Copula函數分析江蘇儀邗地區降雨-潮位的條件風險概率

Analysis of Condition Risk Probability for Rainfall-Tidal Level in Yi-Han Region of Jiangsu Province Using Copula Functions

WANG Haihang，LI Fan，QIN Zhiqiong， JIANG Xiaolei （College of Hydraulic Science and Engineering，Yangzhou University，Yangzhou 225o09，Jiangsu，China）

Abstract：To predict the flood risk of the Yangtze River main stream during the period of high water level overtopping， basedonthe maximum 3drainfallandtidalleveldataof Yi-HanRegion，JiangsuProvinceduring 1965—2O21，amarginal distribution functionwas constructedandthe parameters were accurately estimated by maximum likelihood estimation method.Archimedean Copula function，eliptic Copula function and PlackettCopula function were selected，and the combinedprobabilitydistributionmodelofrainfall-tidelevelwasconstructedandtheconditionalriskprobabilityofraifalltide level was calculated basedon the graph analysisand root mean square eror.Theresults show that：Copula function caneffectivelyfitthejointprobabilitydistributionofrainfall-tidelevel，andrevealthecorelationbetweenrainfalland tide level. When the recurrence interval of heavy rain is 20a ，the probability that the tide level in the same recurrence period exceeds the design value is 3.35% ，which is less than the probability of the tide level in the same recurrence period，indicating that the rainfall affects the local tide level and there is a correlation between them.

Keywords： rainfall； tidal；edge distribution function； Copula function；conditional probability of risk

我國是遭受暴雨洪澇等災害侵襲最頻繁的國家之一，據統計，大約有2/3的國土面積曾經遭受不同類型以及不同危害程度的洪水災害[1]，其中，城市暴雨洪澇災害給城市的經濟社會發展和人民的正常生產生活造成了巨大的損失，嚴重阻礙經濟的發展，影響正常的社會秩序，危害人民生命和財產安全，因此，防范城市暴雨洪澇災害對于確保城市的可持續發展和人民的福祉十分重要[2]。在災害防范中，通常要考慮多種致災因子可能獨立發生或以組合方式發生的情況。在傳統的水文頻率分析中，通常采用單變量頻率分析的方法，根據各變量的觀測值序列，分別確定其發生的頻率，然后結合歷史暴雨、高潮水位遭遇（雨潮遭遇）情況，人為確定各變量組合方式，用于雨潮遭遇的概率分析計算。暴雨、風暴潮作為非獨立的水文事件，通常受到共同的天氣系統影響，具有一定的內在關聯性，尤其是在沿海城市，海洋性氣候系統變化經常發生全流域暴雨洪水，同時十有工瀝不小里增八帕海什瓜泰渤增小時影響。

為了分析沿海城市在感潮河段遭遇暴雨和高潮水位的情況下面臨的洪澇風險，國內外學者們進行了大量相關研究。研究人員使用多種統計學方法來計算雨潮遭遇的概率。其中，Copula函數因不限制邊際分布類型且具有函數類型豐富的特點而被廣泛應用于洪水[3-4]、徑流量[5]、風暴潮[6]、降水[7-8]等聯合概率的分析研究中。基于函數構造的不同，Copula函數可以被分為許多種，針對不同的環境條件，可通過擬合優選的方式選取不同的Copula函數分析研究。許瀚卿等°采用Copula函數定量評估了不同聯合重現期下降水和風暴潮增水組合的復合洪澇風險，并發現GumbelCopula分布適用于沿海雨潮災害事件，FrankCopula分布適用于粵港澳大灣區附近。畢然等[10]基于永翠河流域 1964—1987、1995—2014年共44a逐月降水徑流數據，利用非參數法確定水文要素邊緣分布，運用3種ArchimedeanCopula 函數構建降雨-徑流的聯合分布，選取最優Copula函數并開展流域內降雨與徑流的相關性分析。周曉等[以廣東省陽江地區為例，從暴雨災害造成的損失出發，選取陽江市內20個站點各要素的最優邊緣分布函數，并引入Copula 函數分別構建各個降雨指標與暴雨導致的災害損失之間的二維聯合風險概率。石贊贊等[12基于廣東省深圳市赤灣水文站1967—2018年年最大1d降雨量及其相應潮位資料，采用Copula函數構建年最大1d降雨量和其相應潮位的聯合分布模型，計算分析了深圳市雨潮遭遇的多種風險概率，得出了深圳市雨潮遭遇的風險較小的結論。甘富萬等[13]以廣西壯族自治區北海市鐵山港地區為例，基于Copula 函數分析不同暴雨、潮位組合下的同現風險概率，為鐵山港防洪治理規劃提供科學依據。徐宗學等[14選取大沙河上游西瀝水庫站和深圳灣赤灣潮位站，基于Copula函數對廣東省深圳市洪潮組合開展風險分析，并驗證設計規劃時風險概率的重要性。王磊之等[15]基于Copula函數構建了廣東省深圳市暴雨-潮位聯合分布模型，對比分析不同時期雨潮遭遇的聯合風險的變化。以上研究表明，Copula函數對雨潮遭遇風險的研究具有良好的理論基礎，為其在不同地區的雨潮遭遇的相關工程實踐研究與應用提供了理論依據。

