二維分數階強耦合薛定諤方程的保結構方法

中圖分類號：0241.82 文獻標志碼：A 文章編號：1001-8395（2025）05-0693-11

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2025.05.009

0引言

和傳統的整數階微積分相比，分數階微積分憑借其積分定義形式，往往表現出更好的非局部依賴性，能夠更好地解釋一些具有記憶和遺傳特征的模型和現象.因此，近年來分數階微積分在物理和工程中得到了大量應用，各種基于分數階微積分建立的模型被不斷提出[1].

文獻［2-3]首先利用Levy路徑積分，建立了Riesz空間分數階導數情形的分數階Schrodinger方程，并且對分數階和整數階方程之間的關系進行了討論.文獻［4-5]給出了更多的關于分數階Schrodinger方程的一些物理應用.對于分數階Schrodinger方程（FSEs）和耦合分數階Schrodinger方程（CFSEs）相關的其他屬性，例如孤子動力學、基態、吸引子和一致性等[6-10].

本文主要考慮如下強耦合空間分數階Schrodinger 方程（SCFSEs）[11-4]

γ₃∣v∣²?u+γ₄u+γ₅v=0，

初始條件為

u（x，0）=u₀（x），

其中， 是群速度色散， γ₂ 描述了雙折射介質中脈沖信號的自聚焦， γ₃ 是定義方程（1）和（2）可積性的交叉相位調制（交互相位調變）， γ₄ 是歸一化雙折射常數，表現為恒定環境電勢， γ₅ 被稱為線性耦合參數，也被稱為線性雙折射. u₀（x） 和 v₀（x） 是已知的光滑復值函數，分數階Laplacian算子 被定義為[15]

（4）其中， F 是Fourier變換， F¹ 為Fourier逆變換.該模型被廣泛應用于量子物理學、非線性光學、等離子體物理學和流體力學等領域.

注意到，SCFSEs（1）和（2）有如下守恒特征：

其中質量

能量

隨著研究的不斷深入，包括工程師在內的科技人員對數值算法也提出了更高的要求.尤其是針對這類擁有重要特征的物理模型，他們希望相應的數值方法在離散的數值層面也能反映出相應的物理特征.事實上，“在某些領域，能否保持原微分方程的某些不變性質是判斷一個數值模擬是否成功的標準”[16].因此，構造保持SCFSEs（1）和（2）守恒性質（5）的有效數值解法具有重要的理論和應用價值.

到目前為止，已有不少學者提出了一些求解FSEs的有效數值方法.Wang等[17針對單個的FSEs構造了相應的能量守恒差分格式;Wang等[18]針對CFSEs提出了相應的線性化隱式守恒差分格式，并進行了詳細的誤差分析;Ran等[進一步針對SCFSEs提出了相應隱式和線性化守恒差分方法，并進行了細致的數值驗證；隨后，一些研究者也從Galerkin有限元和譜方法的角度構造了相應的守恒方法[19-21].

然而上述研究還主要集中于一維問題，且在針對CFSEs的研究中，現有的絕大部分方法都只能保持原方程的修正能量或質量，而非原始能量與質量.受文獻[22-23]的啟發，本文擬從模型的哈密頓結構角度，聯合PAVF方法去構建數值求解多維SCFSEs的守恒方法.同時希望所構造的數值方法可以在離散意義下既保持原始質量也保持原始能量.

1SCFSEs（1）和（2）的哈密頓結構

鑒于直接對系統（1）和（2）中的微分算子進行差商逼近所構造的數值方法存在耗時長或只保持修正物理量的不足，以及擁有哈密頓結構的系統在構造其保結構數值方法時相對比較容易的事實，本節旨在探討耦合系統（1）＼～（2）的哈密頓形式.

在這之前，首先引進如下重要引理

引理2.1[24] 對給定 αgt;0 和任意實值周期函數 p，q∈L_Ω² ，有

引理2.2[25] 設泛函

其中 f 是定義在 上的光滑函數，則有變分導數

令 u=p+iq，v=φ+iψ ，可將式（1）和（2）改寫，再分離改寫式中的實部和虛部，可進一步得到如下一階耦合系統

γ₃φ²+γ₃ψ²）p+γ₄p+γ₅φ，

γ₃p²+γ₃q²）ψ-γ₄ψ-γ₅q，

γ₃p²+γ₃q²）φ+γ₄φ+γ₅p.

