基于核心素養(yǎng)的大學(xué)生數(shù)學(xué)審辯式思維能力提升策略

中圖分類號：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-0033（2025）04-0090-07

Abstract：Focusing on the field of collge mathematics teaching，Deeply explore the mathematical teaching practice paradigm based on critical thinking，aiming to effectively enhance students‘innovative abilitiesand professional qualities.A comprehensive theoretical analysisof critical thinking iscarried out toclarify its connotation，and the internal integrationrelationship between critical thinking and mathematical problem-solving thinking methods is deeply analyzed.Starting from the three dimensions of mathematical logic thinking knowledge，the corrspondence of thinking mode topology，and positive rational thinking，combined with practical mathematical teaching cases such as the solution of the Problem of Unknown Quantities in Sun Tzu's Arithmetic Classic\"，the generalization of function derivation rules，and the discusson of limit solving methods in the comparison of infinitesimals，the specific strategies for cultivating critical thinking are systematically expounded. The research holds that cultivating critical thinking cannot only help students break through thelimitations of traditional thinking in mathematics learning and optimize the problem-solving path，but also serve as an effective way to realize mathematic al elite educationand improve the core scientific quality of citizens.Itis cond ucive to cultivating high-quality mathematical talents with innovative ability and rigorous thinking for the country. Key words： critical thinking; core mathematical literacy；mathematical logic;thinking modality；active rational deliberation

在新時代科技創(chuàng)新驅(qū)動與人才強國戰(zhàn)略背景下，我國對高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才培育給予高度重視。2021年，習(xí)近平總書記《在中國科學(xué)院第二十次院士大會、中國工程院第十五次院士大會、中國科協(xié)第十次全國代表大會上的講話》中強調(diào)強化人才自主培養(yǎng)，培育科學(xué)精神、創(chuàng)新能力與批判性思維；同年修訂的《中華人民共和國科學(xué)技術(shù)進(jìn)步法》又強調(diào)“學(xué)校及其他教育機構(gòu)應(yīng)當(dāng)堅持理論聯(lián)系實際，注重培養(yǎng)受教育者的獨立思考能力、實踐能力、創(chuàng)新能力和批判性思維，以及追求真理、崇尚創(chuàng)新、實事求是的科學(xué)精神\"2]。《國務(wù)院關(guān)于全面加強基礎(chǔ)科學(xué)研究的若干意見》等政策文件也突出數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)性地位，明確其對提升國家核心競爭力的關(guān)鍵作用，將數(shù)學(xué)教育提升至國家戰(zhàn)略高度。數(shù)學(xué)人才的創(chuàng)新性培養(yǎng)，本質(zhì)上依托于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論、思維方式與方法論的系統(tǒng)構(gòu)建，同時需培育其獨立思考、質(zhì)疑反思的科學(xué)精神。課堂教學(xué)中，鼓勵學(xué)生主動質(zhì)疑、提出創(chuàng)新性問題，并能夠邏輯清晰地闡釋觀點，既是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識體系的深度內(nèi)化過程，也是科學(xué)研究思維的早期塑造過程，關(guān)系到我國未來在基礎(chǔ)科學(xué)領(lǐng)域的突破。大學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，依賴于一線教師的教育智慧與教學(xué)實踐。教師需以敬畏之心對待教學(xué)，以創(chuàng)新之法優(yōu)化課堂，在傳授知識的同時，將審辯式思維的培養(yǎng)融入課程設(shè)計與教學(xué)過程[4-5]。從研究現(xiàn)狀來看，現(xiàn)有成果已關(guān)注到核心素養(yǎng)導(dǎo)向下大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的轉(zhuǎn)型需求，探討教學(xué)改革路徑、批判性思維培養(yǎng)策略，以及數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的塑造方法[46。審辯式思維（CriticalThinking）也被稱為批判性思維，是一種通過理性分析、質(zhì)疑和評估信息，從而做出明智判斷和決策的思維方式。它不僅涉及對信息的理解，更強調(diào)對信息的深度加工、邏輯推理和辯證思考，是現(xiàn)代社會中極為重要的核心能力之一。但如何將審辯式思維與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)深度融合，并轉(zhuǎn)化為可操作的教學(xué)實踐范式，仍需進(jìn)一步探索。鑒于此，本文聚焦大學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心內(nèi)涵，結(jié)合《孫子算經(jīng)》中物不知數(shù)問題的多元解法等典型案例，系統(tǒng)構(gòu)建基于審辯式思維的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐范式。這一范式以創(chuàng)新能力培養(yǎng)為核心，通過強化專業(yè)知識學(xué)習(xí)、技能訓(xùn)練與職業(yè)倫理教育，全面提升學(xué)生的專業(yè)勝任力。同時，為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中審辯式思維的培養(yǎng)提供新思路。

