一種改進小波閾值函數的指紋圖像去噪方法

關鍵詞：指紋圖像；小波閾值去噪；閾值函數；峰值信噪比；均方根誤差DOI：10.15938/j. jhust.2025.02.015中圖分類號：TN911.73 文獻標志碼：A 文章編號：1007-2683（2025）02-0140-10

Abstract：Fingerprintrecognitiontechnologyisoftendisturbedbynoise.Intheprocessofusing waveletthresholddenoising methodtoreducefingerprintimagenoise，theselectionofthethresholdfunctionisparticularlysignificant.Therefore，anewthreshold functionwithadjustableparameters，whichisbetweentraditionalsoftandhardthresholdfunctions，isconstructed.Theewthresold functionovercomesthediscontiuityofthehardthresholdfunctionatthetresholdpoint，improvestheconstantdeviationoftheoft thresholdfunctionandcanreachzerodeviationundercertainconditions.Simulationexperimentsshowthatusingthenewthreshold functiontoremovesaltand-pepperoiseandGausianoiseifingerprintimagesduringteavelet tresholddnosingprocsults inlowerrot meansquareeroranddegreeof distorioncomparedtousingtraditionalandimprovedthreshold functions，while increasingpeaksigaltonoiseatiooelationcoeffcient，ndstrucuralsilarityindexmeasure.Tisotonlyprovidesodto improve thethresholdfunction，butalsoofersaneffctive meansforimprovingthedenoisingqualityoffingerprintimages.

Keywords：fingerprintimage；waveletthresholddenoising；thresholdfunction；peak signal to noiseratio；root mean square eror

0 引言

指紋是人們的個體特征，代表著每個人獨特的身份信息。指紋具有唯一性、特定性以及終身不變性，為個人身份鑒定發揮關鍵性的作用[1]。然而指紋采集未必每次都滿足要求，需要對指紋圖像進行處理和完善[2]。采集的圖像中常夾雜著各種噪聲，指紋識別技術容易受到噪聲的影響，導致指紋圖像細節信息丟失或邊緣模糊，對現代計算機安全也帶來隱患，因此有必要利用圖像處理技術對指紋圖像進行去噪[3] 。

圖像去噪方法包括空間域去噪和變換域去噪，空間域去噪是直接對圖像矩陣數字本身按照一定的規則進行處理[4]，例如中值濾波、低通濾波。變換域去噪是將原始圖像變換到另一個域中，再進行去噪處理，例如傅里葉變換、小波閾值去噪[5]。與傳統圖像去噪方法相比，小波閾值去噪方法更有效且操作相對簡單，因此基于小波變換的圖像去噪方法已經成為圖像去噪與復原的重要方法[6]

小波閾值去噪方法引入了小波變換，它將含噪圖像從空間域中變換到不同頻域的小波空間中，然后對空間中的小波系數進行閾值處理，從而去除噪聲部分，再通過小波逆變換得到去噪后的圖像[7-8]。小波變換可以從頻域分析，將各種不同頻率的混合信號分解成不同頻域的信號，具有多分辨率和局部時頻域分析等特點。在小波閾值去噪過程中，閾值函數的選取起著關鍵作用。常用的傳統軟硬閾值函數有著各自的優點，但是也存在一定的缺陷。傳統的硬閾值函數是一個不連續函數，因此去噪重構的信號會產生振蕩，軟閾值函數雖然解決了硬閥值函數不連續的問題，但是存在恒定偏差[10-11]。針對這些問題，學者們對閾值函數做出一些改進，但是仍存在局限性。XIEBo等[12]使用指數函數形式改進了閾值函數，但僅考慮高斯噪聲下圖像去噪效果。YUBinbin[13通過引入調節因子，構造閾值函數，可是除調節因子取特定值外，該閾值函數在閾值點處不連續。SIWen等[14]構造的閾值函數在小波系數的絕對值小于等于閾值時并沒有直接置零，雖提高了其光滑性，但是部分噪聲信息會被保留，影響圖像去噪效果。張兆茹等[15]通過引入兩個調節參數構造了一個處處可導的連續的閾值函數，對指紋圖像取得較好的去噪效果，但僅局限于去除高斯噪聲的客觀評價效果。目前，大多數圖像去噪方法都是針對高斯噪聲設計的[16-17]，而指紋圖像往往會受到多種噪聲的干擾，因此為增強抑制多種噪聲的能力，通過引入調節參數、增加平滑過渡區域構造更加靈活的閾值函數，改善恒定偏差，使小波閾值去噪方法對指紋圖像更有效。若去噪后的指紋圖像的脊谷線對比不明顯，就會影響后續的指紋圖像特征結果的提取，因此需要不斷提升去除指紋圖像中的各種噪聲的能力，盡可能地保留指紋圖像的原始特征信息。