為了預測長江干流高水位頂托時的洪澇風險，同時也為Copula函數在雨潮遭遇的聯合概率問題中的應用提供參考，本文中利用省儀邗地區1965—2021年之間3d面降雨量大于 150mm 時的降雨和同期對應潮位數據，分析Copula函數構建聯合概率分布函數的有效性，并利用優選的Copula函數計算雨潮遭遇概率和各種重現期的條件風險概率。選用ArchimedeanCopula函數、橢圓Copula函數、PlackettCopula函數，并采用圖形分析法和均方根誤差法進行優選，增強了聯合概率分布模型的可靠性。

邊緣分布函數構建

1. 1 邊緣分布函數種類

在我國，Pearson-III型（P-III）分布因在擬合降雨、流量、潮位等多種水文要素中具有良好的效果而被廣泛使用，但這并不代表該分布一定適用于所有地區的雨量序列。為了得到更為準確的理論分布函數，須要選擇多個分布函數進行比較并從中優選，因此，除P-IⅢI分布以外，本文中還選擇了在降雨序列分布函數擬合中常用的Gamma分布、Weibull分布和Lognormal分布[1作為初選的邊緣分布函數，不同邊緣分布函數的密度函數和累積密度函數見表1。

1. 2 邊緣分布函數參數估計

1.2.1 極大似然法

不同分布函數的參數采用極大似然法[17]進行估計，以 Gamma 函數為例，若總樣本為 x₁，x₂，…， x_n ，則似然函數可表示為L（x₁，x₂，…，x_n;α₀，β₀）= （1）式中： α₀ 為尺度參數； β₀ 為形狀參數； i 為樣本序號； n 為樣本個數。

對式（1）兩端取對數，可得似然函數

注： x 為函數樣本； α 為Pearson-III函數的形狀參數； β 為Pearson-III函數的尺度參數； a₀ 為Pearson-II函數的位置參數;（204號 α₀ 為Gamma函數的尺度參數； β₀ 為Gamma函數的形狀參數； k 為Weibull函數的形狀參數； λ 為 Weibull函數的比例參數；σ 為Lognormal函數的形狀參數; μ 為Lognormal 函數的尺度參數。

對 求導，可得

令 等于0，即可求得參數 α₀，β₀ 。

利用極大似然法計算得到最大3d面降雨量和潮位的各邊緣分布函數分布的參數值見表2。

注： @α 為Pearson-II 函數的形狀參數。 ②β 為Pearson-III函數的尺度參數。 ③a₀ 為Pearson-III函數的位置參數。 ④α₀ 為Gamma函數的尺度參數。 ⑤β₀ 為Gamma函數的形狀參數。 ⑥k 為 Weibull函數的形狀參數。 ⑦λ 為Weibull函數的比例參數。 ⑧σ 為Lognormal函數的形狀參數。 ⑨μ 為Lognormal函數的尺度參數。

1.2.2 邊緣分布函數擬合優度檢驗

采用Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢驗對邊緣分布函數進行擬合優度檢驗，其中K-S檢驗的統計量可表示為

式中： F（x_i） 為樣本 x_i 理論分布； D 為實際觀測值，當 為臨界統計值，其中 α 為置信水平，一般取0.05）時數據符合理論分布。

所有通過擬合優度檢驗的理論分布函數根據計算理論分布與經驗分布之間的均方根誤差（RMSE）[18]進行優選，即

式中： R 為擬合曲線上觀測值與理論值之間的RMSE， R 越小，表示擬合效果越好； o_e 為經驗頻率對應的觀測值； M_e 為經驗頻率對應的理論值，

除了利用RMSE優選分布函數外，赤池信息準則（AIC）也被廣泛應用于分布函數的優選。AIC的計算公式為

式中： A 為AIC 的值； F_e（x_i1，x_i2，…，x_im） 和 C（u_i1 ，u_i2，…，u_im? 分別表示經驗頻率值與理論頻率值， m 為函數的維數； g 為模型參數的個數。