1理論辨析

審辯式思維歷史悠久，其思想淵源可追溯至古希臘時期。蘇格拉底倡導(dǎo)的“精神助產(chǎn)術(shù)”，以探究性質(zhì)疑啟發(fā)思考。到現(xiàn)代，教育家約翰·杜威7提出了“反省性思維”。發(fā)展至當(dāng)代，審辯式思維已成為“4C\"核心能力之一，與溝通（Communication）、合作（Collaboration）、創(chuàng)新（Creativity）共同構(gòu)成本世紀(jì)人才必備素養(yǎng)，對激發(fā)創(chuàng)新型人才的主動進(jìn)取精神與開拓意識發(fā)揮著關(guān)鍵作用。由于“審辯式（批判性）思維\"這一表述常與負(fù)面認(rèn)知（如“挑毛病”“否定\"等）相聯(lián)系，而其本質(zhì)為人類思維的本能范式，為澄清概念、正本清源，有必要對學(xué)界代表性觀點進(jìn)行系統(tǒng)梳理與闡釋。

觀點18審辯式思維是一種綜合體系，既包含以思考視角審視經(jīng)驗領(lǐng)域中問題與對象的態(tài)度，也涵蓋邏輯探究、推理方法的相關(guān)知識，同時還涉及運用這些方法的實踐技巧。

觀點 2^[9-10] 審辯式思維本質(zhì)上是一種理性且具有反省特質(zhì)的思維活動，旨在通過系統(tǒng)性思考，明確應(yīng)當(dāng)相信的內(nèi)容與值得采取的行動，進(jìn)而為信念確立與行為決策提供指引。

觀點 3^[11] 審辯式思維是遵循特定規(guī)則、具有明確自的性的判斷過程。在此過程中，需要對證據(jù)、觀念、方法、評價標(biāo)準(zhǔn)及語境等要素進(jìn)行詮釋、分析、評估與解讀。審辯式思維不僅是探索事物本質(zhì)的重要工具，更是包含諸多思維技巧與態(tài)度傾向的復(fù)雜認(rèn)知過程。

觀點 4^[12-13] 審辯式思維并非局限于尋找缺陷與不足，而是強調(diào)全面考量事物的各個維度，既包含批判性審視，也涵蓋肯定性評價，最終在充分理解的基礎(chǔ)上，形成審慎而客觀的判斷結(jié)論。

觀點 5^[14-15] 審辯式思維的運行邏輯包含三個遞進(jìn)層面：第一，以懷疑甚至否定的態(tài)度對問題發(fā)起審視。第二，通過充分的論證與推理，篩選出合理的問題解決方案。第三，經(jīng)過多維度比較與權(quán)衡，確定最優(yōu)解決策略。

觀點 6^[16-17] 審辯式思維是融合理性探究與實證驗證的認(rèn)知活動，它既體現(xiàn)為求真、謙遜、審慎、客觀、公正、自省、開放等批判理性精神特質(zhì)，也表現(xiàn)為闡釋、辨別、剖析、推理、評判與發(fā)展等高階思維技能，構(gòu)成了思維能力與思維品格的有機統(tǒng)一體。

