淺析如何通過(guò)“一題多變”模式培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

該體系通過(guò)會(huì)學(xué)（認(rèn)知策略）、學(xué)會(huì)（概念內(nèi)化）、會(huì)用（遷移創(chuàng)新）三階遞進(jìn)機(jī)制，整合元認(rèn)知監(jiān)控模塊，形成“策略指導(dǎo)一變式訓(xùn)練一自主調(diào)控”的教學(xué)閉環(huán)[。其中，“一題多變”作為核心實(shí)施路徑，采用條件轉(zhuǎn)換、維度拓展、情境遷移等結(jié)構(gòu)化變式策略，配合思維可視化工具與元認(rèn)知日志，系統(tǒng)培育創(chuàng)新思維品質(zhì)。該模式通過(guò)認(rèn)知沖突引發(fā)（變式層級(jí)設(shè)計(jì)）與自我調(diào)節(jié)強(qiáng)化的雙重作用機(jī)制，有效破解“高練習(xí)低產(chǎn)出”的教學(xué)困境，為數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力培養(yǎng)提供了可遷移的實(shí)踐模型[2]同時(shí)為學(xué)校教育品牌的塑造和推廣提供科學(xué)依據(jù)和實(shí)踐指導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)校教育的持續(xù)發(fā)展與提升。

“一題多變”訓(xùn)練式課堂教學(xué)，使師生始終圍繞“三會(huì)一自”教學(xué)新模式，學(xué)生在課堂上始終保持思維的連續(xù)性、跳躍性、創(chuàng)造性；同時(shí)使學(xué)生能夠在靈活、科學(xué)變化的情境中，綜合運(yùn)用比較、歸納、演繹等方式，歸納出由一個(gè)知識(shí)點(diǎn)生成的多個(gè)問(wèn)題情境之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而達(dá)到拓展思維、升華知識(shí)之目的[3]。“一題多變”訓(xùn)練式課堂教學(xué)，不僅有利于學(xué)生從題海中解脫出來(lái)，更可以通過(guò)解一題，通一片，提高一大步，收到以少勝多，減負(fù)提質(zhì)的良好效果，使學(xué)生獲得“四基”：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；同時(shí)通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，發(fā)展“四能”：發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力。“一題多變”是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、應(yīng)用創(chuàng)新能力、樹(shù)立學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑之一。下面是對(duì)“一題多變”式課堂教學(xué)的一些實(shí)施建議，供大家參考。

一、圍繞“三會(huì)一自”教學(xué)新模式，強(qiáng)化“一題多變”訓(xùn)練式課堂教學(xué)

（一）精選教材中的問(wèn)題原型，構(gòu)建解決原生問(wèn)題的策略與方法（構(gòu)建知識(shí)模型），感受知識(shí)“會(huì)學(xué)、學(xué)會(huì)”之美

基于“三會(huì)一自”教學(xué)框架，構(gòu)建了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知發(fā)展模型，秉持著以不變應(yīng)萬(wàn)變，抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題原型內(nèi)在的東西（問(wèn)題的本質(zhì)）。在會(huì)學(xué)階段，教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立、自主地反復(fù)閱讀、仔細(xì)觀察、明確疑問(wèn)、探索知識(shí)鏈接、獨(dú)立嘗試解決問(wèn)題，結(jié)合合作探究機(jī)制促進(jìn)策略生成（社會(huì)建構(gòu)主義理論支持）。在學(xué)會(huì)階段，學(xué)生體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、生成過(guò)程，并鼓勵(lì)學(xué)生自我反思、總結(jié)、歸納、提煉、準(zhǔn)確構(gòu)建知識(shí)模型。在會(huì)用階段，建立“基礎(chǔ)應(yīng)用一條件轉(zhuǎn)換一跨域遷移”三級(jí)變式遷移訓(xùn)練體系（參照變式教學(xué)理論），運(yùn)用情境重構(gòu)和參數(shù)變異策略，有效促進(jìn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的層級(jí)發(fā)展，注重在實(shí)際情境中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，讓學(xué)生熟練、準(zhǔn)確構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)模型，抓住解決同類(lèi)多變題目的精髓、靈魂，靈活運(yùn)用該模型解決同類(lèi)問(wèn)題，從而讓學(xué)生感受到知識(shí)“會(huì)學(xué)、學(xué)會(huì)、會(huì)用”的快樂(lè)與幸福。

