超磁致伸縮致動器非線性動力學的時滯反饋控制研究

中圖分類號：TB381；TP273 DOI： 10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.006

0 引言

超磁致伸縮致動器（GiantMagnetostrictiveActua-tor，GMA）具有結構穩定、精度高、可靠性高等優點，被廣泛應用于能量采集、精密控制、伺服閥等領域[1-5]。為便于實現GMA的最佳工作條件與超磁致伸縮棒的大量程膨脹和收縮，可使用碟形彈簧預壓結構對超磁致伸縮棒施加一定的預壓力。但碟形彈簧的引入導致GMA系統存在嚴重的幾何非線性問題，GMA中出現非線性不穩定性甚至分岔現象，這在極大程度上削弱了其穩定性6。LIU等提出一種在諧波磁場和隨機擾動下GMA非線性動力學模型，發現系統的穩定性隨參數的改變而變化，從而引起隨機分岔現象。孫華剛建立了含碟簧二次方、三次方非線性的磁電力GMA耦合模型，表明GMA系統在一定參數條件下存在倒倍分岔行為，嚴重影響系統的穩定性。閆洪波等建立了含分數階阻尼的GMA非線性動力學模型，研究發現，阻尼的分數階次越小，系統越容易產生失穩現象。現有的大多數研究都集中于通過GMA系統的磁滯補償控制來提高GMA的非線性穩定性[11-13]；對GMA系統的幾何非線性不穩定性和控制的研究卻很少，而這對于為GMA穩定結構的設計提供全面的理論指導是至關重要的。

近年來，為了控制系統中非線性不穩定性和分岔行為，研究者通過建立基于非線性延遲微分方程的模型來分析系統的振動。PENG等4建立了由時滯反饋控制的斜拉梁的非線性動力學微分方程，發現位移和加速度反饋控制優于速度反饋控制；選擇合理的時滯反饋參數來抑制振動，可達到最佳的控制效果。AMER等5研究了具有時滯反饋參數的激勵Duffing振蕩器的非線性振動，結果表明，當時滯參數值在2.2＼～2.3時，非線性系統的振動可以得到抑制。ZHAO等研究了一個具有參數激勵擺的2自由度動力學系統；結果表明，通過選擇適當的時滯反饋參數，與原始系統相比，主系統的振動可以抑制約 56% 。LIU等分析了具有時延反饋的中間集總質量懸臂梁的1次和2次共振；結果表明，位移反饋增益僅將峰值振幅移動到低頻，而速度反饋增益與延遲參數有關，可以有效提高懸臂梁的穩定性，抑制懸臂梁的非線性振動。

為提高GMA系統的穩定性，本文設計了一種速度時滯反饋控制器，用于控制GMA系統的主共振分岔和混沌運動；基于多尺度法求解GMA系統的解析解和主共振響應，利用Matlab數值模擬軟件研究了系統關鍵結構參數和時滯反饋參數對系統動力學的影響，以期為選擇合理的控制參數從而設計結構穩定的GMA提供參考。

1GMA磁-機耦合動態模型

圖1所示為GMA系統的簡化模型。其基本工作原理是通過施加激勵磁場和偏置磁場使超磁致伸縮材料（GiantMagnetostrictiveMaterial，GMM）發生形變，從而實現機械位移的轉換。

基于其工作原理，可以將其等效為一質量-彈簧-阻尼系統，如圖2所示。根據牛頓第二定律，GMA系統的動力學方程為

m=m_M/3+m_L

式中， F 為GMM棒的輸出力； σ₀ 為GMM棒上的應力； s 為GMM棒的橫截面積； ?_m 為系統的等效質量；x 為輸出桿的位移； ∣c∣ 為系統的等效阻尼系數； m_M 為GMM棒的等效質量； m_L 為負載的質量； F_z 為碟形彈簧的恢復力，其表達式為

