從高斯定理理解電場線的性質

中圖分類號：0441.1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-0033（2025）04-0078-06

Abstract：Gauss theorem of the electrostatic field，as the core cornerstone of electromagnetism，reveals the properties of the electrostatic field and the distribution law of electric field lineswith rigorous mathematical language.Aiming atthe common cognitive misunderstanding that \"the electric field lines cannot accurately represent the electric field due to their subjective drawing\"，the concept of solid Angle is introduced to construct a mathematical derivation system，and the universality of Gauss theorem is proved through rigorous demonstration.At the same time，with the help of the fluid vector tube model，the quantitative constraint conditions of Gauss theorem that the distribution of electric field lines needs to follow are clarified，and the quantitative corresponding relationship between the spatial densityand the electric field strength isrevealed.Both theoretical derivations and practical applications show that although there isa certainspace for subjective selection in theilustration of electric field lines，their overall distribution is objectively determined by Gauss theorem，and can accurately reflect the characteristics of the electrostatic field and the action mechanism of the source charges.

Keywords：electric field;electric field lines;Gauss theorem

靜電場高斯定理與電場線的內在聯系，是構建電磁學理論體系的核心基石，但學生在理解電場線與高斯定理的關聯時普遍存在認知誤區[2-5。這些認知偏差不僅阻礙學習者建立電場線對物理場的客觀表征，更對高斯定理的本質理解和場源特性的把握造成負面影響。在探索電場線繪制量化標準的進程中，已有研究通過構建場線通量數學模型，結合簡潔直觀的案例對高斯定理進行闡釋。這一研究思路有效梳理了場線通量與高斯定理的關聯，為后續研究奠定了堅實基礎。然而，受限于二維平面模型與三維物理空間的差異，現有研究對立體角與場線拓撲的復雜關系探討不足，使得電場線精確繪制的量化標準仍有廣闊的拓展空間6-8。本文引入立體角概念，重新構建高斯定理的證明過程，并借助流體矢量管模型，從數學推導、物理建模和教學實踐三個維度展開深入分析。在數學層面，通過嚴謹的公式推導，建立立體角與電場通量的精確關系。在物理層面，以流體矢量管為類比，直觀呈現電場線密度與場強之間的約束關系。本研究旨在揭示電場線主觀繪制與定理客觀約束的內在邏輯，建立可量化的場線繪制驗證標準，為電磁學教學與理論研究提供全新視角與方法路徑。

1電場線、電通量及高斯定理

1.1電場線的繪制規則

電場看不見摸不著，為了形象直觀地描述電場在空間的分布，人為地在電場中繪制一組帶箭頭的曲線，即電場線（圖1）。

電場線的繪制規則：

規則 ① ：電場線上某點的切線方向是該點電場的方向，電場線的疏密程度表示該點電場強度的大小。

規則 ② ：電場線在沒有電荷的地方不中斷、可以延伸到無窮遠。

規則 ③ ：電場線總是起始于正電荷（或無窮遠），終止于負電荷（或無窮遠），正負電荷是靜電場的起點和匯點。

1.2電場強度通量

借用流體中流量的概念，如果在電場中取一個面（平面或曲面），電場線就有可能穿過這個面，穿過該面的電場線的條數，就是這個面的電場強度通量（如圖2），簡稱電通量，用 ?_e 表示，其數學定義式為 ，其中 的方向沿曲面的法線方向，且對于閉合曲面，規定曲面的外法線方向為曲面的正方向。

1.3靜電場的高斯定理

真空靜電場的高斯定理反映了電場中閉合曲面的電通量與該面內電荷之間的定量關系，揭示了場強分布和電荷分布之間的關系，其數學表達式為： 。其中S是電場中任一閉合曲面、稱為高斯面， 是該高斯面包圍的所有電荷的代數和， ·dS為該高斯面的電場強度通量[10-1]。

