強力車齒加工齒輪螺旋線方向波紋誤差建模與分析

中圖分類號：TH132 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.06.005

0 引言

強力車齒，又稱強力刮齒、剮齒加工、滾插加工，是一種新興的齒輪加工方法，具有高效率、高精度、綠色干切等優勢，正成為工業機器人諧波/RV減速器、汽車減速器上復雜精密齒輪加工的首選工藝[1-2]。

近年來，由于車齒工藝在中小模數齒輪的加工效率、加工精度上要明顯優于滾齒和插齒，車齒技術成為齒輪技術領域的研究熱點。目前，國內外學者在車齒刀具設計理論[3-和車齒切削成形機制[7-0][9]99方面已開展了較多研究。隨著車齒技術的深入研究，部分學者開始關注車齒工藝參數對齒面精度的影響。例如，刀具安裝軸交角、刀具進給策略、刀具或工件安裝偏心誤差均會對齒面質量產生影響[10-12]。其中，刀具與齒輪的相對偏心誤差對齒面精度影響最大，會導致被加工齒輪齒面上呈現規律性的波紋誤差。GUO等139-3140、REN等14113-174和TRUBSWETTER等[15]725在研究中證實了這一點，他們通過建立模型，分析了偏心誤差對齒面偏差的影響規律，指出調整刀具進給速度可以減小偏心誤差對齒面偏差的影響。然而，降低刀具的軸向進給速度雖能減小齒面誤差，但是也會極大地降低加工效率，成倍增加加工時間。GUO等[16]547-549研究發現，選擇合適的刀具齒數也能有效降低偏心誤差對齒面偏差的影響，但是僅適用于工件齒數與刀具齒數有合適的最大公約數的情況。

為了改善車齒加工中經常出現的齒輪螺旋線方向波紋誤差的問題，本文分析了車齒加工中螺旋線方向波紋誤差的產生原因，建立基于刀具安裝偏心誤差的螺旋線殘高差計算方法，研究刀具偏心誤差、刀具軸向進給量、刀具齒數與齒輪螺旋線方向誤差之間的影響規律，提出一種基于優選刀具齒數的齒輪螺旋線方向誤差控制方法。

1車齒加工原理

圖1所示為采用車齒加工內齒輪的數學模型。其中， S_sl（O_sl-x_sl ， y_sl ， z_sl ）、 S_s2（O_s2-x_s2 ， y_s2 ， z_s2） 分別為兩個固定的坐標系； S_w（O_w-x_w ， y_w ， z_w） 、 S_t（O_t-x_t ， y_t z_t 分別為與齒輪和刀具固連的坐標系，且其初始時刻分別與固定坐標系 S_sl（O_sl-x_sl ， y_sl ， z_sl） 、 S_s2（O_s2-x_s2 y_s2 ， z_s2 重合。 z_sl 軸與 z_s2 軸分別與齒輪和刀具的回轉軸重合，其夾角為刀具安裝角 Σ ： x_sl 、 x_s2 軸相重合，它們的方向為齒輪和刀具回轉軸線的最短距離方向，最短距離為 0_slO_s2 ，其值為齒輪與刀具之間的安裝中心距a 。車齒加工時，齒輪以勻角速度 ω_?1 繞軸 z_sl 旋轉，且繞 z_sl 軸的轉角為 φ_w ；刀具以勻角速度 ω₂ 繞軸 z_s2 旋轉，并以速度 u₀ 沿 z_sl 軸勻速移動，刀具繞 z_s2 軸的轉角為 φ_r ○

車齒加工斜齒輪時，由于刀具沿著工件軸向進給，工件需要通過附加轉速來滿足正確的嚙合關系。刀具角速度與工件角速度的關系式為

式中， z_t 為刀具齒數； z_g 為工件齒數； β_w 為工件螺旋角； m_n 為工件法向模數。

其中，刀具安裝軸交角 Σ 和安裝中心距 a 的計算式為

式中， β_ι 為刀具的螺旋角； r_pw?r_pt 分別為工件和刀具的節圓半徑；“ + ”表示工件為外齒輪；“-”表示工件為內齒輪。

根據齒輪幾何學原理[，交錯軸漸開線螺旋齒輪的兩個齒面 Π_? 和 Π₂ 在其瞬時接觸點處的公法線通過兩齒輪工作節圓柱的切觸點 P 。假設內齒輪的節圓半徑 r_pw 保持不變，而與內齒輪共軛的刀具應在它們的節圓處存在一個空間上相切的瞬心點，則該瞬心點始終位于嚙合節圓半徑為 r_pw 的圓柱體上。由此可知，與內齒輪相共軛的桶形共軛齒面的節點軌跡為一條空間曲線 l 令空間曲線l上任一點坐標為 Q（x_Q ，齒輪的齒面坐標點為 ， z_M） ， M 點的法線矢量為 ，則當 M 點旋轉運動至其法線矢量 與矢量 l_QM 相平行時，兩者滿足嚙合條件，即

