奇怪的彎曲形狀打破了50年的幾何猜想

在一個古老的印度寓言中，六個盲人各自摸到了大象的不同部分。他們對大象的樣子意見不一：它是光滑的還是粗糙的？它像蛇（摸到象鼻的人認為）還是扇子（摸到象耳的人認為）？如果盲人能綜合他們的見解，他們可能就能正確描述大象的特征。然而，他們最終卻陷入了爭吵。

幾十年來，拓撲學家一直希望避免陷入類似的陷阱。他們認為可以通過綜合大量的局部測量來表征數學形狀。但新發現的、看似矛盾的彎曲空間表明，情況并非總是如此?！笆虑榭赡鼙任覀兿胂蟮囊獜碗s得多。”意大利博科尼大學的埃利亞·布魯埃說，他與另外兩位數學家合作證明了這一點。

拓撲學家對他們所研究的形狀進行拉伸和壓縮。從拓撲學的角度來看，一條無限細的橡皮筋等同于一個圓，因為你可以很容易地將它變形為圓形。拓撲學家傾向于根據形狀的整體性質來表征它們：它們是否有孔洞，像甜甜圈？它們是否無限延伸，像無限平面？或者它們是否拓撲“緊”的，像球面的曲面？它們的“直線”是否無限延伸——使它們成為數學家所說的“完備”——還是有盡頭？

但就像寓言中的大象一樣，很難直接感知拓撲形狀的整體性質。因此，數學家希望了解它們與局部幾何性質的關系，比如曲率。提供一個形狀在每個點處如何彎曲的信息，你能說出它的整體拓撲結構嗎？

1968年，當時在普林斯頓大學的著名數學家約翰·米爾諾猜測，一個完備形狀的平均曲率足以告訴我們它不可能有無限多個洞。在接下來的50年里，許多結果都支持了他的說法?！澳愫苋菀紫嘈潘钦娴?，因為在很多實際情況下它都是真的。”紐約大學柯朗研究所的杰夫·切格爾說，“而且，你究竟如何才能構造出一個反例呢？”

在這個數學領域，多倫多大學的維塔利·卡波維奇說：“米爾諾猜想可能是最大的未解決問題?！?/p>

因此，在2020年，布魯埃和兩位同事著手證明它。他們最終找到了一個反例，并在這個過程中構建了一種全新的拓撲形狀?！斑@是一項了不起的工作，”切格爾說?！耙粋€里程碑?！?/p>

拓撲學的圣杯

要理解米爾諾的猜想，首先考慮拓撲學家和幾何學家如何思考曲率會有所幫助。

兩者都研究流形（即放大后看起來是平坦的空間）。一只在球面、甜甜圈或其他二維流形曲面上的小螞蟻，會感覺到它的緊鄰區域與二維平面沒有什么不同。但是，如果螞蟻向任何方向移動一點，它可能會注意到空間開始發生變化或彎曲。局部平坦流形的概念很容易推廣到更高維度，但曲率更難定義。

以最簡單的情況為例：一個一維物體，比如一個圓。令人驚訝的是，這些一維空間在數學意義上不能被內在地彎曲。一個沿著圓行走的一維幾何學家，無法感知到超過一維的東西，會認為她在走直線——當她發現自己在往回走時會感到驚訝。

但是，如果你將一個圓嵌入到二維平面中，很明顯它具有恒定的、正的外在曲率。（這里的相關區別在于內在和外在曲率：你被困在空間內部之所見 vs 你從外部看它時之所見。）

較小的圓在你移動它們時彎曲得更快，因此具有更高的外在曲率；較大的圓具更低的曲率。（從這個意義上說，一條直線就像一個無限大的圓。它的曲率為零，表明它是完全平坦的。）我們也可以將這個定義應用于具有變化曲率的更復雜形狀，通過考慮在任何給定點上匹配該形狀所需的圓的大小。這樣，曲率就是一個局部性質：流形上的每一點都有一個相關聯的曲率。

對于一個曲面——一個二維流形——有許多方法可以放置圓，使它們與曲面上的曲線相匹配。在給定的點上，你可以通過在該點放置一個適當大小的圓來測量曲率，該圓的大小與曲面在該點的曲率相匹配。然而，令人驚訝的是，在該點處曲面的曲率可以用一個數字來定義。如果你找到給出最大和最小曲率值的方向，并將這些值相乘，你就得到一個叫作高斯曲率的數字。這個數字以一種有用的方式總結了關于曲面如何彎曲的信息。更令人驚訝的是，高斯曲率是一個內在性質：它不依賴于曲面可能被放置的任何更高維背景空間。從這個意義上說，這看起來有點荒謬，盡管球面是內在彎曲的，但是圓柱面不是。

以一個數字表示曲率

在曲面上的每一點上，曲率可以沿不同方向變化。將最大曲率和最小曲率相乘，得到一個信息量，稱為高斯曲率。

這個數字也幫助數學家得出關于空間拓撲的結論。

例如，假設在一個二維流形上的每一點，高斯曲率都是正的。那么拓撲學家可以證明它不可能像甜甜圈那樣有洞。（它要么是球面這種標準曲面，要么是另一種具有更復雜的可能性的曲面。）如果在每一點，高斯曲率都是零，那么有兩種可能的解，一種是有洞的，一種是沒有洞的：流形可能是平的，像無限平面，但它也可能是一個圓柱面或一個莫比烏斯帶。圓柱面與無限平面的不同之處在于它中間有一個洞。而莫比烏斯帶與圓柱面的不同之處在于它包含了扭曲。

