模糊賦范Riesz空間上序列性質(zhì)研究

中圖分類(lèi)號(hào)：0177 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-0033（2025）04-0027-06

Abstract： Through the study of the properties such as the fuzzy order continuous norm of sequences in the fuzzy normed Riesz space，the consistency of the limits of the fuzzy norm convergence and the fuzzy order convergence of sequences in the fuzzy normed Riesz space is given. The properties of the fuzzy norm convergence in the fuzzy normed Riesz space are systematically expounded. The equivalent relations among increasing sequences，upward set systems and fuzzy norm Cauchy sequences in this space are deeply discussed，and the relevant properties of the fuzzy order continuous norm are elaborated in detail.It is expercted to provide a basis for the research on the properties of fuzzy positive projections，fuzzy positive operators and positivity preservation in the fuzzy normed Riesz space.

Key words： fuzzy normed Riesz space; fuzzy Banach lattice; fuzzy normed convergence

模糊序連續(xù)范數(shù)作為模糊賦范Riesz空間理論體系的核心要素，其性質(zhì)深度關(guān)聯(lián)著空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)與拓?fù)涮卣鳌Ｍㄟ^(guò)系統(tǒng)探究模糊序連續(xù)范數(shù)，能夠?yàn)榻馕瞿：x范Riesz空間的正性屬性、序結(jié)構(gòu)特性及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征提供關(guān)鍵理論支撐。例如，利用模糊序連續(xù)范數(shù)的拓?fù)溥B續(xù)性與序理論兼容性，可有效刻畫(huà)模糊正投影算子的映射性質(zhì)，解析模糊正算子的序保持機(jī)制，進(jìn)而揭示空間結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含的正性保持規(guī)律。在模糊泛函分析領(lǐng)域，模糊序連續(xù)范數(shù)展現(xiàn)出卓越的應(yīng)用價(jià)值。特別是在研究模糊Banach格之間的算子性質(zhì)時(shí)，其序拓?fù)涮卣髂軌驗(yàn)榕卸：阕拥恼浴⒕o性及有界性提供有力的分析工具，在實(shí)際問(wèn)題的逼近算法設(shè)計(jì)、優(yōu)化模型構(gòu)建及系統(tǒng)穩(wěn)定性分析等方面發(fā)揮重要作用。在理論發(fā)展進(jìn)程中，Zadeh率先將模糊理論與Riesz空間理論相融合，通過(guò)自反性、反對(duì)稱(chēng)性及傳遞性構(gòu)建“模糊序”概念，奠定了模糊序理論的基礎(chǔ)框架。

Katsaras引入模糊半賦范和模糊賦范線性空間，系統(tǒng)研究其基本拓?fù)渑c代數(shù)性質(zhì)。Venugopalan[3建立了完備的模糊有序集理論體系，為后續(xù)研究提供了重要的理論平臺(tái)。Felbin提出新型模糊賦范線性空間，并證明有限維子空間的完備性。Beg等[5深入探討了模糊有序線性空間的相關(guān)概念、性質(zhì)和理論。Bag等[6-7則深入研究模糊Riesz空間，構(gòu)建模糊范數(shù)分解定理，揭示有限維模糊賦范空間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征。Zaanen等8對(duì)模糊Riesz空間的基本概念、結(jié)構(gòu)和性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)闡述。趙家銳提出在Riesz空間中引入模糊范數(shù)，以及這種模糊范數(shù)所滿足的條件和具有的特點(diǎn)。Park[o]基于模糊Riesz范數(shù)與單調(diào)序列，系統(tǒng)定義了模糊范數(shù)收斂與模糊序收斂概念，為空間性質(zhì)研究提供了新的分析視角。文獻(xiàn)[11-15]均聚焦于模糊空間，深入探討各類(lèi)模糊算子的相關(guān)性質(zhì)、原理及應(yīng)用，同時(shí)涉及到模糊空間的結(jié)構(gòu)與算子理論之間的相互關(guān)系。本文在經(jīng)典Riesz空間理論與模糊范數(shù)研究成果的基礎(chǔ)上，從模糊Riesz范數(shù)的獨(dú)特視角出發(fā)，系統(tǒng)研究模糊賦范Riesz空間上序列的收斂性質(zhì)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。通過(guò)深入分析序列的模糊范收斂性與空間完備性，進(jìn)一步揭示模糊賦范Riesz空間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特性，為模糊泛函分析理論的發(fā)展提供新的研究思路與理論支撐。

