FRP加固混凝土梁界面應力的時變規律研究

中圖分類號：TU375.1 文獻標志碼：A 文章編號：2096-6717（2025）03-0151-1

Study on time-dependent interfacial stress of FRP-strengthened RC beam

SUN Tao1，YAO Weilai'，LIU Yuanxue ，MURui'，RENJunru1，CHENG Xinglei'， LEI Yixin1，YAN Renzhang2

（1.Military Installations Department，Army Logistics Academy，Chongqing40l311，P.R. China； 2. Schoolof Civil Engineering，Chongqing JiaotongUniversity，Chongqing4Ooo74，P.R.China）

Abstract： Based on the massive applications ofFRP-reinforced structure technology，the time-varying patrns ofinterfacial streses of FRP-strengthened RC beams under sustained load are investigated in this study.A finite element （FE） model was developed to analyze the external FRP strains，and the correctness and usability of the FE method were verified by comparing the predicted results with the test results.For the FRP end area，both the FE method and the analytical method were applied to conduct investigations considering the spew fillet of adhesive and the secondary loading of the reinforced structures.For the area near the intermediate concrete crack，the analytical method was used to conduct calculations.The results show that the concrete creep leads to the increase of interfacial stresses with time，and the adhesive creep leads to the relief of stresses.This conclusion is applicable to both areas mentioned above and is not affected bythe spew filetof the adhesive and the secondary loading of the reinforced structures.In the FRP end region，theFE results and analytical results are in good agreement.

Keywords： FRP-strengthened RC structures；long-term loading；material creep；interfacial stress；spew fillet of adhesive; secondary loading

粘貼纖維增強復合材料（fiberreinforcedpolymer/plastic，FRP）加固結構技術已經廣泛應用。建筑結構使用年限較長，完成加固后結構仍將處于長期承受荷載的服役狀態。長期持荷條件下，混凝土、結構膠（環氧樹脂）均表現出明顯的蠕變特性[1-5]。

加固結構粘貼界面的受力狀態十分重要，FRP端部和中部混凝土裂縫附近區域存在界面應力集中現象，該現象是導致FRP剝離破壞的主要原因[6]。材料蠕變導致界面應力依時改變，若應力隨時間增大，則可能出現長期持荷下的剝離破壞。對FRP端部、混凝土裂縫附近的界面應力時變規律開展分析有助于評估剝離破壞的長期風險，對加固結構的安全服役具有重要意義，學者們對此開展了研究。

Guenaneche等對FRP加固混凝土梁的微元體進行了分析，考慮粘貼界面滑移、膠層剪切變形，對界面切應力和豎向正應力進行了閉合解（closed-formsolution）推導，通過將混凝土短期模量代換為齡期調整有效模量，完成了界面應力時變規律的分析。結果表明，在持荷后一個月內，界面應力隨時間增大并達到峰值，隨后隨時間減小并逐漸趨于穩定。Fahsi等8-9進行了與Guenaneche等相似的研究，得出基本一致的結論，即長期界面應力先增大后減小，最后趨于穩定。但Guenaneche等與Fahsi等[8-9的研究僅考慮了混凝土的徐變、收縮，沒有考慮膠層的蠕變特性，事實上，膠層的蠕變特性也比較明顯，對其忽略與實際情況不符。Hamed等[10-12]基于虛功原理，利用泛函變分法對加固混凝土梁進行分析，考慮了混凝土徐變、開裂、膠層蠕變等因素。結果表明，混凝土徐變導致界面應力隨時間增大，膠層蠕變可緩解界面應力。Zhang等[13-14]報道了采用有限元法開展界面應力時變特性的分析工作，但與Guenaneche等、Fahsi等8-9的研究相反是，Zhang等[13-14]僅考慮了膠層的蠕變，忽略了混凝土的徐變。但是，實際工程中，由于結構荷載臨時增大等原因，相當數量的加固工程是針對新建建筑開展的，混凝土齡期尚早，徐變較明顯，在研究界面應力時變特性時應對其進行考慮。

