一類非自治隨機積微分方程的最優控制問題

中圖分類號：0175.6 文獻標志碼：A 文章編號：1007-2683（2025）02-0150-09

Abstract：Inordertostudytheoptimalcontrolproblemofaclassofnon-autonomousstochasticintegro-diferentialequationin Hilertspace，theexistencetheoremofmildsolutionoftheproblemisestablishedbyusingstochasticanalysis，theoriesofoperator semigroupsandSadovskifixedpointtheorem.Ontisbasis，theexistenceoftheoptialstate-controlpairisdiscussedbyostucting minimization sequences twice.

Keywords：stochasticnalysis;teoryofoperatoremigroups;ntego-diferetialequatin;Sadovskifixedpointtheorem;tial state-control pair

0 引言

最優控制理論是數學控制理論中的一個重要概念，在控制系統中起著關鍵作用，它著重于研究使控制系統的性能指標實現最優化的基本條件和綜合方法，在數學、工程、醫學等領域有著廣泛的應用[-4]。而脈沖微分及積微分方程在很多領域中也起著越來越重要的作用。近年來，脈沖微分及積微分方程受到了廣泛研究[5-8]。另外，由于確定性系統通常在實際生活中會受到白噪聲等隨機擾動的影響，因此，對脈沖隨機微分及積微分方程的研究是非常有必要的[9-15] 。

2020年，Rajesh等[2]利用Krasnoselskii不動點定理研究了如下由混合分數布朗運動驅動的二階脈沖隨機微分方程

mild解及最優狀態-控制對的存在性。

由于具有非局部條件的發展方程比經典的柯西問題更具有一般性，在實際物理問題中有更廣泛的應用[16-19]。2021年，Yang 等[4]利用Krasnoselskii 不動點定理研究了下列具有非局部條件的非自治脈沖積微分方程

x（0）+g（x）=x₀

mild解及最優狀態－控制對的存在性。

受上述文獻啟發，本文研究如下一類具有非瞬時脈沖的非自治隨機積微分方程

f（t，x（t），Hx（t））dt+

R（t，x（t））dw（t）

mild解及最優狀態－控制對的存在性問題，其中狀態函數 x（?） 在 H 中取值， H 中的內積與范數分別為（?，?） 和 為一稠定閉線性算子族， .A（t） 在 H 上生成一個發展系統 {U（t， （204s）：0?s?t?b} ，其中 D（A） 與 Ψ_t 無關。 H 為一線性有界算子，控制函數 u∈U_ad，U_ad 為后文定義的可容許控制集 L₂⁰（K，H） 為適當定義的函數 （204號x（s））ds，γ_k 為一非瞬時脈沖函數，設 0=s₀lt;…lt; 為一常數。

1 預備知識

本節將介紹一些數學符號并回顧一些必要的基本概念及引理

設 L（K，H） 為所有 K 到 H 的有界線性算子構成的空間。其中 ^K，H 為實可分Hilbert空間， K，H L（K，H） 的范數均用 ·表示。設 （Ω，F_t，{F_t}_t≥0 P ）為一完備賦流概率空間，流 {F_t}_t?0 為 F 的一列右連續單調遞增的子 σ- 代數族，并且 {F₀} 包含所有概率測度為0的集合。設 Q∈L（K，K） 是由 Qe_i= λ_ie_i 定義的算子，且具有有限跡 ∞_o{λ_i}_i≥1 為一非負實數有界序列， {e_i}_i≥1 是 K 中一組完備標準正交基。設 β_i（t） 是完備賦流概率空間中相互獨立的實值標準布朗運動序列，使得

