考慮時效損傷的巖石分?jǐn)?shù)階蠕變模型

中圖分類號：TU45 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：At present， most constitutive models are difficult to simultaneously reflect the creep behavior of soft and hard rocks，and their applicability is limited. To construct a more widely applicable rock creep model，based on the generalized Kelvin-Voigt model，the theory of fractional calculus operators and damage mechanics theory were introduced to construct a new rock fractional creep model considering time-dependent damage， which is extended to three-dimensional stress space. Model validation analysis is found that：1） Simulating uniaxial compression creep tests on marble and triaxial compression creep tests on sandstone using newly constructed one-dimensional and three-dimensional models，the average R² （goodness of fit） was of O.994 4 and O.994 2 respectively，proving the feasibility of the newly constructed models；2）At the same time，the newly established model and the fractionalorder creep modelin related literature were used to simulate the triaxial creep data of sandstone，and the average R² was O.994 2 and O.992 7，respectively，and the average R² of the newly established model was 0.001 5 higher than that of the previous model; 3） The simulation of triaxial compression creep test data for four types of rock hardness， namely granite，slate，mudstone，and fully weathered granite，showed an average R² of 0.989 9，demonstrating the applicability of the new model.

Key words：time damage; rock; fractional order;creep; susceptibility

0 引言

巖石蠕變是巖石力學(xué)中的重要研究內(nèi)容，與巖體工程長期穩(wěn)定性密切相關(guān)[1-4]。礦井巷道、地下隧洞、核廢料儲室失穩(wěn)往往與巖體蠕變有關(guān)，本構(gòu)模型是反映巖石蠕變的核心手段，由此開展的巖石蠕變本構(gòu)模型研究具有重要意義[5]

目前巖石蠕變模型大致有四類[4：一是經(jīng)驗?zāi)Ｐ停瘁槍μ囟ǚN類巖石，擬合蠕變試驗數(shù)據(jù)得到的函數(shù)表達(dá)式。陳文玲等6、袁靖周」、蔡美峰8通過冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等建立了蠕變經(jīng)驗?zāi)Ｐ停Ｐ途哂芯窒扌裕夷Ｐ蛥?shù)無物理意義。二是組合元件模型，通過對Hooke體、牛頓體、塑性體等基本元件進(jìn)行組合，得到諸如Kelvin、Kelvin-Voigt、Burgers和Cvisc 模型等。云瑞俊等[9]、 w_u 等[10]、Yin等[11]等對此類模型已有較多應(yīng)用，盡管該類模型物理意義明確，應(yīng)用較簡便，但存在蠕變狀態(tài)方程是線性的缺陷，而巖石蠕變往往具有非線性特征;Zhao[12]、黃建雨[13、李寧等[14]通過引入非線性元件來替換組合元件模型，但模型狀態(tài)方程仍是線性的。三是內(nèi)時理論模型，基于熱力學(xué)通過內(nèi)變量反映材料內(nèi)部不可逆變形發(fā)展而來。張瀧等[15]、Liu等[16]、Qiao等[17構(gòu)建了內(nèi)時理論模型，模型模擬效果較好，但形式復(fù)雜，內(nèi)蘊(yùn)時間的定義待商榷，推廣適用性不強(qiáng)。四是損傷與流變耦合模型，基于損傷力學(xué)理論而建立。Li等[18]、Wu等[19]、何簫等[20]、Wang等[21]、Souley等[22]、趙越等[23]等引入損傷變量，分析損傷對蠕變特性的影響，構(gòu)建了損傷模型。該類模型優(yōu)點是物理意義清晰，可量化損傷，模擬效果較好，缺點是計算較復(fù)雜。除此之外，Tang等[24]、Zhou等[25]、肖書文等[26]基于Cvisc 模型、Nishihara模型建立了分?jǐn)?shù)階蠕變模型。