由式（3）可以推導出嚙合方程組：

對于齒輪齒面 r_w（u，?θ） 而言，其齒形參數 u 已知，且車齒加工中刀具與齒輪滿足運動關系 φ_w=i₂₁?φ_t^° 其中， i₂₁ 為刀具與工件齒輪的傳動比。因此，通過方程（4）可以求解出滿足嚙合條件的一對參數 。將參數 ， φ_r ， φ_w） 由齒輪坐標系轉換到刀具坐標系，可以求解得到刀具共軛曲面 r_t

r_t=M_t-s2M_s1-s2^-1M_s1-wr_w（u，θ）

式中， ： M_s1-s2=Rot（i，Σ）Tran（i， a ）； 其中，i、 k 分別指刀具（或齒輪）沿 x 、 y 軸的矢量方向； Rot 和 Tran 分別指旋轉矩陣和平移矩陣。

最后，構建刀具結構前角為 γ_o 的前刀面方程A_e（γ_o） ，則前刀面 A_e（γ_o） 與刀具共軛曲面 r_t 的交線即為刀具前刀面刃形 r_e 。

2車齒加工螺旋線方向波紋誤差數學模型

2.1 波紋誤差原因分析

在車齒加工過程中，經常在齒輪螺旋線方向呈現出規律性的波紋誤差，而且這種波紋誤差很難通過調整切削工藝參數予以消除。研究[13135-3136[14172表明，該誤差產生的主要原因是受到機床傳動鏈誤差、夾具制造安裝誤差及齒壞定位基準誤差的影響，進而不可避免地產生了刀具與工件之間的相對偏心，這種相對偏心誤差會由于加工工藝參數或刀具齒數選擇不當而反映在被加工齒輪的齒面上。

圖2為含有刀具偏心誤差 e 的車齒加工示意圖。其中， Ψ_a 表示刀具與工件之間的實際安裝中心距； a^′ 表示刀具與工件之間的理論安裝中心距； e 表示刀具實際安裝中心與理論安裝中心之間的偏心誤差。刀具偏心誤差 e 在 x 軸方向會隨著刀具繞自身軸線的旋轉而發生周期性變化。同一個齒槽是由刀具在旋轉切削過程中使用不同偏心相位的刀齒加工出來的，導致在該齒槽表面產生有規律的波紋狀誤差。

圖3為在截面K上車齒刀具刀齒切削掃掠軌跡的局部放大圖， T_?1～T_?5 表示刀具刀齒在同一齒槽內多次掃掠形成的切削軌跡。圖3（a）所示為不含偏心誤差 e 的情況，刀具切削掃掠軌跡形成的螺旋線殘高差8僅取決于工件回轉1周時刀具沿軸向的進給量 f ， f 越大，則δ越大。圖3（b）所示為含有偏心誤差 e 的情況，刀具切削掃掠軌跡形成的螺旋線殘高差8不僅取決于刀具偏心誤差 e 的大小和刀具沿工件軸向的進給量 f ，還取決于刀具齒數與工件齒數之比，通常來說，e越大，則δ越大。

目前，為了避免車齒加工中產生較大的螺旋線方向波紋誤差，一般采用的方法是降低刀具的軸向進給速度。較低的刀具軸向進給速度雖然可以減小兩次相鄰進刀之間的殘高差，但會降低車齒加工效率，使加工時間成倍增加；同時，刀具軸向進給速度過低對刀具使用壽命不利。另一種方法是根據經驗試制不同齒數的車齒刀具，反復驗證齒面加工效果，以尋求合適的刀具齒數。但這種方法會增加刀具制造成本，而且刀具試制周期較長。

2.2波紋誤差數學模型

圖4所示為車齒刀具切削刃的掃掠軌跡。由圖4可知，在內齒輪的車齒加工過程中，由于刀具與齒面的旋轉展成運動，刀具切削刃沿空間的掃掠軌跡形成一系列的包絡曲線簇。TRUBSWETTER等[15]723在計算車齒加工的齒面形貌時，將刀具在齒面上所有的包絡曲面都計算出來，最后通過復雜的布爾運算來提取出包絡曲面的幾何邊界。雖然這種方法能精確獲得車齒加工的齒面形貌，但計算過程復雜，在實際工程應用中很難操作。