設 δ∈L（K，H） 并且定義如下：

若 ，則稱 δ 為 Q -Hilbert-Schmidt算子。L₂⁰（K，H） 為所有 Q -Hilbert-Schmidt算子 所構成的空間。

引理 1^[2] （20 對于任意的 c?1 和 L₂⁰- 可預測過程 v（?） ，有下面不等式成立

特別地，當 c=1 時，有

定義1 若下列兩個條件成立：

1）U（s，s）=I，U（t，τ）U（τ，s）=U（t，s），

0?s?t?b

則稱雙參有界線性算子族 {U（t，s），0?s?t?b} 為發展系統。

記 。

引理 2^[4] （ 若 {U（t，s），0?s

設 L²（Ω，H） 為所有強可測、平方可積的 H- 值隨機變量 x 所構成的Banach空間，并賦有范數 為數學期望。

設 C（J，L²（Ω，H）） ）為所有從 J 到 L²（Ω，H） 的連續映射構成的Banach空間且滿足條件supE 的子集 L₀²（Ω，H） 定義如下：

L₀²（Ω，H）={x∈L²（Ω，H）∣x 是 F₀ －可測}。

令 PC（J，H） 為所有 F_t← 適定可測 ?^H- 值隨機過程 {x（t）：t∈J} 構成的空間，使得 x 在 ?_t≠?_tk 處連續，在 t=t_k 處有 x（t_k^-）=x（t_k）?x（t_k⁺） 存在， k= 1，2，…，m 則 為一Banach空間并賦有范數

算子 B∈L_∞（J，L（G，H）），|B| 。為Banach空間 L_∞ ）上的范數， G 為一自反可分Hilbert空間，控制函數 u∈L_F²（J，G） 在 G 中取值。L_F²（J，G） 表示所有 G- 值 －適定可測隨機過程構成的空間，其滿足 且賦有范數

設 U 為 G 中一非空有界凸閉集，集

U_ad={u∈L_F²（J，G）∣u（t）∈U，t∈J} 為可容許控制集，Bu ∈L2（J，H），u∈Uad。

令 rgt;0 為有限常數，并記

記 S（u）：={x^u∈Ω_r：x^u 是隨機系統（2）相應于控制函數 u∈U_ad 的mild解}且 ：u∈U_ad，x^u∈S（u）} 。

設 x^u∈S（u） 是隨機系統（2）相應于 u∈U_ad 的mild解，則最優控制問題可以轉化為有限拉格朗日問題：

找到一個可容許狀態－控制對 u∈U_ad ，使得

為積分成本函數。

記 為隨機系統（2）相應于控制函數 u₀ Π∈U_ad 的mild解。若 滿足式（4），則 為隨機系統（2）一最優狀態－控制對。

引理 3^[4] 若 U（t，s） 為一緊發展系統，則算子

相對緊。此外，當 n?∞ 時，若 u_n∈U_ad 弱收斂于 u ，則 。

下面介紹非緊性測度的定義及基本性質。

設 s 是Banach空間 E_?B 中的有界子集，則Hausdorff非緊性測度 β 的定義如下：

可以被半徑小于 ε 的球體覆蓋}。

引理 4^[20] （20 設 S，T?E_?B 是 E_?B 中的有界子集。Hausdorff非緊性測度 β 具有如下性質：

1）β（S）=0?S 在 E_?B 中相對緊；

2）S?T?β（S）?β（T）

， 為 s 的凸閉包;4）β（S∪T）?max{β（S），β（T）} ：

5）對 ?c∈R，β（cS）=∣c∣β（S）

6）β（S+T）?β（S）+β（T） ，其中

S+T={x∣x=y+z，y∈S，z∈T}

7）如果 是以 k 為常數的Lipschitz連續映射，則對任意有界子集 V?E_B ，有 β（Z（V）） ?kβ（V） 。

記 分別為 中有界集的Hausdorff非緊性測度。此外，對于任意有界集 B?PC（J，H） ， t∈[0，b] ，有

引理 5^[20] 若 B?E_?B 有界， E_?B 為Banach空間，則存在可數集 B₀?B ，使得 β（B）?2β（B₀） 。

引理 6^[20] （204號 若 B?C（[a₁，a₂]，E_B） 有界且等度連續，則 β（B（t）） 在 [a₁，a₂] 上連續，且有 β_c（B） β=max_{t∈[a1，a2]}β（B（t）） 。

