從“一題多解”到“多題一解”

近年來數學教學要求充分考查學生的創新精神、數學素養與思維品質。要求教會學生用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界，真正將數學知識內化于心、外化于行[]。這種數學能力的培養，離不開日常學習中的有效訓練。在學生日常練習時，一題多解有助于加深知識點的理解并提升應用能力。與此同時面對應試壓力大、答題時間短的情形，教師應當引導學生選擇一題之中的最優解。而進一步來看，在教師完成系統的教學后，學生們要達到多題一解的水平，完成對于題目所考查內容的整體性認知，在紛繁復雜的背景中理解數學思維的本質。從一題多解到多題一解應當成為中學生數學學習的必由之路，也應成為教師授課的關鍵所在。

筆者結合近幾年教學的研究實踐經驗，發現在數學學習與教學當中存在的一些問題。一是在數學學習中，學生面臨諸多問題。處于初學階段時，學生對基本概念、定義、定理的理解浮于表面，存在知識盲點，公式運用僵化。二是在教學過程中，部分教師受課時緊張等因素制約，對題目思路的分析不夠深入、預留的思考時間有限，針對學生多角度思維能力的強化訓練不足，授課后期亦缺乏系統總結。三是在運算方面，相當一部分學生缺乏對運算途徑的分析預估能力，存在嚴重的思維定式，難以靈活選擇恰當的運算方法。這些問題相互疊加，導致學生在選擇適當的解題方法時存在缺陷，在考試時形成障礙，容易丟分。據此，筆者貫穿高中數學學習的各個階段，提出如下提升高中數學素養的對策。

一、以創新思維為綱：從初學知識到一題多解

2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》，“雙減”政策正式落地實施。這一政策的核心并非單純削減作業數量，而是對教學模式進行深度引導，旨在克服機械重復作業、摒棄無效作業，強化能夠滿足學生個體差異的個性化、差異化作業，推動作業減量與轉型，切實減輕學生學業負擔，全面提升作業質量和效能[2]。

高中數學作為基礎教育的重要學科，在“雙減”政策背景下，更需積極探索創新教學方式。創新思維在提升學生數學素養方面的重要性愈發凸顯，已然成為培養學生數學素養的關鍵路徑。新課標對高中數學教學提出了明確要求，著重強調培養學生的創新思維能力，這一能力不僅契合當下教育改革的趨勢，更是學生未來發展的必備素養。

具體到高中數學學習中，培養創新思維意味著鼓勵學生運用敏銳的眼光，從細微之處尋找解題的突破口，進而嘗試用一種或多種解法來解決問題。這一過程不僅有助于學生深化對數學知識的理解，提升知識運用的靈活性，還能在探索多種解法的過程中，鍛煉邏輯思維、發散思維和批判性思維，為學生從初學知識逐步走向一題多解的學習進階奠定堅實基礎。

在高一高二初學相關知識點時，由于缺乏對相關知識的系統性整體性認知，學生們難以獲得充足的思路，對于同一問題無法進行不同角度的思考。但教師應當在日常教學中向學生提出相關的要求。這種練習并不只限于對不同模塊知識的串聯，在同一模塊間也可以進行多解的練習。例如在解決立體幾何問題時，可以鼓勵學生建立不同的空間直角坐標系進行求解，并觀察哪一種建系更有利于計算；或是在用幾何法證明線線或線面之間的關系時，也應當鼓勵學生運用不同的方法，如平移、割補等，加深學生對于幾何體的理解。

在解答解析幾何問題時，假設不同形式的直線也大有講究。例如，已知的三個頂點坐標分別為A（8，5），B（4，-2），C（-6，3），分別求AC邊上的中線所在直線方程、AB邊上高線所在直線方程、BC邊垂直平分線所在方程。可以看出，求AC邊上的中線可利用AC邊上的中點與B點，應采用兩點式；求AB邊上高線所在直線方程、BC邊垂直平分線所在方程時可利用斜率與直線上一點坐標，采用點斜式，可幫助學生更快完成計算。教師在初期教學該知識點時可以通過不同形式的直線方程進行解題，帶領學生感受直線方程的特點與優勢。相信在教師的引領下經過多種方法的探索，同學們會對解法選擇有更深刻的理解。