基于變式教學(xué)理論與認(rèn)知彈性理論，擬定典型問(wèn)題情境，學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)模型，整個(gè)過(guò)程充分體現(xiàn)了學(xué)生“三會(huì)一自”的課堂學(xué)習(xí)方式。通過(guò)自主設(shè)計(jì)復(fù)合型問(wèn)題原型（如融合多變量條件與動(dòng)態(tài)約束的函數(shù)極值問(wèn)題），系統(tǒng)生成階梯式變式題組，形成“基礎(chǔ)鞏固一條件轉(zhuǎn)換一跨域遷移”的漸進(jìn)訓(xùn)練路徑。在教學(xué)實(shí)施中，教師引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題本質(zhì)出發(fā)，通過(guò)“個(gè)人備課一集體備課一個(gè)人備課”三環(huán)節(jié)，形成導(dǎo)學(xué)案。通過(guò)導(dǎo)學(xué)案引發(fā)學(xué)生閱讀情境、觀察圖形、標(biāo)識(shí)條件、提出疑問(wèn)、思考鏈接、探究方法、交流所得、生成數(shù)學(xué)知識(shí)模型，整個(gè)流程體現(xiàn)出學(xué)生“會(huì)學(xué)”的學(xué)習(xí)本領(lǐng)，達(dá)到了“學(xué)會(huì)”的基本目的。在此過(guò)程中學(xué)生完整經(jīng)歷了“獨(dú)立探究一合作論證一反思優(yōu)化”的認(rèn)知循環(huán)。系統(tǒng)性變式訓(xùn)練能夠有效激活認(rèn)知彈性：通過(guò)調(diào)整問(wèn)題參數(shù)打破思維定式，借助跨領(lǐng)域情境建立知識(shí)聯(lián)結(jié)網(wǎng)絡(luò)，最終實(shí)現(xiàn)從“解題技能”向“思維素養(yǎng)”的轉(zhuǎn)化。本文以“函數(shù)極值問(wèn)題”為切入點(diǎn)，結(jié)合教育理論與教學(xué)實(shí)踐，系統(tǒng)闡述變式設(shè)計(jì)的科學(xué)依據(jù)、實(shí)施策略及其對(duì)教學(xué)實(shí)踐的引導(dǎo)價(jià)值，使學(xué)生在自主探究中完成知識(shí)模型的建構(gòu)與迭代。

例如：

1．認(rèn)知遷移

從二次函數(shù) f（x）=x²-4x+3 的極值求解，延伸至帶絕對(duì)值函數(shù) f（x）=∣x²-4x+3∣ 的極值分析。學(xué)生需理解極值的本質(zhì)是函數(shù)變化趨勢(shì)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，而非單純依賴(lài)導(dǎo)數(shù)公式。

知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)：絕對(duì)值符號(hào)改變了函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性，但極值的幾何意義（如頂點(diǎn)、拐點(diǎn)）依然可通過(guò)分段討論或圖像分析揭示。

變式設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生往往在單一情境中掌握知識(shí)，卻難以遷移至新問(wèn)題。通過(guò)變式訓(xùn)練，學(xué)生能夠剝離問(wèn)題表象，聚焦核心模型，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的跨情境應(yīng)用。

2.最近發(fā)展區(qū) 分層遞進(jìn)的思維挑戰(zhàn)

基礎(chǔ)層：求二次函數(shù)在無(wú)約束條件下的極值；

進(jìn)階層：限定定義域 x∈[0，5] ，分析區(qū)間端點(diǎn)對(duì)極值的影響；

拓展層：引入多變量函數(shù) f（x，y）=x²+y² ，研究約束優(yōu)化問(wèn)題。

知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)：從單變量到多變量，學(xué)生需將極值的概念從“導(dǎo)數(shù)為零”擴(kuò)展至“梯度為零”，理解優(yōu)化問(wèn)題的統(tǒng)一框架。

