對(duì)“等時(shí)圓”模型的反向建模注重對(duì)結(jié)論的反向探究

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148（2025）4-0065-3

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，學(xué)生應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)有“具有建構(gòu)模型的意識(shí)和能力；能運(yùn)用科學(xué)的思維方法，從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)推理、找出規(guī)律、形成結(jié)論。\"在以往的教學(xué)中，注重的是在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生對(duì)已有的模型進(jìn)行分析，學(xué)會(huì)拆模、析模，運(yùn)用規(guī)律和方法解題，而沒(méi)有關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、建構(gòu)模型的能力。根據(jù)實(shí)際情境建立模型是當(dāng)前考試評(píng)價(jià)的重要方面，也是物理學(xué)科關(guān)鍵能力之一，因此教學(xué)的重心要前移，要注重引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型，培養(yǎng)模型建構(gòu)的能力。通過(guò)對(duì)結(jié)論的思考，反向建立模型，也是一種重要的建模能力培養(yǎng)方式。

1 光滑軌道的“等時(shí)圓”模型

在高中必修一“運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系”章節(jié)教學(xué)后，在牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合的習(xí)題教學(xué)中，會(huì)涉及到一個(gè)基礎(chǔ)模型一“等時(shí)圓”，往往教學(xué)的過(guò)程是直接給出了“等時(shí)圓”的模型，讓學(xué)生去解決問(wèn)題，然后再用相應(yīng)的習(xí)題來(lái)拓展“等時(shí)圓”的應(yīng)用。

模型如圖1所示，光滑圓軌道豎直放置，半徑為 R ，圓心為 o ，最低點(diǎn)為 為圓上任意一點(diǎn)。一物塊（可看成質(zhì)點(diǎn)）從 A 處?kù)o止開(kāi)始下滑，試證明沿不同角度軌道下滑到圓周上的時(shí)間是定值。

證明連接 和 B C ，可知 ，設(shè)∠ C A B = 6 ，則 ，物塊下滑的加速度為a=gcosθ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知 xAB=at2，解得t= 。根據(jù)最終 的表達(dá)式可知，下滑時(shí)間 與傾角 θ 無(wú)關(guān)，即從 A 點(diǎn)滑到圓周上任意一點(diǎn)的時(shí)間都相同。還可以推知，物塊從 A 點(diǎn)自由落至c 點(diǎn)從 B 點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑到 C 點(diǎn)所用的時(shí)間是相同的。

這個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決的過(guò)程是通過(guò)給定的模型，讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的規(guī)律來(lái)解決提出的問(wèn)題，雖然能夠讓學(xué)生記住這個(gè)模型，但對(duì)于這個(gè)“等時(shí)圓”是如何建構(gòu)出來(lái)的，并沒(méi)有進(jìn)行相應(yīng)的鋪墊，使這個(gè)“圓”出現(xiàn)得非常突兀，沒(méi)有進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)模型的能力。

2 “等時(shí)圓\"模型的反向建構(gòu)過(guò)程

2.1 最基礎(chǔ)的斜面下滑問(wèn)題

如圖2所示，一個(gè)光滑的固定斜面長(zhǎng)度為L(zhǎng) ，傾角為 θ ，一物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面頂端靜止下滑，求物塊滑到底端的時(shí)間。

解答 物塊沿斜面下滑的加速度為 根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式 ，代人 L 和 進(jìn)行計(jì)算，可得

這個(gè)解題過(guò)程非常簡(jiǎn)單，從物理意義上來(lái)理解，就是求解初速度為0、以 a=? s i nθ 的加速度通過(guò)了 L 的路程的時(shí)間。若將這個(gè)結(jié)果與自由落體的時(shí)間表達(dá)式 2h對(duì)比，此表達(dá)式是不是可以等效理解為物體以大小為 a = g 的加速度、通過(guò)了h= 的位移自由下落所用的時(shí)間呢？

2.2 從斜面到自由落體的反向建模

根據(jù)上題的思路，如何根據(jù)結(jié)論去建構(gòu)一個(gè)相應(yīng)的與斜面模型相關(guān)的自由落體模型呢？這涉及到如何在這個(gè)斜面模型上找到一個(gè)包含 L 和θ 的結(jié)構(gòu)。既然是自由落體，那么我們可以建構(gòu)下落到最低點(diǎn)的自由落體運(yùn)動(dòng)。對(duì)于如何找到θ ，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，可以過(guò)斜面最高點(diǎn)作斜面的垂線，如圖3所示。從建構(gòu)出來(lái)的從 A 至 B 的自由落體運(yùn)動(dòng)來(lái)看，AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng) 。，可以較容易地判斷出沿斜面下滑的時(shí)間和自由落體的時(shí)間是相同的。

