有限生成模上映射圖的自同構

中圖分類號：0153 文獻標識碼：A 文章編號：1673-260X（2025）06-0007-05

由代數結構定義的各種圖，如與向量空間、模、環和群相關的圖[-8是研究代數圖論的熱點。關于有限域上的辛空間、正交空間或酉空間上的圖及其自同構群也有多位學者研究[9-13]。Wang研究了向量空間的變換圖[12.13]，計算得出該變換圖的結構參數，如直徑、支配數和自同構等，提出關于向量空間的線性泛函圖的自同構問題，同時得到向量空間上對偶圖的支配數與自同構刻畫。本文主要研究 Z_m 上的有限生成模上映射圖 G（M） 的自同構。

1預備知識

圖 G=（V，E） 由頂點集 V 和邊集 E 組成，其中 V 表示圖中頂點的有限非空集， E 表示邊的集合。 （v） 表示 v∈V 的度，即與 v 相鄰的所有頂點組成的集合的基數。圖 G=（V，E） 被稱為具有頂點二分成 V= X∪Y 的二部圖，如果圖的每條邊的一端在 X ，而另一端在Y，其中 X 和 Y 互不相交。子集 D 是圖 G 的頂點集 V 的子集，如果 中的每個頂點都與 D 的至少一個頂點相鄰，這樣的子集取最小的基數為支配數，稱子集 D 為支配集。對于頂點集為 V=X∪ Y 的二部圖 _G，Y 中的任何頂點與 X 的子集 Z 中的至少一個頂點相鄰，則 X 的子集 Z 被稱為是 Y 的支配集，并且該二部圖中 Y 的支配數是 Y 的支配集的最小基數。如果 u 和 σ_v 是圖中的相鄰頂點，則寫為 u～v 。對于正整數 k ，如果對于每個 v∈V ，若每個頂點的度都滿足 ，則圖 G=（V，E） 被稱為是 k -正則圖。對于正整數 m_?n ，完全二部圖 K_m，n 是頂點二分為 V=X∪Y 的二部圖，使得 ∣X∣=m ∣Y∣= n ，并且對于每兩個頂點 x∈X，y∈Y，x 與 y 是相鄰的，即 X 和 Y 中的所有頂點都相互連接。對于兩個簡單的非空圖 G=（V，E），G^′=（V^′，E^′） ，如果存在一一對應的對應關系 ρ：V?V^′ ，使得對于每一對 x，y∈ X，x，y 在 G 中相鄰當且僅當 ρ（x） 和 ρ（γ） 在 G^′ 中相鄰 ?_Sρ 被稱為從 G 到 G^′ 的圖同構，圖 G=（V，E），G^′= （V^′，E^′） 被稱為同構。如果 ρ 是圖 G 到 G 的圖同構，則 ρ 被稱為圖 G 的自同構。由非空子集 A?V 誘導的圖 G=（V，E） 的子圖由 ?A gt;表示。

我們假設 Z_m 是一個剩余類環， M₀ 是剩余類環Z_m 上的有限生成模，設 T₀ 是 M₀ 到 Z_m 的所有線性映射的集合。

設 M₀ 是剩余類環 Z_m 上的有限生成模，則 M₀ 可以分解為有限個循環子模的直和，即

其中， α_i（1?i?n） 分別是每個循環子模的生成元，任何元素 α∈M₀ 都能被寫為 ，其中a_i∈Z_mo （20

對于元素 ，考慮映射 f_u：M₀?R 滿足對任意 有， f_u（x）=u₁x₁+u₂x₂+…+ u_nX_n ，顯然 f_u 是 M₀ 上的線性映射。

對于每個 u，x∈M₀，f_u（x）=u?x ，即有限生成模 M₀ 中元素 u 和 x 的標準內積。此外，若將 M₀ 中元素視為 n×1 矩陣，如 u=[u₁u₂…u_n]^T ，則 ，即兩個矩陣 u^T 和 x 的乘積，其中 u^T 是 u 的轉置。