F_z=k_ex+α₁x²+α₂x³

式中， k_e ！ α₁ 和 α₂ 分別為碟形彈簧的1次剛度系數、2次剛度系數和3次剛度系數。

輸出桿的位移 x 表示為

x=ε_sl

式中， ε_s 為GMM棒的應變； l 為輸出桿的長度。

將2次疇轉模型引入線性壓磁方程，推導得到， 非線性壓磁方程為

ε_s=σ₀/E+γM²

式中， E 為GMM棒的彈性模量； γ 為GMM棒的非線

性磁彈性系數； M 為系統的磁化強度。

基于磁通泄漏的安培電路定理，當偏置磁場為H_b 時，合成磁場總強度 H 為

H=H_b+k_coilI

式中， k_coil 為激勵系數。

通過式（1）＼～式（6），可以得到以電流 I 為輸入、位移 x 為輸出的GMA非線性動力學方程，即

式中， k 為系統的等效剛度系數， k=k_e+ES/l F（I） 為GMM棒的輸出力， F（I）=γESM（I）² ; M（I） 為輸入電流 I 的磁化強度。

為便于研究GMA系統的動力學行為，引入無量綱位移 u=x/γ₀ 和無量綱時間 τ₁=ω₀t ，其中， γ_?0= ， ，則式（7）可轉換為

式中， 2μ 為無量綱阻尼系數， ； α 為無量綱2次剛度系數， f 為無量綱激振力， ；其中， ω 為無量綱激勵頻率， 為激勵頻率， ω_?0 為固有頻率）。

2GMA系統主共振的時滯反饋控制

當GMA系統處于主共振狀態時，一個較小的外部激勵便可以產生較大的輸出響應；此時，系統中會產生鞍結分岔，出現跳躍和滯后現象，導致GMA的穩定性遭到破壞。為消除GMA系統中的跳躍和滯后現象，可在系統中通過加入時滯信號來構造時滯反饋控制器。如圖3所示，在GMA系統中引入速度時滯反饋控制來控制GMA系統的輸出位移，具體方法如下：GMA系統的位移信號通過位移傳感器放大和轉換后傳遞到控制器中，產生反饋信號，該反饋信號可以用來調節GMA系統的運動狀態，從而實現更加精準的運動控制。

將速度時滯反饋控制器引入到GMA系統中，則可得到如下動力學方程：

（9式中， g 和 τ 分別為速度反饋增益系數和時滯參數。

為便于對GMA系統進行擾動分析，將式（9）中的非線性項前冠以小參數 ε ，則可將其改寫為

當GMA系統的外部激勵頻率接近系統的固有頻率時會產生主共振響應，可通過引入 ω=1+εσ （其中，σ 為調諧參數）度量兩者的接近程度。利用多尺度法對GMA振動系統進行分析，引人如下不同的時間變量： T₀=τ₁ 、 T₁=ετ₁ 。則式（10）的1階解析解可表示為

x=u₀（T₀，T₁）+εu₁（T₀，T₁）

將式（11）代入式（10），并令方程兩邊的 ε 的同次冪系數相等，整理得到

式（12）的解可設為

式中，i為虛數單位。

將式（14）代人式（13），并令式中長期項的系數為0，則可整理得到

3仿真結果及討論

3.1GMA系統主共振特性分析

根據式（8），GMA系統基本參數選擇如下： 2μ= 0.1， α=0.05 ， f=0.2 圖4所示為當 g=τ=0 時，不同系統參數對GMA主共振幅頻特性曲線的影響（圖中藍色曲線代表GMA系統穩定，紅色曲線代表GMA系統不穩定）。由圖4（a）可知，當系統2次剛度系數 α 從0.05增大到1.6時，系統共振骨架曲線會向左移動，其彎曲程度呈先減小后增大的變化趨勢；在 α=0.05 和1.6時出現“跳躍”現象，系統響應曲線出現多值解（即紅色曲線部分）。這是由于 α=0.05 時，其數值大于 10α²/9≈0.0028 ；當 α=1.6 時，其數值大于10α²/9≈2.84 ，使非線性GMA系統表現出彈簧硬化特性；當 α=0.95 時，其數值較為接近 10α²/9≈1 ，GMA系統中的平方非線性和立方非線性相互抵消，非線性項對系統沒有產生影響。

并代入式（15），分離其實部和虛部，得到

式中， α_a 為系統的振幅； φ=σT₁-? 。

為了獲得GMA系統的穩態解，令 代入式（16，最終可得到時滯反饋控制下GMA系統主共振的幅頻響應方程，即

式中，μe=μ-

由式（17）可知，受控GMA系統幅頻特性響應是外部激振力和速度時滯反饋控制參數的函數。當 時，振幅 a² 可取得最大值，其主共振響應的峰值振幅 a_max=f/2μ_e0 （2號

