模糊賦范Riesz空間上序列性質研究

中圖分類號：0177 文獻標識碼：A 文章編號：1674-0033（2025）04-0027-06

Abstract： Through the study of the properties such as the fuzzy order continuous norm of sequences in the fuzzy normed Riesz space，the consistency of the limits of the fuzzy norm convergence and the fuzzy order convergence of sequences in the fuzzy normed Riesz space is given. The properties of the fuzzy norm convergence in the fuzzy normed Riesz space are systematically expounded. The equivalent relations among increasing sequences，upward set systems and fuzzy norm Cauchy sequences in this space are deeply discussed，and the relevant properties of the fuzzy order continuous norm are elaborated in detail.It is expercted to provide a basis for the research on the properties of fuzzy positive projections，fuzzy positive operators and positivity preservation in the fuzzy normed Riesz space.

Key words： fuzzy normed Riesz space; fuzzy Banach lattice; fuzzy normed convergence

模糊序連續范數作為模糊賦范Riesz空間理論體系的核心要素，其性質深度關聯著空間的代數結構與拓撲特征。通過系統探究模糊序連續范數，能夠為解析模糊賦范Riesz空間的正性屬性、序結構特性及拓撲結構特征提供關鍵理論支撐。例如，利用模糊序連續范數的拓撲連續性與序理論兼容性，可有效刻畫模糊正投影算子的映射性質，解析模糊正算子的序保持機制，進而揭示空間結構中蘊含的正性保持規律。在模糊泛函分析領域，模糊序連續范數展現出卓越的應用價值。特別是在研究模糊Banach格之間的算子性質時，其序拓撲特征能夠為判定模糊算子的正性、緊性及有界性提供有力的分析工具，在實際問題的逼近算法設計、優化模型構建及系統穩定性分析等方面發揮重要作用。在理論發展進程中，Zadeh率先將模糊理論與Riesz空間理論相融合，通過自反性、反對稱性及傳遞性構建“模糊序”概念，奠定了模糊序理論的基礎框架。

Katsaras引入模糊半賦范和模糊賦范線性空間，系統研究其基本拓撲與代數性質。Venugopalan[3建立了完備的模糊有序集理論體系，為后續研究提供了重要的理論平臺。Felbin提出新型模糊賦范線性空間，并證明有限維子空間的完備性。Beg等[5深入探討了模糊有序線性空間的相關概念、性質和理論。Bag等[6-7則深入研究模糊Riesz空間，構建模糊范數分解定理，揭示有限維模糊賦范空間的內在結構特征。Zaanen等8對模糊Riesz空間的基本概念、結構和性質進行了系統闡述。趙家銳提出在Riesz空間中引入模糊范數，以及這種模糊范數所滿足的條件和具有的特點。Park[o]基于模糊Riesz范數與單調序列，系統定義了模糊范數收斂與模糊序收斂概念，為空間性質研究提供了新的分析視角。文獻[11-15]均聚焦于模糊空間，深入探討各類模糊算子的相關性質、原理及應用，同時涉及到模糊空間的結構與算子理論之間的相互關系。本文在經典Riesz空間理論與模糊范數研究成果的基礎上，從模糊Riesz范數的獨特視角出發，系統研究模糊賦范Riesz空間上序列的收斂性質、拓撲結構特征。通過深入分析序列的模糊范收斂性與空間完備性，進一步揭示模糊賦范Riesz空間的內在結構特性，為模糊泛函分析理論的發展提供新的研究思路與理論支撐。

1預備知識

1.1經典Riesz空間的定義與序結構

定義 1^[8] 設 E 是Riesz 空間，若 x，y∈E 且滿足 x∧y=θ ，則稱 x 和 y 是不交的，記作 x⊥y 。

定義 2^[8] （賦范Riesz空間的定義）設 E 是Riesz空間， ∥?∥ 為 E 上的一個范數。如果對任意x，y∈E ，且 ，都有 |x|?|y| ，則 ∥?∥ 稱為Riesz范數（或格范數）。被賦予Riesz范數的空間叫做賦范Riesz空間。若賦范Riesz空間是完備的賦范Riesz空間，則稱其為Banach空間（或Banach格）。

定義 3^[9] 設 E 是賦范Riesz空間， {f_n} 是 E 中序列 ，f∈E 若存在 E 中單調遞減趨于0的序列 {p_n} （即 p_n↓0） ，使得對任意自然數 n， 都有 |f_n-f|?p_n; 則稱 {f_n} 序收斂到 f， 也稱 f 為 {f_n} 的序極限，記為 對于 E 中序列 {g_n} ，若存在 g∈E， 使得（20號 ，則稱 序收斂到 g