2高斯定理的數學證明

2.1場源電荷在閉合曲面內

如圖3所示，在點電荷靜電場中選取一個包圍點電荷的任意形狀的閉合曲面，在閉合曲面上任選一個小面元 ，其上的通量：

其中， 為 所在位置處的電場強度，根據點電荷場強公式：

式（1）可寫為：

立體角可以用來描述點電荷電場分布的幾何特性，為降低認知難度，這里由平面角的概念類比遷移給出立體角。如圖4，平面角是兩條共頂點的射線所圍的平面部分，在角度很小的情況下，其大小為：

立體角則是一個錐面所圍的空間部分[，在角度很小的情況下，其大小為：

即立體角 描述錐面在單位球面上截取的面積。在點電荷電場中，立體角的物理意義為：電場線穿過dS的有效空間占比，同時包含距離衰減和方向修正。

式（2）中的dS 即為面元 對點電荷張開的立體角，式（2）可寫為：

由面元 的通量，整個閉合曲面S的通量 由于 為常量，則有

其中， 是閉合曲面S對點電荷張開的立體角，由于S閉合，該立體角為一個完整的空間角度 4π ，此結果與曲面形狀無關，即

由此得出，若場源電荷在閉合曲面內，則閉合曲面上的通量為該曲面包圍的電荷除以真空介電常數 ε₀ 。

2.2場源電荷不在閉合曲面內

在點電荷靜電場中選取一個不包圍點電荷的任意形狀的閉合曲面，如圖5。仍然在閉合曲面上取任一小面元 ，根據式（3）和式（4），面元 上的通量：

為面元 對點電荷 q 張開的立體角。由于點電荷 q 在閉合曲面S外，立體角 在曲面S上截出面元 的同時，一定也截出另一個面元 ，其上通量：

是面元 對點電荷張開的立體角。

由圖5可以看出，立體角 和 大小相等，但是由于規定了面元dS和 的方向均指向閉合曲面S外，而場的方向即 的方向不變，故若 與面元 的夾角為銳角，則其與面元 的夾角必定為鈍角，反之亦然，即 ds、 一正一負，亦即立體角 和 大小相等、一正一負， 。則由式（6和式 （7） ，得到 d?_e=-d?_e^′

面元 和d 上的通量之和為零。

由于 和 總是成對出現，閉合曲面S上每對的 和 上的通量之和為零，則曲面S上的通量一定為零。

由此得出，若場源電荷不在閉合曲面內，則閉合曲面上的通量為零。

2.3場源電荷一部分在閉合曲面內一部分在閉合曲面外

如圖6，在點電荷系激發的靜電場中選取一個任意形狀的閉合曲面， q₁，q₂，…q_k， 一共 k 個點電荷在閉合曲面S內，還有若干個點電荷 q_k+1，q_k+2 …在閉合曲面S外。曲面S上的通量：

其中， 為面元 所在位置處的場強，根據場強疊加原理，該場強為各個點電荷單獨存在時在該處激發的場強的矢量和，即

其中， ·dS，…分別為 q₁，q₂，…，q_k，q_k+1，q_k+2， …各自單獨存時面元 上的通量。

由于 q₁，q₂，…，q_k 均在閉合曲面 S內，故

而 q_k+1，q_k+2， …均在閉合曲面S外，故

則

場強度通量，等于該閉合曲面所包圍的所有電荷的代數和除以真空介電常數 ε₀ 。高斯定理得證。

以上通過場源電荷和閉合曲面的三種位置分布，引用立體角將幾何量與物理量關聯，當電場線穿過閉合曲面時，立體角將場強隨距離 r² 的衰減與面元的空間取向 統一為幾何量，從而簡化通量計算。立體角的引入使得任意形狀閉合曲面的通量積分轉化為對點電荷所張的總空間角度的測量，無論曲面形狀如何變化，只要包圍點電荷，其立體角恒為完整球面度，這一性質是高斯定理成立的核心幾何基礎。