1小波閾值去噪的基本原理

小波變換具有能量集中性，在小波閾值去噪過程中，含噪信號經過小波分解之后，信號的能量會集中在一些幅值比較大的小波系數上，而噪聲能量則會均勻地分布在個數較多但幅值較小的小波系數上，此時可以認為幅值較小的小波系數在很大程度上以噪聲為主，而幅值比較大的小波系數一般以信號為主[18] 。

小波閾值去噪的原理是，選擇合適的小波基以及分解層數對含噪圖像進行小波多尺度分解得到細節系數（高頻系數）和近似系數（低頻系數），將得到的高頻系數進行閾值處理，然后將低頻系數與處理后的高頻系數進行小波逆變換重構小波系數得到去噪圖像[19-20]。即小波閾值去噪的主要步驟是小波分解、閾值處理、信號重構，如圖1所示。

小波閾值去噪方法通過小波變換實現信號與噪聲的分離，在很大程度上抑制了噪聲對圖像處理的干擾。

2傳統的及已有的閾值函數

傳統的閾值函數有硬閾值函數和軟閾值函數，其表達式分別為：

利用傳統的軟硬閾值函數在一定程度上可以去噪，卻存在不足。硬閾值函數可以保持原始信號的局部信息，但在閾值 T 處發生了跳變，導致重構后的圖像信號發生振蕩，出現偽吉布斯現象。軟閾值函數克服了硬閾值函數不連續的問題，經過軟閾值函數去噪后的信號會相對平滑，可是軟閾值函數估計的小波系數與小波系數之間存在恒定偏差，導致重構后的圖像邊界模糊，部分高頻信息缺失。因此，針對不同應用場景，人們對閾值函數做出相應的改進。文[12－15]給出的閾值函數表達式依次為

其中： sign（?） 為符號函數； m，α，β，γ 均為調節因子，m?0;α 為正整數； βgt;γgt;0 且 β+γ=2;T 為閾值且Tgt;0 ，文［12－15］中的閾值分別為 T= σ In ， T=σ ， T= σ L 為信號的長度； j 為分解層數；n_j 為 j 尺度上小波細節系數的長度; σ 為噪聲標準差； M 和 N 為圖像像素的行和列； w_j，k 為小波系數; 為去噪后獲得的新小波系數，而且

以上六種閾值函數（1）～（6）的圖像如圖2所示。

文[12-15]對傳統的軟硬閾值函數做了一些改進，但是考慮去高斯噪聲太過單一且大部分只選擇了峰值信噪比和均方根誤差兩個客觀評價指標來測評

所選閾值函數的去噪效果，所以本文將增加噪聲以及客觀評價指標來更加全面地考慮去噪效果。

3 改進的閾值函數

由于文「12]給出的閾值函數式（3）沒有引入調節因子，所以該閾值函數靈活性不足。文［13]給出的閾值函數式（4）雖然引人了調節因子，但在閾值點處不連續，所以該閾值函數在實軸上并不是處處連續的。文[14]給出的閾值函數式（5）引人了調節因子，但是調節因子僅限定取正整數并且絕對值小于閾值的小波系數沒有置零，這會使得部分噪聲信息被保留。文15給出的閾值函數式（6）引入了多項式和調節因子進行閾值函數的構造，雖然增加了函數的靈活性和光滑性，但是函數僅漸近于軟閾值函數，沒有改善恒定偏差問題。因此，針對閾值函數連續性、靈活性不足以及去噪質量需不斷提升的情況，引入兩個調節因子和增加平滑過渡區域來改進閾值函數，使其連續且置于軟硬閾值函數之間，并在一定條件下可以達到零偏差，盡可能保留軟硬閾值函數的優勢，彌補其不足。為此，首先給出如下函數：