可以證明耦合系統（11） ～ （14）滿足如下守恒 定理.

定理2.1 在周期性邊界條件下，耦合系統（11）＼～（14）滿足守恒特征

其中質量

能量

γ₄（p²+q²+φ²+ψ²）-

2γ₅（pφ+qψ））dx.

證明將式 （11）～（14） 分別與 ρ，q，φ，ψ 作內積，并將所得各式相加，再利用引理2.1，即可得到式（15）.

同理，將式（11） ～ （14）分別與 p_t，-q_t，φ_t，-ψ_t 作內積，并將所得各式相加即可得到式（15）.證畢.

定理2.2 耦合系統式（11）～（14）可改寫為如下無窮維哈密頓系統

其中是一個反對稱矩陣.

證明 利用引理2.2，可得

注意到耦合系統（11）～（14），有

證畢.

2 SCFSEs（1）和（2）的守恒格式

2.1符號為了簡單，本文考慮二維矩形區域 （24號 （?-L，L）×（?-L，L） .記 t_?n=nτ，x_?i=-L+ih，y_?j= -L+jh ，其中 τ，h 分別表示時間和空間方向的網格步長.記 x_ij=（x_i，y_j） ！ 0?n?N，0?i，j?M.

令 （p_ijⁿ，q_ijⁿ，φ_ijⁿ，ψ_ijⁿ） 為精確解 （p，q，φ，ψ） 在網格點 （x_ij，t_n） 處的數值近似，并記

其中向量

向量 Q，? 和 ψ 可類似定義.此外，定義離散內積

和范數

2.2空間半離散系統為了使所構造的數值方法具有高階精度，同時考慮到周期邊界條件，采用Fourier擬譜方法進行空間離散是一種較好的選擇

設 是Fourier配置點，則 u（x，y） 可用多項式

u_M（x，y）=

進行逼近，其中 μ=π/L ，系數

因此，分數階算子

將 代人式（27），可得

（D^αU）_i+jM，

其中 D^α 是微分對稱矩陣，其元素

利用Fourier擬譜法離散耦合系統（11） ～ （14）中的空間分數階導數，可得如下半離散系統

P_Δξ=γ₁D^αQ-（γ₂P²+γ₂Q²+γ₃?²+

?_t=γ₁D^αψ-（γ₂?²+γ₂ψ²+γ₃P²+

ψ_t=-γ₁D^α?+（γ₂?²+γ₂ψ²+γ₃P²+

γ₃Q²）??+γ₄?+γ₅P，

其中 P²=P?P ，“·”表示向量之間的點乘運算.

令 ，則上述空間半離散系統可以重寫為標準的哈密頓形式

其中哈密頓量

系數矩陣

是一個反對稱矩陣. I 是單位矩陣

若定義質量

則上述半離散系統具有如下性質

定理3.1 半離散系統（30）＼～（33）滿足守恒定律

證明注意到矩陣 s 的反對稱性，利用式（34）可得

根據式（37）可得

2.3全離散守恒格式近年來，圍繞哈密頓系統已經提出了不少的守恒方法[26-27]，但絕大部分方法在長時間模擬中都只是保持原方程的修正能量或者修正質量.

根據文獻[22]，知道采用PAVF方法對哈密頓系統進行離散，其哈密頓量能夠自然得到保持，且還可能保持更多的不變量.基于此，本節選擇采用PAVF系列方法去離散上述半離散系統（30）＼～（33），以期獲得能夠同時保持原始能量和原始質量的守恒方法，