定義 2.1 M₀ 是剩余類環 Z_m 上的模，加法定義為 f_u+f_v=f_u+v ，對于任意 r∈Z_m，u，v∈M₀ ，定義乘法為rf_u=f_nu （204號

定義2.2（映射圖）設 n?2 為整數， Z_m 是一個剩余類環， M₀ 為剩余類環 Z_m 上的有限生成模， T₀ 是有限生成模 M₀ 到剩余類環 Z_m 的所有線性映射的集合。用 G（M） 表示 M₀ 的映射圖，是一個二部圖，其頂點集 V 被劃分為 V=M∪T 并且邊集中的每條邊一端在 M 而另一端在 是所有非零元素的集合， 是 M₀ 上所有非零線性映射的集合，其中兩個頂點 f_u∈T，v∈V 是相鄰的，當且僅當f_u（v）=0 。

引理2.3 G（M） 的每一個頂點的度是 m^（n-1）-1 ，因此 G（M） 是一個 m^（n-1）-1- 正則圖。

證明設 u∈M 是任意元素，則線性映射 Z_m 是 Z_m. -模同構。因此商模 和 Z_m 是 Z_m -模同構。由同構基本定理， 包含 m^（n-1）-1 個元素。因此 而對于 ?v∈M，v～fu 當且僅當 fv～u 因此 從而 G（M） 的每一個頂點的度均為 m^（n-1）-1 ，因此 G（M） 是一個m^（n-1）-1 -正則圖。

3 孿生點和自同構

對簡單圖 G=（V，E） ，設 A 為頂點集 V 的非空子集，定義 A 的鄰集為 N（A）={x∈V}|x～a} ，當 A={a} 時，記為 N（a） 。如果 x 和 y 有相同的鄰集，即 N（x）=N （y） ，則 x 和 y 被稱為孿生點。定義 V 中的二元關系R 為 xRy ，當且僅當 N（x）=N（y） ，即 xRy 當且僅當 x 和 y 是孿生點， R 是 V 中的等價關系。設 τ 是 G 的頂點集上的映射，保持了 V 的每一個等價類，并且充當每個等價類的置換。因此 τ（x）～τ（y） 當且僅當 x～y ，從而 τ 是圖 G 的自同構，稱為 G 的孿生點置換。在本節中，刻畫了圖 G（M） 的孿生點類，孿生點類在自同構刻畫和 G（M） 的自同構群的基數中起關鍵作用。

引理3.1向量 u，v∈M 是圖 G（M） 的孿生點，當且僅當 ^u，v 是線性相關的。

證明設 _u，v 是線性相關的，則存在非零元素 ，使得 u=rv ，那么 u^T 和 v^T 是等價矩陣，因此 u^Tx=0 和 v^Tx=0 在有限生成模 M 中具有相同的解。因此 N（u）=N（v） ，即向量 u，v∈M 是圖 G（M） 的孿生點。相反的，設向量 u，v∈M 是圖 G（M） 的孿生點，那么 N（u）=N（v）， 因此， u^Tx=0 和 v^Tx=0 在有限生成模M 中具有相同的解。因此矩陣 u^T 和 v^T 是行等價的。這意味著對于非零元素 使得 u=rv ，所以^u，v 是線性相關的。

注3.2在本文中， 表示有限生成模 M 的所有循環子模的集合Σ完全包含m-1 個元素，并且每個 S∈Σ 都由 m-1 個非零向量組成。對于 S∈ Σ，M 也是所有 s 的不交并。在本文中，對于任意的A?M ，記 F_A={f_u|u∈A} 。經分析可知， F_s 是 T₀ 中不含零線性映射的循環子模。