根據表3中K-S檢驗結果，所有備選分布的檢驗值均大于0.05，符合擬合檢驗標準。根據理論分布函數參數繪制分布函數曲線，并同時比較實測數據經驗頻率點與理論分布函數，如圖1所示。從中可以看出，除P-IⅢI分布外，其余3種邊緣分布函數擬合效果差別不大，無法精確估計最優分布，所以還須要計算擬合優度。根據RMSE和AIC計算結果（表4）可知，最大3d面降雨量與對應的同期潮位的最優理論分布均為Gamma分布。

2 聯合分布函數構建

利用Copula函數可以將多個邊緣分布函數聯結起來，得到它們的聯合分布。本文中選用Archi-medeanCopula函數、橢圓Copula函數、PlackettCopula函數作為邊緣分布函數的聯結函數，構建聯合概率分布模型[19]。Copula 函數參數采用極大似然法進行估計，再通過計算RMSE優選出最佳函數。

2.1 Copula函數的分類

2.1.1 Archimedean Copula 函數

ArchimedeanCopula函數具有構造簡單、應用方便等特點，一直是水文計算中應用最為廣泛的函數[20]。常用的 Archimedean Copula 函數有GumbelCopula函數、FrankCopula函數、ClaytonCopula函數以及AMHCopula函數。設 θ 為Copula函數的參數， u，v 分別為降雨、潮位的頻率，不同ArchimedeanCopula函數的表達式如下。

Frank Copula函數：

GumbelCopula函數：

Clayton Copula 函數：

C（u，v）=（u^-θ+v^-θ–1）^-1/θ°

AMH Copula 函數：

2.1.2 橢圓Copula函數

橢圓Copula函數是通過構造橢圓分布而成，最早是由Fang 等[21]提出，主要包括Gaussian Copula函數以及 t? -Copula函數，不同橢圓Copula函數的表達式如下。

Gaussian Copula 函數：

式中： φ^-1（?） 為正態分布的反函數； Σ 為 ?_m 階矩陣； 為積分變換矢量。

t -Copula函數：

式中 Tv^-1（?） 為單變量 χ_t 分布的逆函數。

2.1.3 Plackett Copula函數

PlackettCopula函數是一種基于交乘比率的函數，在二維情況下，該函數的表達式為

式中 ψ_uv 為PlackettCopula 函數的隱函數。

2.2 Copula函數參數估計

采用極大似然估計法對上述7種Copula函數進行參數估計，再利用直觀圖形和RMES分析優選聯合分布函數。不同Copula函數理論頻率與經驗頻率的擬合結果如圖2所示，采用極大似然法計算得到的7種Copula函數的參數值和RMSE值見表5。從圖、表中可以看出，各分布函數的理論頻率與經驗頻率呈現出較為一致的分布特征，但圖形之間差距較小，難以比較，而相比之下，AMHCopula函數的RMSE值最小，因此本文中選用AMHCopula函數作為聯合分布函數來計算最大3d面降雨量和相應潮位的條件風險概率。AMHCopula函數的聯合分布值如圖3所示。從圖中可以方便查出不同組合下降雨、潮位的聯合分布值。

3 條件風險概率分析

3.1 條件風險概率

本文中采用條件風險概率，即在最大3d面降雨量大于某一設計值的條件下對應的同期潮位超過設計值的概率，構建降雨-潮位風險組合模型，條件風險概率 p 的公式為

3.2 降雨-潮位組合風險分析

由式（9）條件風險概率計算公式，計算最大 3d 面降雨量和相應潮位的條件風險概率，結果見表6，風險概率對應的重現期分布見圖4。從計算結果中可以看出，在已知最大3d面降雨量超過設計值的條件下，相應潮位大于設計值的概率要低于獨立情況下潮位大于設計值的概率。如在已知發生重現期為20a的暴雨時，同期的重現期為 20a 的潮位超過設計值的概率為 3.35% ，低于重現期為 20a 的潮位本身發生的概率。重現期為2、5、10a時的情況同樣如此，其中重現期同為 5a ，即概率同為 20% 時的差異最大，條件風險概率為 15.38% ，低于潮位獨立時發生的概率 20% ，說明降雨會對當地的潮位造成影響，兩者之間存在相關性，并非是完全獨立的個體，因此在實際評估降雨-潮位組合風險時，必須要考慮兩者之間的互相影響的因素，不能將它們當作2個獨立變量。

4結論

本文中從長江干流高潮位的遭遇概率與地區降水量的角度出發，并通過Copula函數對降雨、潮位進行組合分析，得到主要結論如下：

1）由于Copula函數不受邊緣分布函數的限制，便于構造聯合分布，因此被優選用于計算雨-潮聯合分布。本文中基于Copula 函數構建省儀邗地區1965—2021年間最大3d面降雨量與同期相應潮位的聯合分布，并通過比較ArchimedeanCopula函數中的不同函數的擬合精度，最終選取AMHCopula函數來構建聯合分布，通過選用多種Copula函數進行擬合優選，進而提高了條件風險概率計算結果的準確性與有效性。