1預(yù)備知識(shí)

1.1經(jīng)典Riesz空間的定義與序結(jié)構(gòu)

定義 1^[8] 設(shè) E 是Riesz 空間，若 x，y∈E 且滿足 x∧y=θ ，則稱(chēng) x 和 y 是不交的，記作 x⊥y 。

定義 2^[8] （賦范Riesz空間的定義）設(shè) E 是Riesz空間， ∥?∥ 為 E 上的一個(gè)范數(shù)。如果對(duì)任意x，y∈E ，且 ，都有 |x|?|y| ，則 ∥?∥ 稱(chēng)為Riesz范數(shù)（或格范數(shù)）。被賦予Riesz范數(shù)的空間叫做賦范Riesz空間。若賦范Riesz空間是完備的賦范Riesz空間，則稱(chēng)其為Banach空間（或Banach格）。

定義 3^[9] 設(shè) E 是賦范Riesz空間， {f_n} 是 E 中序列 ，f∈E 若存在 E 中單調(diào)遞減趨于0的序列 {p_n} （即 p_n↓0） ，使得對(duì)任意自然數(shù) n， 都有 |f_n-f|?p_n; 則稱(chēng) {f_n} 序收斂到 f， 也稱(chēng) f 為 {f_n} 的序極限，記為 對(duì)于 E 中序列 {g_n} ，若存在 g∈E， 使得（20號(hào) ，則稱(chēng) 序收斂到 g

1.2模糊賦范線性空間的概念與性質(zhì)

定義 4^[10] 設(shè) E 是模糊賦范線性空間， {f_n} 是 E （2號(hào)上序列，若 ?α∈（0，1） 和 tgt;0 ?n₀， 使得當(dāng) m，n?n₀， 有 則稱(chēng) {f_n}_n 為模糊范Cauchy序列。

定義 5^[16] 設(shè) X 是 R 上線性空間， N 是 X×R 的模糊子集。若對(duì)任意的 x，y∈X 和 c∈R， 有

[N₁] ?t∈R 且 t?0 ，有 N（x，t）=0 [N₂] ?t∈R 且 tgt;0 ，有 N（x，t）=1 當(dāng)且僅當(dāng) x=θ [N₃] ?t∈R 且 tgt;0 ，如果 c≠0 ，有

如果 c=0 ，有 N（cx，t）=1

[N₄] 一 ?s，t∈R ，有 N（x+y，t+s）?min{N（x，t），N（y，s）} [N₅] N（x，?） 是 R 上的左連續(xù)不減函數(shù)，且 則稱(chēng) N 為 X 上的模糊范數(shù)， （X，N） 為模糊賦范線性空間。

1.3模糊賦范Riesz空間的定義和性質(zhì)

定義 6^[16] 設(shè) E 是Riesz空間， N 是 E 上的模糊范數(shù)。若 N 滿足條件 [N₇] 當(dāng)lxl ?|y| ，有 N（x，t）?N（y，t） 其中 x，y∈E 和s t∈R， 則稱(chēng) N 為模糊Riesz 范數(shù)。

定義 7^[16] 設(shè) E 是Riesz空間， N 是 X×R 的模糊子集，若對(duì)任意的 x，y∈E 和s ，t∈R， 滿足：

[N₆] N（x，t）=0 ，對(duì) ?t?0

[N₇] N（x，t）=1 ， ?tgt;0 ，當(dāng)且僅當(dāng) x=θ

[N₈] 如果 c≠0

[N₉] N（x+y，t+s）?min{N（x，t），N（y，s）};

[N₁₀] N（x，?） 是 R 上一個(gè)非遞減函數(shù)，且lim_t∞N（x，t）=1

[N₁₁] 當(dāng) x≠θ 時(shí)， N（x，?） 是在 R 上連續(xù);

[N₁₂] N（x，t）?N（y，t） ，當(dāng)且僅當(dāng)lxl≤lyl;則稱(chēng) N 為 E 上的模糊范數(shù)， （E，?，N） 是模糊賦范Riesz空間。

例1設(shè) X=C（[0，1]） ， ?f∈C（[0，1]） ，定義： 定義， |f| 是Riesz范數(shù)， N：X×R?[0，1]

則 N（f，t） 是模糊Riesz范數(shù)。

證明： （N₁）～（N₆） 顯然由文獻(xiàn)[6]可得，假設(shè)對(duì)?x，y∈X ，有 |x|?|y| ，因 |f| 是Riesz范數(shù)，則|x|?|y| ，故

