基于分形理論的砂層注漿加固體性能預測

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2025.06.016

0 引言

注漿壓力作用下產生的滲透-壓密-劈裂效應，可有效提升砂層等軟弱介質的力學強度和整體穩定性，保證工程安全和正常運營[1-2]。注漿工程屬于隱蔽工程，砂土注漿加固體的靜－動力學參數目前尚難以準確測算，砂土注槳加固機理的研究也落后于實際需要。通過分析注漿前后砂質土層力學特性的變化，開展砂土注槳加固體力學性能的預測研究，可以有效提升砂土注漿技術設計、計算水平[3-4] 。

Salimian等[5]研究發現卵礫石土經注漿加固后，其殘余強度有較大提高，軸向變形和側向變形趨于協調，固結體可在較大形變范圍內保持穩定;Lee等[基于Wyllie-Clemenceau 波速-孔隙率公式與Kozeny-Carman滲透方程，建立了波速-滲透率理論計算模型，在富水砂層注漿效果評價方面具有較高的準確性；Bolton等[7]對注漿砂巖體的靜－動力學性能進行了研究，認為注槳后砂巖的微結構、微孔隙得到了改觀，結構面的黏結力和內摩擦角得以提高，顯著提升了砂巖（隧道）的開挖穩定性；劉奇等[8運用灰色關聯度分析法（GRA）和層次分析法（AHP），結合模糊數學基本原理對軟土隧道注漿效果進行了評價分析；方宏遠等[]發現經滲透型高聚物注槳加固后，富水砂層的抗滲、力學性能明顯提升，注槳壓力越高，注槳加固效果越好。

上述研究大多是基于現場經驗或物探檢測結果，對注槳加固體的力學性能作出初步和直觀的評價，定量深入分析則略顯不足。為了有效指導砂土注槳加固，本文利用分形理論描述砂土復雜的空間結構形態與變化特征，定義遷曲度為實際流動長度 L_e 與理論流動長度 L 比值的平方，分析砂土多孔介質面孔隙率和體孔隙率的關系，然后分別以面孔隙率和體孔隙率為變量，提出砂土注漿加固體強度和剛度的理論預測方法，最終結合鄭州地鐵隧道實際工程，對注槳加固體和隧道結構的力學響應進行分析。

1 砂土分形結構特性

砂土是復雜天然地質歷史的產物，其粒度成分具有不規則性、自相似性和標度不變性。Mandelbrot創建的分形理論作為描述不規則、自相似性巖土介質的有力工具，在碎石、砂層等工程問題分析中已得到了廣泛應用，目前成為深入開展巖土力學特性分析、解決實際工程問題的新興分支學科[10-1]。對于富含連通孔隙的砂土介質，其孔隙半徑與孔隙數量的關系可用分形理論來定量表述[12]。研究表明，砂層分形體內部，孔隙直徑大小 I 與孔隙累計數量 N 滿足下列關系：

式中： A₀ 為常數； D_p 為孔隙直徑分布的分形維數。砂土內部總孔隙數量還可以表示為

式中： 分別為孔隙的最大、最小直徑， cm 。為便于分析計算，將砂土介質等效處理為含有均等直徑 的孔隙模型，則統計域內的孔隙面積為

式中： S_p 為孔隙面積， 為平均孔隙直徑， cm 。根據分形幾何求解問題的基本理論，平均孔隙直徑 與最大、最小孔隙直徑的關系為[13-16]

式中： θ_s 為砂土介質二維孔隙率。

黏性流體在富水砂層中的流動擴散往往呈現遷回曲折特性（圖1）， L_e 為流體實際流動長度， L 為流體理論流動長度。遷曲度可定義為

ξ=（L_e/L）²

為了定量計算砂土介質中孔隙的遷曲度，假定某單相流體自上而下流經松散砂層，入口邊界與出口邊界的壓力差為 p₀ ，砂層截面面積為 S₀ 。由Darcy定律可以推算出口截面上的流量為

式中： k 為砂層滲透率， cm²：μ 為流體黏度， Pa?s_c 。Hagen-Poiseuille理論在預測黏性流體滲流規律方面

也有極高的準確性，由Hagen-Poiseuille公式計算得到的流體流量則為[17-19]

另外根據體孔隙率計算公式，可得

據此可推算砂土體孔隙率、平均孔隙直徑與滲透系數間的關系為

2 砂土注漿加固體強度計算

砂土注漿是漿液充填砂土孔隙通道，漿液凝膠結石后提升砂層力學性能的過程。砂土分形結構被等效處理為均質孔隙模型，因而砂土注漿加固體強度可采用均質理論進行計算。根據復合材料彈性力學知識，砂土骨架應視作復合材料基體，凝膠結石則應視作增強夾雜體[20-22]。當復合材料兩端受到集中荷載作用時，應力的傳遞導致基體和夾雜體界面產生形變，這種形變隨荷載的增加愈加強烈，最終使夾雜體呈現不同形式的屈曲破壞。夾雜體屈曲破壞的波形相同時呈現為剪切破壞，波形相反時呈現為拉伸破壞（圖2）。

