一類Hartogs域的Bergman核函數

【Abstract]TheBergmankernelfunctionplaysanimportantroleinthetheoryofseveralcomplex variables.This paperconstructsanewclassofHartogsdomainsand，byemploying methodsfromcomplexanalysisandseveralcomplexvariablesheo ry，utilizesseries expansionsandthetransformationruleoftheBergmankernelunderbiholomorphicmappings toderivethe diffrentialrelationshipbetweenthe Bergmankerelsof thesedomainsandtheirbasedomains.Thisapproachprovidesa more straightforward method for computing the Bergman kernel functions on certain domains.

【Key words] Hartogs domain; Bergman kernel; starlike domain

[中圖分類號]0174.55 [文獻標識碼］A

[文章編號]1674-3229（2025）02-0016-07

0 引言

Bergman核函數的概念是波蘭著名數學家S.Bergman于20世紀20年代在研究平面區域之間的共形映照時引進的。簡單來說，核函數 K（z，w） 恰好是平方可積函數空間 H²（Ω） 到平方可積的全純函數子空間的正交射影的再生核。然而，除了少數特殊的情形外（比如球或者多圓柱），當時很難給出一個確切的表達式來研究Bergman核函數的性質。所以在很長的一段時間內Bergman核函數的應用和發展都受到了限制。直到1965年應用擬凸域上 ?²- 方程的 L² 估計理論，給出了Bergman核函數在具有光滑邊界的強擬凸域上的邊界性質，才代表著Bergman核函數現代理論的開始，也吸引了越來越多的學者來研究Bergman核函數的性質。

1958年，華羅庚通過計算域的全純自同構群及其體積元，得到了四類Cartan域的Bergman核函數的顯表達式，這種方法稱之為華方法[1]；Francsics和Hanges等人利用級數法得到了一類完備標準正交函數系已知的Remhardt域的Bergman核函數的顯表達式[2-4]。2000年至2001年，殷慰萍、管冰心給出一種新的求Bergman核函數的方法，引進semi-Rein-hardt域的概念并求出其完備標準正交函數系，并通過一些特殊的級數求和方法，得到Cartan-Hartogs域和華羅庚域Bergman核函數的顯表達式[5-6]。2017年，HideyukiIshi等人得到了有界齊性域上的Hartogs域的加權Bergman核函數；2020年，Jong-Do Park給出了一類Hartogs域的Bergman核函數[8];2021年，郭婷研究了二維有界對稱域上的雙全同態，這是Cartan-Hartogs域的華構造；2022年，王安找出了一類

Bergman-Hartogs域的全純自同構群[10]

1 基礎知識

定義1[] Hartogs域最初形式如下： {z∈Cⁿ：|z_n|lt;|f（z₁;z_n-1）|} ，其中 f 是全純的。這樣有一個全純函數就有一個Hartogs域。后來Hartogs域推廣為如下形式

其中 N_Ω（z，z） 是連續的正值函數。

定義 2^[12] 設 Ω 是 Cⁿ 中的域， L_a²（Ω） 是 Ω 上的全純平方可積函數空間，對于 ?z∈Ω ，由 ?_z（f）=f（z） 定義的映射 ?_z … 是 L_a²（Ω） 上的有界線性泛函。根據Riesz表示定理，存在 K_z（?）∈L_a²（Ω） 使得 ，即對所有 f∈L_a²（D） 有

定義Bergman核函數 ，等價地可以表示為 。

定義 3^[12] 如果 中一列函數 {φ_k} 滿足 φ_k，φ_l=δ_kl ，就稱 {φ_k} 為 中一組標準正交系。

定義 4^[12] 設 {φ_k} 是 中一組標準正交系。對于任意 ，如果 f，φ_k=0 k=1，2，… 那么 f≡0 ，則稱 {φ_k} 是完備標準正交系。

引理 1^[12] 設 {φ_k} 是 上的規范正交系，則

是 的全純函數，當 ζ 固定時， K（z，ζ） 對 z 而言屬于 。

定義 5^[13] 設映射 f=（f₁，…，f_m）：Cⁿ?C^m 是連續可微的。若對 Cⁿ 中的每一點 z=（z₁，…，z_n） 都有f=0，（i=1，…，m;j=1，，n），則稱f是全純映射。

定義 6^[13] 設 Ω 是 Cⁿ 中的域， 是全純映射，如果 F 有全純的逆映射 F^-1 ，就稱 F 是雙全純映射。

定義 7^[13] 記 （Jf）（z）=detf^′（z） ，稱它為 f 在 z 點處的復Jacobian，稱 （J_Rf）（z） 為 f 在 z 點處的實Jacobian，二者的關系為

（J_Rf）（z）=|（Jf）（z）|²

引理 2^[13] 設 Ω 和 Ω_?1 為 Cⁿ 中的有界域，雙全純映射 w=f（z） 把 Ω 一一地映射為 Ω_?1 。

Ω 和 Ω_?1 的核函數分別記為 K（z，ζ） 和 K₁（w，η） ，那么

這里 w=f（z），η=f（ζ） 。

定義 8^[14] 設 Ω 是 Cⁿ 中的域，如果對任意的 z∈Ω 及 0?r?1 有 rz∈Ω ，就稱 Ω 是星形域。

定義 9^[14] 如果 （z₁，…，z_n，ξ）∈Ω 蘊含 {λ_jlt;1，1?j?n}∈Ω ，那么域 Ω?C^n+m 被稱為關于變量 （z₁，…，z_n） 的n -星型Hartogs域。