3高斯定理對場線的約束

3.1對電場線繪制規則 ① 的約束

為建立電場線與高斯定理的幾何聯系，引入流體矢量管模型[13-14]，即取任意一簇電場線構成的無限細的矢量管，管內無電荷（圖7）。這里無限細的假設使得通量計算僅需考慮兩端底面，側面貢獻為零。即矢量管面由兩個底面和一個側面組成，根據通量的定義和物理意義，通過閉合管面的電通量等于通過上下兩個底面和一個側面的通量的代數和。

由此得到，真空靜電場中，通過任一閉合曲面的電

在管側面上，由于電場的方向與管側面的外法線方向垂直，在側面上處有 ，故側面上的通量 。又由于管無限細，則有

根據高斯定理，由于管內無電荷， 故通過管面的電通量 ，即當管內無電荷時，微觀通量守恒。

則，式（10）可寫為：

即

-E₁?dS_1⊥=E₂?dS_2⊥

假設通過矢量管的電場線的條數為 dN， 式（11）可寫為：

其中， 分別為通過垂直面元 dS_1⊥?dS_2⊥ （24號亦即面元 和 的電場線的數密度，這表明電場強度正比于垂直方向的電場線數密度，即電場線密集的地方電場強度大、稀疏的地方電場強度小。將該結論用于平行板電容器，如圖8，在平行板電容器電場中沿場方向取一個矢量管，管的兩個底面面積相等 dS₁=dS₂ ，由式（10）得 E₁=E₂ ，平行板電容器兩極板間電場均勻分布。在邊緣處，矢量管彎曲導致 dS_⊥ 減小， dN 也須減小，對應電場線稀疏化，定量說明邊緣場強衰減。

3.2對電場線繪制規則 ② 的約束

若將無數矢量管拼接為任意閉合曲面（如圖9），并假設管間沒有相互作用，其總通量僅由內部電荷量 決定，與曲面形狀和大小無關。這一特性在圖9中通過不同高斯面S和 ΔS^′ 的通量相同得到驗證。圖9中，曲面S可以無限擴大或者收縮，只要曲面S包圍的電荷的代數和不變，其上的通量就不變。這說明，只要S在擴大或收縮過程中沒有遇到電荷，其上的電場線條數就是不變的，即電場線在沒有電荷的地方不會中斷、可以延伸至無窮遠。這是由立體角的幾何特性，閉合曲面的空間角度恒定于 4π ，即 決定的。

3.3對電場線繪制規則 ③ 的約束

根據高斯定理sE·dS=s面內 若高斯面內包圍的電荷是正電荷，面內電荷的代數和大于零，即 ，則通量 ，說明高斯面上電場的方向與高斯面外法線矢量的方向成銳角，電場線從高斯面內向面外流出，電場線的起點就是正電荷，如圖 10（a） 。若高斯面內包圍的電荷是負電荷，面內電荷的代數和小于零，即 ，通量 ，說明高斯面上電場的方向與高斯面外法線矢量的方向成鈍角，電場線從高斯面外向面內流入，電場線的匯點就是負電荷，如圖 10（b） 。若空間只有正電荷，電場線會指向無窮遠。若空間只有負電荷，電場線則來自無窮遠。

4結語

本文借助立體角構建數學體系，結合流體矢量管模型，深入分析電場線分布與高斯定理的定量關聯。研究發現，任意閉合曲面的電場線條數恒為S面內 -，其密度dN 與場強 E 成線性正比關系，這一關系將抽象的場強測量轉化為可視化的線密度統計，有力糾正了“電場線疏密僅能定性表達\"的認知誤區。同時，基于立體角的幾何特性 證明的電場線分布與曲面形狀無關性，進一步證實了“主觀繪圖差異不影響物理場本質”。

本研究可推廣至磁場高斯定理的數學證明，在教材中補充立體角與矢量管的相關內容，并開發基于VR（VirtualReality）技術的電場線交互繪制系統，實時反饋數學約束條件，將有助于強化場線教學中“數學約束優先于繪圖經驗\"的教學邏輯，深化學習者對場線嚴謹性的理解。

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（責任編輯：李堆淑）