在學生經歷了一定階段的數學學習，積累了較為豐富的知識、認識工具逐步完備后，教師在課堂教學過程中，應充分發揮引導作用，積極推動學生從多元視角探尋問題的解決方案。以數學學科的多個重要知識板塊為例，在立體幾何領域，幾何法、建系與向量法為解決空間幾何問題提供了不同的思考路徑；在解三角形部分，余弦定理與向量法的運用展現了不同的解題思路；而在導數題中，參變分離、放縮、隱零點等方法，為處理導數相關問題提供了多樣的策略，這些均是極具探究價值的解題思路。

從教學意義層面分析，一題多解可作為夯實學生知識基礎的關鍵手段，通過運用多種方法解決同一問題，學生能夠更為深入、全面地掌握各類解題方法，強化對知識點的理解與運用能力，進而深度剖析題目背后所蘊含的命題邏輯。同時，在深入理解命題邏輯的基礎上，學生能夠更為敏銳地察覺自身知識體系中的缺漏與不足，及時進行查缺補漏，逐步構建起系統、完善的問題解決方法體系。

綜合來看，經過上述的學習訓練過程，學生的思維能力與解題技巧得到有效提升，促使學生在面對具體問題時，能夠在較短時間內迅速判斷并篩選出最優解題方案。這一能力的獲得，不僅是學生在一題多解學習階段的重要成果，更是連接一題多解與多題一解兩個學習階段的關鍵橋梁，為學生進一步掌握數學知識的內在聯系，實現從具體題目解法到通用解題策略的跨越奠定堅實基礎。

二、架反思學習之梁：從多解到一解

在學生歷經長期的“一題多解練習”，成功掌握多種解題方法與思路后，教師引領學生實現向“多題一解”的重大轉變顯得尤為關鍵。這一轉變過程中，從眾多不同解法中精準探尋出最優解，實現從“多解”到“一解”的跨越，是極為重要的環節。在日常練習中，學生通過一題多解拓寬了解題思路，加深了對知識點的理解。然而，在考場這種時間緊迫、氛圍緊張的特殊環境下，如何在有限時間內高效完成答題，獲取最佳成績，成為學生面臨的重要挑戰。此時，追求“最優解”就顯得至關重要。所謂最優解，并非僅僅指能夠得出正確答案的解法，而是在綜合考慮解題時間、計算復雜度、邏輯嚴謹性等多方面因素后，選擇的最具性價比的解題方式。接下來，筆者將以2020年高考數學全國I卷第21題為例，展開深入細致的闡述。

該題目給定函數 f（x）=e^x+ax²-x ，它是一個指數函數、二次函數和一次函數的組合。題目要求當 a?0 時， ，求 a 的取值范圍。針對這一問題，有四種具有代表性的解法，每種解法都有其獨特之處。

第一種解法通過變量分離得到 ，將問題轉化為求新函數的最大值。通過分析導數的變化規律，確定參數應在特定臨界值之上。這種方法步驟清晰，只需兩次求導即可找到關鍵極值點。第二種常規解法需要進行三次導數運算，通過分段討論參數范圍來驗證條件，雖然理論上可行但計算步驟繁雜，容易在考場造成時間浪費。第三種方法通過必要性檢驗鎖定關鍵點，但在確保條件充分性時存在不確定性，可能產生疏漏。第四種解法采用變量代換將原式轉化為指數函數與三次多項式的關系，題目的不等式等價于 。通過分析導數符號的變化確定參數范圍，雖然思路新穎但計算量較大。

通過對上述四種解法的詳細對比可以清晰地發現，第一種解法憑借其簡潔明了的推導過程，以及能夠明確判斷出臨界值的優勢，在眾多解法中脫穎而出，最契合考試場景的實際應用需求。不僅是在解決導數大題時需要對不同解法進行權衡，在應對選擇題等小題型時，也要善于運用幾何直觀等快捷方法，盡可能減少不必要的代數運算，快速得出正確答案。

這個案例同時反映出，解題后的反思過程具有舉足輕重的意義。學生需要深入剖析不同解法背后的思維路徑，仔細比較各種解法在運算復雜度以及邏輯嚴密性方面的差異，通過不斷的反思與總結，逐步培養出在眾多解法中優選最佳策略的能力。這種反思不僅能夠顯著提升解題效率，更能夠促使學生深化對數學本質的理解，為今后應對更為復雜多變的數學問題積累寶貴的思維經驗。因此，教師在日常教學過程中，應當著重強調這種從發散思維到收斂思維的轉化過程，積極引導學生建立科學合理的方法論體系，助力學生在數學學習的道路上穩步前行，不斷提升數學素養與綜合能力。