因 N（x，t）?N（y，t） ， ?tgt;0 ，則 N（f，t） 是模糊Riesz范數(shù)，因此， X 是模糊賦范Riesz空間。

定義 8^[16] 假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間，若每個(gè)模糊范Cauchy序列有模糊范極限，則稱(chēng) E 是模糊Banach格。

例2設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間，定義 設(shè) N：X×R?[0，1] 是如下定義的函數(shù)， 則 E 是模糊Banach格。

證明：對(duì)于 tgt;0 ，有 1因此

故 {f_n} 是模糊賦范Riesz空間中范收斂的范柯西列，所以 E 是模糊Banach格。

定義 9^[16] 假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間，{f_n} 是 E 中序列。若 f_n↑ 并且 f_n 模糊范收斂于 f; 記為 則 f_n↑f₀ 。

引理 1^[16] 若 E 是序連續(xù)模糊Banach格，則 E 是超級(jí)Dedekind完備的。

引理 2^[16] 假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間， D 是 E 上的一個(gè)向上集（向下集）。若對(duì) ?tgt;0 和?α∈（0，1） ， ?f（α）∈D ，使得對(duì) ?f₁，f₂∈D ，當(dāng) f₁≥f（α） f₂?f（α） ， （f₁?f（α），f₂?f（α）） 時(shí)，有 N（f₁-f₂，t）≥1-α 則稱(chēng) D 為模糊范Cauchy系統(tǒng)。

定義 10^[16] 設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間， .0n} 為 E 中序列，如果對(duì)任意的數(shù) εgt;0 ，存在 n（ε） 使得當(dāng) ngt;n（ε） 時(shí)，有 |f-f_n|?εu ，則稱(chēng) {f_n} 是 u- 一致收斂到 f， 記為

定義 11^[17] 假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間，{f_n} 是 E 上序列，如果存在 f∈E 使得對(duì)任意 Φ_t. 有 ，則稱(chēng) {f_n} 按模糊范數(shù)收斂于 f， 也稱(chēng)f 為序列 {f_n} 的模糊范極限，記為

引理 3^[18] 若 E 是模糊Banach 空間，且對(duì)?tgt;0 ，有 收斂，則有 收斂。若E 是模糊賦范線性空間，且對(duì) ?tgt;0 收斂，有 收斂，則 E 是模糊Banach 空間。

定義12[18]假設(shè) E 是模糊賦范Riesz 空間，若存在 _tgt;0，Mgt;0 ，對(duì)任意 f_n∈E 有 N（f_n，t）gt;M ，則稱(chēng) {f_n} 是模糊有界的。

定理 1^[16] 設(shè) E 是模糊Banach格，條件等價(jià)：

1）E 是模糊序連續(xù)的。

2）E 是模糊 σ- 序連續(xù)的并且 E 是模糊Dedekind σ 完備的。

3）E 中每個(gè)單調(diào)遞增且有上界的序列是模糊范收斂的。

2模糊序連續(xù)范數(shù)的性質(zhì)

2.1模糊賦范Riesz空間中模糊范極限與模糊序 極限的等同性

定理2假設(shè) E 是模糊賦范Riesz 空間， {f_n} 是 E 上的序列，且存在 f∈E ，使得對(duì) ?tgt;0 ， ?n 有 ，且 ，則

證明：記 u_n=|f_n-g| ，假設(shè)對(duì) ?tgt;0 ，當(dāng) n∞ 時(shí)，有

因此，存在一個(gè)序列 p_n↓0 ，使得對(duì)于所有的 n 有 0?u_n?p_n; ，進(jìn)一步，使得對(duì) ?tgt;0，?n 有

lim_n∞N（u_n-（f-g），t）=1°

令 |f-g|=v ，有

還需要證明 v=0 。

注意 0?inf（v，u_n）?inf（v，p_n）?v，

故根據(jù)伯克霍夫不等式，可得

N（v-inf（v，p_n），t）?N（v-inf（v，u_n），t），

且

N（v-inf（v，u_n），t）?N（v-u_n，t）°

故有

N（v-inf（v，p_n），t）?N（v-u_n，t），

則

因此，遞減序列 {inf（v，p_n）：n=1，2，3，…} 收斂，且模糊序收斂到0，即序列 {inf（v，p_n）：n=1，2，3，…} 模糊范收斂到 σ_v 。