引理 7^[20] （20號 設 D={x_n}?C（[a₁，a₂]，E_B） 為 可數集，若存在函數 m∈L¹（[a₁，a₂]，R⁺） ，使得對 任意的 n∈N⁺ ，幾乎處處 ，有 ，則 β（D（t）） 在 [a₁，a₂] 上是 Lebesgue可積的，并且

定義2 若 F_t －適定可測隨機過程 x∈PC（J， H^′ ）滿足以下條件：

1）對幾乎處處的 t∈[0，b]，x（t）∈H 有 路徑（左極限存在右連續）；

2）對任意 t∈[0，b] ，有

t∈?_k=1^m（s_k，t_k+1]

則稱 x（?） 為隨機系統（2）的mild解。

主要結果的證明基于下面的不動點定理

引理 8^[4] 設 s 是Banach空間 X 中的一個非空子集，若對任意有界集 D?S ，滿足 α（Q（D） ）lt;α（D） ，則連續映射 稱為凝聚的。

引理9[20] （Sadovskii不動點定理）設 X 為一Banach空間， W?X 為一有界凸閉集。若 是凝聚映射，則 Q 在 W 中至少存在一個不動點。

2 存在性結果

為了得到隨機系統（2）mild解的存在性結果，還需如下假設：

（H1） {U（t，s），0?s 滿足

1）函數 h 連續;

2）存在常數 L_h，D_hgt;0 ，使得對于任意的 x，y∈ H ，有

E E

（H3）函數 滿足

1）f（t，?，?） 對于 t∈J 幾乎處處連續且對于 x ，y∈H×H，t 到 f（t，x，y） 是強可測的；

2）存在連續函數 ?：J?R⁺ ，使得對于幾乎處處 t∈J ，任意 x，y∈H ，有

3）存在函數 l_f∈L¹（J，R⁺） ，使得對于任意有界集 A，B?H 且對幾乎處處 t∈J ，有

β（f（t，A，B））?l_f（t）（β（A）+β（B））

（H4）函數 滿足

1）g（t，s，?）：H?H 對 Φ（t，s）Φ∈Λ 幾乎處處連續且 對 x∈H 強可測;

2）存在連續函數 ，有

E 其中

3）存在函數 η₁，η₂∈L¹（J，R⁺） ，使得對于任意有界集 C?H 且對幾乎處處 （t，s）∈Λ ，有

β（g（t，s，C））?η₁（t）η₂（s）β（C） 其中 Λ={（t，s），0?s?t?b} 。

（H5）脈沖函數 滿足

1）函數 γ_?k，k=1，2，…，m 連續;