以上研究拓寬了巖石蠕變模型的研究視野，盡管已有眾多模型，但多數(shù)模型難以同時反映軟巖和硬巖蠕變行為，適用范圍較窄。鑒于此，本文以廣義Kelvin-Voigt模型為基礎(chǔ)，首先引入分?jǐn)?shù)階微積分算子及損傷力學(xué)理論，構(gòu)建新的考慮時效損傷的巖石分?jǐn)?shù)階蠕變模型，并拓展至三維應(yīng)力空間；然后基于大理巖單軸、砂巖三軸蠕變試驗數(shù)據(jù)，分別驗證對比新建一維和三維模型，求解模型參數(shù)并分析關(guān)鍵參數(shù)敏感性；最后采用四種不同硬度巖石蠕變數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬對比，驗證新建模型的適用性。

1模型建立

1.1 基礎(chǔ)模型的選擇

巖石材料具有非均質(zhì)非線性特性，蠕變力學(xué)行為具有彈性、黏性、黏彈性和黏塑性特征，在元件模型理論中某單一元件無法描述巖石蠕變特性，因此學(xué)者們自由組合各元件得到組合模型。傳統(tǒng)Kelvin-Voigt模型由一個Hooke體和Kelvin模型串聯(lián)，結(jié)構(gòu)形式簡單，常用于描述巖石衰減和穩(wěn)定蠕變，部分學(xué)者[3，11]在使用時發(fā)現(xiàn)Kelvin-Voigt模型難以描述硬巖蠕變行為，于是將該模型進(jìn)行拓展，再串聯(lián)一個Kelvin模型得到適用面更廣的廣義Kelvin-Voigt模型。廣義Kelvin-Voigt蠕變模型示意圖如圖1所示。

圖1廣義Kelvin-Voigt蠕變模型 Fig.1 Generalized Kelvin-Voigt creep model

σ 為模型應(yīng)力； E_x 和 η_x 分別為彈性模量和黏滯系數(shù)，其中編號 x（x=1 ，2，3）與模型三部分相對應(yīng)。

廣義Kelvin-Voigt模型蠕變狀態(tài)方程為：

其中，

式中： σ_x 為應(yīng)力， x=1，2，3;ε 為模型總應(yīng)變； ε_x 為應(yīng)變；上標(biāo)圓點表示變量對時間 Ψ_t 的一階導(dǎo)數(shù)。求解式（1）得到

式（2）即為廣義Kelvin-Voigt模型的一維本構(gòu)方程。

基于文獻(xiàn)[1，4]中的花崗巖、橄欖巖三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)，采用三維廣義Kelvin-Voigt模型[7-8]進(jìn)行辨識。利用數(shù)學(xué)軟件1stOpt及其BFGS（準(zhǔn)牛頓）算法，得到對比曲線如圖2所示。

圖2蠕變模擬對比曲線

Fig.2 Comparison curves of creep simulation

由圖2可知：傳統(tǒng)Kelvin-Voigt模型模擬穩(wěn)定蠕變階段時，模擬曲線始終與時間軸平行，無法反映衰減蠕變特征，模擬曲線與試驗數(shù)據(jù)存在偏差；該模型對花崗巖和橄欖巖蠕變的辨識效果欠佳，經(jīng)lstOpt計算，花崗巖和橄欖巖的 R² （擬合優(yōu)度）分別為0.9214和O.9326。廣義Kelvin-Voigt模型辨識曲線與試驗數(shù)據(jù)吻合較好，辨識效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)模型，經(jīng)1stOpt計算， R² 分別為0.9875和0.9908。考慮到廣義Kelvin-Voigt模型反映硬巖衰減、穩(wěn)定蠕變階段的優(yōu)勢，而構(gòu)建蠕變本構(gòu)模型也需具備適應(yīng)于不同巖石種類的特性，因此將廣義Kelvin-Voigt模型作為基礎(chǔ)模型。

1.2 分?jǐn)?shù)階微積分的引入

分?jǐn)?shù)階微積分與傳統(tǒng)微積分的不同之處在于階數(shù)的差異，分?jǐn)?shù)階微積分在解決非線性力學(xué)行為方面具有較強(qiáng)優(yōu)勢[24]。分?jǐn)?shù)階微積分因時域定義不同，主要有Grünwald-Letnikov 型、Caputo 型和Riemann-Liouville型（簡稱R-L型）[27]。其中R-L 型應(yīng)用較廣。函數(shù) f（t） 在區(qū)間 [0，t] 的 α（αgt;0） 階R-L型積分定義為