根據(jù)定義9可知， v=0 。

綜上所述，定理2得證。

2.2模糊賦范Riesz空間中模糊范數(shù)收斂的性質(zhì)

定理3假設(shè) E 是模糊賦范Riesz 空間， {f_τ} 是 E 中的序列。若 *f_τ↑ （表示序列 {f_τ} 單調(diào)遞增）并且對(duì) ?tgt;0 ，有 lim_τ∞N（f_τ-f，t）=1 ，則 f=supf_τ 。

證明：選定一個(gè)數(shù)列 ε_n↓0 和 {f_τ：τ∈{τ}} 中

的一個(gè)序列 {f_τn：n=1，2，…} ，使得對(duì)于所有 f_τ{gt;f_τn ，都有 f_τn 個(gè)并且對(duì) ?tgt;0 ， ?n ，有

N（f-f_τ，t）≥N（ε_n，t）°

同時(shí)，選定一個(gè)固定的 f_τ0 ，那么對(duì)于適當(dāng)?shù)?τ^′∈{τ} 有

sup（f_τn，f_τ0）–f_τn?f_τ^′-f_τn，

則

N（sup（f_τn，f_τ0）-f_τn，t）?N（ε_n，t）°

由于序列 {f_τn} 是單調(diào)遞增的并且模糊范收斂于 f 的，因此根據(jù)定義12可得 f_τn↑f 對(duì)任意的 f_τ ，有

因此，對(duì) ?tgt;0，?n， 有

N（sup（f_τ，f）-f，t）?N（ε_n，t）°

由于 ε_n↓0 ，這表明對(duì) ?tgt;0 ，當(dāng) n?∞ 時(shí)，有

lim_τ∞N（sup（f_τ，f）-f，t）=1，

所以 sup（f_τ，f）=f 由此可知，對(duì)于所有 f_τ ，有 f_τ?f 由上述可知 ，f=supf_τn ，因此 f=supf_τ 。

綜上所述，定理3得證。

注1含有向上集模糊范Cauchy系統(tǒng)的模糊賦范Riesz空間不一定有上界。

推論1假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間， E 中 每個(gè)向上集模糊范Cauchy系統(tǒng)有上界，當(dāng)且僅 當(dāng) E 有模糊弱Riesz-Fischer性質(zhì)。

定義13假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間，如果存在 {u_n}∈E⁺ 且 u_n↑ ， n=1，2，… ，且對(duì) ?tgt;0，?n 有 $＼operatorname* { i n f } （ N （ u _ { n } ， t ） ） { = } 0 ＼ 。$ 可得sup u_n 在 E 中存在，則稱(chēng) E 具有單調(diào)完備性。

注2 E 有單調(diào)完備性可得 E 有模糊Riesz-Fischer性質(zhì)，可知 E 是模糊Banach格。但單調(diào)完備性并不等同于模糊Riesz-Fischer性質(zhì)。

介紹模糊賦范Riesz空間中，遞增序列，向上集系統(tǒng)和模糊范Cauchy序列之間的等價(jià)關(guān)系。

引理4假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間，則結(jié)論等價(jià)：

1）E 中每個(gè)序有界遞增序列都是模糊范Cauchy序列。

2）E 中每個(gè)序有界向上集系統(tǒng)都是模糊范Cauchy系統(tǒng)。

證明： 2）?1） 是顯然的。

而 1）?2 還需進(jìn)一步證明。

假設(shè)1成立，而2）不成立。那么存在一個(gè)系統(tǒng) 0?u_τ↑?u₀ 使得 不是模糊范Cauchy序列。

故在 {u_τ} 中存在序列 {u_τn} 使得 u_τn ↑并且對(duì)?tgt;0，?n，?α∈（0，1）， 有

N（u_τn+1-u_τn，t）?1-α

由此與1）矛盾，故可知2）成立。

綜上所述，引理4得證。

定理4假設(shè) E 是模糊賦范Riesz 空間， {u_τ} 是 E 中的序列，若 E 有模糊序連續(xù)范數(shù)并且0?u_τ↑u 則在 {u_τ} 中存在序列 {u_τn} ，使得 0?u_τn↑u 。

證明：如果 0?u_τ↑u ，那么 u-u_τ↓0 。

由于 E 有模糊序連續(xù)范數(shù)，故 （u-u_τ）↓0 并對(duì) ?tgt;0，?n ，有

lim_τ∞N（u-u_τ，t）=1

由此可見(jiàn)， {u_τ} 包含一個(gè)序列 {u_τn} ，使得 u_τn↑ 及 （u-u_τ）↓0 并對(duì) ?tgt;0，?n， 有

lim_n∞N（u-u_τn，t）=1.