另外，上述研究[7-14還存在一些共性問題：1）實際工程中，為實現FRP與混凝土的充分接觸和可靠粘結，進行粘貼施工時采用橡膠錘輕敲FRP表面，導致FRP端部有環氧膠溢出。Teng等[5在分析短期界面應力時明確說明了該現象，但上述分析長期界面應力的研究均未考慮該現象；2）實際工程中，加固前，混凝土結構一般已經服役過一段時間，存在受力變形和預先應力路徑，完成粘貼加固時，FRP處于零應力狀態，僅當荷載進一步提高時，FRP才與混凝土結構共同工作，該現象被稱為加固結構的二次受力[16-18或FRP的應力（應變）滯后[19]而上述研究均未考慮該工程現象，所研究的混凝土結構均直接實施加固，未設置加固前的應力路徑；3）上述研究提供了分析時變界面應力的兩種主要途徑，即閉合解法[7-9]和有限元法[13-14]，閉合解法顯式地表達了界面應力的解析式，比較適用于工程實踐，但這兩種方法之間缺乏相互驗證。同時，上述研究均僅限于討論FRP端部區域界面的應力狀態，對混凝土中部裂縫附近時變界面應力進行分析的文獻相當少，目前，僅Hadjazi等2進行過報道，但作者將混凝土徐變和膠層蠕變組合在一起做了整體分析，不利于理解單種材料蠕變對界面應力時變規律的影響機制。

針對上述已有研究存在的不足，筆者開展了如下工作：基于ABAQUS開展FRP加固混凝土梁的有限元建模工作，通過將仿真結果與試驗結果進行對比，驗證有限元法的合理性；建立考慮材料蠕變遞推形式的本構方程，并編制為用戶子程序（user'ssubroutine），以實現結構蠕變的數值模擬；利用有限元模型對FRP端部區域的時變界面應力開展分析，考慮端部膠層溢出、結構二次受力；對FRP端部區域的時變界面應力開展閉合解求解，并與有限元計算結果進行對比；對混凝土中部裂縫附近區域界面應力的依時變化規律開展解析解研究，分別討論混凝土徐變和膠層蠕變的效應。

1有限元建模方法及結果驗證

歐陽煜等2報道了玻璃纖維片材（GFRP）加固混凝土梁的受彎性能研究，對該研究中的ML02、MLO3、ML04梁開展數值模擬，以驗證有限元法的適用性。

1. 1 試驗梁概況

ML02、ML03、MLO4加固梁總跨度為 1400mm ，有效跨度為 1200mm ，截面高度為 160mm ，截面寬度 100mm 。受壓區配置2根直徑為 8mm 的鋼筋，受拉區配置2根直徑為 12mm 的鋼筋，箍筋直徑為6mm ，間距為 100mm ，采用四點彎曲對稱方式加載。ML02、ML03、MLO4梁底部分別粘貼2、3、1層GFRP片材。混凝土立方體抗壓強度 f_cu=18MPa 鋼筋與GFRP片材力學性能詳見文獻[21]。

3根試驗梁FRP端部各布置了4個應變片，加載過程中的應變數值見文獻[21]。 1～4 號測點到端部的距離分別為 12、42、65、85mm 。通過有限元模型計算上述4個測點的應變值并與實測數據進行對比。

1.2有限元建模和結果驗證

考慮到試驗梁的受力對稱性，建模時僅建立1/2模型，跨中截面設置對稱邊界條件。根據已有研究[22]，將分析簡化為平面問題。混凝土、結構膠、GFRP片材采用平面應力完全積分單元CPS4建模，鋼筋采用平面桁架單元T2D2建模。FRP端部區域存在應力集中現象，對該區域進行網格加密處理[15]（圖1）。為提升計算精度，在混凝土-粘結膠界面、粘結膠-FRP界面，將不同材料的網格設置為共節點。此處的“共節點\"指網格節點的幾何對齊，而非剛性綁結和約束，界面兩側不同材料之間仍可發生相對錯動，因而該設置方式不會對界面滑移及切應力的計算造成影響，文獻[15]也采用了類似的處理方式。混凝土-結構膠、結構膠-FRP界面均采用ABAQUS提供的*Tie方式設置連接，并采用軟件默認的參數。

