具有口碑效應的信息傳播動力學模型分析

中圖分類號：O175.1 文獻標志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-1018-07

Analysis of Information Communication Dynamics Model with Word-of-Mouth Effect

ZHANG Mengyao， HOU Qiang （SchoolofMathematics，North University of China，Taiyuan O3oo51，China）

Abstract： We established a multi-stage dynamic model to reflect the characteristics of product word-ofmouth communication based on the laws of product word-of-mouth communication. Firstly，using qualitative analysis and stability theory，we analyzed the existence and stability of the model’s equilibrium points，and gave the conditions for the existence of backward bifurcation. Secondly，the Lyapunov function was used to demonstrate the global asymptotic stability of the model’s information-free equilibrium point and the positive equilibrium point when ?=0 . Finally，we found that the model underwent saddle-node bifurcation，Hopf bifurcation，B-T bifurcation，and degenerate Hopf bifurcation through numerical simulation. The results show that the coupling effect between product buyers and active disseminators of product word-of-mouth has a significant efect on the dynamic process of word-of-mouth communication.

Keywords：word-of-mouth communication；basic reproduction number；backward bifurcation；stability

產品口碑是消費者通過口頭交流分享產品信息的一個重要渠道，具有強大的影響力和傳播力．以胖東來超市為例，它通過提供優質的服務和商品，贏得了消費者的廣泛好評和自發推薦．這種口碑傳播不僅提升了品牌的信譽和影響力，還促進了銷售的增長．因此，研究口碑傳播的機制和規律具有重要意義.

近年來，關于口碑傳播動力學模型的研究已取得了一系列成果[1-4]．Qiao等[5]針對可信度將口碑傳播者分為高可信度的人和不熟悉的人，建立動力學模型，探討了兩類傳播者對潛在消費者的影響，數值模擬結果表明，當口碑傳播者是可信度高的人時，更多人愿意做出購買決定；王宇莎等[6]考慮到意見領袖的重要性，將其轉變為傳統的口碑制造者身份，建立動力學模型，結果表明，消費者在做出購買決策時更易受意見領袖的影響；宋波等[7借鑒傳染病 SIR 模型，將消費者分為某品牌的潛在消費者、某品牌消費者、某品牌厭惡者，建立動力學模型，研究了口碑對品牌傳播的影響，結果表明，負面口碑會對品牌傳播產生不良影響．上述研究表明，傳播者的可信度及意見領袖的作用對消費者決策至關重要，負面口碑對品牌傳播具有顯著影響．但這些研究未關注以下兩點因素：一是態度不明確人群的存在性；二是產品購買者對口碑積極傳播者的影響．因此，本文基于已有的口碑傳播模型，通過引入態度不明確的這類人群，并考慮產品購買者對口碑積極傳播者的影響，建立 SEII_d 動力學模型，分析購買者與口碑積極傳播者的耦合作用對口碑傳播動態過程的影響.

模型的建立

本文將人群分為四類： S（t） 表示易受口碑信息影響的人； E（t） 表示知道產品信息，暫時無明確態度的人； I（t） 表示已經接收產品信息并積極傳播產品信息的人； I_d（t） 表示積極傳播產品信息并有購買行動的人．其中已知產品信息，暫時無明確態度的人群更傾向于進一步了解產品信息后自己改變態度再做出購買決策，這類人群受他人影響較小，因此假設暫時無明確態度的人群不受其他人的影響.易受口碑影響的人與積極傳播產品的人（或者已購買產品的人）接觸后變成已知產品信息暫時無明確態度的人．積極傳播產品信息的人與已購買產品信息的人接觸后，易做出購買決策．因此，可建立如下模型：

其中： A 表示易受口碑信息影響人群的補充率； β 表示易受口碑信息影響的人與已知產品信息并積極傳播產品信息的人之間的接觸傳播率； α 表示易受口碑信息影響的人與已知產品信息并有購買行動的人之間的接觸傳播率； ? 表示已知產品信息并積極傳播的人與已知產品信息并有購買行動的人之間的接觸傳播率； σ 表示暫時無明確態度的人進一步了解產品信息后改變態度的比例； k 表示傳播產品信息的人做出購買決策的比例； c 表示已購買產品的人，因產品體驗感一般不向他人傳播產品信息的比例；μ 表示口碑傳播效果的自然衰減率．所有參數均為非負常數.

