基于核心素養的大學生數學審辯式思維能力提升策略

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1674-0033（2025）04-0090-07

Abstract：Focusing on the field of collge mathematics teaching，Deeply explore the mathematical teaching practice paradigm based on critical thinking，aiming to effectively enhance students‘innovative abilitiesand professional qualities.A comprehensive theoretical analysisof critical thinking iscarried out toclarify its connotation，and the internal integrationrelationship between critical thinking and mathematical problem-solving thinking methods is deeply analyzed.Starting from the three dimensions of mathematical logic thinking knowledge，the corrspondence of thinking mode topology，and positive rational thinking，combined with practical mathematical teaching cases such as the solution of the Problem of Unknown Quantities in Sun Tzu's Arithmetic Classic\"，the generalization of function derivation rules，and the discusson of limit solving methods in the comparison of infinitesimals，the specific strategies for cultivating critical thinking are systematically expounded. The research holds that cultivating critical thinking cannot only help students break through thelimitations of traditional thinking in mathematics learning and optimize the problem-solving path，but also serve as an effective way to realize mathematic al elite educationand improve the core scientific quality of citizens.Itis cond ucive to cultivating high-quality mathematical talents with innovative ability and rigorous thinking for the country. Key words： critical thinking; core mathematical literacy；mathematical logic;thinking modality；active rational deliberation

在新時代科技創新驅動與人才強國戰略背景下，我國對高素質數學人才培育給予高度重視。2021年，習近平總書記《在中國科學院第二十次院士大會、中國工程院第十五次院士大會、中國科協第十次全國代表大會上的講話》中強調強化人才自主培養，培育科學精神、創新能力與批判性思維；同年修訂的《中華人民共和國科學技術進步法》又強調“學校及其他教育機構應當堅持理論聯系實際，注重培養受教育者的獨立思考能力、實踐能力、創新能力和批判性思維，以及追求真理、崇尚創新、實事求是的科學精神\"2]。《國務院關于全面加強基礎科學研究的若干意見》等政策文件也突出數學學科基礎性地位，明確其對提升國家核心競爭力的關鍵作用，將數學教育提升至國家戰略高度。數學人才的創新性培養，本質上依托于數學基礎理論、思維方式與方法論的系統構建，同時需培育其獨立思考、質疑反思的科學精神。課堂教學中，鼓勵學生主動質疑、提出創新性問題，并能夠邏輯清晰地闡釋觀點，既是學生對數學知識體系的深度內化過程，也是科學研究思維的早期塑造過程，關系到我國未來在基礎科學領域的突破。大學生數學核心素養的培育，依賴于一線教師的教育智慧與教學實踐。教師需以敬畏之心對待教學，以創新之法優化課堂，在傳授知識的同時，將審辯式思維的培養融入課程設計與教學過程[4-5]。從研究現狀來看，現有成果已關注到核心素養導向下大學數學教學的轉型需求，探討教學改革路徑、批判性思維培養策略，以及數學思維嚴謹性的塑造方法[46。審辯式思維（CriticalThinking）也被稱為批判性思維，是一種通過理性分析、質疑和評估信息，從而做出明智判斷和決策的思維方式。它不僅涉及對信息的理解，更強調對信息的深度加工、邏輯推理和辯證思考，是現代社會中極為重要的核心能力之一。但如何將審辯式思維與數學核心素養深度融合，并轉化為可操作的教學實踐范式，仍需進一步探索。鑒于此，本文聚焦大學數學核心素養的核心內涵，結合《孫子算經》中物不知數問題的多元解法等典型案例，系統構建基于審辯式思維的數學教學實踐范式。這一范式以創新能力培養為核心，通過強化專業知識學習、技能訓練與職業倫理教育，全面提升學生的專業勝任力。同時，為基礎數學研究中審辯式思維的培養提供新思路。

1理論辨析

審辯式思維歷史悠久，其思想淵源可追溯至古希臘時期。蘇格拉底倡導的“精神助產術”，以探究性質疑啟發思考。到現代，教育家約翰·杜威7提出了“反省性思維”。發展至當代，審辯式思維已成為“4C\"核心能力之一，與溝通（Communication）、合作（Collaboration）、創新（Creativity）共同構成本世紀人才必備素養，對激發創新型人才的主動進取精神與開拓意識發揮著關鍵作用。由于“審辯式（批判性）思維\"這一表述常與負面認知（如“挑毛病”“否定\"等）相聯系，而其本質為人類思維的本能范式，為澄清概念、正本清源，有必要對學界代表性觀點進行系統梳理與闡釋。