變式設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展需要階梯式挑戰(zhàn)。通過(guò)分層次設(shè)計(jì)變式，逐步提升問(wèn)題的復(fù)雜度，既能鞏固基礎(chǔ)，又能激發(fā)潛能。

3.問(wèn)題空間理論

在“拋物線形橋梁最高點(diǎn)”問(wèn)題中，添加“材料成本約束”或“抗風(fēng)穩(wěn)定性要求”，將純數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為工程優(yōu)化模型。

知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)：數(shù)學(xué)建模與跨學(xué)科知識(shí)的融合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)工具在解決實(shí)際問(wèn)題中的核心作用。

變式設(shè)計(jì)意圖：傳統(tǒng)教學(xué)常局限于封閉問(wèn)題，而現(xiàn)實(shí)問(wèn)題具有開(kāi)放性與復(fù)雜性。通過(guò)拓展問(wèn)題的條件與結(jié)論，學(xué)生能夠適應(yīng)多元問(wèn)題場(chǎng)景。

（二）強(qiáng)化“一題多變”訓(xùn)練式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，感受問(wèn)題變化、靈活應(yīng)用模型、師生快樂(lè)成長(zhǎng)之美

這里的“一題多變”訓(xùn)練式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，是課題組在數(shù)學(xué)課堂上經(jīng)常采用的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練方式。首先厘清問(wèn)題原型中已經(jīng)知道了什么（題設(shè)）、不知道什么（結(jié)論）、用什么樣的方法去解決（解法）、滲透的知識(shí)模型等，然后教師通過(guò)科學(xué)、合理地變化問(wèn)題原型的題設(shè)、結(jié)論、方法、背景等，設(shè)計(jì)出新穎的變式題目或題組，讓每個(gè)學(xué)生的思維始終處于變化的問(wèn)題環(huán)境之中，盡情地享受思維能力在變化中成長(zhǎng)的樂(lè)趣，以達(dá)到觸類(lèi)旁通，以不變應(yīng)萬(wàn)變之功效。以下是筆者在“一題多變”訓(xùn)練式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，三個(gè)變式訓(xùn)練的具體做法，僅供大家參考。

1.變式I題設(shè)變化型：“題設(shè)變化型”就是通過(guò)對(duì)問(wèn)題原型的已知條件進(jìn)行增加、減少、調(diào)換等，問(wèn)題原型的結(jié)論卻保持不變的一種變式做法。這種變式是最簡(jiǎn)單、最平常、采用最多的一種變化方式，大家可以通過(guò)下面的例子具體感受一下。

題目設(shè)計(jì)：通過(guò)調(diào)整參數(shù)、定義域或函數(shù)形式，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)核心模型的理解深度。教師引導(dǎo)過(guò)程如下：

步驟1：呈現(xiàn)原型問(wèn)題（如求二次函數(shù)極值）；

步驟2：逐步引入變式（如添加絕對(duì)值、分段函數(shù)）；

步驟3：組織小組討論，對(duì)比不同變式的解法異同，總結(jié)極值的本質(zhì)特征。

案例1：將函數(shù) f（x）=x² 擴(kuò)展為 f（x）=x²+ sin x 引導(dǎo)學(xué)生思考非多項(xiàng)式函數(shù)的極值分析方法（如數(shù)值逼近或圖像輔助）。

知識(shí)點(diǎn)遷移：打破學(xué)生對(duì)“極值僅存在于可導(dǎo)點(diǎn)”的刻板印象，理解極值可能出現(xiàn)在不可導(dǎo)點(diǎn)或通過(guò)數(shù)值方法逼近；

思維訓(xùn)練：通過(guò)非光滑函數(shù)的分析，培養(yǎng)學(xué)生借助圖像、分段討論等輔助工具解決問(wèn)題的能力；

舉一反三：為后續(xù)學(xué)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)等領(lǐng)域的極值問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。

