非線性噪聲驅動的時滯隨機微分方程的中心流形

本文研究 Rⁿ 上一類由非線性噪聲驅動的時滯 隨機微分方程

其中， A 是 n×n 矩陣， H 是Lipschitz連續項， F 是帶有時滯的非線性項， ρ 是正常數， g 是非線性函數W（t，ω） 是 l -維布朗運動，符號表示方程是在Stratonovich積分意義下成立.

不變流形是研究動力系統的重要工具，被廣泛用于研究流的定性行為、分岔特性和線性化等.對于不變流形的研究可以追溯到Hadamard[1的圖變換法，以及Lyapunov[2]和Perron[3]的解析方法.之后，確定性動力系統的不變流形被廣泛研究，如文獻[4-10].對于隨機常微分方程（有限維隨機動力系統）的不變流形，相關研究見文獻［11-13]；對于隨機偏微分方程（無限維隨機動力系統）的不變流形，相關研究參考文獻［14-16].近年來，Duan等[17-18]分別用圖變換法和解析方法研究了隨機偏微分方程的不變流形和隨機演化方程的光滑穩定和不穩定流形. Shi^[19] 討論了可變相空間中的隨機偏微分方程的中心流形和不穩定流形.

用確定性微分方程近似隨機微分方程的思想最早由Wong 和 Zakai[20-21]提出.此后，這類方法得到了廣泛的研究，如高維隨機微分方程[22-25]和隨機偏微分方程[26-28].近年來，有許多將該思想用于研究隨機微分方程的不變流形的結果[29-2].

時滯隨機微分方程是一種重要的數學模型，在物理、生物和金融數學等各個領域有著廣泛的應用.近年來，有很多關于帶有加性或乘性噪聲的時滯微分方程的研究[3-39].本文將隨機微分方程中心流形的研究推廣到帶時滯的情形，

為了描述該噪聲，引入經典維納概率空間（ FP ，其中

具有緊開拓撲， F 是Borel σ 代數， P 是維納測度. W 是概率空間 上的 l? 維布朗運動，且具有形式 W（t，ω）=ω（t） .然后，考慮定義在概率空間（ FS 上的維納平移

由 Arnold^[11] 可知，概率測度 P 是關于 θ_t 的遍歷不變測度，那么 形成一個度量動力系統.

對每個 δgt;0 ，令 ，定義隨機變量

則有

根據布朗運動的性質可知， W_δ（θ_tω） 是一個具有正態分布的平穩隨機過程，并且對于幾乎所有的 ω

它對 χ_t 都是無界的.在某種意義上，可以把 W_δ（θ_t ω ）看作是白噪聲的近似，即

對每個 Tgt;0 幾乎處處成立[31]

接下來，考慮由非線性乘性噪聲 W_δ（θ_tω） 驅動 的時滯隨機微分方程

g（u_δ）W_δ（θ_tω）.

本文將從以下2個部分進行介紹.在第一部分中，給出了隨機動力系統的基本概念和方程中元素的性質.第二部分證明了方程的Wong-Zakai近似的局部Lipschitz中心流形的存在性.

1預備知識

本節首先介紹隨機動力系統的基本概念，其內容來自 Arnold^[11] .然后給出方程中元素的性質，為后面的證明做準備.

1.1隨機動力系統設 是一個概率空間， H 是一個可分的Hilbert空間.用 B（R）B（R^?） 和 B（H） 分別表示 和 H 上的Borel集.

定義 1.1 被稱為一個度量動力系統，如果：

（i）映射 是 （B（ΔR）?T，P） -可測的；

（ii） ，且對任意 t，s∈R ，有 θ_t+s= θ_t°θ_s ;

（iii）對任意 t∈R ，有 θ_tP=P.

定義1.2一個映射 ?：R⁺×Ω×H?H，（t，ω， （20x）??（t，ω，x） 被稱為度量空間 （20上的一個隨機動力系統，如果它滿足以下條件：

（i） ? 是 （B（R⁺）?P（?B（H），B（H）） -可測的；

（ii）映射 在 θ_t 上形成一個余環（cocycle）：

?（t+s，ω）=?（t，θ_sω）°?（s，ω），

1.2方程中元素的性質本文假設 A 是具有實部為零的特征值的 n×n 矩陣，下面給出 A 的相關性質（參考文獻[32]）.首先，將矩陣 A 的譜 σ（A） 劃

分成3部分，即

其中

σ_u（A）：={λ∈σ（A）|Reλgt;0}，

σ_c（A）：={λ∈σ（A）∣Reλ=0}，

σ_s（A）：={λ∈σ（A）∣Reλlt;0}.