本文參考文獻[9]和文獻[18]中的車齒刀具切削刃掃掠軌跡簡化方法，將刀具在齒槽區域內的局部掃掠軌跡簡化成近似橢圓形狀，建立了刀具掃掠形成螺旋線殘高差的簡化模型，如圖5所示。盡管該簡化模型不能精確提取螺旋線方向誤差形貌，但仍能計算出與實際值吻合程度較高的螺旋線殘高差，可為工程上分析車齒加工螺旋線方向誤差提供一種快捷的計算方法。

根據上述分析，令簡化后的橢圓掃掠軌跡坐標點方程為

式中， a₁ 為橢圓長軸長度， a₁=r_a ； r_a 為刀具半徑；b₁ 為短軸長度， b₁=a₁?sinΣ; χ_t 為橢圓角度參數。

當無偏心誤差 e 時，由幾何關系可以得到，理論的螺旋線殘高差 δ 的計算式為

式中， f 為工件回轉1周時刀具沿軸向的進給量。

當有偏心誤差 e 時，刀具沿 x 方向的偏心量會隨著刀具旋轉而發生變化。不同刀齒對應的偏心量 e_i 可以表示為

由圖5中幾何關系，初始的兩次刀齒掃掠軌跡的交點坐標 可表示為

同理，相鄰兩次刀齒掃掠軌跡的交點坐標 （x_ki） y_ki） 可表示為

由方程組（9）可求解出初始的兩次刀具掃掠軌跡交點坐標的角度參數 t₀ ！ t_1（1） ，由方程組（10）可求解出任意相鄰兩次刀具掃掠軌跡交點坐標的角度參數t_{（i-1）（2）} 、 t_i（1） 。分別將角度參數代入到坐標點方程 （x_k1） ，y_k1 和 （x_ki ， y_ki） 中，可以計算出相鄰兩次刀具掃掠軌跡的殘高差大小，如圖6所示。

3車齒加工螺旋線方向誤差變化規律

3.1軸向進給量與螺旋線方向誤差

圖7所示為刀具軸向進給量對螺旋線方向誤差的影響。令刀具與齒輪的相對偏心誤差 e=0.01mm ，如圖7（a）所示，當刀具的軸向進給量 f=0. 1mm/r 時，螺旋線殘高差 δ=0.48μm ；如圖7（b）所示，當刀具的軸向進給量f =0.5mm/r 時，螺旋線殘高差 δ=12.47μm 如圖7（c）所示，當刀具的軸向進給量 f=0.9mm/r 時，螺旋線殘高差 δ=18.66μm 。由此可見，隨著刀具軸向進給量的增大，螺旋線殘高差逐漸增大，而且齒廓誤差的形狀也會隨著刀具的軸向進給量改變而發生變化。這表明，工程上采用降低車齒刀具的軸向進給速度的方法雖然可以顯著減小螺旋線殘高差，但是會大大增加加工時間。例如，圖7（a）中的軸向進給量 f=0. 1mm/r 與圖7（c）中的軸向進給量 f=0.9mm/r 相比，單個零件的加工時間相差了8倍。

3.2工件齒數與螺旋線方向誤差

事實上，在實際的車齒加工中，為了保證加工效率，刀具的每轉進給量一般不低于 0.3mm/r 。而且，當刀具裝夾完成后，在批量生產條件下極少再校正刀具的偏心誤差。因此，可供調整的參數僅有刀具齒數。令刀具與齒輪的相對偏心誤差 e=0.01mm ，可以得到不同齒數刀具加工同一齒輪 （z_g=72 ）的螺旋線殘高差，如圖8所示。由圖8（a）可知，當刀具齒數 z_t= 34時，螺旋線殘高差 δ=19.92μm ，螺旋線方向波紋誤差呈現出周期性，周期 T=5.1mm ；由圖8（b）可知，當刀具齒數 z_t=44 時，螺旋線殘高差 δ=8.15μm ，螺旋線方向波紋誤差的波形較雜亂，但根據波紋誤差的波形特點仍能辨識出其周期 T=3.3mm ；由圖8（c）可知，當刀具齒數 z_t=54 時，螺旋線殘高差 δ=7.0μm ，而且誤差波形非常有規律，周期 T=0.9mm 。上述分析說明，對于車齒加工來說，當工件齒數給定時，刀具齒數決定了螺旋線方向誤差大小、形狀和周期。因此，選擇合適的刀具齒數非常重要。