隧道、水利等工程建設中，砂層往往承受較大的地應力，砂土結構中的孔隙通道細密而冗長。均質分形理論假定，砂土基體與注漿形成的增強夾雜體均勻分布。取邊長為 s 的正方形代表單元進行分析，夾雜體厚度為 ∣c∣ 、凈間距為 χ_t ，且 ∣c∣ 遠小于 χ_t （圖2）。則復合材料的面孔隙率 θ_s 經推算為

式中： β 為漿液充填率。根據高等彈性力學和有限元計算理論，夾雜體呈拉伸破壞時，砂土注漿復合體沿豎直方向的位移s，為[18]

式中： u_n 為單三角級數通項， n 為級數、項數， x 為單元體橫坐標。顯然，復合材料基體豎向應變 ε₁=2s₁/t 。參考胡克定律和應變能基本原理，則有[23]：

式中： σ₁，E_t 分別為基體豎向應力與抗拉強度， Pa;U₀ 為基體材料儲存的應變能，J。同理，夾雜體受外力作用時所儲存的應變能為

式中： E_?1 是夾雜體的彈性模量， MPa;I₁ 是夾雜體的慣性矩， m⁴;E₁I₁ 為夾雜體的剛度， N?σ_m²;M（σ_x） 為勢變能函數。夾雜體在集中荷載作用下的外力功可以表示為

式中： y 為圖2中單元體豎向長度， cm 。根據阿貝爾-狄利克雷（A-D）穩定性判別準則，夾雜體瀕臨極限破壞狀態時對應的荷載N為[24]

在復雜應力狀態和變形過程中，選取第 i 個正弦波對應的外力作為夾雜體最小負荷，有：

式中： σ 為單元界面上的均布應力， Pa 。取 σ 的極小值作為夾雜體的破壞強度：

則砂土注槳加固體無側限抗壓強度為

當夾雜體屈曲波形完全相同時，復合結構內部形成剪切貫通裂縫，產生對稱剪切破壞。此時剪切變形是注漿加固體的主要形變狀態，基體的剪應變 γ_xy 為[25]

根據能量原理和應變能分析方法，基體材料剪切形變過程中儲存的能量為

式中： G₀ 為基體剪切模量， Pa 。復合材料呈剪切破壞時，注漿加固體宏觀強度為

由以上公式可以看出：砂土密實度、注漿填充率及荷載作用方式、大小，對復合材料的力學性能和破壞形態均會產生顯著影響。當夾雜體以拉伸破壞和剪切破壞為主時，采用能量分析法分別求算注漿加固體的強度。復合材料的抗壓強度設計值可取為

σ₀=min（σ_c，σ_c^′）

研究表明，科學合理的注漿設計能提升砂礫石土承載性能3＼～5倍以上。假定注漿前、后砂土的側限壓縮強度分別為 f₁，f₂ ，則砂土強度增長率 ψ 可表示為

自然界的砂土成分較復雜，其黏聚力 ∣c∣ 一般不為0。砂土注槳加固體強度的提升，綜合表現為黏聚力 ∣c∣ 和內摩擦角 φ 的增長。其關系基本符合以下規律：

式中： 為黏聚力和內摩擦角的增長率。

3砂土注漿加固體剛度計算

取只包含一個矩形夾雜體的砂土單元為研究對象，將砂層中圓柱形連通孔隙視作夾雜體（圖3）。假定基體和夾雜體為各向同性材料，則小變形狀態下應力－應變關系符合廣義胡克定律。砂土注槳加固體荷載作用下所產生的形變、撓曲，由夾雜體和基體構成的復合材料平均剛度決定。由文獻[26]可得復合材料柔度張量表達式為

復合材料應力－應變關系剛度張量表達式為[27-29]

Eshelby-Mori-Tanaka方法[15]理論體系嚴謹，物理意義明確，對復合材料力學性能的預測具有極高的準確性。砂土注槳加固體是兩相復合材料，考慮使用Eshelby-Mori-Tanaka方法時，加固體有效模量為

B={H₀+（H₁-H₀）[C₀I+（1-C₀）T]}^-1（H₀-H₁）

式中： 為等效彈性張量； H₀ 為基體彈性常數張量；H₁ 為夾雜體彈性常數模量； B 為應變集中因子張量；C₀ 為夾雜體積占比； I 為四階單位張量； T 為Eshelby張量。將遠場應變作為復合材料基體平均應變 ，則夾雜體的平均應變lt;εgt;為[30-32]

式中： C_w 為線彈性模量張量； P 為Mori-Tanaka張量；δ 為剛度差。注漿加固體是由砂土、漿液填充的孔隙、未被填充的孔隙三相組成的復合材料，根據均質化等效處理假定，復合材料平均應變 為

式中： ?ε?_i 和 分別為夾雜和未被充填的孔隙的 應變。式（31）經整理后為[33-35]