綜上所述，審辯式思維可從能力、特征、過程、原則與方法等不同側(cè)重點進(jìn)行界定。其內(nèi)涵既廣泛涵蓋對概念、假定、證據(jù)、方法、標(biāo)準(zhǔn)、隱含條件和后果等要素的考量，以及分析、推理、說明、評價、辯護(hù)等一系列認(rèn)知技能，又包括崇尚理性、保持好奇、勤學(xué)好問、博聞廣識、尊重事實、思維開放、審慎判斷、客觀評估、正視成見、敏于探究、樂于反思等一系列思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)問題解決的思維方法深度契合審辯式思維的內(nèi)涵要素。具體數(shù)學(xué)問題的解決過程，是培養(yǎng)審辯式思維的有效途徑。這一過程同時也體現(xiàn)了人類文化傳承與創(chuàng)造性思維的源泉。在此過程中，審辯式思維發(fā)揮著雙重作用：一方面，通過系統(tǒng)性質(zhì)疑與邏輯證偽，它推動數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識和思想方法突破直覺思維的限制，重構(gòu)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知與解決框架。另一方面，它能夠全面評估數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，深度融入問題分析與解決過程，優(yōu)化解題路徑，構(gòu)建多維度的分析網(wǎng)絡(luò)，并在判斷過程中促使對數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的重新解釋。審辯式思維不僅能夠催化數(shù)學(xué)理論體系的重構(gòu)，推動數(shù)學(xué)研究范式的革命，更能將思維態(tài)度、專業(yè)知識與實踐技巧融為一體，保障數(shù)學(xué)創(chuàng)新的穩(wěn)健性，增強創(chuàng)新風(fēng)險控制能力，平衡嚴(yán)謹(jǐn)性與創(chuàng)造性之間的張力。同時，它還能影響數(shù)學(xué)共同體的認(rèn)知范式，決定研究者的信念與行動，進(jìn)而塑造數(shù)學(xué)創(chuàng)新文化，培育跨學(xué)科研究生態(tài)，最終為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定實踐基礎(chǔ)。

2提升策略

數(shù)理邏輯思考、思維模態(tài)的拓?fù)鋵?yīng)和積極理性思辨是創(chuàng)新型人才的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)憑借其自身特點，易于促使人們形成反省思維與質(zhì)疑性思維，培養(yǎng)人的開放性，避免固步自封。并且，人們能夠在深刻理解先哲或他人思想與理論的基礎(chǔ)上，對證據(jù)、概念、方法、語境等進(jìn)行理性質(zhì)疑、考察、分析、判斷、推論和評價，校準(zhǔn)自己最初的闡釋。本文立足數(shù)理邏輯思考、思維模態(tài)的拓?fù)鋵?yīng)與積極理性思辨這三個核心創(chuàng)新素質(zhì)，運用案例的方式，將審辯式思維實踐與探究性學(xué)習(xí)有機融合，助力形成決定該做什么和相信什么的思維品質(zhì)。