將計算得出的荷載-FRP應變關系與實測數據進行對比，如圖2所示。對于ML02梁，測點2的誤差較大，測點3數據基本吻合，測點4的吻合程度較好；對于ML03梁，測點2誤差較大，測點3吻合程度較好，測點4數據基本吻合；對于ML04梁，測點1偏差稍大，測點2、3吻合程度較好，測點4數據基本吻合。總體而言，測點1、2的吻合程度稍差，其可能的原因是：測點1所處位置位于FRP端部，測點2位置也十分靠近端部21]，兩處位置的應力分布本身比較復雜，奇異化程度較高（應力值隨位置的微小變化而發生劇烈變化）[15]。應變片具有一定標距長度，測得的數值為標距內的平均應變，這里的對比是將有限元模型中一點（單元節點）的應變與應變片測得的平均應變進行對比，由于應力奇異程度較高，一點應變值與標距內（盡管此標距可能較小）平均應變值差異較大。雖然筆者嘗試輸出有限元模型標距內的平均應變值再加以對比，但原始文獻并未給出應變片的標距信息，因此，該工作暫無法開展。而對于3、4號測點，隨著位置逐漸遠離FRP端部，其應力奇異程度有所緩解，應力分布趨于平均，一點應變與標距內平均應變的差異降低，體現為數值結果與試驗結果吻合較好。

綜上所述，由于端部附近應力分布規律的復雜性和應變片本身的測試特性，有限元模擬結果與距離端部較遠測點的實測結果吻合較好，與距離端部較近測點的實測結果之間存在一定誤差。但整體來看，實測結果表現出應變隨荷載增大而線性增大的趨勢，該趨勢被有限元結果良好地復現出來。因此，認為該有限元模型合理并可接受。

2 材料的蠕變本構模型及有限元用戶子程序

在對上述加固梁短期受荷行為數值分析的基礎上，加入對材料蠕變特性的考慮，實現長期界面應力的仿真模擬。

2.1混凝土的徐變和收縮

前期開展了碳纖維增強復合材料（CFRP）板加固混凝土梁的長期變形試驗研究和有限元模擬工作，報道了考慮混凝土徐變、收縮的擬彈性（quasi-elastic）本構方程[23-25]，其核心公式為

σ^*（t_n）=E_φ（t_n，t_n-1）（ε_n-Δε_n）

式中： ε_n 為混凝土在時間段 內將要產生的總徐變、收縮應變； ΔE_n 為該時段之前的應力歷史對該時段產生的變形效應，包括外荷載 σ（t_i） 的長期效應、徐變收縮次應力 σ^*（t_i） 的長期效應； E_φ 為混凝土的齡期調整有效模量。 ΔE_n 可以進一步表示為遞推形式 （2）

式中： ε_sh（t） 為 0t 時間段混凝土產生的收縮應變。

A_n，j^* 與上一項 A_n-1，j^* 的遞推關系為

式中： x 為老化系數； E_c（t_i） 表示 t_i 時刻混凝土的彈性模量； a_i?c_i?λ_j?m 為將徐變系數 φ_c（t，τ） 展開為Dirichlet級數形式過程中給定的參數（取 m=4 ）。