由引理3.1，得到以下結論。

引理3.3以下幾個結論成立：

（1）G（M） 中頂點 u，v∈M 是孿生點當且僅當存在一個元素 S∈Σ ，使得 u，v∈S 。（2）T 中兩個頂點 f_u，f_v∈T 是孿生點當且僅當 u ，v∈M 是孿生點。（3）對于每個 S∈Σ a∈S 當且僅當 N（a）=N（S） 當且僅當 N（F_S）=N（f_a） 。（4）對每個 S₁，S₂∈Σ 當且僅當 N（S₁）≠ N^*S₂） 。（5）對于每個 S∈Σ ， G（M） 的子圖 ?S∪N（S）? 是一個同構于 K_{m-1，m^n-1-1} ）的完全二部圖。

證明設 S∈Σ ，那么 s 中任意兩個元素 u 和v 都是線性相關的，由引理3.1可知， s 的所有元素都具有相同的鄰集，即 s 的所有元素都是孿生點，故以上結論都成立。

下面主要刻畫 G（M） 的所有自同構的結構。首先指出下面這個圖所需要的兩種類型的自同構。

（1）對 Z_m 上的任何 n×n 可逆矩陣 P ，設 χ_P 是圖G（M） 的頂點集上的映射，使得：

對任何u，v∈M，Xp（U）=P和xpf）=fp）u。

假設 u，v∈M ，那么 χ_P（f_u）（χ_P（v））=f_{（P^-1）^Tu}（P_v）=u^TP^-1 （P_v）=u^Tv=f_u（v） 。因此 f_u（v）=0 當且僅當 χ_/（f_u）=（χ_/R（v））=0 所以 χ_P 是圖 G（M） 的一個自同構，我們說它是由矩陣 P 誘導的 G（M） 的正則自同構。

（2）對于 Z_m 的任何自同構 π ，擴展 π 到 G（M） 的頂點如下。

對于每個 viα;∈M，可以定義π（ν）=∑ （v_i）α_i ，并且對于每一個 u∈M ，定義 π（f_u）=f_π（u） ，那么可以看出這個在 G（M） 的頂點上的擴展 π ，是圖 G （M） 的一個自同構，稱之為圖 G（M） 的環自同構 π 的延拓。

注3.4定義集合 Σ 和集合 N Σ} 。因此，通過引理3.3（4）和注

引理3.5設 ρ：V?V 是 G（M） 的頂點集 V 上的一個置換，使得對于所有 H∈Σ ， （ρ（H），ρ（N（H）））， {（S，N（S））|S∈Σ} ，則 ρ 是圖 G（M） 的自同構。

證明該假設意味著對于所有 H∈Σ ， N（ρ（H）） （2Γ=ρ（N（H）） 都成立。設對 u，v∈M，f_u～v ，我們聲明 ρ（f_u）～ ρ（v） 。由于 f_u（v）=0 ，因此存在一個唯一的 H∈Σ ，使得 v∈H 并且 f_u∈N（H） 。根據引理3.3（5），對于任意S∈Σ ，子圖 ?S∪N（S）? 與完全二部圖 K_{m-1，m^n-1-1} 是同構的。通過以上假設， （ρ（H），ρ（N（H）））∈{（S，N（S））|S∈ Σ} 。因此，存在一個元素 S∈Σ ，使得 ρ（H）=S，ρ（N（H）） =N（S） 。因此 ?S（v）∈S 且 ρ（f_u）∈N（S） 。所以 ρ（f_u）（ρ（v））= 0，該結論得到證實。相反，對于兩個元素 u，v∈M 設 ρ（f_u）（ρ（v））=0 ，則存在唯一的 H∈Σ ，使得 v∈H_c 0設對某一個 S∈Σ ρ（H）=S 那么 ρ（f_u）（ρ（v））=0 意味著ρ（f_u）∈N（ρ（H））=ρ（N（H））=N（S） 因此，對于一個 f（ρ_u^′）∈N （H），ρ（f_u）=ρ（f_u^′） 。由于 ρ 是一一對應關系，因此有 f_u=f_u^' ∈N（H） 。因此 f_u（v）=0，G（M） 的子圖 ?H∪N（H）? 是一個完全二部圖。因此 ρ 是圖 G（M） 的自同構。