2.1數(shù)理邏輯思維能力是培養(yǎng)審辯式思維的有效路徑

眾所周知，中國墨辯、印度因明學(xué)、古希臘邏輯學(xué)并稱為世界三大邏輯學(xué)體系[8]。中國墨辯首次提出“辯”“類”“故”“理\"等邏輯范疇，主張“依類明故，推類察故\"（《尚賢》），將“察類”“明故\"確立為明辨是非、審察同異的論辯原則與邏輯方法，并大量運用邏輯推論構(gòu)建理論體系。其邏輯推理建立在\"知類\"（把握事物類別）與“明故\"（明確根據(jù)理由）的基礎(chǔ)之上，屬于邏輯類推與論證的范疇。墨子提出的“三表法\"不僅是言論的評判標(biāo)準(zhǔn)，更蘊含推理論證的要素。在墨子的倡導(dǎo)下，墨家形成重邏輯的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)。古希臘哲學(xué)家亞里士多德創(chuàng)立邏輯學(xué)的辯證思維體系，以“三段論”為核心，系統(tǒng)研究概念、判斷、推理等思維形式，并強調(diào)思維過程中概念與判斷需保持同一性、確定性，避免矛盾且要具備充足理由。這一理論為歐幾里得（Euclid）采用形式邏輯演繹法撰寫《幾何原本》奠定基礎(chǔ)，成為人類文明史上的經(jīng)典范例。然而，傳統(tǒng)形式邏輯在處理關(guān)系命題、推理及量詞等方面存在局限性，尤其在否定復(fù)雜命題時面臨困境。相比之下，運用數(shù)學(xué)方法研究思維形式及其規(guī)律的數(shù)理邏輯，在表述否定命題方面展現(xiàn)出顯著的優(yōu)越性與技巧性。

《墨子》雖非專門的邏輯學(xué)、幾何學(xué)著作，內(nèi)容也不及亞里士多德邏輯學(xué)體系與歐幾里得《幾何原本》豐富，但墨子在概念、判斷、推理等邏輯學(xué)領(lǐng)域作出了重大貢獻(xiàn)，堪稱偉大的邏輯學(xué)家。客觀審視中國古典邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)成就，不僅能彰顯其獨特價值，更能體現(xiàn)世界數(shù)學(xué)邏輯思維發(fā)展的多元性與廣闊性。墨子一方面借助邏輯學(xué)研究數(shù)學(xué)，另一方面運用數(shù)學(xué)思維深化對邏輯的探索。墨子的數(shù)學(xué)成就涵蓋基礎(chǔ)概念及20余條幾何學(xué)內(nèi)容，其在嚴(yán)密的理論組織、確切的幾何公理化思想及精辟的立論等方面，絲毫不亞于亞里士多德邏輯學(xué)和歐幾里得《幾何原本》，這也是“中國式審辯式思維\"的重要體現(xiàn)。事實上，成書于公元263年的《九章算術(shù)》及劉徽注，與《幾何原本》東西輝映，是中國古代邏輯推理與公理化思想的集大成之作。其中，方程術(shù)作為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的卓越成果，使古代數(shù)學(xué)家得以運用演繹法，得以徹底解決整系數(shù)線性方程組的求解問題，而劉徽更通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撜撟C，闡明了方程術(shù)的正確性。依據(jù)相關(guān)典籍史料[19-201，將現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的消元法與矩陣初等變換法命名為“中國消元法\"與“中國矩陣初等變換法”。以《孫子算經(jīng)》中物不知數(shù)問題為例，展示一種數(shù)理邏輯思維求解方法。

案例1物不知數(shù)問題及中國剩余定理的深度討論。

《孫子算經(jīng)》[20卷下第26題：今有物不知其數(shù)。三、三數(shù)之，剩二；五、五數(shù)之，剩三；七、七數(shù)之，剩二。問：物幾何？

答日：二十三。

術(shù)曰：“三、三數(shù)之，剩二”，置一百四十；“五、五數(shù)之，剩三”，置六十三；“七、七數(shù)之，剩二”，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三、三數(shù)之剩一，則置七十；五、五數(shù)之剩一，則置二十一；七、七數(shù)之剩一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。

中國矩陣初等變換法：設(shè)物品數(shù)為 x，3 件物品、5件物品、7件物品組的組數(shù)分別為 x₁，x₂ x₃ ，按題意可列一個關(guān)于 x₁，x₂，x₃ 的非齊次線性方程組：