設函數

其中：

定理由式（7）給出的函數 f（x） 為 （-∞ ，+∞） 上連續的奇函數，且其漸近線為 y=x-λ，y= x+λ 。

證明：因為

f（?-x）=

|x|?λ

所以函數 f（x） 為 （?-∞，+∞） 上的奇函數。

當 x≠±λ ， x≠±λη 時， f（x） 顯然是連續的。下面只需考慮 f（x） 在分段點處的連續性。由于

而 f（λη）=λη ，因此

即 f（x） 在 x=λη 處連續。同理可證

故 f（x） 在 x=λ 處是連續的。

因為 f（x） 是 （-∞，+∞） 上的奇函數，所以f（x） 在點 x=-λη 和 x=-λ 處也是連續的。

綜上所述 I（x） 在 （?-∞，+∞） 上是連續函數。

故當 x?+∞ 和 x-∞ 時 f（x） 的漸近線分別是 y= x-λ 和 y=x+λ 。

根據上述定理，可以利用式（7）構造一個新的閾值函數，即

其中： αβ 為調節因子，且 0lt;αlt;1，βgt;0;T 為閾值，閾值選為 為分解層數；σ 為噪聲標準差； w_j，k 為小波系數； 為去噪后的新小波系數。當 α=0. 1，β=3 時，新閾值函數式（8）的圖像如圖3所示。

改進的新閾值函數式（8）介于軟硬閾值函數之間，可以根據實際情況進行切換，增加了閾值函數使用的靈活性。根據定理可知，新閾值函數式（8）是一個在 （?-∞，+∞） 上連續的奇函數并且當 ∣w_j，k∣ ∞ 時逼近軟閾值函數。當 ∣w_j，k∣gt;T 時，由于

所以當小波系數較大時，可以有效地改善軟閾值函數的恒定偏差問題，使得重構信號更接近于實際值。

即達到零偏差，新閾值函數（8）與硬閾值函數有交點。

4改進閾值函數降噪效果分析

閾值函數改進的目的是構造一個在實際應用中能盡可能產生最優去噪效果的閾值函數。由于人對同一張圖像的視覺效果不同，且噪聲的產生是一個隨機過程，為使實驗結果更具有客觀性，用均方根誤差（RMSE，即 root mean squared error）、峰值信噪比（PSNR，即peak signalto noiseratio）、相關系數、扭曲程度和結構相似度（SSIM，即 structural similarityindexmeasure）作為去噪效果的客觀評價指標。

均方誤差計算公式為

式中： M 和 N 分別為圖像的寬度和高度 ?_：f（{i，j}） 為原圖像； h（i，j） 為檢測后的圖像。均方根誤差為 S_RMSE 。

峰值信噪比計算公式為

一般PSNR越大，代表信號中噪聲信號越少，即去噪效果更好。MSE旨在度量去噪后的信號與原始信號的差距，MSE的值越小，說明去噪效果越穩定，對原圖像細節保護得越好。

相關系數表示圖像的接近程度，相關系數越接近1，表示圖像去噪后與去噪前的接近程度越好。相關系數 C（A，B） 反映兩幅圖像的相關程度，其范圍是[-1，1]。 C（A，B）gt;0，C（A，B）lt;0 和 C（A， B）=0 分別表示正相關、負相關和不相關。 C（A，B） 的絕對值越大，相關程度越高，其定義為

其中： A（Ω_i，j） 和 B（i，j） 分別為兩幅圖像的灰度值; 為 A（i，j） 的均值; 為 B（i，j） 的均值; M 和 N 分別為圖像的寬度和高度。