推論3.6設 ρ 是 G（M） 的頂點集上的置換映射，使得對于所有 H∈Σ ?ρ（H）=H 且 ρ（N（H））=N（H）， 0則 ρ 是 G（M） 的一個自同構。

定義3.7設 ρ：V?V 是 G（M） 的頂點集上的置換映射，使得對于所有 H∈Σ ， （ρ（H），ρ（N（H）））∈{（S， N（S））S∈Σ }。那么我們說 ρ 是圖 G（M） 的循環子模置換自同構。特別地，當對于所有 H∈Σ ?ρ（H）=H 且 ρ（N（H））=N（H） 時，則 ρ 被稱為圖 G（M） 的孿生點自同構。

引理3.8設 ρ 是圖 G（M） 的一個自同構，那么：

（1）對于某些非空的 X?M ，如果 ρ（X）?T ，則 ρ （N（X））?M （2）對于某些非空的 Y?T ，如果 ρ（Y）?M ，則 ρ （N（Y））?T （3）對于任意的 S∈Σ ，要么 ρ（N（S））?M ，要么ρ（N（S））?T （4）對于任意的 S∈Σ ，要么 ρ（S）?M ，要么 ρ（S） ?T （20

證明 （1）由于 ρ 是一個自同構，因此 ρ（N（X）） （204號的每個元素都與一個元素 ρ（X）?T 相鄰。因此 ρ（N （X））?M （204

（2）證明與第一部分（1）相似。（3）根據引理3.3，對于任意 x∈S，N（x）=N（S） 現在，要么 ρ（x）∈M ，要么 ρ（x）∈T 因此由（1）和（2），要么 ρ（N（x））?T ，要么 ρ（N（x））?M 因此，要么 ρ （N（S））?M ，要么 ρ（N（S））?T

（4）證明與第三部分（3）相似。

注3.9設 ρ 是圖 G 的頂點集 V 上的一個置換，則 ρ 是圖 G 上的一個自同構，當且僅當對于每個 A?V ，有 ρ（N（A））=N（ρ（A）） 。設 ρ 是圖 G 上的一個自同構，則 x∈ρ（N（A））?ρ^-1（x）∈N（A）?A∈A，ρ^-1（x）～ a?a∈A . x～ρ（a）?x∈N（ρ（A）） 。相反，該假設意味著，對于任意 x∈V，ρ（N（x））=N（ρ（x）） 。所以 a～x?a∈N（x） ρ（a）=ρ（N（x））ρ（a）∈N（ρ（x））ρ（a）-ρ（x）

引理3.10設 ρ 是圖 G（M） 的一個自同構。那么對于任意 S∈Σ ，要么 ρ（S）∈Σ ，要么 ρ（S）=F_S^′ 。換句話說 S 充當集合 Σ∪{F_s|S∈Σ 上的一個置換。

證明首先，對任意 S^′∈Σ ， F_S^′ 是一個不含 T₀ 的零線性泛函的循環子模。設 {x，y}?M 或 {x，y}?T 那么， .ρ（x） 和 ρ（γ） 是線性相關的當且僅當 x 和 y 是 M 或 T 中的線性相關元素。那么， G（M） 的兩個頂點是線性相關的，當且僅當它們屬于同一不含零元素的循環子模，例如對于 S∈Σ ，循環子模可以是 s 或F_S° 因為對于任意的 S∈Σ，S 和 F_s 分別是不含 M₀ 和 T₀ 中零元素的循環子模，因此 ρ 充當集合 Σ∪ {F_s|S∈Σ 上的置換。