在三個或更多維度中，通常不再可能用一個數字來捕捉關于曲率的有用信息。數學家們轉而使用“張量”來跟蹤曲率，張量可以被看作是一個數字數組，它根據特定的數學規則進行變換。有幾種不同的方法可以用張量來描述流形的曲率，但最重要的一種是所謂的里奇張量（Ricci張量）。像高斯曲率一樣，它將基本信息提煉成一種（相對）更簡單的形式。

與數字不同，張量不能被整齊地排序——但與數字一樣，如果滿足某個特定的屬性，張量可以被歸類為“非負”的。1968年，米爾諾猜測，Ricci張量在每一點都非負的完備流形不可能有無限多個洞。

50多年后，布魯埃與西北大學的亞倫·納伯和蘇黎世聯邦理工學院的達尼埃萊·塞莫拉共同證明他的這一猜想錯了。

分崩離析

當米爾諾提出他的猜想時，數學家們才剛剛開始探索Ricci曲率的影響，這種曲率在整個數學和物理學中反復出現。“當時人們對此一無所知，除了可以定義它。”納伯說。

“我們當時處于荒野之中，身處干旱的平原，只有幾棵樹。”切格爾說。

在隨后的幾十年里，數學家們填補了這一空白，構建了例子并發展了更具體的理論。所有的證據似乎都指向米爾諾的猜想是正確的。

這個猜想對于一維流形來說非常容易證明。它在二維情況下自1930年代以來就被知道是正確的，并且在2013年，它被證明對于三維流形是正確的 。如果你施加一些額外的限制——例如，假設你總是在處理一個封閉且有界的流形，比如一個球面，或者體積以特定的速率增長的流形——米爾諾猜想在所有維度上都成立，并且在1978年，一位名叫米哈伊爾·格羅莫夫的數學家證明，如果流形上的一個不同的、更詳細的曲率度量總是非負的，那么此流形一定只有有限個洞。

如果流形上的一個不同的、更詳細的曲率度量總是非負的，那么此流形一定只有有限個洞。

“基本上，你假設任何事情，它都會成真。”納伯說。

納伯曾多次嘗試在不做任何額外假設的情況下證明這個猜想的全部——適用于所有可能的維度。他失敗了。后來，在2019年的一次會議上，他遇到了布魯埃和塞莫拉，當時他們都是比薩高等師范學校的研究生，他們三人開始合作解決一個不同的問題。到2020年11月，他們解決了那個問題，布魯埃和塞莫拉也獲得了博士學位。于是他們三人決定再嘗試一次證明米爾諾的猜想。

他們堅持了兩年多?！拔覀儑L試了所有我們知道的技巧，”塞莫拉說。

“我們花了令人尷尬的大量時間試圖證明它，”納伯說。這包括寫了一篇80頁的證明，結果是錯誤的——“這是我個人曾經在某件事情失敗之前寫的最長的一篇。”

但它的失敗讓數學家們獲得了啟示?！爱斘覀円庾R到這個策略有缺陷時，我們就開始相信也許有余地可以構建一個反例?！比f。

從那里開始，事情進展得更順利了。在幾個月的時間里，三人組想出了如何構建一個奇怪的七維流形。他們通過將無限多個七維部分以微妙而復雜的方式粘在一起，逐步組裝出他們所需的整個流形。同時，他們必須確保Ricci曲率始終保持非負，并且他們必須避免意外地滿足米爾諾的猜想已經被證明為真的許多性質。數學家們最終得到了他們所謂的一種光滑分形雪花——一種無限而微妙的自相似結構。

它在每一點上都有非負的Ricci曲率，而且它有無限多個洞。他們已經證明了米爾諾的猜想是錯誤的。

“這比之前所有具有非負Ricci曲率的流形的構造都要復雜。”加州大學圣巴巴拉分校的魏國芳說。

布魯埃、納伯和塞莫拉，都是幾何學家，后來與幾位拓撲學家分享了他們的工作，拓撲學家告訴他們，令其驚訝的是，他們創造了一個全新的拓撲空間。而且這并不是因為七維有什么特別之處。使用類似的技術，三人組能夠在更高維度的空間（他們說這很容易）以及在六維空間（這很難）中構建類似的反例。目前還沒有人知道在四維或五維空間中是否存在反例。

由于非負Ricci曲率是一個在數學和物理學中經常出現的條件，“人們希望對這些事情有一定的內在控制。”納伯說。但事實證明，具有非負Ricci曲率的形狀比數學家們預期的更靈活，行為表現性質也更不良好——這使他們對局部幾何性質和整體拓撲結構之間的關系的理解更加復雜。

在發現新的反例之前，“你多少會希望對所有流形的樣子都獲得真正理解。”西北大學的本·溫克夫說。但現在，“可能性的潘多拉魔盒已被打開”。

◎ 來源|數學科普公眾號