由假設可知， σ_c（A）≠? 將 對應的特征空間分別記為 E^u，E^c，E^s .然后得到

Rⁿ=E^u⊕E^c⊕E^s，

其對應投影為 P^u RⁿE^u，P^c;RⁿE^c，I P^s ：RⁿE^s

設 0lt;β?∪σ_?} ，則對每個 0lt;αlt;β ，存在常數 K?1 ，使得

對于方程中的非線性項 H 和 F ，假設它們都滿足Lipschitz條件，即存在2個正常數 L_?H 和 L_F ，使得對任意 u，v∈Rⁿ ，有

∣H（u）-H（v）∣?L_H∣u-v∣，

∣F（u）-F（v）∣?L_?F∣u-v∣，

且 H（0）=0，F（0）=0

對 ρgt;0 ，設 C（[ε-ρ，0]，Rⁿ） 是從 [Γ-Γρ，0] 到Rⁿ 的所有連續函數的空間，其具有范數

為了方便，用 C_ρ 表示 C（[τ-ρ，0]，Rⁿ）

2 局部中心流形的存在性

本節將證明方程（3）的局部Lipschitz中心流形的存在性.在概率空間 中，由對數定律可知，存在一個全測度的 {θ_t}_t∈R -不變集 ，使得對每個 有

令

其中 Q 是有理數集.對每一個 s，ω（s） ： 都是可測的，并且上確界有限.因此， B_ω 是一個可測函數，且滿足

∣Δ_ω（s）∣?B_ω（∣s∣+1），s∈R. 回顧維納平移 θ_tω（Ω?Ω）=ω（t+Ω?Ω）Ω-ω（t） ，那么有B_θtω?2B_ω（∣t∣+1）. 因此，可以得到

∣W_δ（θ_tω）∣?K_δB_ω（∣t∣+1），

其中 .現在考慮空間 ，其中 ，并且概率測度 T 是 P 對的限制，仍然用 表示它

為了方便，設

G_δ（ω，u_δ）：=H（u_δ）+g（u_δ）W_δ（ω），

那么方程（3）可以改寫為

假設 g 也是Lipschitz函數，且滿足條件

g（0）=0，

那么可以得到 G_δ（ω，0）=0

為了證明中心流形的存在性，還需要假設存在正常數 M₁，M₂，N₀ 以及 κ₀∈（0，1] ，使得對每個∣u_δ∣，∣v_δ∣?N₀ ，都有

∣H（u_δ）-H（v_δ）∣+∣g（u_δ）-g（v_δ）∣?

由式（7）可得

注意這里的 B_ω 是上緩增的，且 B_θtω 對 χ_t 是局部可 積的[31].

現在，將引入由截斷函數得到的修正函數.設ψ（s） 是一個從R到[O，1]的 C^∞ 函數，且滿足

sup_s∈R∣ψ^′（s）∣?2.

設 是一個下緩增隨機變量，使得γ（θ_tω） 對 Φ_t 是局部可積的， r∈（0，+∞） .那么考慮G_δ（ω，u_δ） 和 F（u_δ） 的修正如下：

通過簡單的計算，可以得到下面的引理

引理2.1（i） G_δ，γ（ω，u_δ）=G_δ（ω，u_δ），|u_δ|? γ（ω）;F_ωδ（u_δ）=F（u_δ），|u_δ|?r; （20

（ii）存在隨機變量 I（ω）gt;0 ，是上緩增的且I（θ_tω） 對 χ_t 是局部可積的，使得

（iii）存在常數 Mgt;0 ，使得

?u_δ，v_δ∈Rⁿ.

接下來，考慮方程（8）的修正

具有初值條件

u_δ（s）=x（s），s∈[-ρ，0]，

其中 x（s）∈C_ρ .顯然，它的解也生成隨機動力系統.固定 α 對 ， ，定義 Banach 空間

其范數為

然后，對每個 δgt;0 ，定義

顯然，它是非空的且在方程（13）生成的隨機動力系統下是不變的.下面將證明 M_δ^c（ω） 是Lipschitz流形.接下來的引理表明 M_δ^c（ω） 中的點可以由積分方程來確定.

引理2.2對每個 δgt;0，x∈M_δ^c（ω） 當且僅當存在一個函數 u_δ（?）∈C_η ，其初值為 u_δ（0）=x 且滿足

其中 ξ=P^cx

證明設 x∈M_δ^c（ω） ，由常數變易公式，對 τ ，

t∈R

u_δ（t，ω，x）=e^A（t-τ）u_δ（τ，ω，x）+

取 τ=0 ，對其使用投影 P^c ，得到

P^cu_δ（t，ω，x）=e^4tP^c_x+

G_δ，γ（θ_sω，u_δ（s，ω，x））]ds.