扭曲程度直接反映圖像的失真程度，其定義為

其中： M 和 N 分別為圖像的寬度和高度； I_F（i，j） 和I（i，j） 分別為改進后和標準圖像上 （i，j） 點的灰度值，扭曲度越小，失真度越小。

結構相似度計算公式為

其中： X 為原圖像; Y 為檢測后的圖像； ?_μX 和 μ_Y 分別為 X，Y 的平均值； σ_X²，σ_Y² 分別為 X，Y 的方差; σ_XY 為X，Y 的協方差； D₁ 和 D₂ 為用于穩定的常數。SSIM是一種衡量兩幅圖像相似度的指標，其范圍是［-1，1]，當兩幅圖一模一樣時 S_ssm=1 。

為了使新閾值函數式（8）在指紋圖像降噪中的效果更加直觀，本文選取FVC2004指紋庫中的102_2.tif，105_8.tif，109_3.tif三幅指紋圖像，對其均加入密度為0.01的椒鹽噪聲和方差為0.1的高斯噪聲，使用sym4小波基，分解層數為3。本文新閾值函數式（8）中的參數取值為 α=0.5，β=ln2 ，利用MATLAB對其進行指紋圖像降噪仿真實驗。

為方便起見，分別在圖4＼～9的（C）～（H）依次表示硬閾值方法、軟閾值方法、文[12-15]給出的閾值函數的小波閾值去噪方法，用（I）表示本文改進的新閾值函數式（8）的小波閾值去噪方法。并使用均方根誤差（RMSE）、峰值信噪比（PSNR）、相關系數、扭曲程度和結構相似度（SSIM）這5個客觀評價指標，將本文方法（I）與已有的6種方法（C）＼～（H）進行客觀對比，結果見表1～6。

表1～6可見，應用本文改進后的閾值函數對指紋圖像進行去噪處理得出的PSNR、相關系數及SSIM的值更大，RMSE和扭曲程度更小，即本文方法的客觀評價結果優于其他方法，是一種有效的去噪方法。為了更加清晰地進行觀察和比較，截取圖4＼～9的局部圖像并進行放大，得到圖 10～15 。

由部分局部圖像（圖10＼～15）可見，硬閾值方法去噪后指紋紋線端點特征模糊，軟閾值方法去噪后的指紋分叉點模糊且部分細節信息缺失，文[12]方法去噪后部分指紋脊線被扭曲，文[13]方法去噪后的指紋部分三角點區域模糊，文[14]方法去噪后指紋中心點特征模糊，文［15]方法去噪后的指紋部分小島模糊，所以本文在上述方法的基礎上對閾值函數進行改進是必要的。由于指紋脊線和谷線較密集，不同去噪方法所得圖像在視覺上略微不同，但從表1～6的客觀評價指標上可見，利用新閾值函數式（8）對指紋圖像進行小波閾值去噪處理后，減小了RMSE，增大了PSNR和相關系數，減小了扭曲程度，增大了SSIM。說明針對指紋圖像在采用小波閾值去噪方法的過程中因使用不同的閾值函數而去噪效果不同，在客觀評價上新閾值函數式（8）優于軟硬閾值和文[12-15]給出的閾值函數方法。這不僅克服硬閾值函數的不連續性問題，還改善軟閾值函數的恒定偏差，而且去噪效果占優

5結語

指紋圖像在提取過程中因易受噪聲的影響而需要對其進行降噪處理。本文結合傳統軟硬閾值函數以及一些改進閾值函數的優缺點，提出一種改進小波閾值函數的去噪方法。該閾值函數引入兩個可調參數，增加閾值函數的平滑區域，使得其可在軟硬閾值函數之間切換，具有自適應性，在去噪的基礎上盡可能地保留圖像的原始特征信息，有效去除帶有椒鹽噪聲和高斯噪聲的指紋圖像噪聲。并通過仿真實驗和客觀評價指標驗證了降噪的有效性，從而為后續的指紋圖像處理提供良好的基礎

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（編輯：溫澤宇）