三、以融會貫通為旨：從“尋找最優解”到“多題一解\"

多題一解是掌握數學底層邏輯的要求。要求學生突破題目表面的差異，抓住數學知識的本質聯系，將不同題目納入到統一的解題框架中。這種能力的培養不僅有助于學生更高效地解決具體數學問題，還能使學生構建起更加系統、完整的數學知識體系，提升對數學學科的整體認知水平，真正實現從“知識學習”到“能力運用”的轉變，達到對數學學科深度理解和靈活運用的學習目標。《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）強調結合學生的實際情況，制定具體、明確、可操作的教學目標。教學目標既要涵蓋核心素養維度，又要體現層次性和差異性，以滿足不同學生的學習需求。同時提高學生綜合運用知識解決問題的能力，關注數學各內容主線之間的關聯，理解數學各分支之間的聯系，在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯，考查內容強調基礎性、綜合性[3]。尤其在高三的復習階段，教師不僅要指導學生獲得辨識最優解的能力，也應充分地對所學進行統一性的整理歸納，從而達到對方法的多樣性整體性認知。

首先，在審題時，要強調對題目條件的等價處理，運用好條件邏輯的知識進行轉化。例如在處理函數問題時，條件中“任意”與“存在”的邏輯關系常常轉化為最大值與最小值的比較。從幾何角度，在圓與直線的問題中，利用向量垂直條件，將其轉化為圓心到直線距離與圓半徑的關系，進而解決幾何問題。揭開題目的“偽裝”，這也是多解歸一的第一步。

其次，在教學中重視對問題的表述進行深入的分析，突出主干知識，重點內容考查，強調知識之間的內在聯系。在教學時避免一味地強調所謂“大招”，而應注重通性通法的綜合應用與日常的歸納總結。高中數學知識內容較多，同時各知識點之間有著較強的關聯性，所以，學生在進行學習時存在一定的難度。教師根據難度與教學進度現實搭建知識框架，引導學生意識到不同知識點之間的關聯，培養學生良好的學習能力和知識運用能力，促使其將所學的數學知識靈活地運用到實際中，并鼓勵學生在進行復習時，自發自覺地開始總結知識體系與框架。

這種總結不局限于知識內在邏輯與聯系，也應對程序性、方法性知識進行總結，達成方法遷移的目的。應當注重以下問題：一是強化知識梳理與題型對比，有意識地針對易混淆的知識點和題型開展對比、歸納與整理工作；二是著重滲透問題所蘊含的數學思想方法，讓學生清晰洞察不同解法背后的數學原理；三是深入思考知識的考查方式及可能的變化形式，高度重視問題變式。教師在授課時也應及時準確掌握學生個體的學習差異，并依據這些差異靈活調整教學節奏與方法，隨時進行歸納總結。同時，鼓勵學生組織數學興趣小組自主收集題目并進行“多題一解”的整理，學生在日常練習中，將自己認為能用相同方法解決的題目整理到一起，詳細分析每道題的條件、問題以及運用的核心方法，通過這種自主探索與總結，加深對數學底層邏輯的理解，真正掌握“多題一解”的精髓，從而在面對各類數學問題時，能夠迅速識別其本質，靈活運用已掌握的方法，提升解題效率與數學綜合素養。

結束語

高中數學學習從基礎邁向深入，“一題多解”到“多題一解”的進階之路意義深遠。在教學實踐中，不少同學常覺無從下手，那么從“一題多解”到“多題一解”的訓練方法應當被采用。學習初期，鼓勵“一題多解”，以創新思維引領，幫助學生深入理解知識點，串聯不同模塊知識，搭建個人知識框架。隨著學習推進，反思學習是從多解走向一解的關鍵。學生篩選最優解，不僅是應試技巧的提升，更是思維深度與嚴謹性的鍛煉。復習階段，以融會貫通為目標實現“多題一解”，是掌握數學底層邏輯的核心。教師引導學生分析問題、歸納通性通法，打破知識壁壘，把握問題本質。從“一題多解”到“多題一解”，融合了創新思維、反思學習與融會貫通。此過程助力學生攻克數學難關，提升數學素養，培養邏輯與綜合能力，為未來奠基。高中數學教師應關注學生需求，優化教學；學生也應積極踐行，不斷探索進步。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]張影.中辦、國辦印發《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》[J.留學，2021（15）：15.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.