觀點18審辯式思維是一種綜合體系，既包含以思考視角審視經驗領域中問題與對象的態度，也涵蓋邏輯探究、推理方法的相關知識，同時還涉及運用這些方法的實踐技巧。

觀點 2^[9-10] 審辯式思維本質上是一種理性且具有反省特質的思維活動，旨在通過系統性思考，明確應當相信的內容與值得采取的行動，進而為信念確立與行為決策提供指引。

觀點 3^[11] 審辯式思維是遵循特定規則、具有明確自的性的判斷過程。在此過程中，需要對證據、觀念、方法、評價標準及語境等要素進行詮釋、分析、評估與解讀。審辯式思維不僅是探索事物本質的重要工具，更是包含諸多思維技巧與態度傾向的復雜認知過程。

觀點 4^[12-13] 審辯式思維并非局限于尋找缺陷與不足，而是強調全面考量事物的各個維度，既包含批判性審視，也涵蓋肯定性評價，最終在充分理解的基礎上，形成審慎而客觀的判斷結論。

觀點 5^[14-15] 審辯式思維的運行邏輯包含三個遞進層面：第一，以懷疑甚至否定的態度對問題發起審視。第二，通過充分的論證與推理，篩選出合理的問題解決方案。第三，經過多維度比較與權衡，確定最優解決策略。

觀點 6^[16-17] 審辯式思維是融合理性探究與實證驗證的認知活動，它既體現為求真、謙遜、審慎、客觀、公正、自省、開放等批判理性精神特質，也表現為闡釋、辨別、剖析、推理、評判與發展等高階思維技能，構成了思維能力與思維品格的有機統一體。

綜上所述，審辯式思維可從能力、特征、過程、原則與方法等不同側重點進行界定。其內涵既廣泛涵蓋對概念、假定、證據、方法、標準、隱含條件和后果等要素的考量，以及分析、推理、說明、評價、辯護等一系列認知技能，又包括崇尚理性、保持好奇、勤學好問、博聞廣識、尊重事實、思維開放、審慎判斷、客觀評估、正視成見、敏于探究、樂于反思等一系列思維品質。

數學問題解決的思維方法深度契合審辯式思維的內涵要素。具體數學問題的解決過程，是培養審辯式思維的有效途徑。這一過程同時也體現了人類文化傳承與創造性思維的源泉。在此過程中，審辯式思維發揮著雙重作用：一方面，通過系統性質疑與邏輯證偽，它推動數學基礎理論知識和思想方法突破直覺思維的限制，重構數學問題的認知與解決框架。另一方面，它能夠全面評估數學問題的本質，深度融入問題分析與解決過程，優化解題路徑，構建多維度的分析網絡，并在判斷過程中促使對數學標準的重新解釋。審辯式思維不僅能夠催化數學理論體系的重構，推動數學研究范式的革命，更能將思維態度、專業知識與實踐技巧融為一體，保障數學創新的穩健性，增強創新風險控制能力，平衡嚴謹性與創造性之間的張力。同時，它還能影響數學共同體的認知范式，決定研究者的信念與行動，進而塑造數學創新文化，培育跨學科研究生態，最終為提升學生的數學核心素養奠定實踐基礎。

2提升策略

數理邏輯思考、思維模態的拓撲對應和積極理性思辨是創新型人才的核心素養。數學憑借其自身特點，易于促使人們形成反省思維與質疑性思維，培養人的開放性，避免固步自封。并且，人們能夠在深刻理解先哲或他人思想與理論的基礎上，對證據、概念、方法、語境等進行理性質疑、考察、分析、判斷、推論和評價，校準自己最初的闡釋。本文立足數理邏輯思考、思維模態的拓撲對應與積極理性思辨這三個核心創新素質，運用案例的方式，將審辯式思維實踐與探究性學習有機融合，助力形成決定該做什么和相信什么的思維品質。