式中： α 為階數(shù)； s 為Laplace變換的變量； Γ（α） 為Gamma函數(shù)[24]，定義為

式中， Re（?） 表示復(fù)數(shù)的實部。則 f（t） 的 α 階 R- L 型微分定義為

式中， n 為不大于 α 的最大整數(shù)。

當(dāng) f（t） 在 t=0 附近可積，且 α∈（0，1] 時，將f（t） 的Laplace變換記為 ，則R-L型積分的拉普拉斯變換公式為

1.3 分?jǐn)?shù)階軟體元件

Blair[28]提出一種可描述介于理想固體、流體之間某種狀態(tài)的軟體元件，其狀態(tài)方程為

式中： ε（t） 為該軟體元件的應(yīng)變； η_α 為黏滯系數(shù)。

當(dāng) σ 保持恒定時，依據(jù)R-L型微積分理論對式（7）積分可得

式中， E_α 為該分?jǐn)?shù)階軟體元件的應(yīng)變。

取 σ=30MPa ， η_α=20GPa?h ，依據(jù)式（8）得到不同 α 取值對應(yīng)的蠕變曲線，結(jié)果見圖3。

圖3分?jǐn)?shù)階軟體元件蠕變曲線

由圖3可看出： α 在區(qū)間[0，1]內(nèi)的不同取值會影響蠕變曲線形態(tài)，而巖石的非線性蠕變特征也通過曲線形態(tài)上得以體現(xiàn)；隨著 α 減小，非線性特征更加明顯。

1.4考慮時效損傷的黏塑性體

廣義Kelvin-Voigt蠕變模型結(jié)構(gòu)為 H-H|N- H|N ，均為彈性體和牛頓體元件組合而來，無法反映材料黏塑性變形行為。引入狀態(tài)方程如下的黏塑性體[7-8]：

式中， ε_Δvp 和 η_vp 分別為軟體元件應(yīng)變和黏滯系數(shù)。

當(dāng)加載應(yīng)力超過損傷應(yīng)力閾值（即長期強(qiáng)度σ_S ）時，巖石材料黏塑性應(yīng)變開始累積，材料內(nèi)部微裂紋、微裂隙不斷發(fā)育，損傷持續(xù)累積。巖石材料在達(dá)到長期強(qiáng)度前產(chǎn)生的損傷較少，為方便模型建立忽略該部分損傷[20-23]。因此基于損傷力學(xué)理論，依據(jù)Lemaitre等效應(yīng)力原理[29]，將式（9）改寫為

式中， D（t） 為損傷變量。

Kachanov[30]提出一維應(yīng)力條件下蠕變損傷發(fā)展方程為

式中， A 和 u 為材料參數(shù)。

對式（11）積分可得蠕變破壞時間 t_e 為

t_e=[A（ν+1）σ^ν]^-1

結(jié)合式（11）和式（12）可得 D（t） 的演化規(guī)律：

D（t）=1-（1-t/t_e）^1/（ν+1）_c

將式（13）代入式（10）得

對式（14）積分可得

式中， B 為積分常數(shù)。

當(dāng) t=0 時， ε_vp=0 ，于是由（15）可得

將式（16）代入式（15）變形可得

式（17）即為考慮時效損傷的黏塑性體的本構(gòu)方 程。

1.5一維條件下考慮時效損傷的分?jǐn)?shù)階蠕變模型

為建立可反映巖石黏彈塑性蠕變特征的本構(gòu)模型，將廣義Kelvin-Voigt模型與考慮時效損傷的黏塑性體串聯(lián)，同時用分?jǐn)?shù)階軟體元件替代廣義Kelvin-Voigt模型中兩個Kelvin模型的牛頓體，得到一個新的蠕變模型，如圖4所示。

圖4蠕變損傷模型

Fig.4Creep damage model

結(jié)合式（1）（2）和（17）得到一維條件下的蠕變狀態(tài)方程，當(dāng) σlt;σ_S 時，模型第 ④ 部分失效，模型狀態(tài)方程為：