將 P^u 作用于方程（16）上，可以得到

P^uu_δ（t，ω，x）=e^A（t-τ）P^uu_δ（τ，ω，x）+

使用式（4），對 τgt;max{t，0} 有

∣e^A（t-τ）P^uu_δ（τ，ω，x）∣?

對方程（18）取極限 ，

P^uu_δ（t，ω，x）=

G_δ，γ（θ_sω，u_δ（s，ω，x））]ds.

類似地，可以得到

P^su_δ（t，ω，x）=

G_δ，γ（θ_sω，u_δ（s，ω，x））]ds.

通過式（17）、（19）和（20），可以得到式（15）.另一面結論可以通過計算直接得到.

以下定理給出了方程（3）的局部Lipschitz中心流形的存在性.

定理2.3 假設式（4）和（9）～（11）成立.選擇半徑 γ（ω） 和 r ，使得

那么對于 δgt;0 ，存在隨機微分方程（13）的Lipschitz中心流形，它由Lipschitz 映射 h_δ^c（ω，??）：E^c?E^u@ E^s 給出，即

其中

h_δ^c（ω，ξ）=P^uu_δ（0，ω，ξ）+P^su_δ（0，ω，ξ） 且 h_δ^c（ω，0）=0 因此，它也是方程（3）的局部中心流形.

證明首先證明方程（15）在 C_η 中有唯一解u_δ=u_δ（?，ω，ξ） ，它對 ξ∈E^c 是Lipschitz 連續的.用 J_δ^c（u_δ，ω，ξ） 表示方程（15）的右邊部分，然后對每個 ，使用式（4）、（21）和（22）以及引理2.1，就得到

e^-η∣t∣∣J_δ^c（u_δ，ω，ξ）∣?

于是知道 J_δ^c（?，ω，ξ） 是從 C_η 映射到它自己的.對每個

$$

這就意味著 J_δ^c（?，ω，ξ） 是關于 （ω，ξ） 的一致壓縮映射.由壓縮映射原理可知，對每個 映射 J_δ^c（?，ω，ξ） 有唯一不動點 u_δ（???，ω，ξ）∈C_η

類似地，對所有 ，有

（20 因此

此外，由于 u_δ（?，ω，ξ） 可以是壓縮映射 J_δ^c 從0開始的迭代的 ω -向極限，并將一個 F -可測函數映射到一個可測函數，所以 u_δ（?，ω，ξ） 關于 ω 是 F 可測的.另一方面，由于 u_δ（?，ω，ξ） 關于 ξ 是Lips-chitz連續的，因此 u_δ（?，ω，ξ） 關于 （ω，ξ） 是可測的.設

則

且 h_δ^c（ω，0）=0 再次使用式（4）（21）和（22）以及引理2.1，對任意 ，有

因此 h_δ^c 對 ξ 是Lipschitz連續的，并且對 （ω，ξ） 是可測的.

由引理2.2以及 h_δ^c（ω，ξ） 的定義，可以得到

M_δ^c（ω）={ξ+h_δ^c（ω，ξ）∣ξ∈E^c}.

然后，證明 M_δ^c（ω） 是一個隨機集，即對任意 x∈C_ρ ，

ω?inf_y∈Rⁿ{∣x-（P^cy+h_δ^c（ω，P^cy））∣} （23）是可測的.注意到 Qⁿ 是 Rⁿ 的可數稠密集，所以式（23）的右邊部分等于

其可測性可以由 h_δ^c（ω，?σ） 的連續性得到.由于ω?h_δ^c（ω，P^cy） 對任意 y∈Rⁿ 都是可測的，因此在式（23）的下確界下的任何表達式都是可測的.該定理證明完畢.

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Center Manifolds of Delay Stochastic Differential Equations Driven by Nonlinear Noise

WU Longyu， YANG Juan， GONG Jiaxin， SHU Ji （SchoolofMathematicalScienceandV.C.amp;V.R.KeyLab，SichuanNormalUniversity，Chengdu61O066，Sichuan

Abstract：This paperdeals withthecentermanifoldsofWong-Zakaiapproximations fordelaystochasticequationsdrivenbynon linearnoise.Fistly，weintroducethepropertiesofWong-Zakaiapproximationsfthediferentialquations，anduseetrcation functiontodealwiththenoiseter.Then，weprovetheexistenceoflcallLipschitzcentermanifodsfortheseaproximationequations.

Keywords：delay stochastic diferential equation；center manifolds；randomdynamical system；Wong-Zakai approximation；non linear noise 2020 MSC：60H10;37D10;37H10

（編輯周俊）