1.2模糊賦范線性空間的概念與性質

定義 4^[10] 設 E 是模糊賦范線性空間， {f_n} 是 E （2號上序列，若 ?α∈（0，1） 和 tgt;0 ?n₀， 使得當 m，n?n₀， 有 則稱 {f_n}_n 為模糊范Cauchy序列。

定義 5^[16] 設 X 是 R 上線性空間， N 是 X×R 的模糊子集。若對任意的 x，y∈X 和 c∈R， 有

[N₁] ?t∈R 且 t?0 ，有 N（x，t）=0 [N₂] ?t∈R 且 tgt;0 ，有 N（x，t）=1 當且僅當 x=θ [N₃] ?t∈R 且 tgt;0 ，如果 c≠0 ，有

如果 c=0 ，有 N（cx，t）=1

[N₄] 一 ?s，t∈R ，有 N（x+y，t+s）?min{N（x，t），N（y，s）} [N₅] N（x，?） 是 R 上的左連續不減函數，且 則稱 N 為 X 上的模糊范數， （X，N） 為模糊賦范線性空間。

1.3模糊賦范Riesz空間的定義和性質

定義 6^[16] 設 E 是Riesz空間， N 是 E 上的模糊范數。若 N 滿足條件 [N₇] 當lxl ?|y| ，有 N（x，t）?N（y，t） 其中 x，y∈E 和s t∈R， 則稱 N 為模糊Riesz 范數。

定義 7^[16] 設 E 是Riesz空間， N 是 X×R 的模糊子集，若對任意的 x，y∈E 和s ，t∈R， 滿足：

[N₆] N（x，t）=0 ，對 ?t?0

[N₇] N（x，t）=1 ， ?tgt;0 ，當且僅當 x=θ

[N₈] 如果 c≠0

[N₉] N（x+y，t+s）?min{N（x，t），N（y，s）};

[N₁₀] N（x，?） 是 R 上一個非遞減函數，且lim_t∞N（x，t）=1

[N₁₁] 當 x≠θ 時， N（x，?） 是在 R 上連續;

[N₁₂] N（x，t）?N（y，t） ，當且僅當lxl≤lyl;則稱 N 為 E 上的模糊范數， （E，?，N） 是模糊賦范Riesz空間。

例1設 X=C（[0，1]） ， ?f∈C（[0，1]） ，定義： 定義， |f| 是Riesz范數， N：X×R?[0，1]

則 N（f，t） 是模糊Riesz范數。

證明： （N₁）～（N₆） 顯然由文獻[6]可得，假設對?x，y∈X ，有 |x|?|y| ，因 |f| 是Riesz范數，則|x|?|y| ，故

因 N（x，t）?N（y，t） ， ?tgt;0 ，則 N（f，t） 是模糊Riesz范數，因此， X 是模糊賦范Riesz空間。

定義 8^[16] 假設 E 是模糊賦范Riesz空間，若每個模糊范Cauchy序列有模糊范極限，則稱 E 是模糊Banach格。

例2設 E 是模糊賦范Riesz空間，定義 設 N：X×R?[0，1] 是如下定義的函數， 則 E 是模糊Banach格。

證明：對于 tgt;0 ，有 1因此

故 {f_n} 是模糊賦范Riesz空間中范收斂的范柯西列，所以 E 是模糊Banach格。

定義 9^[16] 假設 E 是模糊賦范Riesz空間，{f_n} 是 E 中序列。若 f_n↑ 并且 f_n 模糊范收斂于 f; 記為 則 f_n↑f₀ 。

引理 1^[16] 若 E 是序連續模糊Banach格，則 E 是超級Dedekind完備的。

引理 2^[16] 假設 E 是模糊賦范Riesz空間， D 是 E 上的一個向上集（向下集）。若對 ?tgt;0 和?α∈（0，1） ， ?f（α）∈D ，使得對 ?f₁，f₂∈D ，當 f₁≥f（α） f₂?f（α） ， （f₁?f（α），f₂?f（α）） 時，有 N（f₁-f₂，t）≥1-α 則稱 D 為模糊范Cauchy系統。

定義 10^[16] 設 E 是模糊賦范Riesz空間， .0n} 為 E 中序列，如果對任意的數 εgt;0 ，存在 n（ε） 使得當 ngt;n（ε） 時，有 |f-f_n|?εu ，則稱 {f_n} 是 u- 一致收斂到 f， 記為

定義 11^[17] 假設 E 是模糊賦范Riesz空間，{f_n} 是 E 上序列，如果存在 f∈E 使得對任意 Φ_t. 有 ，則稱 {f_n} 按模糊范數收斂于 f， 也稱f 為序列 {f_n} 的模糊范極限，記為