其中，

求解式（18）可得

當(dāng) σ?σ_S 時，模型第 ④ 部分生效，由于模型第 ④ 部分中采用一個開關(guān)（以長期強(qiáng)度作為閾值）與黏塑性體并聯(lián)，式（17）中 σ 需改寫為 （σ-σ_S） 作為開關(guān)觸發(fā)條件，于是有模型狀態(tài)方程為：

求解式（20）可得

式（19）（21）即為所建一維本構(gòu)方程。

1.6 三維蠕變損傷本構(gòu)模型

工程應(yīng)用中，巖體所處應(yīng)力環(huán)境是三維的，鮮有一維情形，還需將式（19）（21）拓展至三維應(yīng)力空間。假定材料各向同性，根據(jù)廣義Hooke定律有

式中： σ_m 為平均應(yīng)力； S_ij 為偏應(yīng)力張量； ε_m 為平均應(yīng)變； e_ij 為偏應(yīng)變張量；下標(biāo) ij 表示不同應(yīng)力方向； K 和 G 分別為體積模量和剪切模量。對材料內(nèi)部應(yīng)力張量進(jìn)行分解可得

σ_ij=S_ij+δ_ijσ_m.

式中： σ_ij 為應(yīng)力張量； δ_ij 為Kronecker（克羅內(nèi)克）張量。

忽略材料在三維狀態(tài)下的體積蠕變[8，13]，引入

屈服函數(shù) F 來反映材料屈服。將式（19）和式（21）合寫，并拓展至三維應(yīng)力空間：

式中： （S_ij）_s 為與長期強(qiáng)度對應(yīng)的偏應(yīng)力張量； G₁ 、G₂ 和 G₃ 分別為三維蠕變損傷本構(gòu)模型第 ①②③ 部分的剪切模量，與 E₁，E₂ 和 E₃ 相對應(yīng)； H₂…H₃ 和 H_vp 分別為新建模型第 ②③④ 部分的三維黏滯系數(shù)，與ηa2、ηa3和ηvp相對應(yīng);F。為屈服函數(shù)F的初始值。

屈服函數(shù)[8，13]可取如下形式

式中， J₂ 為應(yīng)力偏量第二不變量。

在常規(guī)的三軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)中，

將式（26）代人式（24）可得

式中， （σ₁-σ₃）_： s為長期強(qiáng)度。式（27）即為本文新建考慮時效損傷的巖石分?jǐn)?shù)階三維蠕變模型。

2 模型驗證及分析

2.1 巖石蠕變試驗

本文所建一維、三維蠕變模型可分別用于一維和三維應(yīng)力狀態(tài)下的巖石材料。為驗證模型可行性，采用文獻(xiàn)[31中的大理巖單軸壓縮蠕變試驗對一維模型進(jìn)行模擬驗證，采用文獻(xiàn)［32]中的砂巖三軸壓縮蠕變試驗對三維模型進(jìn)行模擬驗證，這里不再描述試驗過程。大理巖、砂巖蠕變試驗結(jié)果如圖5所示。

a.大理巖，酸性溶液環(huán)境，凍融循環(huán)50次，文獻(xiàn)[31]；b.砂巖，天然狀態(tài)，圍壓2 MPa ，文獻(xiàn)[32]。a圖為加載應(yīng)力；b圖為偏應(yīng)力。

圖5大理巖和砂巖逐級加載蠕變曲線

Fig.5 Gradual loading creep curves of marble and sandstone

由圖5可看出，巖石蠕變?nèi)A段特征明顯，且在最后一級加載下發(fā)生加速蠕變。式（19）（21）（27）均針對分級加載，模擬驗證時，需將圖5中的逐級加載曲線經(jīng)Boltzmann線性處理[20-23]后轉(zhuǎn)化為分別加載形式。

2.2 參數(shù)求解

1）一維模型

參數(shù) E₁ 根據(jù)Hooke定律確定； σ_S 根據(jù)等時應(yīng)力-應(yīng)變曲線法取拐點確定，文獻(xiàn)[31]中已給出，取38.34MPa;參數(shù)E2、E3、α2、α3、ηα2、ηa3、ηvp、te和 2 均通過數(shù)學(xué)軟件1stOpt基于BGFS算法計算得到。