2）從重現期分別為2、5、10、20a時降雨-潮位條件風險概率計算結果可以看出，在已知最大3d面降雨量超過設計值的條件下，相應潮位大于設計值的概率要低于獨立情況下潮位大于設計值的概率，表明降雨會對當地的潮位造成影響，兩者之間存在相關性，因此，在實際評估降雨-潮位組合風險時，有必要考慮兩者之間的互相影響，而不是將它們當作2個獨立變量。

本文中的研究成果可為儀邗地區未來的雨潮遭遇風險提供預測，為該地區針對預防暴雨和潮水上漲所帶來的風險進行工程規劃，進而為該地區在江淮高水位時保障沿江地區經濟社會和人民生命、財產的安全提供參考。

參考文獻：

［1］張宇，楊令強，梁延濤，等．不同暴雨條件下扇形和羽形流域的洪水規律[J]．濟南大學學報（自然科學版），2024，38（2）：149.

［2］張達，石云，公佩堯，等．城市雨澇災害應急響應組織協調能力評價研究：以鄭州‘ 7?20^? ”特大暴雨為例[J]．中國防汛抗旱，2024（5）：1.

[3] 趙玲玲，張鑫輝，劉昌明，等．華南中小流域設計暴雨洪水同頻率檢驗與重現水平推算[J]．河海大學學報（自然科學版），2023，51（2）：157.區洪水風險[J]．濟南大學學報（自然科學版），2023，37（5）：527.

［5］段勇，許春萌．多時間尺度下大沽夾河流域河流徑流小波變換分析[J]．水利技術監督，2024（4）：162.

[6]GRANT A， COOKER M J. Reductions in water level over coastalwetlands during storm surges and tsunamis： an analytical resultanda critical reviewof the literature[J]．Coastal Engineering，2023，183：104328.

[7]De LUCA G，RIVIECCIO G. Modeling and simulating rainfall andtemperature using rotated bivariate copulas[J].Hydrology，2023，10（12） ： 236.

［8］宋亞軒，索梅芹，劉麗博.Copula 函數在漳河上游聯合干旱特征分析中的應用[J].水電能源科學，2023，41（10）：1.

［9］許瀚卿，譚金凱，李夢雅，等．中國沿海地區雨潮復合災害聯合分布及危險性研究［J]．地理科學進展，2022，41（10）：1859.

［10］畢然，孫穎娜．基于Copula 函數的永翠河流域降雨徑流特征分析[J]．黑龍江大學工程學報（中英俄文），2023，14（3）：90.

[11］周曉，吳瑞雅，郭澤勇，等．基于C-Vine-Copula 函數的暴雨致災危險性聯合分布研究[J].氣象與環境科學，2023，46（5）：104.

［12］石贊贊，姚航斌，萬東輝，等．基于Copula 函數的深圳市雨潮遭遇風險分析[J]．人民珠江，2021，42（12）：24.

［13］甘富萬，邵帥杰，黃宇明，等．基于Copula 函數的鐵山港雨潮遭遇組合分析[J]．中國農村水利水電，2022（6）：84.

[14］徐宗學，任梅芳，陳浩．我國沿海城市洪潮組合風險分析[J]．水資源保護，2021，37（2）：10.

[15］王磊之，崔婷婷，李笑天，等．降水變化條件下沿海地區暴雨-潮位遭遇聯合風險[J].水資源保護，2022，38（4）：110.

［16］劉萍，李帆，潘奇鑫，等．基于Copula函數的二維極端降水聯合概率特征分析[J]．水文，2023，43（1）：35.

[17］李敏，張銘鋒，朱黎明，等．基于貝葉斯理論的水文干旱預測[J]．水文，2023，43（3）：34.

[18］馮剛．珠江流域潯江防洪保護區洪水風險與保險研究［D].西安：西安理工大學，2023.

[19］孫治才，阿長松，孫巖，等．基于Copula函數的金沙江流域云龍與松華壩水庫入庫徑流豐枯遭遇分析[J]．中國農村水利水電，2024（7）：10.

［20］姚禮雙，彭楊，廉博勛，等．三峽區間年最大降雨與上游洪水遭遇風險研究[J]．水力發電學報，2023，42（12）：48.

[21]FANG H B，FANG K T，KOTZ S. The meta-elliptical distribu-tionswith given marginals[J]. Journal of Multivariate Analysis，20m871）1

（責任編輯：劉飚）