混凝土的徐變、收縮行為采用美國混凝土協會（ACI-209）建議的模型[2進行計算。

2.2 膠層的蠕變

對環氧膠層沿切向、豎向、縱向的蠕變行為進行考慮。以剪切蠕變為例，仿照混凝土徐變本構方程（式（1）～式（5）），可得應力歷史對時段 產生的剪切蠕變變形 為

B_n，j^* 與上一項 B_n-1，j^* 的遞推關系為

式中： G_a，τ_a 分別表示剪切模量和切應力；參數 b_j^a，λ_j^a 為將膠層蠕變系數 φ_a（t，t₀） 按Dirichlet級數展開后的材料參數，蠕變系數根據Choi等[2的研究確定，其展開形式為

膠層沿豎向、縱向的蠕變規律可仿照上述內容進行建立。

2.3 用戶子程序

將上述材料的時變本構行為編制為ABAQUS用戶子程序，進行結構蠕變的分析計算。該子程序的基本思路是：首先完成加載瞬時響應的計算，將長期時間段進行離散，計算第1個時段內材料將要產生的蠕變變形，將該變形賦予材料單元的積分點，此時結構內部變形協調條件被破壞，有限元主程序立即介人繼續計算，直至收斂， t₁ 時刻的狀態計算完成；然后按照遞推方程計算第2個時段內材料將要發生的蠕變變形，將該變形賦予單元積分點，主程序再次介入計算，直至收斂， t₂ 時刻的狀態計算完成；以此類推，直至時刻 t_n 的狀態計算完成。上述功能依托2個用戶子程序完成：USDFLD、UEXPAN。

3 算例梁概況

筆者前期開展了加固梁的長期持荷試驗[23-24]，完整掌握了試驗梁幾何尺寸、材料短期力學性能參數、混凝土徐變規律、膠層蠕變規律等信息。以該研究中的試驗梁作為算例模型，開展FRP端部附近、中部裂縫附近界面應力時變規律的分析。算例梁總跨度 3300mm ，有效跨度 2900mm ，截面高度400mm ，截面寬度 250mm ，CFRP縱向長度2600mm ，截面寬度 200mm ，采用四點彎曲對稱方式加載（圖3）。

4 FRP端部時變界面應力分析

采用有限元法和閉合解法研究FRP端部界面應力的時變規律。

4.1有限元結果分析和討論

4.1.1 端部膠層無溢出的情況

對算例梁進行有限元建模，并對FRP端部附近的網格作類似的加密處理

1）材料的蠕變效應

僅考慮混凝土徐變時，界面應力的分布情況如圖4所示，顯示了瞬時加載完成時（持荷0d）持荷130d后、持荷390d后混凝土-粘結膠界面豎向正應力、切應力的分布規律。僅考慮膠層蠕變的結果如圖5所示，同時考慮膠層蠕變和混凝土徐變的結果如圖6所示。

1.4 持荷0d

如圖4、圖5所示，混凝土徐變導致粘貼端部附近的界面豎向正應力、切應力隨時間的推移而增大；而膠層蠕變的效應相反，其導致界面應力隨時間緩解，這與Hamed等[10-12]的結果一致。但本研究是通過完全不同的有限元分析過程得出該結論的，一定程度上驗證了該結論的可靠性。當混凝土徐變與膠層蠕變同時發生時，上述兩個效應出現疊加（圖6），即時變界面應力處于單獨考慮混凝土徐變結果與單獨考慮膠層蠕變結果之間。其中，相對于瞬時加載應力，界面應力仍最終表現為隨時間緩解，筆者認為這主要是輸入的膠層蠕變特性較混凝土徐變特性更加顯著所致。實際工程中，相當部分的加固針對齡期較老的既有建筑展開，混凝土徐變已比較微弱，膠層蠕變為控制因素，此例正確地反映了該種情況。此時，界面應力將隨時間降低，剝離破壞風險下降，對加固結構長期安全服役有利。然而，也有相當數量的加固工程針對齡期尚早的混凝王結構展開，混凝土徐變仍比較明顯，相較于膠層蠕變更為顯著，可能出現界面應力隨時間增大的結果，此時，需謹慎評估剝離破壞的長期風險。

