四階半正變系數常微分系統固結梁邊值問題正解的存在性

關鍵詞：變系數；半正問題；拓撲度理論；正解中圖分類號：0175.14 文獻標識碼：A 文章編號：1674-0033（2025）04-0014-05

Abstract：The boundary value problem of a four order semi-positive variable coefficient ordinary diferential system fora consolidated beam with two-end fixed-support boundary conditions，

∣u^（4）（x）+a（x）u（x）=λf₁（x，ν（x））， ，x∈（0，1）， ∣ν^（4）（x）+b（x）ν（x）=λf₂（x，u（x））， ∈（0，1）， u（0）=u（1）=u'（0）=u'（1）=0， ν（0）=v（1）=v'（0）=v'（1）=0，

it is studied by using the topological degree theory and Schauder's fixed-point theorem，where λgt;0 isa parameter， a，b∈C [O，1]，and the nonlinear terms are continuous functions and satisfy certain conditions， the existence of positive solutions of the system is explored by constructing operators and proving relevant lemmas.When the nonlinear terms are continuous functions，satisfy the semi-positive assumption f_i（x，0）

Key words： variable coefficients; semi-positive problem; topological degree theory; positive solution

四階常微分方程邊值問題是描述在彈性變形下梁狀態的數學模型，也稱彈性梁問題，理想的彈性變形條件對梁結構前期分析及后期延性調整起著至關重要作用。由于其重要的物理意義和實際應用價值，研究者們對不同邊界條件下四階常微分方程解或正解的情況進行了研究[-10]。Benhassine通過臨界點理論探討了兩端簡單支撐邊界條件下常系數彈性梁方程 y^（4）（x）+My^′′（x）= λf（x，y（x）），x∈（0，1） 多重變號解的存在性，其中 f∈ C（[0，1]×R，R），M∈R，λgt;0°Wang 等8應用單調迭代技巧獲得了兩端滑動支撐邊界條件下的常系數非線性四階常微分方程 y^（4）（x）+（k₁+k₂）y^′′（x）+k₁k₂y（x）= λh（x）f（y（x）） ， x∈（0，1） 正解的存在性，其中 f∈ C（[0，∞），R） 。 Ma^[9] 運用分歧技巧關注了兩端簡單支撐邊界條件下變系數四階常微分方程y^（4）（t）+β（t）y^′′（t）=a（t）f（y（t）），t∈（0，1） 結點解的存在性，其中 β∈C[0，1]，β（t）lt;π²，f：RR 連續且滿足 f（u）ugt;0 Ma等借助非共軛理論和Elias's譜理論給出了兩端固定支撐邊界條件下算子 u^（4）+p（t）u，t∈[0，1] 的譜結構和正性。 Ma^[9] 對四階常微分方程的研究是在變系數條件下進行的。但現有文獻對四階常微分方程系統問題的研究較少。 An 等通過變分法探究了一類二階-四階耦合常微分系統邊值問題解的存在情況。 Wang 等[2利用錐上的不動點定理獲得了四階常微分方程非線性系統：

正解的存在性，其中 f_i∈C（[0，1]×[0，+∞）×[0，+∞）. 。注意到，Wang等2獲得的是常系數四階系統問題當非線性項為正時正解的存在性結果。

在文獻[10]和文獻[12]的基礎上，本文考慮非線性項變號且具有變系數的四階常微分方程系統問題正解的存在情況，主要運用拓撲度理論研究兩端固定支撐邊界條件下四階半正變系數常微分系統邊值問題：

正解的存在性。本文總假設：

（A1） a，b∈C[0，1]，?x∈[0，1]，0?a（x），b（x）?128 且在[0，1]的任何子區間上不恒為0。

（A2）（半正條件） f[0，1]×RR 連續且 f_i（x，0）lt;0 i=1，2 （20

（A3） ?x∈（0，1） 一致成立，其中 p_i∈C[0，1]，i=1，2 ，且 ?x∈（0，1），p_igt;0，γgt;1 。

1預備知識

令 u^′（1）=0，ν（0）=ν（1）=ν^′（0）=ν^′（1）=0} 為Banach空間，其范數定義為 ||（u，ν）||=max{||u||_∞，||ν||_∞} 。定義算子