引理 3^[18] 若 E 是模糊Banach 空間，且對?tgt;0 ，有 收斂，則有 收斂。若E 是模糊賦范線性空間，且對 ?tgt;0 收斂，有 收斂，則 E 是模糊Banach 空間。

定義12[18]假設 E 是模糊賦范Riesz 空間，若存在 _tgt;0，Mgt;0 ，對任意 f_n∈E 有 N（f_n，t）gt;M ，則稱 {f_n} 是模糊有界的。

定理 1^[16] 設 E 是模糊Banach格，條件等價：

1）E 是模糊序連續的。

2）E 是模糊 σ- 序連續的并且 E 是模糊Dedekind σ 完備的。

3）E 中每個單調遞增且有上界的序列是模糊范收斂的。

2模糊序連續范數的性質

2.1模糊賦范Riesz空間中模糊范極限與模糊序 極限的等同性

定理2假設 E 是模糊賦范Riesz 空間， {f_n} 是 E 上的序列，且存在 f∈E ，使得對 ?tgt;0 ， ?n 有 ，且 ，則

證明：記 u_n=|f_n-g| ，假設對 ?tgt;0 ，當 n∞ 時，有

因此，存在一個序列 p_n↓0 ，使得對于所有的 n 有 0?u_n?p_n; ，進一步，使得對 ?tgt;0，?n 有

lim_n∞N（u_n-（f-g），t）=1°

令 |f-g|=v ，有

還需要證明 v=0 。

注意 0?inf（v，u_n）?inf（v，p_n）?v，

故根據伯克霍夫不等式，可得

N（v-inf（v，p_n），t）?N（v-inf（v，u_n），t），

且

N（v-inf（v，u_n），t）?N（v-u_n，t）°

故有

N（v-inf（v，p_n），t）?N（v-u_n，t），

則

因此，遞減序列 {inf（v，p_n）：n=1，2，3，…} 收斂，且模糊序收斂到0，即序列 {inf（v，p_n）：n=1，2，3，…} 模糊范收斂到 σ_v 。

根據定義9可知， v=0 。

綜上所述，定理2得證。

2.2模糊賦范Riesz空間中模糊范數收斂的性質

定理3假設 E 是模糊賦范Riesz 空間， {f_τ} 是 E 中的序列。若 *f_τ↑ （表示序列 {f_τ} 單調遞增）并且對 ?tgt;0 ，有 lim_τ∞N（f_τ-f，t）=1 ，則 f=supf_τ 。

證明：選定一個數列 ε_n↓0 和 {f_τ：τ∈{τ}} 中

的一個序列 {f_τn：n=1，2，…} ，使得對于所有 f_τ{gt;f_τn ，都有 f_τn 個并且對 ?tgt;0 ， ?n ，有

N（f-f_τ，t）≥N（ε_n，t）°

同時，選定一個固定的 f_τ0 ，那么對于適當的 τ^′∈{τ} 有

sup（f_τn，f_τ0）–f_τn?f_τ^′-f_τn，

則

N（sup（f_τn，f_τ0）-f_τn，t）?N（ε_n，t）°

由于序列 {f_τn} 是單調遞增的并且模糊范收斂于 f 的，因此根據定義12可得 f_τn↑f 對任意的 f_τ ，有

因此，對 ?tgt;0，?n， 有

N（sup（f_τ，f）-f，t）?N（ε_n，t）°

由于 ε_n↓0 ，這表明對 ?tgt;0 ，當 n?∞ 時，有

lim_τ∞N（sup（f_τ，f）-f，t）=1，

所以 sup（f_τ，f）=f 由此可知，對于所有 f_τ ，有 f_τ?f 由上述可知 ，f=supf_τn ，因此 f=supf_τ 。

綜上所述，定理3得證。

注1含有向上集模糊范Cauchy系統的模糊賦范Riesz空間不一定有上界。

推論1假設 E 是模糊賦范Riesz空間， E 中 每個向上集模糊范Cauchy系統有上界，當且僅 當 E 有模糊弱Riesz-Fischer性質。

定義13假設 E 是模糊賦范Riesz空間，如果存在 {u_n}∈E⁺ 且 u_n↑ ， n=1，2，… ，且對 ?tgt;0，?n 有 $＼operatorname* { i n f } （ N （ u _ { n } ， t ） ） { = } 0 ＼ 。$ 可得sup u_n 在 E 中存在，則稱 E 具有單調完備性。