2）三維模型

參數(shù) G₁ 和 K 根據(jù)廣義Hooke定律確定

式中， μ 為泊松比，取 μ 為 0.24^[8，32] （2

（σ₁-σ₃）_S 根據(jù)等時應(yīng)力-應(yīng)變曲線法取拐點確定，文獻(xiàn)[32]中已給出，取 28.12MPa ;參數(shù) G₂、G₃ 、α₂、α₃、H₂、H₃、H_vp、t_e 和 u 通過數(shù)學(xué)軟件1stOpt基于BGFS算法計算得到。

2.3 蠕變模擬

通過式（19）（21）對大理巖單軸蠕變曲線進(jìn)行模擬，并與常用的Cvisc一維模型9]對比；對砂巖三軸蠕變曲線進(jìn)行模擬，與Cvisc三維模型9對比。以上驗證對比曲線分別如圖6、圖7所示，模型參數(shù)分別如表1、表2所列。

結(jié)合圖6、圖7和表1、表2可見，新建一維、三維模型對大理巖單軸和砂巖三軸蠕變試驗數(shù)據(jù)模擬效果較好，平均 R² 分別為 0.994 4.0.994 2 。相比之下，Cvisc一維、三維模型模擬值略低于試驗值，經(jīng)計算，平均 R² 分別為 0.943 8.0.952 7 ，尤其在最后一級加載階段，模擬值與試驗數(shù)據(jù)偏差顯著，無法準(zhǔn)確表征大理巖和砂巖的加速蠕變行為。新建一維、三維模型的模擬效果較好，驗證了本文模型的可行性。

3參數(shù)分析及適用性驗證

3.1 參數(shù)敏感性分析

加速蠕變是巖石蠕變力學(xué)的重點，參數(shù) H_vp，te 和 u 作為考慮時效損傷的黏塑性體中的關(guān)鍵參數(shù)，直接影響巖石加速蠕變的發(fā)展進(jìn)程。為研究三個參數(shù)對砂巖最后一級加載下蠕變曲線的敏感性影響，分別將不同 H_vp 值和表2中偏應(yīng)力 40MPa 條件下的其他固定參數(shù)代入式（27）繪制敏感性曲線，不同t_e 和 2 的敏感性曲線繪制參照同樣方法繪制，結(jié)果如圖8所示。

圖6大理巖蠕變模擬對比曲線 Fig.6Comparison curves of simulated creep of marble

由圖8a可看出：隨著 H_vp 增大，應(yīng)變值遞減；H_vp 不僅影響曲線形態(tài)，也關(guān)系到蠕變速率和應(yīng)變值；當(dāng) H_vp 從 100GPa?h 增至 500GPa?h （增幅 400% 時，極限應(yīng)變值從 6.52% 減小至 2.79% （降幅 57.21%） 。定量分析表明， H_vp 平均每 1% 的增長引起了極限應(yīng)變 0.14% 的減小，二者呈顯著負(fù)相關(guān)。

由圖8b可看出：不同 t_e 對應(yīng)的蠕變曲線形態(tài)基本一致，極限應(yīng)變值隨著 t_e 的增大而遞減；當(dāng) t_e 從5h 增至 25h （增幅 400% ）時，極限應(yīng)變值從 3.72% 減小至 3.10% （降幅 16.7%） 。定量分析表明， t_e 平均每 1% 的增長引起了極限應(yīng)變 0.04% 的減小，二者呈顯著負(fù)相關(guān)。

由圖8c可看出：隨著v增大，應(yīng)變遞減； u 不僅影響曲線形態(tài)，取值大小也關(guān)系到蠕變速率和應(yīng)變值；當(dāng) 2 從0.2增至0.6（增幅 200% ）時，極限應(yīng)變從4.19% 減小至 3.14% （降幅 25.06% ）。定量分析表明， u 平均每 1% 的增長引起了極限應(yīng)變 0.13% 的減小，二者呈顯著負(fù)相關(guān)。

綜合分析，根據(jù)參數(shù) H_vp?t_e 和 u 對極限應(yīng)變的影響，判斷這三個參數(shù)的敏感性由強(qiáng)到弱依次為 和 t_e 。