并且其解應(yīng)都為正整數(shù)，此方程組的增廣矩陣為：

?x=2+7x₃，

取 x₃ 為自由未知量，解得 A

為保證 x，x₁，x₂，x₃ 均為正整數(shù)，取 x₃=3+15k （k

為任意非負(fù)整數(shù)），解之得：|x=23+105k ，（k 為任意非負(fù)整數(shù)），|x₂=4+21k ， ，

故 x 的最小正整數(shù)為23。

由于“物不知數(shù)問題存在多樣化的求解方法，中國矩陣初等變換法便是其中之一。秦九韶在《數(shù)書九章》第一卷“大衍\"中提出的“大衍總數(shù)術(shù)”，本質(zhì)上是對《九章算術(shù)》及劉徽注中蘊含的中國消元法、中國矩陣初等變換法等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想方法的繼承與創(chuàng)新。基于此，本研究進(jìn)一步運用中國矩陣初等變換法，為中國剩余定理提供一種新穎且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)理邏輯證明。

案例1不僅充分體現(xiàn)了中國式審辯式思維中歸納推理與演繹推理兩種邏輯方式的互補特性，更詮釋了判斷數(shù)學(xué)命題真?zhèn)位虿糠终鎮(zhèn)蔚乃季S路徑。這一過程展現(xiàn)了如何通過理性思考得出合理結(jié)論，同時也有力拓展了學(xué)生在審辯性知識認(rèn)知、質(zhì)疑意識培養(yǎng)、甄別與重建技能提升等方面的能力，彰顯了審辯式思維的獨立性、論證性與重建性特質(zhì)。正如，陳省身2所言，他在中國學(xué)會了歸納法，在西方學(xué)到了演繹法。郭書春2也曾指出，李儼等運用歷史學(xué)方法研究中國古代數(shù)學(xué)成就，為中國數(shù)學(xué)史確立了實事求是的研究范式。上述案例表明，數(shù)理邏輯學(xué)中的邏輯演算、演繹歸納法及數(shù)學(xué)化論證，是培養(yǎng)學(xué)生審辯性思維最簡潔、精確且有效的途徑。這一培養(yǎng)方式不僅凸顯了審辯式思維的實踐意義與價值，更有助于提升學(xué)生思維的真實性、洞察力與思辨深度。

2.2思維模態(tài)的拓?fù)鋵?yīng)是培養(yǎng)審辯式思維的 深度延伸

思維模態(tài)的拓?fù)鋵?yīng)，是指學(xué)習(xí)者在自主、反思的教育環(huán)境中，圍繞明確的闡釋目標(biāo)或問題解決需求，積極調(diào)動主觀能動性與創(chuàng)造精神，通過合理的思維活動作出決策或滿足求知訴求，從而實現(xiàn)主體意識的自覺激發(fā)與問題解決路徑的探索。數(shù)學(xué)問題的解決過程高度體現(xiàn)個體的智慧，學(xué)習(xí)者往往需要通過深入的自我反思與論證，重新審視和評估自身的思維模式，辨析不同解題思路的合理性，進(jìn)而從多種解法中篩選出最優(yōu)方案5。此外，合作交流與研討能夠進(jìn)一步深化自主探究能力。正如董毓所述，審辯式思維是真正獨立思考的定義，遵循審辯式思維的方法就是‘獨立思考'[。案例2展現(xiàn)審辯式思維在深度延伸方面的廣闊空間。

案例2對“函數(shù)的求導(dǎo)法則\"22中，“和、差、積、商的求導(dǎo)公式\"的推廣研究。

教材提出\"定理1中的法則（1）和法則（2）可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)乘積的情形。例如，設(shè)u=u（x），ν=ν（x），w=w（x） 均可導(dǎo)，則有 （uvw）^′=u^′νw+uν^′ w+uνw^′ ”。事實上，可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生獨立完成更為一般的推廣結(jié)論，即

u_k=u_k（x），（k=1，2，…，n）

教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生獨立思考，引導(dǎo)學(xué)生用簡捷而高效的數(shù)學(xué)歸納法對其予以證明。