注2 E 有單調完備性可得 E 有模糊Riesz-Fischer性質，可知 E 是模糊Banach格。但單調完備性并不等同于模糊Riesz-Fischer性質。

介紹模糊賦范Riesz空間中，遞增序列，向上集系統和模糊范Cauchy序列之間的等價關系。

引理4假設 E 是模糊賦范Riesz空間，則結論等價：

1）E 中每個序有界遞增序列都是模糊范Cauchy序列。

2）E 中每個序有界向上集系統都是模糊范Cauchy系統。

證明： 2）?1） 是顯然的。

而 1）?2 還需進一步證明。

假設1成立，而2）不成立。那么存在一個系統 0?u_τ↑?u₀ 使得 不是模糊范Cauchy序列。

故在 {u_τ} 中存在序列 {u_τn} 使得 u_τn ↑并且對?tgt;0，?n，?α∈（0，1）， 有

N（u_τn+1-u_τn，t）?1-α

由此與1）矛盾，故可知2）成立。

綜上所述，引理4得證。

定理4假設 E 是模糊賦范Riesz 空間， {u_τ} 是 E 中的序列，若 E 有模糊序連續范數并且0?u_τ↑u 則在 {u_τ} 中存在序列 {u_τn} ，使得 0?u_τn↑u 。

證明：如果 0?u_τ↑u ，那么 u-u_τ↓0 。

由于 E 有模糊序連續范數，故 （u-u_τ）↓0 并對 ?tgt;0，?n ，有

lim_τ∞N（u-u_τ，t）=1

由此可見， {u_τ} 包含一個序列 {u_τn} ，使得 u_τn↑ 及 （u-u_τ）↓0 并對 ?tgt;0，?n， 有

lim_n∞N（u-u_τn，t）=1.

且

lim_n∞N（u_τn-u，t）=1，

即遞增序列 {u_τn} 模糊范收斂到 u 。

根據定義9可知，u=sup uτn。

即 。

綜上所述，定理4得證。

引理5假設 E 是模糊賦范Riesz空間，有如下三個條件成立。

1）如果 0?u_τ ↑是模糊范Cauchy系統。 ε_n↓0 是一個正數數列，則在 {u_τ} 中存在一個序列 {u_τn} ，使得 u_τn ↑并對 ?tgt;0 及所有的 n ，有

sup_τN（sup（u_τn，u_τ）-u_τn，t）?N（ε_n，t），

更進一步，序列 {u_τn} 的任意上界都是系統 {u_τ} 的上界。

2）如果任意序有界遞增模糊范Cauchy序列都有模糊范極限，且 0?u_τ↑?u₀ 是模糊范Cauchy系統，則 u=supu_τ 存在，且引理5的1中的遞增序列滿足sup 。此外，對 ?tgt;0 ?n ，有 lim_τ∞N（u-u_τ，t）=1 。

3）如果 E 是Dedekind σ -完備的，且0?u_τ↑?u₀ 是模糊范Cauchy系統，則 u=supu_τ 存在且引理5的1）中任意遞增序列 {u_τn} 滿足supu_τn=u=supu_τ°

證明：1）在 {u_τ} 中存在一個序列 {u_τn} 使得對于每一個 Ω_n ，都有 u_τn ↑并且對所有的 Ω_n ，有

sup（N（u_τ-u_τn，t）：u_τ?u_τn）?N（ε_n，t）°

證明 {u_τn} 滿足引理5的 ^1） 。對于這個證明，暫時固定 u_τ0 。

對于任意的 都存在 u_{τ^′（n）}?u_τn 使得

所以對 ?tgt;0，?n ，有

可得

設 v 是 {u_τn} 的上界，對所有的 n ，有 u_τn?v 。則

有

N（sup（u_τ，v）-v，t）?N（ε_n，t）°

可得

lim_τ∞N（sup（u_τ，v）-v，t）=1°

故對 ?τ ，有 sup（u_τ，v）=v 。也就是說，對于所有的 τ ，有 u_τ?v 。

因此， v 是 {u_τ} 的上界。

2）設 0?u_τ↑?u₀ 是模糊范Cauchy系統，如引理5的1）中 {u_τ} 的任意遞增序列 {u_τn} ， ?tgt;0 ，有

N（u_τn+m-u_τn，t）=N（sup（u_τn+m，u_τn）-u_τn，t），

N（sup（u_τn+m，u_τn）-u_τn，t）?N（ε_n，t）°

因此， {u_τn} 是序有界遞增模糊范Cauchy序列。

假設 u_τn 模糊范收斂到 u，u∈E 。

由定義9可知， u=supu_τn 。

根據引理5的 ^1） 可知， u 也是系統 {u_τ 的一個上界。因此

故對?tgt;0，?τ，有lim N（u-u，t）=1，且u=sup utn 。 故 （u-u_τn）↓0 且 ?tgt;0，?n， 有

lim_n∞N（u-u_τn，t）=1°

因此， （u-u_τn ） ↓0 ，并且lin 。

3設 0?u_τ↑?u₀ 是Dedekind σ -完備空間 |E| 中的模糊范Cauchy系統，假設 {u_τn} 是 {u_τ} 中的一個遞增序列。因為序列是序有界的且 E 是Dedekind σ- 完備空間，則 u= sup u_τn 存在。