3.2 分?jǐn)?shù)階蠕變模型對比

本文基于廣義Kelvin-Voigt模型，建立了考慮時效損傷的巖石分?jǐn)?shù)階蠕變模型。文獻(xiàn)[24-26」基于Cvisc模型、Nishihara模型建立了分?jǐn)?shù)階蠕變模型。三者均采用R-L型分?jǐn)?shù)階微積分算子理論，主要差異在于基礎(chǔ)模型的不同。其中，文獻(xiàn)［26]在R-L型分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)上采用了Laplace雙重變換，該方法雖更容易達(dá)到收斂，但計算過程較復(fù)雜。廣義Kelvin-Voigt模型相比Cvisc模型和Nishihara模型要多出 1～2 個元件，導(dǎo)致本文新建模型參數(shù)較多且表達(dá)式較長；但本文模型結(jié)構(gòu)簡單，沒有復(fù)雜的多項式或求和項，計算相對簡便，便于工程應(yīng)用。采用本文新建模型與文獻(xiàn)26模型對砂巖進(jìn)行同步蠕變模擬對比，結(jié)果如圖9所示。

由圖9可看出，本文三維模型和文獻(xiàn)[26]模型對砂巖蠕變試驗數(shù)據(jù)的模擬效果均較好，經(jīng)計算，本a.不同 H_vp 值；b.不同 t_e 值；c.不同 u 值。基于砂巖最后一級加載下蠕變試驗曲線。

圖7砂巖蠕變模擬對比曲線

Fig.7Comparison curves of simulated creep of sandstone

表1新建一維模型參數(shù)（大理巖）

Table1New one-dimensional model parameters（marble）

表2新建三維模型參數(shù)（砂巖）

Table2New three-dimensional model parameters （sandstone）

圖8不同參數(shù)值的蠕變曲線

Fig.8Creep curves with different parameter values

文模型的平均 R² 為0.9942，文獻(xiàn)［26]模型的平均R² 為0.9927，本文模型平均 R² 較文獻(xiàn)［26]模型高0.001 5。

3.3 模型適用性驗證

巖石硬度可分為堅硬、較硬、較軟、軟和極軟[8]以文獻(xiàn)[2，33-35]中花崗巖（堅硬）、板巖（較硬）、泥巖（軟）和全風(fēng)化花崗巖（極軟）為驗證對象，采用新建、Cvisc三維模型模擬對比，結(jié)果如圖10所示。

經(jīng)計算，采用本文新建三維模型模擬四種巖石的 R² 分別為 ，平均R² 為0.9899，Cvisc三維模型的 R² 分別為0.9487、0.9397.0.9513.0.9356 。本文新建三維模型對全風(fēng)化花崗巖模擬的 R² 為0.9864，略低于0.99，這是由于全風(fēng)化花崗巖蠕變曲線在約 350h 時呈直線形態(tài)劇增，曲線突變較快。綜合分析圖10可知，不同硬度巖石在不同應(yīng)力條件下表現(xiàn)出不同的蠕變曲線形態(tài)。總體來看，本文新建三維模型與不同巖石蠕

圖10 四種巖石的蠕變模擬對比曲線

Fig.10 Comparison curves of creep simulation for four types of rocks變曲線吻合較好，擬合精度較高，能較為準(zhǔn)確地描述巖石蠕變特征，驗證了新建三維模型的適用性。

4結(jié)論

1）以廣義Kelvin-Voigt模型為基礎(chǔ)，引入分?jǐn)?shù)階微積分算子理論和損傷力學(xué)理論，構(gòu)建分?jǐn)?shù)階軟體元件和考慮時效損傷的黏塑性體。根據(jù)廣義Kelvin-Voigt模型架構(gòu)，組合得到新的考慮時效損傷的巖石分?jǐn)?shù)階蠕變模型，并拓展至三維狀態(tài)。

2）利用新建一維、三維蠕變模型分別模擬巖石單軸、三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)，驗證新建模型的可行性。加速蠕變關(guān)鍵參數(shù)的敏感性由強(qiáng)到弱依次為 和 t_e 。

3）采用本文新建模型對花崗巖、板巖、泥巖和全風(fēng)化花崗巖這四種硬度的巖石三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，平均 R² 達(dá)0.9899，證明本文新建模型具有一定的適用性。

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