一類具有擴散的時滯捕食系統的分岔控制

引言

在自然界中，捕食者與被捕食者的關系受多種因素影響。為準確描述和預測這種關系，研究人員開發了多種數學模型，其中Leslie-Gower捕食模型是經典之一[1-4]。獻[5]建立了如下具有比率依賴 Holling II功能反應的Leslie-Gower型捕食系統：

文獻［6]研究了具有Beddington-DeAngelis功能反應函數的Leslie-Gower型捕食系統，證明時滯對正平衡點穩定性以及Hopf分岔的影響。

然而在生態競爭系統中，由于時滯、擴散等因素使得其動力學行為往往與所期望的結果相差甚遠[78]例如原分布于美國東北沿海的松雞，由于蒼鷹的大量捕食，導致數量急劇下降而最終滅絕。鑒于此，為了保護瀕危物種免于滅絕，學者們往往會設定一個臨界值，并據此采取人為調控措施以維持物種數量的平衡發展。當前，一系列行之有效的控制策略已被廣泛采用，包括但不限于狀態反饋控制機制[9、時滯反饋調控手段[10]、混合控制方案[]，以及比例-微分（PD）控制等[2]，這些均為實現物種管理的精細化提供了有力支持。文獻[13]對具有非線性獵物收獲的捕食模型引人了一個狀態反饋控制器，成功地將系統從不穩定轉換為穩定狀態。文獻[14]將混合控制器添加到具有非單調功能響應的時滯擴散捕食者-獵物系統中，通過調整控制參數來增強了系統的穩定域。文獻[15]研究時滯捕食系統，通過應用混合控制器和擴展時滯反饋控制器來有效調節系統的穩定域。

受上述工作啟發，本文將基于混合控制器和PD控制器來構建新控制器作用于具有擴散的Leslie-Gower型捕食系統，并分析該模型在生態環境中的分岔現象。系統如下：

其中， 分別表示食餌與捕食者在 x 處 Φ_t 時刻的密度； K 表示環境最大容載量； τ 表示食餌繁殖所需要的時間； q 為正常數； r₁，r₂ 表示食餌和捕食者的內稟增長率； 表示Holling－IV功能反應函數； D₁，D₂ 為自擴散系數； 為Laplace算子 ，（x，t）∈Ω×R⁺ 是邊界光滑的有界區域， ? 是 ?Ω 上的單位向量。

令 為了描述方便，我們仍舊以 來表示。則無量綱化后系統如下：

1無擴散系統的穩定性和分岔分析

1.1正平衡點的存在性，非負性及有界性

本節將分析系統（1）的穩定性與Hopf分岔的條件，現考慮無擴散情況下，系統（1）變為：

鑒于生態學的實際意義，我們的研究將專注于探討系統（2）中的正平衡點。正平衡點需滿足特定的如下方程組：

由以上方程組可得 ，E_*（u_*，v_*） 滿足下列方程組：

顯然 -alt;0 ，當 b-1gt;0，mh+a-bgt;0 時，根據Descartes符號法則可知方程有唯一正解 u_*， 再利用v_*=hu_* 得系統（2）僅有一個正平衡點 E_* 。

定理1.1.1當 τ=0 時，系統（2）所有具有正初始條件的解均保持為正。由于 uf（u，v），vg（u，v） 在 R₊² 上連續且滿足Lipschita條件，故知其解存在且唯一。又因為我們有：

根據初始條件 u（0），v（0）gt;0 ，知其解均保持為正.

引理1.1.2若 ，且 u（0）gt;0. ，則對于微分不等式 ，有

定理1.1.3當 τ=0 時，系統（2）所有具有正初始條件的解均有界。

證明：由 a+bu+u20gt;0. 有0 可知所有具有正初始條件的解均有界。

1.2 穩定性分析

經由前述分析，我們可以確認系統（2）內部存在一個平衡點 E_* ，且在該平衡點位置上的對應Jacobian矩陣表述為：

其中：

在平衡點 E_*（u_*，v_*） 處對系統（2）線性化得：

所以進一步得到系統（2）的特征方程：

λ²+Lλ+Q+Ye^-λτ=0

其中： L=-a₁₁-a₂₂ Q=a₁₁a₂₂ ， Y=-a₁₂a₂₁ 。

假設：

H₁：a₁₁+a₂₂lt;0;H₂：a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁gt;0;

定理1.2.1若假設 H₁-H₂ 均成立，可以判定系統（2）的平衡點 E_* 在 τ=0 展現出局部的漸近穩定性特性。

證明：利用Routh-Hurwitz判據易得系統（2）的平衡點 E_* 在 τ=0 是局部漸近穩定。

定理1.2.2當 1* 在 τ=0 是全局漸近穩定。

證明：我們令 ，由系統（2）易得

當 10，b-alt;0 則 。由于其邊界平衡點是鞍點，根據Dulac定理，知道系統（2）在第一象限沒有極限環，故全局漸近穩定。

1.3 Hopf分岔

前述研究已經奠定了無時滯條件下系統穩定性的基礎，為后續的分岔現象分析提供了必要的先決條件。

在此基礎上，我們接下來將采用數值代人的方法，對特征方程展開更為深人的探討與分析。假設 iω（ωgt;0） 是方程（4）的一個根， ω 滿足如下方程：

分離方程（5中的實部與虛部可得如下關系式：

將關系式（6中的每一個方程平方相加可得如下方程：

顯然當 Q²-Y²lt;0 時，通過上述方程，我們可以推導出至少存在一個正根 ω₀ 的情況，并據此利用（6）式可以較為直接地得出時滯的具體數學表達形式為：

定義臨界時滯為：

接著研究臨界時滯是否滿足橫截性條件。我們對特征方程（4）兩端對 τ 求導得：

則

顯然有

通過以上分析，得到如下定理：

定理1.3.1假設 d₁，d₂=0，Q²-Y²lt;0 ，有如下陳述成立：（i）當 τ∈[0，τ_0） ，系統（1）在正平衡點 E_* 是穩定；（ii）當 τ∈（τ₀，∞） ，系統（1）在正平衡點 E_* 是不穩定；（iii）當 τ=τ_?0 ，系統（1）在平衡點 E_* 處發生Hopf分岔。

2 新控制系統的分岔分析

為了管控系統（1）中展現的Hopf分岔行為，我們設計了一種創新的控制策略。該策略針對系統（1）的 Hopf 分岔現象實施調控，而新設計的控制器可通過以下數學表達式詳盡闡述：

上述控制器模型中， αgt;0，T_dlt;1 為控制參數。

施加新控制器后的擴散的時滯捕食與食餌模型的動力學系統：

對上述系統進行化簡得：

系統（11）的平衡點 E_*（u_*，v_*） ，在內部平衡點 E_* 處的Jabocian矩陣為：

其中：

現對系統（11）的平衡點 E_*（u_*，v_*） 線性化后變為：

通過計算可得系統（11）的特征方程：

對上述特征方程化簡得：

（i）當 τ=0 ，此時為無時滯系統，此時特征方程（14）變為：

（ii）以下Routh-Hurwitz判據是確定上述方程之根具備負實部的充分且必要條件：

（ii）因此，在控制器參數符合前述兩個不等式條件的前提下，可以確認，在不存在時滯的情形下，該模型將保持其穩定性。

（iv）當 τgt;0 ，將 λ=iδ（δgt;0 ）代入特征方程（14），分離實虛部得：

其中

對式（16）兩邊平方再相加得：

δ⁴+（n²（k）-2m（k））δ²+m²（k）-c₁₂²c₂₁²=0

當常數項 m²（k）-c₁₂²c₂₁²lt;0 時，方程（17）至少有一個正根，故由式（17）可得時滯的數學表達式：

定義臨界時滯為：

接下來，我們將探討臨界時滯是否符合作為分岔點的必要條件。具體而言，分岔點標志著系統穩定性狀態的轉變點，即從穩定狀態過渡到不穩定狀態的關鍵閾值。在此類轉變點，系統的特征方程之根需跨越虛軸，進入其右半平面。這意味著，在分岔點處，特征根相對于分岔參數的導數，其實部必須大于零。這一條件確保了特征根能夠從復平面的左半部分遷移至右半部分，從而引發系統的穩定性變化。對特征方程（14）兩端關于 τ 求導得：

進一步得出導數的實部為：

當參數滿足假設：

因此，在擴散系統下，橫截性條件成立，最小臨界值 τ_o2 為分岔點。

定理2.1若當 d₁，d₂gt;0，H₃ 成立，有如下結論：（i）當 τ∈[0，τ₁） ，系統（10）在正平衡點 E_* 是穩定；（ii）當 τ∈（τ₁，∞） ，系統（10）在正平衡點 E_* 是不穩定；（ii）當 τ=τ₁ ，系統（10）在平衡點 E_* 處發生 Hopf 分岔

3 數值模擬

在本節里，我們將借助仿真實驗的手段，旨在對比分析無控制狀態與施加控制條件下捕食系統分岔行為的差異，并進一步探討兩種不同控制策略對捕食系統性能的優化效果。其中空間被劃分為間隔為 Δt=0.1 的單位，時間則被分割為間隔Neumann的步長。此外，所有模擬案例均采納了齊次 Δh=1 邊界條件。

注1：為了便于區分， τ₀₀，τ₀₁，τ₀₂ 分別表示無控制，混合控制，新控制系統下的臨界時滯 τ₁ 。

3.1 無控制下的擴散系統

首先，考慮無控制下的擴散的時滯捕食系統。其中自擴散系數設置為 d₁=1，d₂=2 ，參數設置 α=0，T_d= 0其余參數： a=0.2，b=1，s=0.2，h=2，m=0.5

經計算其平衡點為 ，臨界時滯 τ₀₀=1.27 。我們先觀察選取 x=20 的物種密度變化情況，從圖 1（a），（b） ，圖 2（a），（b） 知，當 τ=1lt;τ₀ 時，系統（20）是穩定的；從圖 1（c），（d） ，圖 2（c），（d） 知，當τ=2gt;τ₀₀ 時，系統（20）是不穩定的。