引理 3^[14] 如果 Ω 是關于變量 （z₁，…，z_n） 的 n -星型Hartogs域，那么 U¹ 是關于 n+k₁ 個變量 的 n+k₁ -星型Hartogs域。

2 主要結果

本節主要是通過級數法，利用星形域的性質以及雙全純映射下的Bergman核函數的變換規則，證明了一類Hartogs域與其基礎域的Bergman核函數之間的微分關系，在此之前，先看兩個重要的引理。

引理 4^[14] 設 Ω 是關于變量 （z₁，…，z_n） 的 n -星型Hartogs域，那么

（1）對任意 f∈A²（Ω）. ， ，其中，對于每個多指數 a ， ?_a 是一個關于測度 的平方可積全純函數。

（2）如果 {?_a，b} 是 A²（π（Ω），z^a_Ωζ²） （加權Bergman空間）的一個完全正交系，那么 {?_a，bz^a} 是 A²（Ω） 的一個完全正交系。

推論 1^[14] 設 ?_a，b（ξ） 是 A²（D，z^a_Ωξ²） 的完全標準正交系，那么

設 Ω 是 n -星型Hartogs域，定義域

對于固定的 w₁∈B¹ ，令 U_w1¹ 表示切片域

用 K_?U¹ 表示 U¹ 上的Bergman核函數，用 K_U*¹ 表示 U_w1¹ 上的Bergman核函數。

參考文獻[14]，可以按照下述三個步驟從Ku，得到Ku。

步驟一首先在適當的點上（在對角線外）計算Ku；

步驟二經過進一步的修改，得到 U¹ 上的Hermitian對稱函數;

步驟三對步驟二中的結果應用一個一階微分算子，即得到目標域上的Bergman核函數。其中修改函數為

D_v¹ 是 k_?1 階微分算子，

引理5設 U¹ 和 U_w1¹ 的定義如上所述，對于 （z，z^′，w;ξ，ξ^′，η）∈U¹×U¹ 有

其中修改函數和一階微分算子的形式如上所示。

對于固定的 w₂∈B¹ ，令 U_w2² 表示切片域

用 K_v² 表示 U² 上的Bergman核函數，用 K_Uw2² 表示 U_w2² 上的Bergman核函數。

下面得到本文的主要結果。

在 U¹ 的基礎上構造一類更高維數的Hartogs域，即本文的目標域。

定理1令 U² 如上所述，對于 （z，z^′，w₁，w₁;ξ，ξ^′，η₁，η₂）∈U²×U² ，那么

其中

D_v² 是 k₂ 階微分算子，

分析：由引理4可知，對于 A²（U¹） 可以選擇 {z^a?_a，b（z^′）w₁^c} 作為其完全正交系。首先證明（1）式右邊是定義在 U²×U² 上的，然后證明對于 A²（U¹） 的完全正交系 {z^a?_a，b（z^′）w₁^c} ， A²（U¹） 中的任一函數都有如下的展開式

通過證明（2）式再現了 A²（U²） 中的每一個元素得出結論，在（1）式中的等式成立，并且證明是完整的。在證明中令Γ表示伽馬函數，令（a），表示a+b）。

證明：令 表示

首先證明 K 是定義在 U²×U² 上的，即 （ξ，ξ^′，η₁）∈U_w2² 和 。U_w2² 的定義表明 （ξ，ξ^′，η₁）∈U_w2² 。為了證明 ，只需證

注意

1?j?n，1?l?k₁ ，

因為 U¹ 是關于 n+k₁ 個變量 的 n+k₁ -星型Hartogs域，那么

（f_α（z，w₂），z^′，f_α（w₁，w₂））∈U¹

就意味著

因此 （ξ，ξ^′，η₁）∈U_w2² 且 K 是定義在 U²×U² 上的。為了證明 K 滿足（2）式，考慮從 U_w，λ² 到 U¹ 的雙全純映射f_α（?，η₂）

由雙全純映射下的Bergman核函數的變換規則有

把推論 ¹ 應用到 K_?U¹ 上得到

因此 可以寫成

通過證明 K 再生了 A²（U²） 中的每個元素完成證明。對于任意 z^aw₁^d∈A²（U²） ，考慮積分

根據 K 和 U² 的定義，上式等于

利用 K_Uw2² 在 U_w2² 上的再生性和文獻[13]和[15]有

因此（3）變成

因為

（4）式等于

擴大（5）式的分母，有

接下來令 r_j=|η_j|² ，得到

其中 。下面斷言

假設這個斷言成立，那么（5）式就等于 z^aw₁^c?_a，b（z^′）w₂^d. 從而證明了 K 是Bergman核函數，也就完成了此定理的證明。

為了證明（7），對 k₂ 進行歸納，當 k₂=1 時有

并且（7）成立。假設（7）在 k₂2=N ，

其中 。將 代入（8）式右側的積分得到

根據貝塔函數的定義和歸納假設

因此（7）對所有的 k 成立。綜上所述，定理1得證。

3結語

本文主要利用星形域的性質以及雙全純映射下的伯格曼核的變換規則，證明了一類Hartogs域的 Berg-man核函數與其基礎域之間的微分關系。本文的研究不僅深化了對Hartogs域和Bergman核函數的理解，還通過分析基礎域和目標域的特殊關系推導出它們與Bergman核函數之間的微分關系，對未來計算其他類型域的Bergman核函數有所啟示。

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