利用PAVF方法離散半離散系統 （30）～（33） ，可得求解SCFSEs的全離散格式：

（1-ε）Qⁿ，?ⁿ，ψⁿ）dε，

εψⁿ⁺¹+（1-ε）ψⁿ）dε，

（1-ε）?ⁿ，ψⁿ）dε，

整理得

（Qⁿ⁺¹）²?Qⁿ+Qⁿ⁺¹?（Qⁿ）²）-

（γ₂（Pⁿ⁺¹）²+γ₃（?ⁿ）²+

（ψⁿ⁺¹）²?ψⁿ+ψⁿ⁺¹?（ψⁿ）²）-

（γ₃（Pⁿ⁺¹）²+γ₃（Qⁿ⁺¹）²+

（?ⁿ⁺¹）²??ⁿ+?ⁿ⁺¹?（?ⁿ）²）+

（γ₃（Pⁿ⁺¹）²+γ₃（Qⁿ⁺¹）²+

考慮到該格式空間方向采用的是Fourier擬譜方法離散，下稱其為FPAVF方法

類似地，可得求解SCFSEs的伴隨FPAVF方法：

（Qⁿ⁺¹）²?Qⁿ+Qⁿ⁺¹?（Qⁿ）²）-

（Pⁿ⁺¹）²?Pⁿ+Pⁿ⁺¹?（Pⁿ）²）+

（γ₂（Qⁿ⁺¹）²+γ₃（?ⁿ⁺¹）²+γ₃（ψⁿ⁺¹）²+

（ψⁿ⁺¹）²?ψⁿ+ψⁿ⁺¹?（ψⁿ）²）-

（γ₃（Pⁿ）²+γ₃（Qⁿ）²+γ₂（?ⁿ）²+

（?ⁿ⁺¹）²??ⁿ+?ⁿ⁺¹?（?ⁿ）²）+

（γ₃（Pⁿ）²+γ₃（Qⁿ）²+γ₂（ψⁿ⁺¹）²+

結合FPAVF方法（45）＼～（48）與伴隨FPAVF方法（49）～（52），可得FPAVF-P方法：

整理得

為了進行比較，也用標準的AVF方法對系統（30）～（33）進行離散，可得

（ψⁿ）²??ⁿ⁺¹+（ψⁿ⁺¹）²??ⁿ+

針對上述的AVF或PAVF系列方法，有如下結論.

定理3.2 上述AVF或PAVF系列方法都滿足能量守恒定律

Hⁿ⁺¹=Hⁿ，

但只有FPAVF-P方法（53）～（56）還滿足質量守恒律

Gⁿ⁺¹=Gⁿ，

其中質量

能量

（Qⁿ）²）+（（?ⁿ）²+

γ₃（（（Pⁿ）²+（Qⁿ）²）^T（（?ⁿ）²+

證明用 Qⁿ⁺¹-Qⁿ，-（Pⁿ⁺¹-Pⁿ），ψⁿ⁺¹- 分別與（53）～（56）式作內積， 將所得式子相加，即可得 .這意味著 FPAVF-P方法（53）～（56）滿足能量守恒律.按類 似的方法可證明上述其他AVF（61）～（64）和 PAVF（45）＼～（48）方法也滿足能量守恒定律.

將 Pⁿ⁺¹+Pⁿ，Qⁿ⁺¹+Qⁿ，Φⁿ⁺¹+?ⁿ，Ψⁿ⁺¹+ 分別與式（53）～（56）作內積，再將所得式子相加，即可證得 Gⁿ⁺¹=Gⁿ .證畢.

由于上述其他 AVF（61）～（64） 和 PAVF（45）＼～（48）方法不具備對稱性，因此其不滿足質量守恒定律證畢.

3 數值實驗

本節將借助數值算例來驗證前面理論結果的 正確性.

為此，首先定義如下誤差函數

其中

以及時間和空間方向的

定義相對質量誤差為

相對能量誤差為

這里 Gⁿ 和 Hⁿ 分別表示在 t_n 處的質量和能量

例4.1 對于二維SCFSEs（1）和（2），設其初始條件為

sech（y+10）exp（3iy），

其中 x=（x，y） .在數值算例中，取計算區域為（ Φ_x y）=[α-21，21α]×[α-21，21α]，t∈[0，T].