聯立式（30）和式（32），可以得到圓柱型夾雜體內的平均應變為

式中： T_w=（I+PδC_w）^-1 ，腳標 w 為i時表示注漿填充的孔隙，腳標 w 為 h 時表示未被漿液填充的孔隙。

參考Eshelby復合材料靜力特性基本理論，并結合Hill自洽模型思想和Mori-Tanaka等效方法，至此可推導出砂土注漿加固體的剛度為

式中： N_w=[δC_w^-1+（1-θ_v）P]^-1

A 預測方法應用檢測

分形理論可準確、定量描述砂土空間結構形態及其變化特征，Eshelby-Mori-Tanaka方法則可合理分析復合材料的宏微觀力學響應性能。同時考慮了分形理論和Eshelby-Mori原理的注漿加固體性能預測、計算方法，在砂層相關工程建設中有其獨特的科學意義和應用價值。下面將結合鄭州地鐵項目，科學評判上述分析方法的適用性。

鄭州地鐵12號線西周－黃河南路區段地質狀況復雜，自上而下分別為人工填土層、第四系全新統沖洪積層、第四系上更新統沖洪積層、第四系中更新統沖洪積層。該區段地下水儲量豐富，依次分布上層滯水、潛水、層間潛水-承壓水和承壓水，對施工影響較大的主要為潛水。潛水初見水位埋深 18.7～19.1m ，穩定水位埋深為 19.4～19.7m 。隧道穿越上更新統和中更新統沖洪積層兩種地層，開挖施工中多次發生潰砂、塌方事故。現場采用水灰比 的水泥漿進行全斷面注漿加固治理，部分涌水量大的區段則使用水泥－水玻璃雙漿液。土層物理力學參數及水泥注漿漿液性能參數分別見表1＼～2。

注漿初期壓力起升較慢，漿液以滲透方式擴散，漿液充填了砂土結構中的不密實區域，中后期漿液轉向砂土的粒間孔隙擴散，注槳速率逐步下降，槳液積聚導致擴散通道上的壓力升高，砂層內部產生輕微劈裂破壞。砂層經滲透-劈裂注漿作用后，抗滲性能、力學性能顯著改觀（圖4）。

隧道 DK18+106.531 斷面附近工程、水文地質條件特殊，注漿加固質量要求高。利用式（19）、（22）（23）計算此斷面注漿加固體的單軸抗壓強度，利用式（25）、（34）計算加固體的剛度。斷面1＼～5點取樣位置見圖5（a），從施工現場取樣后帶回實驗室測算其實際強度、剛度。圖5（b）紫色、藍色柱狀圖分別為加固體強度理論和實測值，圖5（c）青色、紅色柱狀圖分別為加固體剛度理論值和實測值，二者最大誤差僅為18.6% 和 16.6% ，表明基于分形理論和Mori-Tanaka方法建立的計算模型可以準確分析隧道結構的力學響應。

5結語

為有效評價砂質土層的注槳加固效果，定義迂曲度為實際流動長度 L_e 與理論流動長度 L 比值的平方，結合分形理論和遷曲度公式推導了多孔介質面、體孔隙率的關系，然后分別以面孔隙率和體孔隙率為變量，建立了砂土加固體強度和剛度的理論預測方法。根據本文方法計算的強度、剛度預測值與實測值間最大誤差僅為 18.6% 和 16.6% ，表明本文構建的模型具有較高的工程實用價值，可以有效指導注漿設計。

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（編輯：胡旭東）

Abstract：Undertheincreasinglycomplexandharshgeologicalenvironmentofnginering，thequalityequirementsforgrouting reinforcementarebecomingmorestringent.Establishingascientificandreasonable groutingefectpredictionandevaluationmethodhasimportanttheoreticalsignificancesandresearchvalues.Byappyingfractaltheorytodescribetheintricatespatialstructure andvariation characteristicsof sandysoil，tortuositywasdefinedas thesquareof theratiooftheactualflowlength（ Le_， tothe theoretical flow length （ |L ，by which the relationship between the surface porosity and bulk porosity of sandy soil’s porous media wasinduced.ubsequentlyusingsurfaceporosityandbulkporosityasVariables，atheoreticalpredictionmethodforcalculatingthe strengthand stfnessof grouting-reinforced masses was establishedbasedonfractal theoryandthe Mori-Tanaka method.This methodwastenappliedtoanactualengineeringprojectforvalidation.Theresultsdemonstratethatthestrengthof thegroutingreinforced mass is governedbythe minimum strengthunderbothtensileandshearfailure modes，while stfnessdependsonfactors suchas the matrixselasticconstant，theproportionof inclusios，andtheEshelbytensor.Theerorsbetweenon-sitemeasured values and the predicted values were only 18.6% （strength）and 16.6% （stiffness），respectively. This confirms that the proposed modelacuratelyanalyzesthemechanicalresponseof tunel structuresand possesss high practicalvaluefor engineering applications.

Key words：sand layer grouting；fractal porous media；strength； stiffess；fractal theory；Mori-Tanaka method