根據刀具齒數與齒輪齒數之間的關系，可以得到螺旋線方向波紋誤差周期的計算式。假設初始時刻刀具上編號為1的刀齒位于齒輪的1號齒槽內，當刀具旋轉 N_t 圈、齒輪旋轉 N_g 圈后，刀具上編號為1的刀齒再次切入齒輪的 1^′ 號齒槽內，則刀具與齒輪的旋轉關系須滿足

N_gz_g=N_gz_g

由式（11）可知，齒輪的旋轉圈數可表示為

車齒加工時，齒輪旋轉1周，刀具沿著齒輪的軸向進給 f 因此，波紋誤差周期 T 計算式為

式中， int（?） 為取整函數，即刀具旋轉圈數 N_t 從自然整數（1，2，3，…， k） 中取最小的整數使 的結果為整數。

4刀具齒數優化方法

根據螺旋線方向波紋誤差計算模型，可以得到齒輪齒數分別為72、79時不同齒數 （z_t∈[20 ，60]）刀具的螺旋線殘高差，如圖9所示。橫軸表示刀具齒數，縱軸表示由該刀具加工得到的齒輪螺旋線殘高差。其中，紅色“O”表示當齒輪齒數 z_g=79 時不同刀具齒數對應的螺旋線殘高差，藍色“*”表示當齒輪齒數 z_g=72 時不同刀具齒數對應的螺旋線殘高差。

由圖9可以看出，刀具齒數與齒輪齒數、螺旋線殘高差之間并無明顯的規律。盡管文獻[13]3141-3142和文獻[16]549-550給出了車齒刀具齒數的選擇原則，但是適用性差，不能根據工件齒數準確地確定最優的刀具齒數，尤其是當工件齒數為素數時，所提供的選擇最大公約數的方法已不再適用。例如，若工件齒數為79，刀具齒數與工件齒數并無最大公約數，刀具齒數與螺旋線殘高差之間關系雜亂無序，此時，刀具齒數的選擇就非常困難。

為了能夠根據齒輪齒數準確地選取最優的刀具齒數，本文提出一種用于強力車齒刀具的刀齒數目優選方法。圖10為車齒刀具刀齒數目優選方法流程圖。具體步驟如下：輸入工件齒數 z_g ；給定刀具齒數z_t 的選擇范圍 k∈[m ， n] ；遍歷所有刀具齒數，計算螺旋線殘高差 δ（k） ；由最小殘高差 min[δ（k） 得到最優刀具齒數z。

例如，當齒輪齒數 z_g=72 時，采用上述優選方法，得到刀具齒數 z₁=48 時，由該刀具加工得到的齒輪螺旋線殘高差 δ=0.51μm （圖9），其值在 z₁∈[20 60]內為最小的螺旋線殘高差。同樣，當齒輪齒數 z_g= 79時，采用上述優選方法，得到刀具齒數 z_t=58 時，由該刀具加工得到的齒輪螺旋線殘高差 δ=7.51μm （圖9），其值在 z_t∈[20 ，60]內為最小的螺旋線殘高差。

5 車齒加工試驗

為了驗證本文車齒加工齒輪螺旋線方向波紋誤差分析模型與刀具齒數優選方法的準確性，開展了車齒刀具切削試驗。表1和表2所示分別為用于車齒加工試驗的齒輪、刀具和加工工藝參數。

圖11為內齒輪強力車齒加工試驗圖例。試驗中采用的機床是德國Profilator車齒機床[圖11（a）]；車齒刀具法向模數 m_n=1.4468mm ，材料為W2Mo10Cr4Co8（AP涂層），3件刀具齒數分別為41[圖11（b）]、58、78；齒輪工件為內斜齒輪[圖11（c）]，法向模數 m_n=1.4468mm ，齒數 z_g=117 ，材料為 42CrMo 。由圖11（d）可以看出，當給定刀具與齒輪的相對偏心誤差 e=0.01mm ，采用齒數 z_t=41 的刀具加工得到的齒面有明顯的波紋狀誤差。

圖12所示為針對試驗中的齒輪工件 （z_g=117） ），根據螺旋線方向波紋誤差分析模型計算出的不同刀具齒數 ?z_t∈[30 ，90]）、軸向進給量 （f=0.12mm/r f=0.24mm/r ）下的螺旋線殘高差。圖13（a）、圖14（a）、圖15（a）為模擬計算出的螺旋線殘高差曲線圖。圖13（b）、圖14（b）、圖15（b）所示為車齒加工試驗得到的螺旋線方向誤差檢測報告。數值計算結果與試驗檢測結果的對比如表3所示。當刀具齒數 z₁=41 、 f= 0.12mm/r 時，如圖13（a）所示，模擬計算出的螺旋線方向誤差呈現出有規律的波紋形狀，在齒寬