且

lim_n∞N（u_τn-u，t）=1，

即遞增序列 {u_τn} 模糊范收斂到 u 。

根據(jù)定義9可知，u=sup uτn。

即 。

綜上所述，定理4得證。

引理5假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間，有如下三個(gè)條件成立。

1）如果 0?u_τ ↑是模糊范Cauchy系統(tǒng)。 ε_n↓0 是一個(gè)正數(shù)數(shù)列，則在 {u_τ} 中存在一個(gè)序列 {u_τn} ，使得 u_τn ↑并對(duì) ?tgt;0 及所有的 n ，有

sup_τN（sup（u_τn，u_τ）-u_τn，t）?N（ε_n，t），

更進(jìn)一步，序列 {u_τn} 的任意上界都是系統(tǒng) {u_τ} 的上界。

2）如果任意序有界遞增模糊范Cauchy序列都有模糊范極限，且 0?u_τ↑?u₀ 是模糊范Cauchy系統(tǒng)，則 u=supu_τ 存在，且引理5的1中的遞增序列滿足sup 。此外，對(duì) ?tgt;0 ?n ，有 lim_τ∞N（u-u_τ，t）=1 。

3）如果 E 是Dedekind σ -完備的，且0?u_τ↑?u₀ 是模糊范Cauchy系統(tǒng)，則 u=supu_τ 存在且引理5的1）中任意遞增序列 {u_τn} 滿足supu_τn=u=supu_τ°

證明：1）在 {u_τ} 中存在一個(gè)序列 {u_τn} 使得對(duì)于每一個(gè) Ω_n ，都有 u_τn ↑并且對(duì)所有的 Ω_n ，有

sup（N（u_τ-u_τn，t）：u_τ?u_τn）?N（ε_n，t）°

證明 {u_τn} 滿足引理5的 ^1） 。對(duì)于這個(gè)證明，暫時(shí)固定 u_τ0 。

對(duì)于任意的 都存在 u_{τ^′（n）}?u_τn 使得

所以對(duì) ?tgt;0，?n ，有

可得

設(shè) v 是 {u_τn} 的上界，對(duì)所有的 n ，有 u_τn?v 。則

有

N（sup（u_τ，v）-v，t）?N（ε_n，t）°

可得

lim_τ∞N（sup（u_τ，v）-v，t）=1°

故對(duì) ?τ ，有 sup（u_τ，v）=v 。也就是說(shuō)，對(duì)于所有的 τ ，有 u_τ?v 。

因此， v 是 {u_τ} 的上界。

2）設(shè) 0?u_τ↑?u₀ 是模糊范Cauchy系統(tǒng)，如引理5的1）中 {u_τ} 的任意遞增序列 {u_τn} ， ?tgt;0 ，有

N（u_τn+m-u_τn，t）=N（sup（u_τn+m，u_τn）-u_τn，t），

N（sup（u_τn+m，u_τn）-u_τn，t）?N（ε_n，t）°

因此， {u_τn} 是序有界遞增模糊范Cauchy序列。

假設(shè) u_τn 模糊范收斂到 u，u∈E 。

由定義9可知， u=supu_τn 。

根據(jù)引理5的 ^1） 可知， u 也是系統(tǒng) {u_τ 的一個(gè)上界。因此

故對(duì)?tgt;0，?τ，有l(wèi)im N（u-u，t）=1，且u=sup utn 。 故 （u-u_τn）↓0 且 ?tgt;0，?n， 有

lim_n∞N（u-u_τn，t）=1°

因此， （u-u_τn ） ↓0 ，并且lin 。

3設(shè) 0?u_τ↑?u₀ 是Dedekind σ -完備空間 |E| 中的模糊范Cauchy系統(tǒng)，假設(shè) {u_τn} 是 {u_τ} 中的一個(gè)遞增序列。因?yàn)樾蛄惺切蛴薪绲那?E 是Dedekind σ- 完備空間，則 u= sup u_τn 存在。

根據(jù)引理5的1）可知， u 也是系統(tǒng) {u_τ} 的一個(gè)上界。因此 sup 。

綜上所述，引理5得證。

定理5假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間， E 中的模糊Riesz范數(shù)是模糊序連續(xù)范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)模糊Riesz范數(shù)是模糊 σ- 序連續(xù)范數(shù)且 E 滿足模糊范Cauchy條件，即 E 中的每個(gè)序有界向上有向系統(tǒng)都是模糊范Cauchy系統(tǒng)。