L₁u（x）=u^（4）（x）+a（x）u（x），

L₂ν（x）=ν^（4）（x）+b（x）ν（x）

引理 1^[10] 假設（A1）成立，則齊次邊值問題：

和

的格林函數 G_i（x，s）gt;0，（x，s）∈（0，1）×（0，1），i=1，2，

并記 m_i=_{x，s∈（0，1）}^minG_i（x，s），M_i=_{x，s∈（0，1）}^maxG_i（x，s） ，即有0ii°

引理2設

則 為緊算子， F（u，ν）≥0 ，并且存在 r₁，r₂gt;0 使得

其中 為單位映射， B_ri 為 中以（0，0）為球心，r_i 為半徑的開球。

證明：考慮邊值問題：

其中 c_igt;0，φ_i 為 L_i 的主特征值 α_i 對應的特征函數。

則式（2）有正解當且僅當 c_i 有界。

充分性。定義算子

J?C[0，1]×C[0，1]C[0，1]×C[0，1]，

顯然， J 是全連續的。

由于 c_i≥0 有界 ，f_i^* 和 φ_i 在[0，1]上有界，可知J 在 [0，1]×[0，1] 上有界，由Schauder不動點定理知，J 在 中有一個不動點 （u，ν） 等價于式（2）在 中有解，結合引理1格林函數的定號性質，即有 u，ν?0

必要性。考慮

設式（2）的正解為 （u，ν） 。首先考慮 u（x） ，有

u^（4）（x）+a（x）u（x）=f₁^*（x，ν（x））+c₁φ₁，

等式兩端同乘以 φ₁ 并在[0，1]上積分，通過分部積分公式整理得：

即

因為 φ₁gt;0 ，所以

由于 γgt;1，ν^γgt;0 ，因此

有界，同理可得 c₂ 有界。即式（2）有正解當且僅當

c_i 有界。

由式（2）的等價積分形式及引理 1，?x∈[0，1]

其中 D₁ 是 c₁ 的一個上界， 為有限數，所以 u（x） 在[0，1]有上界，從而存在 r₂^′gt;0 ，使得 u（x）2^′ 。同理可得：

存在 r₂^′′gt;0 ，使得 u（x）2^′′ ，則 ||（u，ν）||2'，r₂'}， 于是，存在 r₂=max{r₂^′，r₂^′′} ，使得 ||（u，ν）||2， 0

當 c₁，c₂=0 時，式（2）可寫為：

由式（4）的等價積分形式， ?x∈[0，1]

故存在 r₁^′gt;0 使得 u（x）gt;r₁' 。同理可得：

存在 r₁^′′gt;0 使得 u（x）gt;r₁^′′ ，則 |（u，ν）||gt;min{r₁^′，r₁^′′} 。于是，存在 r₁=min{r₁^′，r₁^′′} ，使得 ||（u，ν）||gt;r₁ 。因此，

r₁lt;||（u，ν）||2^°

由嵌入定理可知， 為緊算子， F（u，ν）≥0 。

進一步，有結論（I）和 （II） 。

（①） ?μ?0 ，當 （u，ν）∈B_r2 時，有

-μ（L₁^-1（φ₁），L₂^-1（φ₂））+（u，ν）≠F（u，ν）°

（II） ?0?σ?1 ，當 （u，ν）∈?B_r1 時，有

（u，ν）≠σF（u，ν）

對于 （I） ，當 （u，ν）∈B_r2 時，有

用 L₁^-1，L₂^-1 分別作用式（5）和式（6，則

即 -μ（L₁^-1（φ₁），L₂^-1（φ₂））+（u，ν）≠F（u，ν）°

對于 （ID） ，反設存在 0?σ?1 ，使得當 （u，ν）∈?B_r1

時，有 scriptstyle（u，ν）=σF（u，ν） 。

當 σ=0 時，有 u=ν=0 ，這與 （u，ν）∈?B_r1 矛盾；當0lt;σ?1 時， ，則有

式（7）有解等價于

當 x∈[0，1] 時，結合 r₁gt;0 充分小，可以保證||（u，ν）||gt;r₁ 而這與 （u，ν）∈?B_r1 矛盾，即（II成立。

由拓撲度理論的缺方向性和不動點指數理論，有

從而

引理3存在 δgt;0 ，若 是緊的且?（u₁，ν₁）∈?B_r2，u₁，ν₁gt;0 ，有 ，則存在正解 （u，ν）∈?B_r2 使得 （u，ν）=F（u，ν）+F₁（u，ν）° （24