首先測試本文所提FPAVF系列方法的準確性.不失一般性，考慮 γ_?1=1，γ_?2=2，γ_?3=3，γ_?4=1 γ₅=1 時本文所提方法的時間和空間誤差.圖1（a）繪制了 α=1.7，N=16 時FAVF、FPAVF和FPAVF-P 方法的時間誤差.從圖1可以看出，FAVF和FPAVF-P的斜率為2，而FPAVF的斜率為1.這表明FAVF方法和FPAVF-P方法在時間方向都有2階精度，FPAVF方法在時間方向只有1階精度.類似地，圖1（b）繪制了 α=1.7，τ=10^-3 時的空間誤差，這表明本文所提方法在空間方向具有譜精度.這與前面的理論是一致的.

其次驗證所提守恒方法的長時間離散守恒性能.令 T=100，N=16，τ=0.01. 圖2和3分別展示了不同的 α 時離散質量 Gⁿ 和能量 Hⁿ 的相對誤差.

可以發現，上述3種方法都能很好地保持能量守恒，但只有FPAVF-P方法能夠呈現質量守恒

表1列出了上述3種方法當 α=2 時，在不同時間 χ_t 處計算得到的離散質量和能量.從表1可以發現這3種方法都嚴格保持原始能量，而只有FPAVF-P方法保持原始質量.

表1 α=2，t=t_n 時的離散能量 Hⁿ 和質量 Gⁿ 看出，無論時間 χ_t 如何變化，由FPAVF-P方法計算得到的離散能量和質量始終不變.值得說明的是，由于 α≠2 時的原始能量不易計算，故這里僅展示了 α=2 的結果，但針對其他 α 的值，也可以觀察到類似的演化現象.這表明本文所構造的FPAVF-P方法確實能夠保持方程的原始質量和能量，這驗證了前面理論結果的正確性.

4結論

本文將二維強耦合空間分數階Schrodinger方程重寫為一個標準的哈密頓系統，并基于分區平均向量場（PAVF）方法，提出了一種同時質量和能量守恒的守恒方法.并從理論和數值2個角度，驗證了該方法的準確性和守恒性質.

參考文獻

[1]HADHOUD AR，AGARWALP，RAGEHAAM.Numerical treatments of the nonlinear coupled time-fractional Schrodinger equations[J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences，2022，45（11）：7119-7143.

[2]LASKIN N. Fractional quantum mechanics[J]. Physical Review E，20O0，62（3）：3135-3145.

[3]LASKIN N. Fractional Schrodinger equation[J]. Physical Review E，2OO2，66（5）：056108.

[4]LONGHI S.Fractional Schrodinger equation in optics[J]. Optics Letters，2015，40（6）：1117-1120.

[5]ZHANGYQ，LIUX，BELICMR，etal.PropagationDynamicsofalightbeaminafractionalSchrodingerequation[J].Physical Review Letters，2015，115（18） ：180403.

[6]BAYINS＼$Consistencyproblemofteslutionsof hespacefractionalSchrodingerequationJ].JoualofMathematicalPhysics，2013，54（9） ：092101.

[7]CHENGM.TheatractorofthedissipativeoupledfractionalSchrodingerequationsJ].MathematicalMethodsinheApplied Sciences，2014，37（5） ：645-656.

[8]MOUSTAPHAFALL M，MAHMOUDIF，VALDINOCI E.Ground statesand concentration phenomena forthe fractional Schrodinger equation[J]. Nonlinearity，2015，28（6） ：1937-1961.

[9]FENGB.GrondsatesfortefractioalSrodngerquatioJ]ElectroicJualofieretialEquatios，O（4）： 1-11.

[10]SECCHIS，SQUAsINA M.Solitondynamics forfractional Schrodingerequations[J].Appicable Analysis，2014，93（8）：70- 1729.

[11]CAIJX.Multisymplecticshemes forstronglycoupled Schrodinger system[J].Applied Mathematicsand Computation2010， 216（8） ：2417-2429.

[12]RANMH，ZHAGCJ.Aconservativediferenceschmeforsolving thestronglycouplednonlinearfractionalSchrdingerquations[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2O16，41：64-83.

[13］劉靜靜，曹或，孫峪懷．三階非線性薛定諤方程新的精確解[J]．四川師范大學學報（自然科學版），2022，45（6）： 778-783.