案例2：限定二次函數(shù) f（x）=ax²+bx+x 的定義域 x∈[0，5] ，討論區(qū)間端點(diǎn)對(duì)極值的影響。

知識(shí)點(diǎn)遷移：明確極值的全局性與局部性差異，強(qiáng)化“極值需同時(shí)考慮臨界點(diǎn)與邊界”的思維；

思維訓(xùn)練：通過(guò)定義域約束，引導(dǎo)學(xué)生從“純代數(shù)計(jì)算”轉(zhuǎn)向“區(qū)間最值分析”，銜接優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用；

舉一反三：為后續(xù)學(xué)習(xí)約束優(yōu)化提供直觀認(rèn)知。

案例3：在拋物線 y=x² 上求點(diǎn) P ，使PA+PB 最小 （A（0，1），B（1，0））

變式設(shè)計(jì)：將拋物線改為橢圓 ，點(diǎn)B改為橢圓焦點(diǎn) 。

設(shè)計(jì)意圖與教學(xué)價(jià)值：通過(guò)幾何圖形的變換，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)極值問(wèn)題的共性解法一利用對(duì)稱(chēng)性將折線轉(zhuǎn)化為直線距離。這種題設(shè)變化強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)“軸對(duì)稱(chēng)一最短路徑”模型的普適性認(rèn)知。

2.變式ⅡI結(jié)論變化型：布魯姆教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)指出，問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)從記憶層面向分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造層面遞進(jìn)。“結(jié)論變化型”就是對(duì)問(wèn)題原型的結(jié)論進(jìn)行增加、減少、遞進(jìn)式強(qiáng)化等，這也是經(jīng)常采用的題目變式，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。在提問(wèn)學(xué)生問(wèn)題時(shí)，注重遞進(jìn)式，比如“若導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不是極值點(diǎn)，函數(shù)圖像可能具有什么特征？”“極值的存在性是否依賴(lài)函數(shù)的連續(xù)性？”此類(lèi)問(wèn)題，或者開(kāi)展“數(shù)學(xué)辯論賽”，讓學(xué)生圍繞極值的必要條件展開(kāi)論證。

案例1：針對(duì)函數(shù) f（x）=x³ ，討論其在 x=0 處的導(dǎo)數(shù)為零但無(wú)極值的現(xiàn)象。

知識(shí)點(diǎn)遷移：揭示“導(dǎo)數(shù)為零是極值的必要條件而非充分條件”，引入高階導(dǎo)數(shù)判別法的必要性；

思維訓(xùn)練：通過(guò)反例分析，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑結(jié)論的批判性思維，避免機(jī)械套用公式；

舉一反三：為泰勒展開(kāi)、多項(xiàng)式函數(shù)性質(zhì)分析提供邏輯基礎(chǔ)。

案例2：提出命題“若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無(wú)極值，則其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間不變號(hào)”，要求學(xué)生驗(yàn)證或反駁。

知識(shí)點(diǎn)遷移：關(guān)聯(lián)單調(diào)性與極值的關(guān)系，深化對(duì)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)增減性的理解；

思維訓(xùn)練：通過(guò)構(gòu)造反例（如 f（x）=x³ 在區(qū)間［-1，1]），培養(yǎng)學(xué)生逆向思考能力；

舉一反三：為后續(xù)學(xué)習(xí)微分方程穩(wěn)定性、函數(shù)形態(tài)分析提供方法論支持。

案例3：基礎(chǔ)結(jié)論：求最短路徑的位置與長(zhǎng)度。遞進(jìn)結(jié)論：增加參數(shù)分析（如“當(dāng)點(diǎn)B在橢圓上移動(dòng)時(shí)，最短路徑如何變化”），或拓展至三維空間（如“在拋物面 z=x²+y² 上，求點(diǎn)P，使 PA+PB 最小”）。

典型案例：在立體幾何中，將平面最短路徑問(wèn)題拓展為曲面極值問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用空間向量投影法求解。

3.變式IⅢ情境變化型：“情境變化型”就是以數(shù)學(xué)問(wèn)題原型為依托，將問(wèn)題原型植入身邊的實(shí)際生活情境，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活密不可分，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，大家可以通過(guò)下面的例子具體感受一下。