2）存在常數 L_γk，D_γkgt;0 ，使得對于任意 x，y∈ H ，有

其中

（H6）函數 滿足

1）R（t，?） 對于幾乎處處 t∈J 連續且對于所有x∈H，t 到 R（t，x） 是強可測的；

2）存在連續函數 和一個連續非減函數 D_q∈（[0，+∞），（0，+∞）） ，使得對于 （Γ_t，x） ∈J×H ，有

3）存在正常數 L_?R ，使得對于任意有界集 D? H ，有

β（R（t，D））?L_?Rβ（D）

（H7） 成立。

（H8）對于任意有界集 B₁?Ω_r ，存在一個可數集 {x_n}_n?1?B₁ ，使得

其中 t∈J

定理1 若假設（H1） ～ （H8）成立，且

則隨機系統（2）在 J 上至少有一個mild解。

證明：定義 且（ψx）（t）=（ψ₁x）（t）+（ψ₂x）（t） ，這里

顯然 x（t） 為隨機系統（2）的mild解當且僅當 x（t） 為算子 ψ 的不動點，下證算子 ψ 存在一個不動點。

第一步 證明存在 rgt;0 ，使得 ，如若不然，對任意 rgt;0 ，存在 ，使得

當 t∈[0，t₁] 時，由假設 （H2）～（H4） 及（H6）可知

當 t∈（t_k，s_k] 時， k=1，2，…，m ，由假設（H5）可知 D_γk（1+r）

當 t∈（s_k，t_k+1] 時， k=1，2，…，m ，同理，由假設（H2） ～ （H7）可知

綜上，對 t∈[0，b] 有

其中

G^* 與 r 無關，對上式兩邊同時除以 r 且當 r?∞ 時求極限，可得

式（6）與式（5）矛盾，因此 O第二步 證明算子 Lipschitz連續。當 t∈[0，t₁] 時，對任意 x，y∈Ω_r ，由假設（H2）

及 PC（J，H） 空間的定義可知，

E

當 t∈（t_k，s_k] 時， k=1，2，…，m ，由假設（H5）可知

P

（204號

當 t∈Γ（s_k，t_k+1] 時 k=1，2，…，m ，由假設（H5）

可知

E |ψ₁x（t）-ψ₁y（t）|²?M_U²L_γkE|x（t）-y（t）|²?

綜上，由（H5）可知，對于任意的 x，y∈Ω_r 有

第三步 證明算子 ψ₂ 在 Ω_r 上連續。

設 {x_n}_n=1^∞∈Ω_r 是一個序列且 Ω_r ，由 f，g，R 的連續性可知，對任意 s∈J 有

由引理1，假設（H3）及（H7），對于任意 s∈J 有P 4?（s）r（1+bm） E 當 t∈[s_k，t_k+1] 時， k=0，1，…，m 有

由Lebesgue 控制收斂定理， 0，n∞ ，故 ψ₂ 在 Ω_r 上連續。

第四步 證明算子 等度連續。

對于 x∈Ω，s_k''?t_k+1，k=0，1，…，m 及 ξgt;0 足夠小有

由假設（H2）～（H4）、（H6）及引理1可知，

當 t^'-t^'?0，ξ?0 時及由假設（H1）知， I₁，I₂，I₃ →0。

綜上， 0 ，故 等度連續。

第五步 證明 是凝聚算子。

對任意有界集 D∈Ω_r ，由引理5可知，存在一個可數集 D₀={x_n}?D ，使得

β_PC（ψ₂（D））?2β_PC（ψ₂（D₀））

由于 ψ₂（D₀）?ψ₂（Ω_r） 有界且等度連續，由引理6可知

由引理1及引理4可知，有

因此，由引理4及假設（H3）～（H4）、（H6）及（H8）可知，當 t∈[s_k，t_k+1] 時 k=0，1，…，m ，

對 t∈J ，有

由引理4及第三步可知，對任意有界集 D?Ω_r ， ，有

故 為凝聚算子。由Sadovskii不動點定理可得算子 ψ 在 Ω_r 上至少有一個不動點，即隨機系統（2）在區間 [0，b] 上至少有一個mild解。

3 最優控制

本節通過構造兩次極小化序列研究相應于隨機系統（2）的有限拉格朗日問題最優控制－狀態對的存在性問題。為了得到隨機系統（2）最優狀態－控制對，有如下假設：

（H9）函數 滿足：

1）函數 1可測；

2）函數 Y（t，?，?），t∈J 在 H×G 上依序列下半連續;

3）函數 Y（t，x，?），t∈J，x∈H 在 G 上為凸的；

4）存在常數 及非負函數 μ∈ L¹（J，R⁺） ，使得

x∈H，u∈G

（H10） {U（t，s），0?s

定理2 若假設（H2）＼～（H7）、（H9）及（H10）成立，則相應于隨機系統（2）的有限拉格朗日問題至少存在一個最優狀態－控制對，即存在一個可容許狀態控制對 ，使得

證明：固定 u∈U_ad ，定義

?（u）：=inf_{x^u∈S（u）}?（x^u，u）

第一步 證明存在 ，使得

不失一般性，假設inf 。由假設x^u∈S（u）

（H9）4）可知 為一常數。另一

方面，由下確界定義可知，存在一序列 {x_n^u}_n=1^∞?