依據(jù)求導(dǎo)的積運算法則，有

所以由數(shù)學(xué)歸納法原理，證得推廣結(jié)論對一切正整數(shù) n 都成立。

在學(xué)生得出關(guān)于積的任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的一般性結(jié)論后，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生運用類比聯(lián)想的方法，合理推測商的求導(dǎo)法則的一般推廣形式，例如，根據(jù)類比聯(lián)想推測商的求導(dǎo)法則一般推廣形式，有

由函數(shù)商的求導(dǎo)法則容易得到：

案例2的思考難點體現(xiàn)在哪些方面？思考過程的復(fù)雜性如何表現(xiàn)？需要克服的困難有哪些？是否需要從其他維度或視角重新審視問題？整個推理過程是否清晰？首尾段落是否相互呼應(yīng)？結(jié)論是否能從既有證據(jù)中自然推導(dǎo)得出？在運用對數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行證明的啟發(fā)引導(dǎo)過程中，需要注意哪些關(guān)鍵事項？開展上述教學(xué)活動的目的，在于培養(yǎng)學(xué)生掌握研究問題的基本方法，提升其邏輯思維的獨立性、廣闊性與嚴(yán)謹(jǐn)性。

對問題復(fù)雜性的表現(xiàn)形式進(jìn)行深入剖析后，數(shù)學(xué)歸納法被靈活且高效地運用于證明猜測推廣形式的合理性、正確性與深刻性，同時問題的難點也得到全面攻克。該問題解決過程充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維活動與實際求解中獨立自主思考和探索的自覺性與主動性，體現(xiàn)了從多維度、多層次、多角度深入思考問題的價值。這一過程著重對既有答案保持懷疑態(tài)度，大力倡導(dǎo)追根溯源的探究精神，充分凸顯出數(shù)學(xué)問題求解的開放性與持續(xù)性。此外，問題解決過程還表明，深度理解需建立在對審辯式思維的批判性繼承與合理運用的基礎(chǔ)上；而通過獨立思考與合作研討，能夠突破常規(guī)思維定勢，形成創(chuàng)新性見解。

2.3積極理性思辨是培養(yǎng)審辯式思維方式的反思源泉

德國古典哲學(xué)家黑格爾將理性思維界定為具體思維與思辨（即辯證思維），英國科學(xué)哲學(xué)家波普則把審辯式理性主義定義為科學(xué)方法論學(xué)說。該學(xué)說強調(diào)建立具有論證性、規(guī)則性、確定性、明晰性及無矛盾性等特征的方法論體系，引導(dǎo)人們通過質(zhì)疑、解釋與分析精準(zhǔn)定位問題癥結(jié)，借助邏輯與辯證方法將理論轉(zhuǎn)化為可操作的規(guī)則與方案，進(jìn)而實現(xiàn)問題解決。數(shù)學(xué)問題的解決過程為構(gòu)建理性質(zhì)疑與反思態(tài)度提供了優(yōu)質(zhì)對象。在這一過程中，人們得以主動、全面且細(xì)致地開展推理探究，對任何信念或假設(shè)性知識進(jìn)行持續(xù)且深入思考，從而明晰其支撐依據(jù)，剖析其邏輯論證鏈條。積極理性思辨能夠?qū)崿F(xiàn)“正”“反\"思維的辯證統(tǒng)一，唯有發(fā)展至這一階段，方能全面、具體且深刻把握問題本質(zhì)，揭示問題內(nèi)核。案例3圍繞積極理性思辨所蘊含的整體性思維與分析性思維展開闡釋。

案例3“無窮小的比較\"22] 分子或分母 加減型極限的求法探討。

學(xué)生的問題與解法：習(xí)

分析與解說：因為 tan5x～5x ， sin3x～3x ， 所以，原式

學(xué)生向教師提出的問題：分子或分母加減型的極限求法，都可以這樣去解答嗎？

解釋：本題確實使用了等價無窮小替換方法。原因在于：當(dāng)使用無窮小替換會導(dǎo)致相減結(jié)果為零的情況時，不能在加減型求極限中使用該方法。本題中 相減時并未出現(xiàn)結(jié)果為零的情況，所以這種替換方法正確。為完善加減型極限求解方法，可啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生將此結(jié)論推廣至一般性情況。