[14］馬亮亮，劉冬兵．兩邊空間分數階對流-擴散方程的一種加權顯式有限差分方法[J]．四川師范大學學報（自然科學版）， 2016，39（1） ：76-82.

[15]CAFFARELLIL，SIVESTREL.Anextensionproblemrelatedtothfractionallaplacian[J].CommunicationsinPartiaffer ential Equations，2007，32（8）：1245-1260.

[16]LIS，VU-QUOCL.Finitediferencecalculusinvariantstructureofaclassofalgorithmsforthenonlinear Klein-Gordon equation[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis，1995，32（6） ：1839-1875.

[17]WANG PD，HUANGC M.Anenergyconservative diferencescheme forthenonlinear fractional Schrodinger equations[J]. Journal of Computational Physics，2015，293：238-251.

[18]WANGDL，XIAOAG，YANG W.Alinearlyimplicitconservativediferenceschemefor thespacefractionalcouplednolinar Schrodinger equations[J]. Journal of Computational Physics，2O14，272：644-655.

[19]LIM，GUXM，HUANGCM，etal.Afastlinearzedconservativefiniteelement methodforthestronglycoupled nonlinearfrac tional Schrodinger equations[J]. Journal of Computational Physics，2O18，358：256-282.

[20]ZHANGGY，HUANGCM，LIM.Amassenergypreserving GalerkinFEMforthecoupled nonlinearfractional Schrodinger equations[J]. The European Physical Journal Plus，2018，133（4） ：155.

[21]FEIMF，ZHANGGY，WANGN，etal.AlinearizedconservativeGalerkin-Legendrespectral methodforthestronglycoupled nonlinear fractional Schrodinger equations[J].Advances in Difference Equations，2O2o，2O2O（1）：661.

[22]CAI WJ，LIHC，WANGYS.Partitionedaveragedvector field methods[J].Journalof Computational Physics，2018， 370：25-42.

[23]FUYY，CAI WJ，WANGYS.Structure-preservingalgorithmsfor thetwodimensional fractionalKlein-Gordon-Schrdinger equation[J].Applied Numerical Mathematics，2O2O，156：77-93.

[24]熊胤，蒲志林．二階哈密頓系統的同宿軌[J]．四川師范大學學報（自然科學版），2015，38（2）：169-171.

[25]WANGPD，HUANGCM.Structure-preserving umericalmethodsforthefractionalSchrodingerequation[J].AppliedNmerical Mathematics，2018，129：137-158.

[26]BRUGNANOL，ZHANG CJ，LIDF.A classof energy-conserving Hamiltonian boundaryvalue methods fornonlinear SchrodingerequationwithwaveoperatorJ].Communications inNonlinear Scienceand Numerical Simulation，2O18，603-49.

[27]FUYY，HUDD，WANG YS.Highorder structure-preserving algorithmsforthemuli-dimensionalfractional nonlinear Schrodinger equationbasedon the SAVapproach[J].Mathematicsand Computers inSimulation，2021，185：238-255.

Structure-preserving Method for Strongly Coupled Two-dimensional Fractional Schrodinger Equations

TAN Feng， RAN Maohua， LIU Yang （SchoolofMathematical Sciences，SichuanNormal University，Chengdu61oo66，Sichuan）

Abstract：Themaincontributionofthispaperistoconstructanefectivenumericalmethodforpreservingtheoriginalinvariantsof thestronglycoupledfractioalShrdingerquatios.FirstlythestrongyoupledfractioalShodingerquatiosaeewittoa equivalentHamiltonianforbyusingtheorderreductiontechniqueandtherealandiaginarypartseparationmethods.Then，theFourierpseudo-spectralmethodndavarietyofpartitionedaveragevectorfield（PAVF）methodsareusedinthespatialandtempoaldirections，esptivelyndtesondingflliseumicaledaretablisdhoreticalndmeicalsulsow thattheseobtainedPAVFmethodscanpreserve theoriginalenergyofthestudiedmodel，butonlythePAVF-Pmethodcanpreservethe original energy and mass.

Keywords：Hamiltoniansystem；coupled Schrodinger equation；averagevector field method;Fourier pseudo-spectral method 2020MSC：65M06;65M12；65M70

（編輯 鄭月蓉）