實(shí)踐引導(dǎo)：

跨學(xué)科項(xiàng)目：設(shè)計(jì)“物流路徑優(yōu)化”課題，結(jié)合圖論與導(dǎo)數(shù)知識(shí)；

角色扮演：學(xué)生扮演工程師或經(jīng)濟(jì)學(xué)家，用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題。

案例1：在“疫情、醫(yī)療資源分配”問(wèn)題中，利用線性規(guī)劃與極值理論平衡效率與公平性。

知識(shí)點(diǎn)遷移：將極值問(wèn)題擴(kuò)展至多變量、多約束場(chǎng)景;

思維訓(xùn)練：通過(guò)真實(shí)數(shù)據(jù)建模，培養(yǎng)學(xué)生從“數(shù)學(xué)抽象”到“實(shí)際決策”的轉(zhuǎn)化能力；

舉一反三：為運(yùn)籌學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的資源分配問(wèn)題提供通用分析框架。

案例2：將極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為光的反射路徑問(wèn)題（如“光線從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)鏡面反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求入射點(diǎn)位置”）。

（三）圍繞“三會(huì)一自”教學(xué)新模式，強(qiáng)化“一題多變”訓(xùn)練式課堂教學(xué)總結(jié)與反思

本研究始終圍繞“三會(huì)一自”教學(xué)新模式，積極探索、反復(fù)實(shí)踐、不斷歸納，揭示了“一題多變”訓(xùn)練式課堂的三個(gè)關(guān)鍵實(shí)施維度。并對(duì)“一題多變”訓(xùn)練式課堂教學(xué)做出如下總結(jié)與反思：

1.“一題多變”訓(xùn)練式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注對(duì)“變式”問(wèn)題的選取、設(shè)計(jì)，變式設(shè)計(jì)的質(zhì)量直接影響教學(xué)成效，教師需把握“階梯性”與“生長(zhǎng)性”原則。選擇的問(wèn)題要具有針對(duì)性、趣味性、適合性。只有不斷挖掘題目?jī)?nèi)涵與本質(zhì)，分析問(wèn)題中知識(shí)之間的鏈接，才能設(shè)計(jì)出適合學(xué)生的變式題目或題組；只有不斷提高教師的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，才能做到“因材施教”，讓不同層次、不同類(lèi)型的學(xué)生都能夠有所發(fā)展。

2.在“一題多變”訓(xùn)練式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師課下應(yīng)是問(wèn)題的設(shè)計(jì)者，課上應(yīng)是學(xué)生的“引導(dǎo)”者，學(xué)生才是課堂上的主動(dòng)表演者，只有這樣才能真正激發(fā)、挖掘?qū)W生內(nèi)在的潛能，進(jìn)一步提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3．“一題多變”訓(xùn)練式課堂教學(xué)的歸宿，是賦予學(xué)生透過(guò)題目表象抓本質(zhì)的能力，以恒定的知識(shí)根基靈活化解千變?nèi)f化的問(wèn)題，不斷增強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力和創(chuàng)造能力。教師應(yīng)當(dāng)充分利用學(xué)生對(duì)變式學(xué)習(xí)的好奇心，促成學(xué)生挖掘問(wèn)題中的隱含條件和本質(zhì)特征，讓學(xué)生在變化中認(rèn)識(shí)不變的規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通，使其憑借扎實(shí)的底層邏輯，在不同題目中找到通解之道。

結(jié)束語(yǔ)

在“三會(huì)一自”教學(xué)模式實(shí)踐中，“一題多變”教學(xué)通過(guò)科學(xué)變式設(shè)計(jì)與情境化拓展，推動(dòng)學(xué)生從被動(dòng)解題轉(zhuǎn)向主動(dòng)探究，形成以不變應(yīng)萬(wàn)變的思維韌性。其核心在于以知識(shí)模型為錨點(diǎn)，通過(guò)問(wèn)題鏈的階梯式挑戰(zhàn)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能與自主學(xué)習(xí)能力。未來(lái)研究可進(jìn)一步探索變式教學(xué)與信息技術(shù)的深度融合，例如開(kāi)發(fā)自適應(yīng)變式題庫(kù)或虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，為核心素養(yǎng)培養(yǎng)注入新動(dòng)能。

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