40mm 以內的波峰-波谷數目是24個，齒面的 f_fβ 誤差平均值約為 6.7μm ；而由圖13（b）可以看出，齒輪螺旋線方向呈現出有規律的波形誤差，在齒寬 40mm 以內的波峰-波谷數目約為23個，與數值計算結果基本一致，左、右齒面的 f_g 誤差平均值均為 7.8μm 。考慮到在實際車齒加工過程中熱變形、切屑擠壓、機床運動精度、測量精度等其他因素的影響，可以認為試驗結果與計算結果基本吻合。

圖14所示為刀具齒數 z_t=58 、 f=0.12mm/r 時，模擬計算出的齒輪螺旋線方向誤差。數值分析結果中，其同樣呈現出有規律的波紋形狀，在齒寬 40mm 以內的波峰-波谷數目是6個，齒面的 f_fβ 誤差平均值約為 20μm[ 圖14（a）]；由圖14（b）所示檢測報告可以看出，左、右齒面的 誤差平均值均為 20.5μm 。考慮到其他因素的影響，在齒寬 40mm 以內的波紋形狀、峰值數目、峰值大小與計算結果基本一致。

圖15所示為刀具齒數 z₁=78 、 f=0.24mm/r 時，模擬計算出的齒輪螺旋線方向波紋誤差。其螺旋線方向波紋誤差較小，在齒寬 40mm 以內無法準確判斷波峰-波谷數目，但可以觀察到齒面的 f_fβ 誤差平均值約為 1.2μm[ 圖15（a）]；由圖15（b）所示的檢測報告可以看出，左、右齒面的 f_fβ 誤差平均值均為1.95μm 。考慮到其他因素的影響，在齒寬 40mm 以內的波紋形狀、峰值大小與計算結果基本一致。

6結論

建立了強力車齒加工中齒輪螺旋線方向波紋誤差分析模型，研究了刀具偏心誤差、刀具軸向進給量、刀具齒數與齒輪螺旋線方向波紋誤差之間的影響規律，提出了一種基于優選刀具齒數的齒輪螺旋線方向波紋誤差控制方法。主要結論如下：

1）在強力車齒加工中，刀具與齒輪的相對偏心誤差是產生齒輪螺旋線方向波紋誤差的主要原因。改變刀具的軸向進給量可以改變波紋形狀和螺旋線殘高差大小。降低刀具的軸向進給量雖然可以減小齒輪螺旋線方向誤差，但同時會降低車齒加工效率。

2）當齒輪齒數給定時，刀具齒數決定了齒輪螺旋線方向誤差大小、形狀和周期。傳統方法中，將與齒輪齒數有最大公約數的刀具齒數作為選擇依據在一些條件下已不適用，需要根據齒輪齒數篩選合適的刀具齒數。

3）設計了不同齒數的車齒刀具切削試驗方案，數值計算與試驗檢測結果具有較好的一致性。這表明，簡化的齒輪螺旋線方向誤差分析模型和刀具齒數優選方法可以降低車齒加工中螺旋線方向波紋誤差。

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Modeling and analysis of tooth deviations for manufacturing gears using power skiving

GUO Erkuo12LIU Chang1LIU Shulong1YUAN Yayun3 （1.School ofMechanical Engineering， Jiangsu University， Zhenjiang2120l3， China） （2.Changzhou Engineeringand Technology Institute of Jiangsu University，Changzhou 213164，China） （3.Ever Sharp ToolsCo.，Ltd.，Jiaxing ，China）

Abstract：[Objective]Power skiving isanew method inthe manufacturingofcylindrical gears，whichhas significant advantages such ashigh eficiencyand high precision.Inordertoaddessthe issueofcircularerrors that occuron geartooth surfaceinskiving，amethodwas proposedtominimizetoothdeviations byoptimizingthenumberoftoolteth.[Methods]By analyzingthecausesoftothdeviationsbasedonmeshingtheoryforcrossedhelical gearsandconsideringkinematicrelationin gearskiving，amathematical model incorporating tooleccentricityerorwasestablished.Theindividualimpactsof tool eccentricity error，axial feedrate，tool toth numberongear toothdeviations werethoroughlydiscussed.Amethodology was suggestedforcontrolingtothdeviationsthroughoptimalselectionofthenumberoftoolteeth.[Results]Numericalcalculation and test results show that this method can significantly reduce the circular errors on gear tooth surface.

KeyWords：Cylindrical gear;Power skiving;Tool design;Lead deviationof gears