定理3.11設 ρ：V?V 是圖 G（M） 的頂點集 V= M∪T 的雙射，那么以下條件是等價的：

（1）ρ 是圖 G（M） 的一個自同構。

（2）對每個 S∈Σ，ρ 充當一個 Σ∪{F_s|S∈Σ} 且 ρ（N（S））=N（ρ（S）） 的一個置換。

（3）對每個 S∈Σ，ρ 充當一個 Σ∪{F_s|S∈Σ} 且 ρ（N（F_s））=N（ρ（F_s）） 的一個置換。

證明 （2）?（1） 假設 ρ 滿足條件（2）， .x，s∈ M ，則存在一個唯一的 S∈Σ ，使得 s∈S ，并且由引理 3.3，N（s）=N（S） 。因此 I_x～s 當且僅當 f_x∈N（s）=N （S），當且僅當 ρ（f_x）∈ρ（N（s））=ρ（N（S））=N（ρ（S）） ，當且僅當對一些 s^′∈S，ρ（f_x）～ρ（s^′） 通過假設 S∈Σ^′ 。因此，對于唯一的 H∈Σ ρ（S）=H 或 ρ（S）= F_H0 由于 ρ（s^′）∈H 或 ρ（s^′）∈F_H ，通過引理3.3，對于H∈Σ ， N（ρ（s^′））=N（H） 或 N（ρ（s^′））=N（F_H） 。在這兩種情況下， N（ρ（s^′））=N（ρ（S）） 。因為 并且 ρ（S）∪N（ρ（S）） 是一個完全二部圖，所以對于 s^′ ∈S，ρ（f_x）～ρ（s^′） ，當且僅當 ρ（f_x）∈N（ρ（S）） ，當且僅當 ρ （f_x）～ρ（s） 。因此 I_x～s 當且僅當 ρ（f_x）～ρ（s） 。

（1 ）?（2） 設 ρ 是 G（M） 的自同構，那么根據引理 3.10，ρ 充當集合 Σ∪{F_s|S∈Σ 上的置換。根據注 3.9，ρ（N（S））=N（ρ（S）） ，對于所有 S∈Σ 成立。

（3）?（1） 這個等價性的證明與 （1）?（2） 的證明相似。

引理3.12設 ρ 是圖G（M的一個自同構。那么，對于每一個 H∈Σ ，我們都有

證明對于 S∈Σ ，如果 F_H?N（S） ，那么 ρ（F_H） ?ρ（N（S））=N（ρ（S）） ，由定理3.11可知，對于每一個S∈Σ ，有 ρ（N（S））=N（ρ（S）） 。所以 （S））。假設對每個 如果 F_H? N（S） ，則 x∈N（ρ（S））=ρ（N（S）） 。因此，對于每一個 S∈ Σ ，如果 F_H?N（S） ，則 ρ^-1（x）∈N（S） 。對于唯一的 S∈ Σ ，每個不含零元素的 T₀ 的超平面都是 N（S） 的一種形式。因此，根據文獻[13]中定理16之后的推論，F_H 是 （n-1） 個不含 T₀ 的零元素的超平面的交集，并且對于唯一的 S∈Σ ，每個不含零元素的超平面都是一個包含 F_H 的 N（S） 。因此， 。因此ρ^-1（x）∈F_H，x∈ρ（F_H） 。所以 （2

下面將要刻畫 n=2 時圖 G（M） 的自同構結構。此外， n=2 和 n?3 這兩種情況下的主要定理是不相似的。

引理3.13假設 n=2 ，并且 S₁，S₂∈Σ 。設 σ S₁∪N（S₁）?S₂∪N（S₂） 是一個雙射。那么以下條件成立。

（1）σ 是從 ?S₁∪N（S₁）? 到 ?S₂∪N（S₂）? 的圖同構，當且僅當 σ（S₁）=S₂ 或 σ（S₁）=N（S₂） 。

（2）從 ?S₁∪N（S₁） 到 ?S₂∪N（S₂）? 的圖同構正好 有 2（（m-1）！ ）個。

證明 （1）顯然，如果 σ（S₁）=S₂ [即 σ（N（S₁））=N （S₂） 或 σ（S₁）=N（S₂） [即 σ（N（S₂））=S₁] ，則 σ 是從 ?S₁∪ N（S₁）? 到 ?S₂∪N（S₂）? 的圖同構。相反， σ 必須將每兩個線性相關元素映射到兩個線性相關元素。由于 | N （S_i）|=|S_i|=m-1 ，我們有 σ（S₁）=S₂ 或 σ（S₁）=N（S₂） 。