系統振幅 a 呈先增大后減小的變化趨勢，其共振骨架曲線逐漸向右偏轉，出現跳躍和滯后現象。當阻尼系數 2μ 增大時，共振骨架曲線呈向內收縮趨勢，峰值和共振面積減小，響應曲線的多值解區域減小；當激振力f增大時，共振骨架曲線呈向外擴展趨勢，峰值和共振面積增大，響應曲線的多值解區域增大。因此，適當增加阻尼系數和減小激振力會提高GMA系統的穩定性。

3.2時滯反饋參數對系統共振特性影響

從上述分析結果可知，GMA系統會由于非線性因素致使系統產生跳躍和滯后現象。這對于GMA系統的穩定運行是不利的，必須對其進行控制消除。為進一步研究速度時滯反饋對GMA系統的控制效果，圖5給出了不同時滯參數下GMA系統的主共振幅頻特性曲線。

由圖5（a）可知，當 τ=0.25π ，速度反饋增益系數 g 從0.1增大到0.3時，系統主共振頻率基本保持不變，但共振區域和不穩定區域明顯減小。因此，選擇適當的速度反饋增益系數，可增加系統的穩定區域，消除系統響應的跳躍現象，提高系統的魯棒性。

由圖5（b）可知，當 g=0.1 時，隨著速度時滯參數 τ 的增大，系統主共振響應達到共振峰值所對應的激勵頻率會增大，不穩定區域顯著增大，從而減弱了系統的魯棒性。因此，在控制過程中應選擇較小的速度時滯參數，避免系統產生較大的振動幅值和不穩定的分岔情況。

3.3時滯反饋參數對系統混沌特性的影響

由圖4（c）可知，隨著激振力的增大，GMA系統響應會出現多值區域。因此，隨著激振力參數的變化，系統可能會發生混沌運動。圖6為選取激振力f為參考變量，當激振力f在0＼～0.4，步長 Δf=0.001 ，初始條件為[0，0]時，繪制得到的GMA系統隨f變化的分岔圖和Lyapunov指數圖。由圖6可知，隨著f幅值的變化，系統中出現單周期、倍周期和混沌運動。

當f∈[0，0.22]時，系統處于單周期運動，如圖7（a）所示；當 f=0.15 時，GMA系統的時域波形圖為穩定的單周期波形信號，相平面軌跡圖表現為一封閉的橢圓形曲線[圖7（b）]，此時對應的圖6（b）中的Lyapunov指數小于0。緊接著，系統經陣發性混沌倒倍分岔進入到倍周期運動中，如圖8所示，當f=0.23時，GMA系統的時域波形圖為多個不同波形信號譜的疊加，相平面軌跡圖中出現多個相互嵌套的線圈，在 f=0.23 的局部小范圍內Lyapunov指數小于0。此后，系統進入到不穩定的混沌運動中，如圖9所示，當 f=0.3 時，GMA系統的時域波形圖為多個不同無規律波形信號譜的疊加組合，其相軌跡圖為一條長期不封閉、相互纏繞、充滿相空間的曲線，此時對應的圖6（b）中的Lyapunov指數大于0。因此，對于GMA非線性系統，當 f 幅值較大時，需要合理調整結構參數或增加時滯反饋控制方法，確保系統始終處于周期運動狀態。

由圖10可知，當 ge[0] ，0.09]時，GMA系統仍處于混沌運動中；然后，系統經混沌運動倒倍分岔在 ，0.11]時進入周期4運動中；緊接著，系統在 ，0.245]時倒倍分岔進入到周期2運動；最后，當 ggt;0.245 時系統進人到穩定的周期運動中。

由以上分析可知，當激振力變化時，GMA系統中會出現分岔和混沌運動。由于反饋增益系數 g 容易發生改變，可通過調節反饋增益系數 g 來控制GMA系統的輸出響應。當激振力f取0.3時，原始GMA系統處于混沌狀態，令 τ=0.25π 并選擇步長 Δg=0.001，初始條件[0，0]，得到具有反饋增益系數 g 的受控GMA系統的分岔圖，如圖10所示。

針對圖3所示受控系統，為研究引入時滯反饋控制后對GMA系統混沌運動的控制情況，圖11＼～圖13給出了不同反饋增益系數 g 對GMA系統輸出響應的影響。 g=0.05 時，系統的時域波形圖為無明顯周期和峰值信號譜的疊加，相軌跡圖為一條長期不封閉、相互纏繞、充滿相空間的曲線，此時系統仍處于混沌運動狀態。 g=0.1 時，由系統時域波形圖和相軌跡圖可知，系統正處于倍周期運動。 g=0.25 時，系統由圖9的混沌運動變為穩定的周期運動。