2.1數理邏輯思維能力是培養審辯式思維的有效路徑

眾所周知，中國墨辯、印度因明學、古希臘邏輯學并稱為世界三大邏輯學體系[8]。中國墨辯首次提出“辯”“類”“故”“理\"等邏輯范疇，主張“依類明故，推類察故\"（《尚賢》），將“察類”“明故\"確立為明辨是非、審察同異的論辯原則與邏輯方法，并大量運用邏輯推論構建理論體系。其邏輯推理建立在\"知類\"（把握事物類別）與“明故\"（明確根據理由）的基礎之上，屬于邏輯類推與論證的范疇。墨子提出的“三表法\"不僅是言論的評判標準，更蘊含推理論證的要素。在墨子的倡導下，墨家形成重邏輯的學術傳統。古希臘哲學家亞里士多德創立邏輯學的辯證思維體系，以“三段論”為核心，系統研究概念、判斷、推理等思維形式，并強調思維過程中概念與判斷需保持同一性、確定性，避免矛盾且要具備充足理由。這一理論為歐幾里得（Euclid）采用形式邏輯演繹法撰寫《幾何原本》奠定基礎，成為人類文明史上的經典范例。然而，傳統形式邏輯在處理關系命題、推理及量詞等方面存在局限性，尤其在否定復雜命題時面臨困境。相比之下，運用數學方法研究思維形式及其規律的數理邏輯，在表述否定命題方面展現出顯著的優越性與技巧性。

《墨子》雖非專門的邏輯學、幾何學著作，內容也不及亞里士多德邏輯學體系與歐幾里得《幾何原本》豐富，但墨子在概念、判斷、推理等邏輯學領域作出了重大貢獻，堪稱偉大的邏輯學家。客觀審視中國古典邏輯學與數學成就，不僅能彰顯其獨特價值，更能體現世界數學邏輯思維發展的多元性與廣闊性。墨子一方面借助邏輯學研究數學，另一方面運用數學思維深化對邏輯的探索。墨子的數學成就涵蓋基礎概念及20余條幾何學內容，其在嚴密的理論組織、確切的幾何公理化思想及精辟的立論等方面，絲毫不亞于亞里士多德邏輯學和歐幾里得《幾何原本》，這也是“中國式審辯式思維\"的重要體現。事實上，成書于公元263年的《九章算術》及劉徽注，與《幾何原本》東西輝映，是中國古代邏輯推理與公理化思想的集大成之作。其中，方程術作為中國傳統數學的卓越成果，使古代數學家得以運用演繹法，得以徹底解決整系數線性方程組的求解問題，而劉徽更通過嚴謹的理論論證，闡明了方程術的正確性。依據相關典籍史料[19-201，將現代數學中的消元法與矩陣初等變換法命名為“中國消元法\"與“中國矩陣初等變換法”。以《孫子算經》中物不知數問題為例，展示一種數理邏輯思維求解方法。

案例1物不知數問題及中國剩余定理的深度討論。

《孫子算經》[20卷下第26題：今有物不知其數。三、三數之，剩二；五、五數之，剩三；七、七數之，剩二。問：物幾何？

答日：二十三。

術曰：“三、三數之，剩二”，置一百四十；“五、五數之，剩三”，置六十三；“七、七數之，剩二”，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三、三數之剩一，則置七十；五、五數之剩一，則置二十一；七、七數之剩一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。

中國矩陣初等變換法：設物品數為 x，3 件物品、5件物品、7件物品組的組數分別為 x₁，x₂ x₃ ，按題意可列一個關于 x₁，x₂，x₃ 的非齊次線性方程組：

并且其解應都為正整數，此方程組的增廣矩陣為：

?x=2+7x₃，

取 x₃ 為自由未知量，解得 A

為保證 x，x₁，x₂，x₃ 均為正整數，取 x₃=3+15k （k

為任意非負整數），解之得：|x=23+105k ，（k 為任意非負整數），|x₂=4+21k ， ，

故 x 的最小正整數為23。

由于“物不知數問題存在多樣化的求解方法，中國矩陣初等變換法便是其中之一。秦九韶在《數書九章》第一卷“大衍\"中提出的“大衍總數術”，本質上是對《九章算術》及劉徽注中蘊含的中國消元法、中國矩陣初等變換法等傳統數學思想方法的繼承與創新。基于此，本研究進一步運用中國矩陣初等變換法，為中國剩余定理提供一種新穎且嚴謹的數理邏輯證明。