（2）正好有 （m-1） ！ （m-1）. ！個雙射 σ：S₁∪N（S₁）? S₂∪N（S₂） 使得 σ（S₁）=S₂ 和 σ（N（S₁））=N（S₂） 。還有 （m-1） ！（m-1）！ 個雙射 σ：S₁∪N（S₁）?S₂∪N（S₂） 使得 σ（S₁）=N （S₂） 和 σ（N（S₁））=S_2° 所以如 σ：?S₁∪N（S₁）???S₂∪N （S₂） gt;的圖同構數量是 2（（m-1）！）² 。

在下面的結果中，刻畫了 M₀=Z_m² 時 G（M） 的自同構結構。

定理3.14設 n=2 那么，集合 V=M∪T 的置換 ρ 是圖 G（M） 的自同構，當且僅當以下兩個條件成立。

（1）ρ 作為分量集 {（S_i∪N（S_i）|S_i}∈Σ 上的置換，即對于每個 S_i∈Σ ，存在唯一的 S_j∈Σ ，使得 ρ（S_i∪ N（S_i））=S_j∪N（S_j） 。

（2）對于 S_i，S_j∈Σ ，如果 ρ（S_i∪N（S_i））=S_j∪N（S_j）

則 ρ（S_i）∈{S_j，N（S_j）} 。

證明設 ρ 是一個自同構，則 ρ 將每個連通分量發送到一個連通分量。因此 ?_Sρ 是集合 {S_i∪N（S_i）| S_i∈Σ 的置換。因此，條件（1）成立。假設 ρ（S_i∪N （S_i））=S_j∪N（S_j） 。那么 ρ 必然是 ?S_i∪N（S_i）? 和 ?S_j∪N （S_j） gt;的圖同構。因此由引理3.13，有 ρ（S_i）=S_j 或 ρ（S_i）= N（S_j） ，因此條件（2）成立。反之亦然，因為 G（M） 的每個分量都與完全二部圖 K_m-1，m-1 同構。所以滿足這兩個條件時 ?_Sρ 是圖 G（M） 的自同構。

根據定理3.14，當 n=2 時，存在圖 G（M） 的自同構 ρ ，使得 ρ（M）∈{M，T}_L 。但對于 n≥3 ，以下引理成立。

引理3.15設 ρ 是 G（M） 的自同構， n?3 。那么 ρ（M）=M 或 ρ（M）=T

證明在引理3.8中，對于任意 S∈Σ ，ρ（S）? M 或 ρ（S）?T 相反，假設 S₁≠S₂ 是 Σ 的兩個元素，使得 ρ （S₁）?M 且 ρ （S₂）?T ，則存在 H∈Σ ，使得F_H?N（S₁）∩N（S₂） （因為 n?3 ，所以 N（S₁）∩N（S₂）≠? 因此存在這樣的 F_H） 。由引理 3.12，ρ （ρ（S））?N（ρ（S₁））∩N（ρ（S₂））=?. 。因為 N（ρ（S₁））?T，N（ρ （S₂））?M ，則矛盾。因此，對所有 S∈Σ ， ρ（S）?M 或 ρ （S）?T 這意味著 ρ（M）=M 或 ρ（M）=T ，即 ρ（T）=T 或 ρ （T）=M