2）二次受力效應

對存在二次受力的情況進行討論，算例梁首先以未加固梁的形態承受預荷載 7.5kN ，然后不卸載加固，加固完成后繼續施加荷載 7.5kN ，構件承受的總荷載為 15kN ，該梁在加固前設置了預先應力路徑，存在典型的二次受力情況。將該情況與不施加預荷載直接加固后承受荷載 15kN 的情況（即無二次受力情況）進行對比。

通過編輯ABAQUS關鍵字，采用“空氣追蹤單元”法對二次受力行為開展模擬，分為以下步驟：1）有限元建模期間，在建立真實膠層單元、CFRP單元時，額外復制一份粘結膠單元和CFRP單元，但復制單元的剛度比材料真實剛度低5個數量級，幾乎不具備結構抗力，稱為“空氣單元”；2）施加預荷載7.5kN 時，刪除真實粘結膠、CFRP單元，使結構僅保存混凝土單元、鋼筋單元、“空氣\"粘結膠單元及“空氣\"CFRP單元，由于“空氣\"單元剛度可忽略，此時試件的響應基本等同于非加固混凝土梁的響應，同時，“空氣”單元準確追蹤了鋼筋混凝土梁表面的變形情況；3）不帶應變、共節點地激活真實粘結膠單元、CFRP單元，刪除“空氣”單元，真實單元的位置與混凝土梁表面的變形完全協調，實現真實粘結膠單元與CFRP單元既準確貼合在混凝土表面而應力又為零的現象的模擬；4）繼續施加剩余的 7.5kN 外荷載，此時鋼筋混凝土梁、粘結膠、外部CFRP已經共同工作，瞬時荷載響應計算完畢后利用子程序進行結構蠕變行為的計算。

二次受力情況下，僅考慮混凝土徐變，界面應力的時變規律如圖7所示。可見，由于FRP板存在應力滯后現象，二次受力梁加載完成后的瞬時界面應力相較無二次受力梁的更低，但混凝土徐變導致界面應力隨時間增大的規律保持不變。僅考慮膠層蠕變時，界面應力的分布規律如圖8所示，膠層蠕變對界面應力的緩解作用也仍保持不變。

4.1.2膠層端部溢出的情況

對于膠層在FRP端部溢出的情況，討論3種形狀的溢出[15]，圖9所示為膠層溢出部分與相鄰混凝土的網格共節點。

僅考慮混凝土徐變時，界面應力的分布規律如圖10所示。相較于無溢出情況，膠層溢出顯著緩解了界面的短期應力水平，有助于推遲或者避免剝離破壞，其中，內凹型的溢出形式對界面應力的緩解作用最明顯。同時，無論是否有膠層溢出，混凝土徐變均導致界面應力隨時間增大，但是，相對于無溢出情況，膠層溢出使得應力增大的幅度有所降低，對避免剝離破壞更為有利。僅考慮膠層蠕變時，界面的應力分布規律如圖11所示。可見，無論膠層是否溢出，膠層蠕變均使得界面應力隨時間緩解，但相較于無溢出情況，溢出情況的界面應力被降低至更低水平。

4.2閉合解結果分析和討論

Smith等28給出了加載瞬時FRP端部界面應力的顯式閉合解，對于本算例中的兩點對稱加載梁，經帶入邊界條件求解，可得界面切應力 τ（x） 、界面豎向正應力 σ（x） 的解析解，參考文獻[28]。

為計算時變界面應力，采用與Guenaneche等[7]、Fahsi等8-9相似的處理方式，將 τ（x），σ（x） 解析式中的短期模量代換為含有蠕變系數的有效模量。混凝土、膠層的有效模量分別如式（ .10）～ 式（11）式 （12）～ 式（13）所示。

