兩種保費收取下帶借貸和投資及干擾的雙到達風險模型

近年來，風險理論是保險精算領域的熱門課題，學者們研究了各種風險模型下的破產或者生存概率、Gerber-Shiu折現懲罰函數等問題[1-18]。經典風險模型往往考慮理賠為單險種的風險過程，事實上隨著保險公司保險新品種的不斷開發以及經營規模的壯大，單險種的風險模型已經不能很好地描述風險經營過程的實際，因此需要將單險種模型推廣為雙險種模型。同時，經典風險過程一般假設保費收人過程是時間的線性函數[12]，但現實中，風險過程常在隨機環境下進行的，即保費收人可能會是一隨機過程，故經典風險模型需要優化和改善。

經典的風險模型常考慮索賠過程是復合泊松風險過程[9，13-17]，泊松分布的期望等于方差，但事實上由于投保人和保險公司提高了風險認識，保險公司常常會設置無賠款折扣和免賠制度，當事故發生時，投保人會權衡利弊而決定其是否尋求索賠，所以事故次數往往大于索賠次數，即索賠次數方差往往大于均值。文獻[3-8，10-12]對該問題進行了相關的研究，考慮索賠為復合Poisson-Geometric的風險過程。文獻[3]考慮了具有投資收益的雙復合Poisson-Geometric模型并得到其破產概率;文獻[4]研究了隨機投資的雙復合Poisson-Geometric過程，獲得無限時和有限時生存概率的微積分方程;文獻[5]研究了帶干擾的復合Poisson-Geomet-ric模型，得到風險過程的生存概率;文獻[6]考慮復合Poissn-Geometric風險下帶無風險資本的投資組合-比例再保-閾值分紅問題，得到并求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程;文獻[7]建立混合保費下有擾動的雙復合Poisson-Geometric風險模型，得到破產概率的一般表達式和Lundberg不等式;文獻［10-12]研究了復合Pois-son-Geometric 風險模型，得到破產概率表達式等相關結論;文獻[8-9]考慮了借貸利率的風險模型，即當保險公司發生財政赤字時，充許其通過借錢來繼續開展它的業務，并通過后期的保費及投資收入償還債務，并獲得了模型破產概率的積分微分方程。

本文在上述工作和實際需要的基礎上，對風險模型進行了推廣，建立了更加符合實際的風險模型。構建了混合保費的風險模型，即保費收取為固定保費和隨機保費的雙險種模型，同時用布朗運動描述不確定的付款和收益的影響，考慮借貸和投資因素，即研究混合保費收取模式下帶借貸、投資及干擾因素的復合Poisson-Geometric模型。

1相關知識簡要回顧及模型的建立

定義 1^[10] 稱母函數 所對應的分布為復合Poisson-Geometric分布，記為 PG（λt，ρ） ，其中 λgt;0，0?ρlt;1 。

引理 1^[10] 當 ρ=0 時， PG（λt，ρ） 是參數為 λ 的Poisson分布。

引理2[]當tgt;O時，若N（t）服從PG（λt，p）分布，則E[（t）-p。

引理 3^[10] 若 {N_i（t）;t?0} ，是參數為 λ_i，ρ_i 的Poisson-Geometric 過程，記 λ（1-pi）（若p：=0，則取（204號 α_i=λ_i） ，則當 Φ_t 足夠小時有