由圖14可知，當 τ∈[0 ，0.32]時，受控GMA系統處于穩定的單周期運動。如圖15所示，當 τ=0.2 時，系統的時域波形圖呈穩定的單周期波形信號，相平面軌跡為不規則的橢圓形。此后，系統在 τ∈ [0.32，1.73]時進入混沌運動；緊接著，經倒倍分岔進入到周期3運動中。如圖16所示，當 τ=1.8 時，系統的時域波形圖為3個不同波形信號譜的疊加，相平面軌跡圖中出現3個相互嵌套的線圈。最后，當τgt;1.73 時，系統重新進入不穩定的混沌運動中。如圖17所示，當 τ=2.5 時，系統的時域波形圖為無明顯周期和峰值信號譜的疊加，相軌跡圖為一條不封閉、相互纏繞、充滿相空間的曲線。

當激振力 f=0.3 時，原始GMA系統處于混沌狀態，令 g=0.05 并選擇步長 Δτ=0.001 ，初始條件[0，0]，得到具有時滯參數 τ 的受控GMA系統的分岔圖，如圖14所示。

研究結果表明，增大時滯反饋增益和減小時滯參數，能很好地控制GMA系統的混沌行為，可將系統的混沌運動轉換為穩定的單周期運動，從而提高GMA系統的穩定性。

4結論

基于多尺度法求解了速度時滯反饋控制下非線性GMA系統的解析解和幅頻響應方程，利用Matlab數值模擬軟件研究了不同系統參數和時滯反饋參數對系統主共振和混沌運動的影響規律，結論如下：

1）未施加時滯反饋控制時，系統共振曲線存在多值解和跳躍現象；隨著激振力幅值增大，系統具有混沌特性。

2）當引入時滯反饋控制時，增大速度反饋增益系數和減小時滯參數，可消除系統共振曲線的多值解和跳躍現象；增大反饋增益系數和減小時滯參數，可減小系統的混沌區域，將系統的混沌運動調節為穩定的周期運動，從而有效提高系統的穩定性。

參考文獻

[1] LIUXH，GAOL，WUY，etal.Micro-displacement amplifierof giant magnetostrictive actuator using flexure hinges[J]. Journal of MagnetismandMagneticMaterials，2022，556：169415.

[2] 張沖，周春桂，范君健.超磁致伸縮驅動偏轉放大機構[J].機械 傳動，2018，42（1）：155-158. ZHANG Chong，ZHOU Chungui，FAN Junjian. Giant magnetostrictive drive deflectionamplifier[J].Journal ofMechanical Transmission，2018，42（1）：155-158.

[3]鄭佳偉，何忠波，周景濤，等.伺服閥用超磁致伸縮致動器結構設 計及輸出位移建模[J].振動與沖擊，2019，38（20）：83-89. ZHENGJiawei，HEZhongbo，ZHOUJingtao，etal.Structuredesignandoutput displacementmodelingofagiantmagnetostrictive actuatorforaservovalve[J].Journal ofVibrationandShock， 2019，38（20）：83-89.

[4] 黃文美，張偉帥，翁玲.高頻磁致伸縮換能器輸出特性測試與優 化控制[J].光學精密工程，2022，30（22）：2876-2888. HUANGWenmei，ZHANGWeishuai，WENGLing.Measurement and optimization control of output characteristics ofhigh frequency magnetostrictive transducer[J].Optics and Precision Engineering，2022，30（22）：2876-2888.

[5]蘭天，馮平法，張建富，等.超磁致伸縮換能器渦流損耗及溫升抑 制研究[J].機械工程學報，2022，58（21）：243-249. LANTian，FENGPingfa，ZHANGJianfu，etal.Eddycurrent loss and thermal control of giant magnetostrictive transducer[J].Journal of Mechanical Engineering，2022，58（21）：243-249.

[6]閆洪波，付鑫，汪建新，等.超磁致伸縮致動器非線性動力學的分 數階時滯反饋控制[J].振動工程學報，2024，37（4）：632-644. YAN Hongbo，FU Xin，WANG Jianxin，et al.Fractional-order time-delayed feedback control of nonlinear dynamics in a giant magnetostrictive actuator[J].Journal of Vibration Engineering， 2024，37（4）：632-644.

