的時間經過的距離也不一樣,但根據
進行代換得到 t =

這是一個光學上的“等時圓”。兩個不同的“等時圓”,解決問題的本質是相同的,整體反向建模的方法和思維的過程是異曲同工的。可見,只有在引導學生建模的過程中,注重模型的生成,才能有效地培養學生的學科關鍵能力。
4小結
高中物理的許多二級結論,都是在簡單模型的重構中生成的,比如平拋速度的反向延長線過位移的中點等。從以上分析可以看到,通過引導學生對結論中表達式的進一步分析,自主進行建模,在物理學科關鍵能力培養上遠比直接給學生模型更有效。通過引導學生分析建模,在教學中不是“授之以魚”,而是“授之以漁”,對學生探究能力的培養有很大的幫助。
參考文獻:
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(欄目編輯 蔣小平)