命題1設(shè)當(dāng) _xΔ （同一自變量變化過程）時，α＼～α'，β＼～β'，γ＼～γ'，并且lim 。如果 存在 （或無窮大），則 也存在（或無窮大），上

分析與證明：當(dāng) α 與 β 不是等價無窮小量時，

可以分別用它們各自的等價無窮小量來代換。若

α～β ，一般情況下不能用它們的等價無窮小量進(jìn)

行代換。利用等價無窮小量代換能夠大幅簡化求

極限的過程，因此在求分式型函數(shù)的極限時常用

到該方法。但是，在兩個無窮小量相減的情形中，

分別利用它們的等價無窮小量進(jìn)行代換有時會

得出錯誤結(jié)果。要證明 α'-β'，只要證明 即可。因為 ，所以lin ，于是x→△β'

命題 2^[23] 設(shè)當(dāng) _xΔ （同一自變量變化過程）時， α，β，γ，δ 是無窮小量，并且lim 存在，則x→△ α-2當(dāng)且僅當(dāng)β-γ=（δ）。

簡單證明：若lim α-，則 x→△ （20 從而 ，即 -（β-y）=0。因此 （20 有 β-γ=o（δ） 。 另，由 β-γ=o（δ） ，有 β=γ+o（δ） 古

注：1）命題2的公式中\(zhòng)"-\"號變?yōu)閈" + ”是否同樣成立？2）對分母為加減型求極限是否有相似結(jié)論？同理可證嗎？3）設(shè)當(dāng) _xΔ （同一自變量變化過程）時， α β，γ，δ 是無窮小量，并且 存在，試探討（20號 恒成立的充分必要條件。

繼續(xù)追問：命題2的各關(guān)系式分子分母互換位置后，結(jié)論又如何？

在問題解決過程中，需要思考哪些是最重要的問題，以及這些問題是否構(gòu)成核心觀點。同時要明確哪些事實最為關(guān)鍵，它們與解決問題存在怎樣的關(guān)聯(lián)，對問題解決會產(chǎn)生何種影響、帶來哪些幫助。

理性質(zhì)疑反思的審辯式思維方式，建立在對先哲及他人理論的深刻理解的基礎(chǔ)上，涵蓋全面反思、正確闡釋、嚴(yán)謹(jǐn)論證、公正評估等一系列具有可操作性和重復(fù)性的思維活動，旨在探尋充分的理由、可靠的證據(jù)，拓展理性價值的深度與廣度。

3結(jié)語

在大學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的視域下，數(shù)理邏輯思維智識的建構(gòu)、思維模態(tài)拓?fù)鋵?yīng)的深化及積極理性思辨的激發(fā)，構(gòu)成了審辯式思維培育的有機整體。這一培育體系不僅實現(xiàn)了理解推理方法、掌握推理技巧與洞悉數(shù)學(xué)學(xué)科知識的深度融合，更引導(dǎo)學(xué)生在具體數(shù)學(xué)問題情境中，靈活運用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能與核心思想方法，切實提升審辯式思維實踐能力。這種培育模式不僅為數(shù)學(xué)英才教育24提供了切實可行的實踐范式，更為提升公民科學(xué)核心素質(zhì)中的“數(shù)學(xué)與邏輯基準(zhǔn)\"25奠定了堅實基礎(chǔ)，對推動我國數(shù)學(xué)教育高質(zhì)量發(fā)展、培育適應(yīng)時代需求的創(chuàng)新型數(shù)學(xué)人才具有深遠(yuǎn)意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]習(xí)近平.在中國科學(xué)院第二十次院士大會、中國工程院第十五次院士大會、中國科協(xié)第十次全國代表大會上的講話[EB/OL].（2021-05-28）[2025-05-13].https/baijiahao.baidu.com/s？id 1701009847590059590037191amp;wfr Ψ=Ψ spideramp;for=pc.