2.3 結(jié)合斜面及自由落體的“等時(shí)圓\"的建構(gòu)

根據(jù)圖3，再進(jìn)行深入思考，由于 θ 是任意取的，那么以 為斜邊構(gòu)成的直角三角形中，物體以零初速度沿著連接 B 點(diǎn)的弦構(gòu)成的光滑斜面下滑的時(shí)間都應(yīng)當(dāng)與從 A 點(diǎn)開(kāi)始至 B 點(diǎn)的自由落體時(shí)間是相等的。如圖4所示，可以發(fā)現(xiàn)，這些軌道雖然傾角和長(zhǎng)度都不一樣，但根據(jù)幾何原理，這些斜面的頂點(diǎn)都是在以 為直徑的一個(gè)圓上。將這些點(diǎn)連起來(lái)，考慮到左右對(duì)稱，則是一個(gè)完整的圓。如果考慮到三維空間，則是一個(gè)以A B 為直徑的球面。可得到結(jié)論：以 A B 為直徑的圓（球面）上，從任意一點(diǎn)連接最低點(diǎn)建構(gòu)一個(gè)光滑斜面，物體以零初速度下滑到最低點(diǎn)的時(shí)間均相同。

如果要得到圖1所示的“等時(shí)圓”，只需要根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行平移即可。因此，最終模型的結(jié)論應(yīng)當(dāng)是，光滑情況下，物體從頂點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿弦滑到球面上任意點(diǎn)（或者從球面上一點(diǎn)沿弦滑到最低點(diǎn)）的時(shí)間均是相同的。

3 同類型模型的建構(gòu)

如圖5所示，一束光自空氣以入射角 α 斜射入水中，折射角為 γ ，在光進(jìn)入水后經(jīng)過(guò) L 的距離需要的時(shí)間是多少？（已知光速為 ∣ c ∣ ）

解答本題比較簡(jiǎn)單，折射率 sina，光在水中的速度為 ，然后只需要用公式 x = v t ，就可以直接得出答案

但是，不同色光對(duì)同種介質(zhì)的折射率是不一樣的，故以相同的人射角進(jìn)入水中之后的折射角的大小是不同的，光速也是不同的。那么，一束復(fù)色光折射入介質(zhì)中，經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間，不同色光都到達(dá)怎樣的位置呢？

設(shè)sinα和 是定值，那么時(shí)間的確定與 L 和siny有關(guān)。有了基礎(chǔ)“等時(shí)圓\"的建構(gòu)，是不是也能同樣尋找一個(gè)定值來(lái)代替呢？可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖6所示的模型建構(gòu)。

XAcsinα，所以可知不同色光到達(dá)圓弧ABC上的時(shí)間都是相同的。

其中， 就是圖中的直徑 A C ，兩者的比值是定值。對(duì)于不同色光，雖然折射角 γ 和水中的光速是不一樣的，經(jīng)歷相同的時(shí)間經(jīng)過(guò)的距離也不一樣，但根據(jù) 進(jìn)行代換得到 t =

這是一個(gè)光學(xué)上的“等時(shí)圓”。兩個(gè)不同的“等時(shí)圓”，解決問(wèn)題的本質(zhì)是相同的，整體反向建模的方法和思維的過(guò)程是異曲同工的?？梢?jiàn)，只有在引導(dǎo)學(xué)生建模的過(guò)程中，注重模型的生成，才能有效地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力。

4小結(jié)

高中物理的許多二級(jí)結(jié)論，都是在簡(jiǎn)單模型的重構(gòu)中生成的，比如平拋速度的反向延長(zhǎng)線過(guò)位移的中點(diǎn)等。從以上分析可以看到，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論中表達(dá)式的進(jìn)一步分析，自主進(jìn)行建模，在物理學(xué)科關(guān)鍵能力培養(yǎng)上遠(yuǎn)比直接給學(xué)生模型更有效。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析建模，在教學(xué)中不是“授之以魚(yú)”，而是“授之以漁”，對(duì)學(xué)生探究能力的培養(yǎng)有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]王進(jìn)峰.“等時(shí)圓”的一般規(guī)律[J].物理教學(xué)，2022，44（4）：52-53.

[2]卞志榮.構(gòu)建“等時(shí)圓”模型速解相關(guān)題[J].物理教學(xué)探討，2007，25（6）：24-25.

[3]田川.對(duì)等時(shí)圓問(wèn)題的探討[J].物理教學(xué)探討，2019，37（5）：59-62.

（欄目編輯 蔣小平）