案例1不僅充分體現了中國式審辯式思維中歸納推理與演繹推理兩種邏輯方式的互補特性，更詮釋了判斷數學命題真偽或部分真偽的思維路徑。這一過程展現了如何通過理性思考得出合理結論，同時也有力拓展了學生在審辯性知識認知、質疑意識培養、甄別與重建技能提升等方面的能力，彰顯了審辯式思維的獨立性、論證性與重建性特質。正如，陳省身2所言，他在中國學會了歸納法，在西方學到了演繹法。郭書春2也曾指出，李儼等運用歷史學方法研究中國古代數學成就，為中國數學史確立了實事求是的研究范式。上述案例表明，數理邏輯學中的邏輯演算、演繹歸納法及數學化論證，是培養學生審辯性思維最簡潔、精確且有效的途徑。這一培養方式不僅凸顯了審辯式思維的實踐意義與價值，更有助于提升學生思維的真實性、洞察力與思辨深度。

2.2思維模態的拓撲對應是培養審辯式思維的 深度延伸

思維模態的拓撲對應，是指學習者在自主、反思的教育環境中，圍繞明確的闡釋目標或問題解決需求，積極調動主觀能動性與創造精神，通過合理的思維活動作出決策或滿足求知訴求，從而實現主體意識的自覺激發與問題解決路徑的探索。數學問題的解決過程高度體現個體的智慧，學習者往往需要通過深入的自我反思與論證，重新審視和評估自身的思維模式，辨析不同解題思路的合理性，進而從多種解法中篩選出最優方案5。此外，合作交流與研討能夠進一步深化自主探究能力。正如董毓所述，審辯式思維是真正獨立思考的定義，遵循審辯式思維的方法就是‘獨立思考'[。案例2展現審辯式思維在深度延伸方面的廣闊空間。

案例2對“函數的求導法則\"22中，“和、差、積、商的求導公式\"的推廣研究。

教材提出\"定理1中的法則（1）和法則（2）可推廣到任意有限個可導函數乘積的情形。例如，設u=u（x），ν=ν（x），w=w（x） 均可導，則有 （uvw）^′=u^′νw+uν^′ w+uνw^′ ”。事實上，可以繼續引導學生獨立完成更為一般的推廣結論，即

u_k=u_k（x），（k=1，2，…，n）

教師進一步啟發學生獨立思考，引導學生用簡捷而高效的數學歸納法對其予以證明。

依據求導的積運算法則，有

所以由數學歸納法原理，證得推廣結論對一切正整數 n 都成立。

在學生得出關于積的任意有限個可導函數的一般性結論后，教師可進一步引導學生運用類比聯想的方法，合理推測商的求導法則的一般推廣形式，例如，根據類比聯想推測商的求導法則一般推廣形式，有

由函數商的求導法則容易得到：

案例2的思考難點體現在哪些方面？思考過程的復雜性如何表現？需要克服的困難有哪些？是否需要從其他維度或視角重新審視問題？整個推理過程是否清晰？首尾段落是否相互呼應？結論是否能從既有證據中自然推導得出？在運用對數求導法進行證明的啟發引導過程中，需要注意哪些關鍵事項？開展上述教學活動的目的，在于培養學生掌握研究問題的基本方法，提升其邏輯思維的獨立性、廣闊性與嚴謹性。

對問題復雜性的表現形式進行深入剖析后，數學歸納法被靈活且高效地運用于證明猜測推廣形式的合理性、正確性與深刻性，同時問題的難點也得到全面攻克。該問題解決過程充分展現了數學思維活動與實際求解中獨立自主思考和探索的自覺性與主動性，體現了從多維度、多層次、多角度深入思考問題的價值。這一過程著重對既有答案保持懷疑態度，大力倡導追根溯源的探究精神，充分凸顯出數學問題求解的開放性與持續性。此外，問題解決過程還表明，深度理解需建立在對審辯式思維的批判性繼承與合理運用的基礎上；而通過獨立思考與合作研討，能夠突破常規思維定勢，形成創新性見解。