2 模型分析

通過數值計算可得模型（1）的可行域為

模型（1）的無信息平衡點為 ．基于下一代矩陣法[8]，定義模型基本再生數為

模型（1）的正平衡點為 P^*=（S^*，E^*，I^*，I_d^*） ，滿足：

其中

令 h（I_d^*）=M₀I_d^*3+M₁I_d^*2+M₂I_d^*+M₃ ，則

h^′（I_d^*）=3M₀I_d^*2+2M₁I_d^*+M₂.

當 M₂lt;0 ， Δ=M₁²-3M_oM₂gt;0 時，方程（3）有一個正根 I_d¹ ；當 M₂gt;0 ， M₁lt;0 ， Δ=M₁²-3MM₂gt;0 時，方程（3）有兩個正根 I_d² 和 I_d³ ·

因此，可得：

定理11）當 R₀gt;1 時，若 M₂lt;0 ， Δgt;0 或 M₂gt;0 ， Δgt;0 ， h（I_d²）（I_d³）gt;0 ，則模型（1）有唯一的正 平衡點；若 M₂gt;0 ， M₁lt;0 ， Δgt;0 ， h（I_d²）gt;0 ， h（I_d³）lt;0 ，則模型（1）有3個正平衡點；

2）當 R₀lt;1 時，若 M₂lt;0 ， h（I_d¹）lt;0 或 M₂gt;0 ， M₁lt;0 ， Δgt;0 ， h（I_d³）lt;0 ，則模型（1）有2個正平 衡點.

定理2當 R₀lt;1 時，模型（1）的無信息平衡點 P^?0 局部漸近穩定.

證明：模型（1）在無信息平衡點處的Jacobi矩陣為

特征方程為

令

將特征方程（3）簡化為

（λ+μ）（λ³+b₁λ²+b₂λ+b₃）=0，

由Hurwitz判據可得 H₁=∣b₁∣=a₁+a₂+a₃gt;0 ，當 R₀lt;1 時，有

進一步可得

用式（5）進行放縮，可得

因為

所以當 R₀lt;1 時， b₃gt;0 ，從而

綜上，由Hurwitz判據可知，當 R₀lt;1 時，無信息平衡點局部漸近穩定.

定理3當 M₂lt;0 ， h（I_d¹）lt;0 時，模型（1）在 R₀=1 時發生后向分支.

證明：選取 α 作為分支參數，設 ，則模型（1）變為

模型（6）在無信息平衡點處的Jacobi矩陣為

當 R₀=1 時，特征方程為

λ（λ+μ）（λ²+b₁λ+b₂）=0，

其中 b₁=3μ+k+σ+c ， ，方程（7）有一個零特征值，其他特征值均為負．零特征值對應的右特征向量為

零特征值對應的左特征向量為

因此

當 R₀=1 時，有

M₂=（μ+σ）（μ+c）（（μ+k）（kα+β（μ+c））+kμ?）-Aσkα?.

若 M₂lt;0 ，則

?（μS⁰αα-kμ（μ+σ）（μ+c））gt;（μ+σ）（μ+c）（μ+k）（kα+β（μ+c）），

即

因此，當 M₂lt;0 時， agt;0 成立．根據文獻[9]可知，當 agt;0 ， bgt;0 時，模型（1）會發生后向分支，即當M₂lt;0 ， h（I_d¹）lt;0 時，模型（1）會發生后向分支.