證明：設 s 表示當 f_i（x，ξ_i）=p_i（x）ξ_i^γ（i=1，2） 時式（4）在 中的解集，取 εgt;0 充分小，N_ε=?_{（u，ν）∈S}B_ε（u，ν） 其中 B_ε（u，ν） 表示 中以 （u，ν） 為球心， ε 為半徑的開球。顯然， N_ε 是開的。

1）由 F 的緊性，證明存在 δgt;0 ，若 （u₁，ν₁）∈?N_ε 則有 ||（I-F）（u₁，ν₁）||gt;δ 。

假設 （u₂，ν₂），（u₃，ν₃） 為問題：

的兩個解，由于 （u₁，ν₁）∈?N_ε， 故 （u₁，ν₁） 不是 （u₂，ν₂） （u₃，ν₃） 其中之一，從而 （u₁，ν₁） 不是式（8）的解，因此 ，于是 ||（I-F）（u₁，ν₁）||gt;δ_c

2）證明對于充分小的 δgt;0 ，當 （u₁，ν₁）∈N_ε 時，有 u₁（x）gt;0，ν₁（x）gt;0，x∈[0，1]°

反設上述結論不成立，則 ?x∈[0，1] ，存在 使得 ||（u_1s，ν_1s）-（u_s，ν_s）||?0 且 u_1s，ν_1s?0 。

由于 s 是緊的，則 s 必有收斂子列。不妨設（u_s，ν_s）?（u，ν） ， （u，ν）∈S ，從而 （u_1s，ν_1s）?（u，ν） 。由于（u，ν）∈S ，故 Φ（u，ν） 滿足式（8）。式（8）有解等價于

（u（x），ν（x））=

可得 u（x）gt;0，ν（x）gt;0 ， ?x∈（0，1） 。結合 則

u_1ε（0）=u_1ε（1）=u^′_1ε（0）=u^′_1ε（1）=0

u_1ε（0）=ν_1ε（1）=ν_1ε^′（0）=ν^′_1ε（1）=0，

從而 u_1ε（x）gt;0，ν_1ε（x）gt;0，x∈（0，1） ，矛盾。

3）證明存在正解 （u，ν）∈?B_r2 ，使得

（u，ν）=F（u，ν）+F₁（u，ν）°

由于 ||F₁（u₁，ν₁）||lt;δ，（u₁，ν₁）∈?B_r2 則 ?（u₁，ν₁）∈?N_ε， 因此 ，從而 deg（I-F-F₁，N_s0） 有意義。

結合拓撲度理論的性質，

2系統正解的存在性

定理1假設（A1）（A2）（A3）成立，則存在λ^*gt;0 ，使得 ?0lt;λlt;λ^* ，式（1）至少存在一個正解。

證明：由（A3），給定 ε_igt;0，i=1，2 ，當 ξ_i 充分大時， ?x∈[0，1] ，有

從而存在常數 k（ε₁），k（ε₂） ，使得 ?ξ_i?0 ，有

∣f_i（x，ξ_i）-p_i（x）ξ_i^γ∣lt;ε_ip_i（x）ξ_i^γ+k（ε_i）

令 給定，代入式（9），?u，ν?0 ，有

令

取 充分小，使得 ?x∈[0，1] ，有

取 α 充分小，

結合式（10）和式（11）可知，

同理可得 ||ν||_∞lt;δ₂ ，則

因此存在 δ=max{δ₁，δ₂} ，使得

由引理3知，存在正解 （u，ν）∈?B_r2， 使得

（u，ν）=F（u，ν）+F₁（u，ν）

用 L₁，L₂ 分別作用式（12），得

結合 ，有

（13）令 ，代入式（13）可得 （204號令 結合式（11）即有 ?0lt;λlt;λ^* ，式（1）至少存在一個正解。

3結語

本文突破傳統研究框架，將文獻[12]中關于常系數四階常微分系統的結論，推廣至更具一般性的變系數情形，同時考慮非線性項變號的復雜情況，深入探究了四階半正變系數常微分系統固結梁邊值問題正解的存在性。通過巧妙運用拓撲度理論和Schauder不動點定理，成功獲得當參數充分小時，該邊值問題至少存在一個正解的重要結論。后續研究可進一步拓展參數范圍，或探索不同邊界條件、更復雜的非線性項設定下系統正解的特性，為四階常微分系統理論的發展與實際應用提供更豐富的成果。

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（責任編輯：李堆淑）