圖 1（a） 為在時滯 τ=1 時食餌和捕食者密度隨時間的變化圖，我們可得當 tgt;500 時，捕食者和食餌密度幾乎不隨著時間發生改變。說明系統（20）在平衡點 E_* 處穩定。圖 1（b） 的相圖得知其漸近穩定，直至與平衡點重合，進一步說系統（20）在平衡點 E_* 處穩定。圖 1（c） 為在時滯 τ=2 時食餌和捕食者密度隨時間的變化圖，我們可得捕食者和食餌密度隨時間波動。說明系統（20）在平衡點 E_* 處不穩定。圖 1（d） 的相圖呈現一個極限環，說明此時系統（20）發生了Hopf分岔，進一步說明系統（20）在平衡點 E_* 處不穩定。

圖2為不同時滯下的時空密度演化圖。從圖 2（a），（b） 得知，當 τ=1，tgt;500 時圖像基本穩定，說明系統20）在平衡點 E_* 穩定；從圖 2（c），（d） 得知，當 τ=2 ，圖像產生了劇烈振蕩，說明系統（20）在平衡點 E_* 不穩定。

3.2 混合控制器下的擴散系統

其次，考慮混合控制下的擴散的時滯捕食系統，參數設置為 α=1.2，T_d=0 ，其余參數同（20）。

經計算其平衡點為 E_*（u_*，v_*）=（0.4725，0.9450） ，臨界時滯 τ₀₁=3.59 。從圖 3（a），（b） 知，當 τ=2lt;τ₀₁ 時，圖像基本穩定，系統（21）是穩定的;從圖 3（c），（d） 知，當 τ=5gt;τ₀₁ 時，圖像劇烈振蕩，系統（21）是不穩定的。

3.3 新控制器下的擴散系統

最后，考慮新控制器下的擴散的時滯捕食系統，參數設置為 α=1，T_d=-1 ，其余參數同（20）。

經計算其平衡點為 E_*（u_*，v_*）=（0.4725，0.9450） ，臨界時滯 τ₀₂=3.36 。從圖 4（a），（b） 知，當 τ=2lt;τ_?02 時，圖像基本穩定，系統（22）是穩定的；從圖 4（c），（d） 知，當 τ=5gt;τ_?02 時，圖像劇烈振蕩，系統（22）是不穩定的。

3.4新控制器參數對時滯的影響

通過研究新控制器參數與臨界時滯的關系，可以優化控制策略，使控制器在調整系統時滯、控制分岔方

由圖5知，系統（22）在新控制器的參數 T_d 確定時，臨界時滯 τ₀₂ 隨著參數 α 增加而先遞減后增加。當 T_d=0 時，則新控制器退化為混合控制器，混合控制器在參數α∈[0.5，1.5] 時，臨界時滯 τ₀₂ 調節范圍為[0，14]。新控制器通過改變參數 T_d 使得臨界時滯 τ₀₂ 調節范圍為[0，23]。因此，新控制器不僅能有效的控制系統（22）的分岔，而且對臨界時滯 τ₀₂ 的調節范圍比混合控制器更大。

4總結與展望

4.1本文總結

本文在混合控制器和 PD 控制器的基礎上構造了一個新控制器。

我們利用所構造的新控制器來研究了一類擴散的時滯捕食系統。理論和數值結果表明：相較于混合控制器新控制器對所研究的擴散的時滯捕食系統的分岔調節范圍更大。

結合生態防治的實際意義，我們可以通過調節控制器的參數，能在一定程度上改變模型的穩定域，從而很好的控制種群密度來達到人們控制生物系統動力學的目的，同時也獲得了相應控制器下的捕食系統穩定性及Hopf分支條件，為自然界中種群持續生存和控制提供了理論依據。

4.2 未來展望

考慮更多生態因素（如恐懼效應、疾病傳播、物種間的相互作用復雜性等）對捕食系統穩定性的影響，可以在已有的控制器設計基礎上，繼續探索新的控制器類型，如自適應控制器、智能控制器（如神經網絡控制器、模糊控制器）等，以實現對具有擴散的捕食系統的分岔行為更為精準和高效的控制。

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Bifurcation Control ofa Delayed Predator-Prey System with Diffusion

LU Qin-yu， YUAN Cen-ge，YAN Qing，JIANG Yu-mei，，ZHOU Wen，ZHANG Dao-xiang （SchoolofMathematicsand Statistics，AnhuiNormal University，Wuhu 241oo2，China）

Abstract：This paper investigates the bifurcation control problem of a class of diffusion delayed predator-prey systems.Firstly，we analyzed the stabilityand Hopf bifurcation ofthe system.Secondly，we use the constructed new controller to control the bifurcation behavior of the system. Finally，this paper uses Matlab software to numerically simulate the theoretical results.Theoreticalresults and numerical simulations indicate thatthe newcontrollercan advance，delay，and even eliminate the Hopfbifurcationbehaviorofthe original system.Meanwhile， the newcontroler constructed in this paper has a larger adjustment range compared to the hybrid controller.

Keywords：predator-prey system;Hopfbifurcation；bifurcation control； stability

（責任編輯：馬乃玉）