證明：充分性 （⁶⁶?⁷） 假設(shè)模糊Riesz范數(shù)是模糊 σ- 序連續(xù)范數(shù)，并且設(shè) E 滿足模糊范Cauchy條件。此外，設(shè) {u_τ} 是 E 中的一個(gè)向下有向系統(tǒng)使得 u_τ↓0 。

證明 （u_τ）↓0 及 ?tgt;0，?τ ，有 lim_τ∞N（u_τ，t）=1 成立。

假設(shè) ?u₀∈E; 使得 則

可得 {v_τ} 是模糊范Cauchy系統(tǒng)。根據(jù)引理5的1）可知，在 {v_τ} 中存在序列 {v_τn} ，使得 v_τn 并且 {v_τn} 的任何上界也是 {v_τ} 的上界。

由于 v_τ↑u₀， 就可得出 v_τn ↑u_0° 因?yàn)槟：齊iesz范數(shù)是模糊 σ- 序連續(xù)范數(shù)，故 （u₀-v_τn）↓0，?tgt;0 ?n， 有

lim_n∞N（u₀-v_τn，t）=1°

因 （u₀-v_τn）↓0 并且對(duì) ?tgt;0，?τ， 有

lim_τ∞N（u₀-v_τ，t）=1

即 并且 lim_τ∞N（u_τ，t）=1 。

必要性 （⁶⁶?⁷⁷） 假設(shè) 0?u_n↑?u₀， 并且設(shè) V={v：v?u_n，n=1，2，3，…}， 0

因?yàn)槟：齊iesz范數(shù)是模糊序連續(xù)范數(shù)。對(duì)于 m?n 及 ?v∈V ，有

0?u_m-u_n?v-u_n°

假設(shè) n 足夠大，對(duì)于 ?a∈（0，1） 和 tgt;0 ?n₀ 使得當(dāng) m，n≥n₀， 有

N（u_m-u_n，t）≥1-α

這表明 {u_n} 是模糊范Cauchy 序列。因此，滿足模糊范Cauchy條件。

綜上所述，定理5得證。

推論1假設(shè) E 是模糊賦范Riesz空間，并且 E 具有 E 中任一序有界遞增的模糊范Cauchy序列都有模糊范極限的性質(zhì)。那么 E 是模糊序連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng) E 滿足模糊范Cauchy條件。在這種情況下， E 是超級(jí)Dedekind完備的。尤其，如果 E 是模糊Banach格，那么 E 是模糊序連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng) E 滿足模糊范Cauchy條件，在這種情況下， E 是超級(jí)Dedekind完備的。

證明：如果 E 是模糊序連續(xù)的，那么根據(jù)定理5可知， E 滿足模糊范Cauchy條件。

相反，假設(shè)任意序有界遞增的模糊范Cauchy序列有模糊范極限，并且 E 滿足模糊范Cauchy條件，即任意序有界遞增序列都是模糊范Cauchy序列。

故滿足了定理1的2，因此， E 是模糊序連續(xù)的 E 并且是超級(jí)Dedekind完備的。

綜上所述，推論1得證。

3結(jié)語(yǔ)

在模糊賦范Riesz空間，研究序列的收斂性、有界性和完備性是十分重要的。模糊序連續(xù)范數(shù)與模糊賦范Riesz空間的性質(zhì)密切相關(guān)。研究模糊序連續(xù)范數(shù)有助于理解模糊賦范Riesz空間中的正性、模糊序結(jié)構(gòu)和模糊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。例如，模糊序連續(xù)范數(shù)的性質(zhì)可以用來(lái)研究模糊賦范Riesz空間中的模糊正投影、模糊正算子和正性保持性質(zhì)。模糊序連續(xù)范數(shù)的性質(zhì)在模糊泛函分析中有廣泛應(yīng)用。例如，在研究模糊Banach格之間的算子時(shí)，模糊序連續(xù)范數(shù)的性質(zhì)可以幫助確定模糊算子的正性、緊性和有界性。這些性質(zhì)對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題中的逼近、優(yōu)化和穩(wěn)定性問(wèn)題非常重要。本研究所得結(jié)果統(tǒng)一和推廣了文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[18]的結(jié)論。

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