式中： 分別為混凝土、膠層的初始彈性模量； u_c，ν_a 分別為混凝土泊松比（0.2）環氧膠層泊松比（0.35）。

僅考慮混凝土徐變時界面應力的分布規律如圖12所示，可見，混凝土徐變導致界面應力隨時間增大的現象繼續在解析解結果中體現。由于解析解假定沿膠層厚度方向的應力為均勻分布[15]，而有限元模型沒有做此簡化，因此，相較于解析解，有限元結果更能描述端部附近應力分布規律的復雜性，表現為：有限元結果與解析解結果在端部附近存在一定差異，在離端部較遠處，應力奇異程度大幅降低，解析解的上述假定基本與真實情況相符，因此，兩種結果趨于相等。文獻[15利用解析法和有限元法分析了短期加載下的界面應力，兩種方法的結果也出現了類似的差異和關聯。僅考慮膠層蠕變時界面應力的分布規律如圖13所示。膠層蠕變導致界面應力緩解的現象也繼續在解析解結果中體現，同樣，解析解結果與有限元結果除在端部存在一定差異外，在離端部較遠處趨于相同。

5中部裂縫附近時變界面應力分析

Wang等[29]、Hadjazi等[30]給出了瞬時加載條件下混凝土中部裂縫附近界面切應力 τ（x） 的分布規律，如式（14）所示。

其中：

式中： K_b 為粘結-滑移本構曲線的初始切線剛度； b₂ 為FRP寬度； h_a 為膠層厚度； E，A，I 分別表示彈性模量、截面積、對自身截面中性軸的慣性矩，下標1、2分別表示混凝土和FRP； Y₁ 表示混凝土梁底部與混凝土截面中性軸的距離； Y₂ 表示外粘板頂部距外粘板截面中性軸的距離； M^′ 為截面彎矩對 x 坐標的一階導數。

參數 A 根據兩點對稱加載邊界條件確定。

A=

式中： P 為外荷載； L₂ 為外荷載到梁端距離。

利用式 （10）～（13） ，將具有時變特性的有效模量替換式 （14）～（16） 中的短期模量，可得混凝土中部裂縫附近界面切應力的時變規律。

僅考慮混凝土徐變時，中部裂縫附近界面切應力的分布規律如圖14（a）所示，可見，混凝土徐變使得應力隨時間增大，將增大該位置發生剝離破壞的風險。僅考慮膠層蠕變時，界面切應力的分布規律如圖14（b）所示。膠層蠕變使得裂縫附近的界面切應力隨時間而緩解，有助于避免剝離破壞的發生。同時考慮混凝土、膠層蠕變的界面應力分布規律如圖14（c）所示。混凝土徐變導致應力依時增大，膠層蠕變導致應力依時降低的效應同時存在，最終結果處于僅考慮混凝土徐變和僅考慮膠層蠕變的結果之間。

6 結論與展望

對長期持荷條件下粘貼FRP加固混凝土梁界面應力的時變規律展開分析，對FRP端部、混凝土中部裂縫附近兩個區域進行討論，得到以下主要結論：

1）混凝土徐變導致FRP端部界面應力依時增大，對避免剝離破壞不利，膠層溢出、二次受力不對該結論造成影響，但膠層溢出有助于降低應力的增大幅度。同時，混凝土徐變導致中部裂縫附近界面應力隨時間增大。

2）膠層蠕變導致FRP端部界面應力隨時間減小，對避免剝離破壞有利，膠層溢出、二次受力不對該結論造成影響，但膠層溢出有助于將應力降至更低水平。同時，膠層蠕變也導致中部裂縫附近界面應力隨時間緩解。

3）FRP端部附近時變界面應力的有限元解和閉合解吻合較好，形成了相互驗證，閉合解顯式地表達出了時變界面應力的解析式，適用于工程實踐。

本文僅對短期加載下界面變形的有限元理論結果與實測結果進行了對比，而未對長期持荷下的理論結果與實測結果進行對比。主要原因是：電阻式應變片是測試界面變形的主要儀器，而應變片的長期工作性能不可靠，迄今為止，筆者尚未發現界面長期變形的相關數據，因此無法開展對比工作。關于應變片的長期測試性能，筆者曾開展大量的實測工作，均證明其不適用于長期監測。因此，對于長期界面應力，本文暫時僅能提供理論（有限元法和解析法）解答，事實上，由于試驗數據的缺失，相關同行的研究也主要處于理論分析層面。但理論計算結果仍可作為長期界面應力分析的基礎和參考，待到未來出現合適的長期監測手段，即可開展相關驗證性工作。筆者也會繼續探索長期變形的可靠測試技術和方案，積極推動驗證性工作的開展。