S（u） 使得當 n∞ 時， Φ（x_n^u，u）?Φ（u） 且滿足

由定理1第二步至第五步可知，集 {x_n^u}_n=1^∞ 在PC（J，H） 中相對緊。由相對緊的定義可知，存在一子序列，仍記為 且存在 ，使得

此外，由假設（H2）～（H6）及Lebesgue控制收斂定理可知，

因此， 。由于 PC（J，H） 連續嵌入 L¹（J，H） 中，由假設（H9）及Balder定理可得

即 。對于 u∈U_ad，? 在 處可以取到最小值。

第二步 證明存在 u₀∈U_ad ，使得

不失一般性，假設 inf_u∈Uad?（u）lt;∞ ，由假設（H9）4）可知 。由下確界定義可知，存在一序列 {u_n}_n=1^∞?U_ad 使得

由于 {u_n}_n=1^∞ 在 L_F²（J，G） 中有界，存在一子序列仍記為 {u_n}_n=1^∞ ，有

u_n?u₀∈L_F²（J，G），n?∞_c

由于 U_ad 為一凸閉包，由Marzur引理，可得 u₀∈ U_ad 。對于任意的 n∈N⁺ ，由定理1可知，存在 S（u_n） 滿足 ，則 且滿足

由（H10）及引理3可知， {Bu_n（?）}_n=1^∞ 在 PC（J H） ）中相對緊。由定理1中第二步及第五步可得 在 PC（J，H） 中相對緊。因此存在一子序列，仍記為 且存在 使得

此外，由假設（H2）～（H6）及Lebesgue控制收斂定理可知

t∈∪_k=1^m（s_k，t_k+1]

由上式可得 為可容許－狀態控制對，由于 PC（J，H） 連續嵌入 L¹（J，H） 中，由假設

（H9）及Balder定可得

因此， 在 u₀∈U_ad 處可取得最小值。因此，有

因此，受隨機系統（2）控制的有限拉格朗日問題至少有一個最優狀態－控制對 。證明完畢。

4舉例

考慮如下具有非局部條件的非自治隨機積微分方程

其中 是一致Holder連續， w（t） 是 H 上的一維標準Wiener過程，并定義于一個概率空間 （Ω，F，P） ， ψ∈PC（J，R⁺） 。假設 A（t）：H?H 定義如下：

絕對連續， x^'∈H，x（0）= （2號 x（π）=0} 。由文[12］可知 {A（t）：0?t?b} 生成 一個等度連續族 {U（t，s）：0?s?t?b} 且滿足定 義1。設

對于任意 t∈[0，b] ，定義

因此，問題（7）的成本函數可以改寫為系統（2）中成本函數的抽象形式

定理3 若

成立，則問題（7）在區間 [0，b] 上至少一個mild解。

證明：根據 h，f，g，R，γ_k 的定義可知

易知假設（H1）～（H8）成立，因此定理1中所有條件都成立，其中

則問題（7）在 [0，b] 上至少存在一個mild解且相應的有限拉格朗日問題至少存在一個最優狀態－控制對。

5結語

文[4]在發展系統 U（t，s） 緊的條件下，研究了問題 （1）mild 解的存在性，本文在文［4]的基礎上考慮了隨機效應及非瞬時脈沖的影響，在發展系統U（t，s） 非緊的情形下，利用非緊性測度理論和Sadovskii不動點定理，建立了隨機系統（2）mild解的存在性結果。所獲結論在一定程度上推廣和發展了文[4]的主要結果。

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（編輯：溫澤宇）