[2]中華人民共和國科學(xué)技術(shù)進(jìn)步法（2021年修訂）[EB/OL].（2021-12-24）[2025-05-13].https：//www.most.gov.cn/xxgk/xinxifenlei/fdzdgknr/fgzc/flfg/202201/t20220118_179043.html.

[3]國務(wù)院關(guān)于全面加強基礎(chǔ)科學(xué)研究的若干意見[EB/OL]. （2018-01-19）[2025-05-13].https：//www.gov.cn/zhengce/zhengceku/2018-01/31/content_5262539.htm.

[4]李剛.核心素養(yǎng)下大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的思考[J].現(xiàn)代職業(yè)教育，2021（28）：184-185.

[5]葛倩，傅海倫，胡明濤.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中批判性思維培養(yǎng)的意義與策略[J].高教學(xué)刊，2020（11）：58-61.

[6]馬榮，蔡周陽，都琳.從一道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試題談數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2024，40（5）：108-111.

[7]約翰·杜威.我們怎樣思維·經(jīng)驗與教育[M].姜文閔，譯.北京：人民教育出版社，2005：18.

[8]RICHARDP，LINDAE.批判性思維概念與方法手冊[M].第7版.董焱寧，譯北京：外語教學(xué)與研究出版社2023：5-8.

[9]張萍.批判性思維理論與實踐[M].北京：人民出版社，2019：16-20.

[10]董毓.批判性思維原理和方法一走向新的認(rèn)知和實踐[M].第2版.北京：高等教育出版社，2017：9.

[11]理查德·保羅，琳達(dá)·埃爾德.批判性思維[M].林勝強，杜國平，譯.北京：中信出版集團(tuán)，2024：15-21.

[12]謝小慶.審辯式思維[M].北京：學(xué)林出版社，2019：8-10.

[13]格雷戈里·巴沙姆，威廉·歐文，亨利·納爾多內(nèi).批判性思維[M].第7版.舒靜，譯.北京：外語教學(xué)與研究出版社，2024：7-14.

[14]內(nèi)爾·諾丁斯，勞麗·布魯克斯.審辨式思維與道德承諾：美國課堂中的爭議性話題教學(xué)[M].檀傳寶，譯.北京：教育科學(xué)出版社，2023：32-36.

[15]謝蔚.基于史料實證的審辯式思維培養(yǎng)[J].文理導(dǎo)航（上旬），2023（12）：61-63.

[16]謝小慶.審辯式思維：看電影、讀小說學(xué)習(xí)終身成長的思維模式[M].北京：中國紡織出版社有限公司，2024：2-6.

[17]李曉云.審辯式思維的教學(xué)實踐[M].北京：光明日報出版社，2023：11.

[18]彭漪，馬欽榮.邏輯學(xué)大辭典（修訂本）[M].上海：上海辭書出版社，2010：22.

[19]郭書春.中華大典·數(shù)學(xué)典·中國傳統(tǒng)算法分典[M].濟南：山東教育出版社，2018：117-118

[20]郭書春.中國科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷[M].北京：科學(xué)出版社，2010：249-251.

[21]陳省身.陳省身文選[M].北京：科學(xué)出版社，2011：41-42.

[22]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.高等數(shù)學(xué)：上冊[M].第8版.北京：高等教育出版社，2023：82-93.

[23]丁殿坤，呂端良，岳嶸，等.高等數(shù)學(xué)研究點滴[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2017：6-8.

[24]張英伯.張英伯文集——數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)英才教育[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：142.

[25]羅俊麗，喬希民，陳淑萍.公民科學(xué)素質(zhì)\"數(shù)學(xué)與邏輯基準(zhǔn)\"的核心與追求[J].商洛學(xué)院學(xué)報，2020，34（3）：84-90.

（責(zé)任編輯：趙榮）