其中， A_kⁱ（t）=ρ_i^k+（k-1）[ρ_i（1+α_it）]^k-2，o（t） 與 k 無關，且 （t）一致收斂， i=1，2 。

在概率空間 （Ω，F，P） 上，考慮保險公司盈余過程為

$$

其中， （1）u 是初始準備金， A 是投資額， l 是單位時間投資收益率， ∣c∣ 是單位時間征收的保險費率；（2）{X，X_i，i=1，2，…} 是期望為 ?μ 的獨立同分布的非負隨機變量序列， X 表示隨機保費額，其分布函數為 R（x） ，概率密度函數為 r（x），S₁（t） 是一隨機過程，稱為隨機保費收入過程; （3）{M（t），t?0} 是參數為 λ 的Poisson過程，表示到時刻 Φ_t 為止所收到隨機保費的保單數； 是期望為 的獨立同分布的非負隨機變量序列， Y 表示第一種險種的理賠額，其分布函數為 G（x） ，概率密度函數為 g（x） ，且 G^*k（x），g^*k（x） 分別為 G（x） ，g（x） 的 k 重卷積， 是 G^*k（x） 的尾函數， S₂（t） 是一隨機過程，稱為第一種險種的索賠過程； 是參數為 Φ（λ₁，ρ₁） 的Poisson-Geometric過程，表示到時刻 Φ_t 為止第一種險種理賠發生的次數; 是期望為 μ₂ 的獨立同分布的非負隨機變量序列， Z 表示第二種險種的理賠額，其分布函數為 F（x） ，概率密度函數為 f（x） ，且 F^*k（x），f^*k（x） 分別為 F（x），f（x） 的 k 重卷積， 是F^*k（x） 的尾函數， S₃（t） 是一隨機過程，稱為第二種險種的索賠過程; （7）{N₂（t），t?0} 是參數為 （λ₂，ρ₂） 的Pois-son-Geometric過程，表示到時刻 χ_t 為止第二種險種理賠發生的次數； 是一標準布朗運動，表示不確定的付款和收入， σ 是一常數，表示付款和收入的不確定性對保險公司盈余的影響程度；（9）由于各個保險過程和理賠是相互獨立的，設 {N₂（t），t?0} 以及 {B_ι，t?0} 是相互獨立的。

為了使模型更具有實際意義，我們假設當保險公司財政赤字時，即盈余是負的，可以允許其以利息力 δgt; 0進行借貸并繼續經營其業務，保險公司通過它的保費和投資收入來償還其債務，然而當公司的盈余低于c + IA+μ時，絕對破產出現。

混合保費下帶借貸和投資及干擾的雙復合Poisson-Geometric模型風險過程，即

dU_δ（t）=（c+lA+δU_δ（t）I（U_δ（t）lt;0））dt+σdB_t+dS₁（t）-dS₂（t）-dS₃（t）U_δ（0）=u， 其中 ，I（A） 是集合 A 上的示性函數，設 T_δ 表示風險模型（2）的破產概率， T_δ=inf{t≥0 且約定 表示模型（2）中初始資本為 u 的無限時破產概率，即

當盈余處于不同水平時，破產概率符合不同的積分微分方程，為了研究問題的方便，當 u?0 時，記 當 時，記 ψ（u）=ψ_-（u）

設 T 表示風險模型（1）的破產時刻， T=inf{t?0;U（t）lt;0};?（u） 表示風險模型（1）中初始資本為 u 的無限時破產概率，即 ，顯然當 u?0 時， T?T_δ，0lt;ψ₊（u）??（u）lt;1 且

由[2，8]可知，導致破產出現有兩種可能，一種是由于索賠引起的， ψ_s（u） 表示破產是由索賠引起的破產概率，另一種是由于擾動引起的， ψ_d（u） 表示破產是由擾動引起的破產概率，因此無限時破產概率有以下分解：

而且，

類似地，當 u?0 時，記 ψ_s+（u）=ψ_s（u），ψ_d+（u）=ψ_d（u） 當 時，記 ψ_d-（u）=ψ_d（u）

同樣地，定義有限時所有變量 ψ（u，t），ψ_s（u，t），ψ_d（u，t），ψ_s-（u，t），ψ_s+（u，t），ψ_d-（u，t），ψ_d+（u，t）_∞=0

為了保證保險公司的穩定經營，需要假設保險公司的營收總和期望值大于支出總和期望值，由此定義安全負荷條件為：c+IA+μgt;1-pi

2 主要結果

定理1假設 是二次連續可微的，當 u?0 時， 符合下面積分微分方程：

當 _c+A+λμ

邊界條件為：

其中

證明：

當 u?0 時，令 則 H（0）=u 且 dH（t）=（Al+c）dt+σdB_t° 由伊藤積分公式有

即

所以

在充分小的時間段 （0，t] 內，考慮（2）式定義的風險過程 U_δ（t） 。既然 M（t） 是Poisson過程， ??N₁（t） 和 N₂（t） （20都是Poisson-Geometric過程，則在 （0，t] 有以下五種可能情況：

（1）M（t），N₁（t） 和 N₂（t） 都沒有跳躍，即隨機保費沒有保單到達，兩類索賠也都沒有發生，其發生的概率為 （1-λt+o（t））（1-λ₁t+o（t））（1-λ₂t+o（t））

η（2）M（t） 沒有跳躍， N₁（t） 至少有一跳躍，且 N₂（t） 沒有跳躍，即隨機保費沒有保單到達，第1類索賠至少發生k（k?1） 次，第2類索賠發生0次，其發生的概率為