2.3積極理性思辨是培養審辯式思維方式的反思源泉

德國古典哲學家黑格爾將理性思維界定為具體思維與思辨（即辯證思維），英國科學哲學家波普則把審辯式理性主義定義為科學方法論學說。該學說強調建立具有論證性、規則性、確定性、明晰性及無矛盾性等特征的方法論體系，引導人們通過質疑、解釋與分析精準定位問題癥結，借助邏輯與辯證方法將理論轉化為可操作的規則與方案，進而實現問題解決。數學問題的解決過程為構建理性質疑與反思態度提供了優質對象。在這一過程中，人們得以主動、全面且細致地開展推理探究，對任何信念或假設性知識進行持續且深入思考，從而明晰其支撐依據，剖析其邏輯論證鏈條。積極理性思辨能夠實現“正”“反\"思維的辯證統一，唯有發展至這一階段，方能全面、具體且深刻把握問題本質，揭示問題內核。案例3圍繞積極理性思辨所蘊含的整體性思維與分析性思維展開闡釋。

案例3“無窮小的比較\"22] 分子或分母 加減型極限的求法探討。

學生的問題與解法：習

分析與解說：因為 tan5x～5x ， sin3x～3x ， 所以，原式

學生向教師提出的問題：分子或分母加減型的極限求法，都可以這樣去解答嗎？

解釋：本題確實使用了等價無窮小替換方法。原因在于：當使用無窮小替換會導致相減結果為零的情況時，不能在加減型求極限中使用該方法。本題中 相減時并未出現結果為零的情況，所以這種替換方法正確。為完善加減型極限求解方法，可啟發引導學生將此結論推廣至一般性情況。

命題1設當 _xΔ （同一自變量變化過程）時，α＼～α'，β＼～β'，γ＼～γ'，并且lim 。如果 存在 （或無窮大），則 也存在（或無窮大），上

分析與證明：當 α 與 β 不是等價無窮小量時，

可以分別用它們各自的等價無窮小量來代換。若

α～β ，一般情況下不能用它們的等價無窮小量進

行代換。利用等價無窮小量代換能夠大幅簡化求

極限的過程，因此在求分式型函數的極限時常用

到該方法。但是，在兩個無窮小量相減的情形中，

分別利用它們的等價無窮小量進行代換有時會

得出錯誤結果。要證明 α'-β'，只要證明 即可。因為 ，所以lin ，于是x→△β'

命題 2^[23] 設當 _xΔ （同一自變量變化過程）時， α，β，γ，δ 是無窮小量，并且lim 存在，則x→△ α-2當且僅當β-γ=（δ）。

簡單證明：若lim α-，則 x→△ （20 從而 ，即 -（β-y）=0。因此 （20 有 β-γ=o（δ） 。 另，由 β-γ=o（δ） ，有 β=γ+o（δ） 古

注：1）命題2的公式中\"-\"號變為\" + ”是否同樣成立？2）對分母為加減型求極限是否有相似結論？同理可證嗎？3）設當 _xΔ （同一自變量變化過程）時， α β，γ，δ 是無窮小量，并且 存在，試探討（20號 恒成立的充分必要條件。

繼續追問：命題2的各關系式分子分母互換位置后，結論又如何？

在問題解決過程中，需要思考哪些是最重要的問題，以及這些問題是否構成核心觀點。同時要明確哪些事實最為關鍵，它們與解決問題存在怎樣的關聯，對問題解決會產生何種影響、帶來哪些幫助。

理性質疑反思的審辯式思維方式，建立在對先哲及他人理論的深刻理解的基礎上，涵蓋全面反思、正確闡釋、嚴謹論證、公正評估等一系列具有可操作性和重復性的思維活動，旨在探尋充分的理由、可靠的證據，拓展理性價值的深度與廣度。

3結語

在大學數學核心素養培育的視域下，數理邏輯思維智識的建構、思維模態拓撲對應的深化及積極理性思辨的激發，構成了審辯式思維培育的有機整體。這一培育體系不僅實現了理解推理方法、掌握推理技巧與洞悉數學學科知識的深度融合，更引導學生在具體數學問題情境中，靈活運用數學基礎知識、基本技能與核心思想方法，切實提升審辯式思維實踐能力。這種培育模式不僅為數學英才教育24提供了切實可行的實踐范式，更為提升公民科學核心素質中的“數學與邏輯基準\"25奠定了堅實基礎，對推動我國數學教育高質量發展、培育適應時代需求的創新型數學人才具有深遠意義。

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（責任編輯：趙榮）