參考文獻

[1]LIUWB，ZHANG SG，SUNBY，etal.Creep char acteristicsand time-dependentcreepmodel oftunnel lining structure concrete[J].Mechanics of Time-Dependent Materials，2021，25（3）：365-382.

[2]MEISQ，WANGYF，ZOURF，etal.Creep of con crete-filled steel tube considering creep-recovery of the concrete core [J]. Advances in Structural Engineering， 2020，23（5）：997-1009.

[3]KHABAZ-AGHDAMA，BEHJATB，SILVALF MDA，et al. A new theoretical creep model of an epoxygraphene composite based on experimental investigation： Effect of graphene content [J]. Journal of Composite Materials，2020，54（18）： 2461-2472.

[4]LIXL，ZHANGXY，CHENJZ，et al.The mechanical properties and creep behavior of epoxy polymer under the marine environment： A molecular dynamics investigation [J]. Materials Today Communications，2O21，28： 102737.

[5]LI XL，ZHANG X Y，CHEN J Z，et al.Uniaxial tensile creep behavior of epoxy-based polymer using molecular simulation [J].Polymers，2021，13（2）： 261.

[6] TENG JG，CHEN JF，TAO Y.FRP-strengthened RC structures [M].2nd edition. UK：John Wileyamp; Sons，2016.

[7]GUENANECHE B，KROUR B，TOUNSI A，et al. Elastic analysis of interfacial stresses for the design of a strengthened FRP plate bonded to an RC beam [J]. International Journal of Adhesion and Adhesives，2010， 30（7）： 636-642.

[8]FAHSI B，BENRAHOU K H，KROUR B，et al. Analytical analysis of interfacial stresses in FRP-RC hybrid beams with time-dependent deformations of RC beam [J].Acta Mechanica Solida Sinica，2Oll，24（6）： 519-526.

[9]FAHSI B，BENRAHOU KH，KROUR B，et al. On the effect of time-dependent deformations on the interface behaviour of RC beams strengthened by FRP plates [J]. Journal of Adhesion Science and Technology，2011， 25（15）： 1909-1924.

[10]HAMED E， CHANG Z T. Effect of creep on the edge debonding failure ofFRP strengthenedRC beams：Athe oretical and experimental study [J]. Composites Science and Technology，2013，74： 186-193.

[11] HAMED E，BRADFORD M A. Creep in concrete beams strengthened with composite materials [J]. European Journal of Mechanics - A/Solids，2Ol0，29（6）： 951-965.

[12]HAMED E， BRADFORD M A. Flexural timedependent cracking and post-cracking behaviour of FRP strengthened concrete beams [J]. International Journal of Solids and Structures，2012，49（13）： 1595-1607.

[13] ZHANG C，WANG JL. Viscoelastic analysis of FRP strengthened reinforced concrete beams [J]. Composite Structures，2011， 93（12）： 3200-3208.

[14] ZHANG C，WANG JL. Interface stress redistribution in FRP-strengthened reinforced concrete beams using a three-parameter viscoelastic foundation model [J]. Com posites Part B： Engineering，2012， 43（8）： 3009-3019.

[15]TENGJG，ZHANGJW，SMITHST.Interfacial stresses in reinforced concrete beams bonded with a soffit plate： A finite element study [J]. Construction and Building Materials，2002，16（1）： 1-14.