（3） M（t） 和 N₁（t） 都沒有跳躍，且 N₂（t） 至少有一跳躍，其發生的概率為 （1-λt+o（t））（1-λ₁t+

η（4）M（t） 有一跳躍，且 N₁（t） 和 N₂（t） 都沒有跳躍，其發生的概率為 λt（1-λ₁t+o（t））（1-λ₂t+o（t）） （5）其它情況發生的概率為 o（t） 。

整理可得

在（7）式兩邊同時除以 Φ_t ，令 t?0 ，同時利用（6）式則有

所以（3）式成立。

當 時，令 Y（t）=ue^δt+（lA+c）t+σB_t， 則 Y（0）=u 及 dY（t）=（uδe^δt+lA+c）dt+ σdB_t. ，由伊藤積分公式有：

整理可得

經計算可得：

在（9）式兩邊同時除以 Φ_t ，令 t?0 ，同時利用（8）式則有（4）式成立。

在（4）式中，令u↓_c+lA+λμ ，得邊界條件（5）式中的第（2）式。

注1：當 l=0，λ=0 時，（3）式、（4）式分別退化為文獻[8]中的（3）式、（4）式。

定理2假設 ψ_d（u） 是二次連續可微的，當 u?0 時， 符合下面積分微分方程： 當 髙時 ψ_d（u） 符合下面積分微分方程：

邊界條件為：

其中，

證明：類似于定理1。

注2：當 l=0，λ=0 時，（10）式、（11）式分別退化為文獻[8]中的（10）式、（11）式。

推論1在定理1和定理2的條件下，當 u?0 時 ψ（u） 符合下面積分微分方程：

當 _c+A+μ

邊界條件為：

其中

證明：

ψ_i（u）+ψ_s（u）=ψ（u）ψ^′_d（u）+ψ^′_s（u）=ψ^′（u），ψ^′_d（u）+ψ^′_s（u）=ψ^′（u），

因此，根據（3）式和（10）式，得（13）式，根據（4）式和（11）式，得（14）式，根據（5）式和（12）式，得（15）式。

注3：當 l=0，λ=0 時，（13）式、（14）式及（15）式分別退化為文獻[8]中的（13）式、（14）式及（15）式。

定理3假設 是對 u 二次連續可微的，對 Φ_t 一次連續可微的.當 u?0 時 ，ψ_s（u，t） 符合下面偏微分積分方程：

當 氣時 符合下面積分微分方程：

邊界條件為：

其中

證明：

當 u?0 時，令 H（t）=u+（Al+c）t+σB_t ，則 H（0）=u 且 dH（Δ）=（Al+c）dΔ+σdB_Δ 由伊藤積分公式有

所以

在充分小的時間段 （0，Δ] 內，考慮（2）式定義的風險過程。首先研究索賠引起的有限時破產概率ψ_s（u，t） ，由全概率公式并整理可得：

在（20）式兩邊同時除以 Δ ，令 Δ0 ，同時利用（19）式得（16）式.

當 時，令 Y（t）=ue^δt+（lA+c）t+σB_t， 則 Y（0）=u 無及藍 dY（Δ）=（uδe^δΔ+lA+c）dΔ （20+σdB_Δ°

由伊藤積分公式有：

經計算可得：

在（22）式兩邊同時除以 Δ ，令 Δ0 ，同時利用（21）式得（17）式。

注4： ，當 t?∞ 時，式（16）即為（3）式、（17）式即為（4）式。

注5：當 l=0，λ=0 時，式（16）式（17）分別退化為文獻[8]中的式（16）式（17）。

定理4假設 ψ_d（u，t） 對 u 是二次連續可微的，對 Φ_t 是一次連續可微的.當 u?0 時， ψ_d（u，t） 符合下面偏微分積分方程：

當 _c+A+λμ

（204號 邊界條件為：

其中，

證明：類似于定理3。注6： 當 t?∞ 時，式（23）即為（10）式、（24）式即為（11）式。注7：當 l=0，λ=0 時，式（23）式（24）分別退化為文獻[8]中的式（23）式（24）。

推論2在定理3和定理4條件下，當 u?0 時 ，ψ（u，t） 符合下面偏微分積分方程：

當 氣時 ψ（u，t） 符合下面積分微分方程：

邊界條件為：

其中

證明：類似于推論1。

注8 ，當 t?∞ 時，（25）式即為（13）式、（26）式即為（14）式。

注9：當 l=0，λ=0 時，（25）式、（26）式分別退化為文獻[8]中的（25）式、（26）式。

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