3 ?=0 時模型的穩定性分析

當口碑效應對購買行為無影響，即 ?=0 時，模型（1）可由下列系統表示：

當 R₀lt;1 時，模型（8）有無信息平衡點 （A，0，0，0）；當R。gt;1時，由式（2）可得，模型（8）有唯一的正平衡點 P₁^*=（S^*，E^*，I^*，I_d^*） ，其中

定理4當 R₀?1 且 ?=0 時，無信息平衡點 P₁⁰ 是全局漸近穩定的.

證明：構造Lyapunov函數

其中 計算 V（t） 沿模型（8）軌線的全導數

因此當 R₀?1 時， 當且僅當 時 ，故 的最大不變集為單點集 {P₁⁰} ．于是當 R₀?1 時，無信息平衡點 P₁⁰ 是全局漸近穩定的.

定理5當 R₀gt;1 且 ?=0 時，正平衡點 P₁^* 是全局漸近穩定的.

證明：構造Lyapunov函數

計算 L（t） 沿模型（8）軌線的全導數

因此 當且僅當 P₁^*=（S^*，E^*，I^*，I_d^*） 時， ，故 的最大不變集為單點集{P₁^*} ．于是當 R₀gt;1 時，正平衡點 P₁^* 是全局漸近穩定的.

4數值模擬

下面通過數值模擬討論模型（1）的動力學行為．以 α 為分支參數繪制模型（1）的Hopf分支圖，固定第一組參數 A=12 ， β=3×10^-6 ， μ=2×10^-2 ， k=8×10^-4 ， c=2.4 ， ?=1.08×10^-2 ， σ=1 ，繪制 隨 R₀ 變化的曲線，結果如圖1所示．由圖1可見，當 0.3170lt;1 時，模型（1）存在2個正平衡點；模型出現后向分支和1個Hopf分支點，在Hopf分支點附近形成一個不穩定的極限環.

固定第二組參數 A=15 ， β=5.6×10^-6 ， μ=2×10^-2 ， k=3×10^-2 ， c=2.4 ， ?=6.4×10^-2 ， σ=1 ，繪制 I_d 隨 R₀ 變化的曲線，結果如圖2所示．由圖2可見：當 0.9330lt;1 時，模型（1）存在2個正平衡點；模型出現后向分支和2個Hopf分支點，在這2個Hopf分支點之間至少存在一個極限環.

當第一組參數中 k=3×10^-3 時，分支圖如圖3所示．由圖3可見，模型（1）出現前向分支和2個Hopf 分支點，在第一個Hopf分支點附近形成極限環且在第二個Hopf分支點附近消失．當第一組參數中 β=3×10^-5 時，分支圖如圖4所示．圖5為圖4的局部放大圖．由圖4可見：當 1. 0220lt; 1.078時，模型（1）存在3個平衡點；模型先出現前向分支再出現后向分支和1個Hopf分支點，在這個Hopf分支點附近形成一個不穩定的極限環.

以 α，k 作為分支參數，固定參數 A=12 ， β=3×10^-6 ， μ=2×10^-2 ， σ=1 ， c=2.4 ， ?=1. 08× 10^-2 ，繪制余維為2的分支圖，結果如圖6所示．由圖6可見，模型隨分支參數變化出現退化的 Hopf分支點GH點、B-T分支點和CP點.

綜上所述，本文基于已有的口碑傳播模型，通過引入態度不明確人群，并考慮產品購買者對口碑積極傳播者的影響，建立了 SEII_d 動力學模型．首先，利用定性和穩定性理論，分析了模型平衡點的存在性和穩定性，并給出了后向分支存在的條件；其次，利用Lyapunov 函數證明了 ?=0 時模型的無信息平衡點和正平衡點的全局穩定性；最后，通過數值模擬發現模型會出現鞍結點分支、Hopf分支、B-T分支和退化的Hopf分支點.結果表明，這種傳播機制能顯著影響口碑的動態傳播規律.

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（責任編輯：李琦）