在下面的結果中，刻畫了 n?3 時圖 G（M） 的自同構結構。

定理3.16對于 n≥3 ，置換 ρ：V?V 是 G（M） 的自同構，當且僅當恰好滿足以下條件之一。

（1）對于所有 H∈Σ，ρ 是 Σ 和 N（ρ（S）） 的置換。

（2）對于所有 H∈Σ，ρ 是雙射 Σ{F_H|H∈Σ} 和 ρ（F_?H）=?_F?H?N（S）N（ρ（S）） 的置換。

證明 （1）設 ρ 為自同構，根據引理 3.15，ρ（M） =M 或 ρ（M）=T 根據定理 3.11，ρ 是 Σ∪{F_H|H∈Σ} 的置換，所以至少兩個條件中的一個成立。因此，如果 ρ （20 （M）=M ，那么根據引理 3.12，ρ （S）），對于所有 H∈Σ 成立，有 因此條件（1）成立。如果 ρ（M）=T ，則根據定理3.11，ρ 是 Σ?{F_H|H∈Σ} 的一一對應關系，因此條件（2）成立。相反，假設條件（1）成立，須證明 ρ 是圖 G（M） 的自同構。對于每個 S，H∈Σ，F_H 是一個不含 T₀ 的零元素的循環子模， N（S） 是一個不含 T₀ 零元素的超平面。對于給定的 H∈Σ 可以得出，對于每個 S∈ Σ ，要么 F_H?N（S） ，要么 F_H∩N（S）=? 。另一方面，對于任意 S∈Σ ，由于 ρ（S）∈Σ ，得出 N（ρ（S）） 也是不含T₀ 的零元素的超平面。如果 S₁≠S₂ ，則由引理 _3.3，N （S₁）≠N（S₂） ，并且由于 ρ（S₁）≠ρ（S₂），Nρ（S₁））≠Nρ（S₂）） 所以這兩個都是不含 T₀ 的零元素的不同的超平面。因此，根據文獻[13]中定理16之后的推論，交集 ∩_FH?N（S）N（ρ（S）） 是由 （n-1） 個不含 T₀ 的零元素不同超平面相交得到的。因為對于某些 S∈Σ，F_H 恰好是 （n-1） 個不含零元素的不同超平面的交集。因此，∩_FH?N（S）N（ρ（S）） 一定是一個不含 T₀ 的零元素的循環子模，不妨設為 F_H^′ ，其中 H^′∈Σ 。因此 ，ρ（F_H）=F_H^′∈ {F_H|H∈Σ} 。現在，我們聲稱 ρ 充當 {F_H|H∈Σ 上的一個置換。下面證明 ρ 是 {F_H|H∈Σ^′ 上的一個置換。假設 H≠H^′ 是 Σ 的兩個任意元素，那么存在 ∈Σ ，使得 F_H∩N（S^′）=?，F_H^′∩N（S）=?，F_H?N（S），F_H^′ ?N（S^′） 所以 且 但是ρ（F_H）?N（ρ（S）） 且 ρ（F_H^′）?N（ρ（S^′））， 。因此， ∩_FH?NSN（ρ（S）） e∩_FH?N（S）N?（S）） ，則 ρ（F_H）≠ρ（F_H^′） ，所以 ρ 是 {F_H|H∈ Σ }上的一個置換。根據定理3.11足以證明對所有 設 f_x∈N（S） 。那么存在唯一的H∈Σ ，使得 f_x^′∈F_HO 由于 F_H?N（S） ，并且 F_H 是 f_x 生成且不含 N（S） 中不含零部件元素的循環子模。由條件（1）可知 。因此 f_x∈ N（ρ（S）） 。所以 。又因為 |ρ（N（S））|=|N（ρ（S））| 所以 ρ（N（S））=N（ρ（S）） 。因此 ρ 是圖 G（M） 的自同構。

（2）的證明與（1）的證明類似。

M₀ 上映射圖的孿生點和 G（M） 的所有自同構已經全部解決，并且通過定理3.14、定理3.15和定理3.16，給出置換 ρ：V?V 是圖 G（M） 的自同構的判定定理。

4結論

在本文中，給出有限生成模 M₀ 上的映射圖 G （M） 的定義，并且證明 G（M） 是一個 m^n-1-1 -正則圖。同時給出 M₀ 上映射圖的孿生點的定義及相關結論。通過定理3.14、引理3.15和定理3.16給出置換ρ：V?V 是圖 G（M） 的自同構的判定定理，分別在 n= 2和 n≥3 這兩種情況下刻畫了 G（M） 的所有自同構的結構。

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