根據引理5的1）可知， u 也是系統 {u_τ} 的一個上界。因此 sup 。

綜上所述，引理5得證。

定理5假設 E 是模糊賦范Riesz空間， E 中的模糊Riesz范數是模糊序連續范數，當且僅當模糊Riesz范數是模糊 σ- 序連續范數且 E 滿足模糊范Cauchy條件，即 E 中的每個序有界向上有向系統都是模糊范Cauchy系統。

證明：充分性 （⁶⁶?⁷） 假設模糊Riesz范數是模糊 σ- 序連續范數，并且設 E 滿足模糊范Cauchy條件。此外，設 {u_τ} 是 E 中的一個向下有向系統使得 u_τ↓0 。

證明 （u_τ）↓0 及 ?tgt;0，?τ ，有 lim_τ∞N（u_τ，t）=1 成立。

假設 ?u₀∈E; 使得 則

可得 {v_τ} 是模糊范Cauchy系統。根據引理5的1）可知，在 {v_τ} 中存在序列 {v_τn} ，使得 v_τn 并且 {v_τn} 的任何上界也是 {v_τ} 的上界。

由于 v_τ↑u₀， 就可得出 v_τn ↑u_0° 因為模糊Riesz范數是模糊 σ- 序連續范數，故 （u₀-v_τn）↓0，?tgt;0 ?n， 有

lim_n∞N（u₀-v_τn，t）=1°

因 （u₀-v_τn）↓0 并且對 ?tgt;0，?τ， 有

lim_τ∞N（u₀-v_τ，t）=1

即 并且 lim_τ∞N（u_τ，t）=1 。

必要性 （⁶⁶?⁷⁷） 假設 0?u_n↑?u₀， 并且設 V={v：v?u_n，n=1，2，3，…}， 0

因為模糊Riesz范數是模糊序連續范數。對于 m?n 及 ?v∈V ，有

0?u_m-u_n?v-u_n°

假設 n 足夠大，對于 ?a∈（0，1） 和 tgt;0 ?n₀ 使得當 m，n≥n₀， 有

N（u_m-u_n，t）≥1-α

這表明 {u_n} 是模糊范Cauchy 序列。因此，滿足模糊范Cauchy條件。

綜上所述，定理5得證。

推論1假設 E 是模糊賦范Riesz空間，并且 E 具有 E 中任一序有界遞增的模糊范Cauchy序列都有模糊范極限的性質。那么 E 是模糊序連續的當且僅當 E 滿足模糊范Cauchy條件。在這種情況下， E 是超級Dedekind完備的。尤其，如果 E 是模糊Banach格，那么 E 是模糊序連續的當且僅當 E 滿足模糊范Cauchy條件，在這種情況下， E 是超級Dedekind完備的。

證明：如果 E 是模糊序連續的，那么根據定理5可知， E 滿足模糊范Cauchy條件。

相反，假設任意序有界遞增的模糊范Cauchy序列有模糊范極限，并且 E 滿足模糊范Cauchy條件，即任意序有界遞增序列都是模糊范Cauchy序列。

故滿足了定理1的2，因此， E 是模糊序連續的 E 并且是超級Dedekind完備的。

綜上所述，推論1得證。

3結語

在模糊賦范Riesz空間，研究序列的收斂性、有界性和完備性是十分重要的。模糊序連續范數與模糊賦范Riesz空間的性質密切相關。研究模糊序連續范數有助于理解模糊賦范Riesz空間中的正性、模糊序結構和模糊拓撲結構。例如，模糊序連續范數的性質可以用來研究模糊賦范Riesz空間中的模糊正投影、模糊正算子和正性保持性質。模糊序連續范數的性質在模糊泛函分析中有廣泛應用。例如，在研究模糊Banach格之間的算子時，模糊序連續范數的性質可以幫助確定模糊算子的正性、緊性和有界性。這些性質對于解決實際問題中的逼近、優化和穩定性問題非常重要。本研究所得結果統一和推廣了文獻[7]和文獻[18]的結論。

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