[7]GAO XH，LIUYG.Research of giant magnetostrictive actuator' s nonlinear dynamic behaviours[J].Nonlinear Dynamics，2018，92 （3）：793-802.

[8] LIUF，ZHUZW，SHENGH，etal.Nonlineardynamic characteristics and control of giant magnetostrictive ultrasonic transducer[J]. Journal of Superconductivity and Novel Magnetism，2019，32（7）： 2045-2049.

[9]孫華剛.超磁致伸縮換能器耦合磁彈性理論及車削加工應用研 究[D].沈陽：東北大學，2008：46-56. SUNHuagang.Coupled magneto-elastic theory of giant magnetostrictive transducer and application in cuting machining [D]. Shenyang：Northeastern University，20o8：46-56.

[10]閆洪波，付鑫，汪建新，等.基于分數階阻尼的超磁致伸縮致動器 非線性動力學研究[J].機械工程學報，2022，58（23）：151-163. YANHongbo，FUXin，WANGJianxin，etal.Nonlineardynamics studyof giant magnetostrictive actuator systemsbased on fractional damping[J].JournalofMechanical Engineering，2022，58（23）： 151-163.

[11］鄭文軒，唐志峰，楊昌群，等.基于Preisach模型的磁致伸縮位移 傳感器遲滯補償方法[J].儀器儀表學報，2021，42（5）：79-89. ZHENG Wenxuan，TANG Zhifeng，YANG Changqun，et al.A hysteresis compensation method of magnetostrictive displacement sensorbased on the Preisach model[J].Chinese Journal of Scientific Instrument，2021，42（5）：79-89.

[12]YIS C，YANGBT，MENGG.Ill-conditioned dynamic hysteresis compensation for a low-frequency magnetostrictive vibration shaker[J].NonlinearDynamics，2019，96（1）：535-551.

[13]ZHU W，BIANL X，CHENGL，et al.Non-linear compensation and displacement control of the bias-rate-dependent hysteresisofa magnetostrictive actuator[J].Precision Engineering，2017，50： 107-113.

[14]PENG J，XIANGMJ，WANG LH，et al.Nonlinear primary resonance in vibration control of cable-stayed beam with time delay feedback[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2020， 137：106488.

[15]AMERYA，EL-SAYEDAT，KOTBAA.Nonlinearvibration and of the Dufing oscillator to parametric excitation with time delay feedback[J].NonlinearDynamics，2016，85（4）：2497-2505.

[16]ZHAOYY，XUJ. Using the delayed feedback control and saturation control to suppress the vibration of the dynamical system[J]. NonlinearDynamics，2012，67（1）：735-753.

[17]LIUCX，YANY，WANGWQ.Resonance and chaos of micro and nano electro mechanical resonators with time delay feedback [J].Applied Mathematical Modelling，2020，79：469-489.

Research on nonlinear dynamics of giant magnetostrictive actuators under delayed feedback control

YAN Yan’GAO Daxiao2 （1.Department of Intelligent Manufacturing Engineering，Zibo Technician College，Zibo ， China） （2.College ofEngineering，Ocean University ofChina，Qingdao ，China）

Abstract：[Objective]Inresponse to the bifurcationand chaosphenomenainthe dynamicsof giant magnetostrictive actuator（GMA），whichreducetheoutputstabilityofthesystem，avelocitydelayfeedbackcontrollerwasdesignedtouppe the mainresonancebifurcationand chaotic motionof the GMAsystem.[Methods]Theanalytical expresionandamplitude frequencyresponseequationofthesystem weresolved basedonthemulti-scalemethod.Theinfluenceofthekeystructural parameters ofthesystemandthedelayed feedback parameters on the mainresonanceand chaotic motionofthe system was studiedthroughthenumericalsimulation.[Results]Theresearchresultsindicate thatappropriatelyincreasingthefeedbackgain coeficientandreducing thedelayparametercan efectivelyeliminate themainresonance bifurcationphenomenonof the system.Increasingthefeedbackgaincoefcientcanadjust thesystemresponsefromchaoticmotiontoperiodicmotion，thereby improving the stability of the system.

Key Words：Giant magnetostrictive actuator;Mainresonance;Bifurcation; Chaotic motion; Stability