[16]陳敬智.碳纖維網格加固二次受力鋼筋混凝土梁抗彎 性能研究[D].長沙：長沙理工大學，2021. CHEN J Z. Study on flexural behavior of reinforced concrete beams strengthened with carbon fiber mesh under secondary load [D]. Changsha： Changsha University of Scienceamp; Technology，2021. （in Chinese）

[17]王梓鑒.考慮二次受力影響的CFRP加固鋼筋混凝土 梁抗彎性能試驗研究與數值模擬[D].江蘇揚州：揚州 大學，2019. WANG Z J. Experimental and numerical study of flexur al behavior of reinforced concrete beams strengthened with CFRP considering secondary forces [D]. Yangzhou，Jiangsu：Yangzhou University，2Ol9.（in Chinese）

[18]邢建國.CFRP布加固二次受力鋼筋混凝土梁受彎性能 試驗研究[D].長春：吉林建筑大學，2019. XING JG.Experimental study on flexural behavior of reinforced concrete beams strengthened with CFRP sheets under secondary load [D]. Changchun： Jilin Jianzhu University，20l9.（in Chinese）

[19］陶甲.預應力FRP網格加固RC梁抗剪性能研究[D].南 京：東南大學，. TAO J. Study on shear behavior of RC beams strength ened with prestressed FRP grids [D]. Nanjing： Southeast University，. （in Chinese）

[20] HADJAZI K， SEREIR Z， AMZIANE S. Creep response of intermediate flexural cracking behavior of reinforced concrete beam strengthened with an externally bonded FRP plate [J]. International Journal of Solids and Structures，2016，94/95： 196-205.

[21]歐陽煜，黃奕輝，錢在茲，等.玻璃纖維片材加固混凝 土梁的抗彎性能研究[J].土木工程學報，2002，35（3）： 1-6，19. OUYANGY，HUANGYH，QIANZZ，etal.The analysis of flexural behavior of reinforced concrete beams strengthened with glass fiber reinforced plastic sheet [J]. China Civil Engineering Journal，2002，35（3）： 1-6，19. （in Chinese）

[22]CHENGM，CHENJF，TENGJG.On thefinite element modelling of RC beams shear-strengthened with FRP [J].Construction and Building Materials，2012， 32：13-26.

[23] JIANG S Y，YAO W L，CHEN J，et al. Finite element modeling of FRP-strengthened RC beam under sustained load[J]. Advances in Materials Science and Engineering，2018， 2018（9）： 1-16.

[24] JIANG S Y，YAO W L， CHEN J， et al. Time dependent behavior of FRP-strengthened RC beams subjected topreload： Experimental studyand finite element modeling [J]. Composite Structures， 2018，200： 599-613.

[25]劉忠.混凝土徐變收縮的遞推AEMM法[J].重慶交通 學院學報，1994，13（Sup1）： 31-34. LIU Z. AEMM method with rccurrence relations in analysis of creep and shrinkage [J]. Journal of Chongqing JiaotongInstitute，1994，13（Supl）：31-34. （inChinese）

[26] Guide for modeling and calculating shrinkage and creep in hardened concrete：ACI 2O9.2R-O8 [S]. Farmington Hills，Michigan： American Concrete Institute. 2008.

[27]CHOIKK，TAHA MMR，MASIA MJ，etal. Numerical investigation of creep effects on FRPstrengthened RC beams [J]. Journal of Composites for Construction，2010，14（6）：812-822.

[28]SMITHST，TENGJG.Interfacial stresses inplated beams [J]. Engineering Structures，200l，23（7）： 857-871.

[29]WANG JL. Cohesive zone model of intermediate crackinduced debonding of FRP-plated concrete beam [J]. International JournalofSolidsand Structures，2OO6，43 （21）：6630-6648.

[30]HADJAZIK，SEREIRZ，AMZIANES.Cohesive zonemodel fortheprediction of interfacial shearstresses ina composite-plate RC beam with an intermediate flexural crack[J].Composite Structures，2Ol2，94（12）： 3574-3582.

（編輯胡玲）