基于快速凸集投影與周期正弦延遲時間編碼的混源數據分離方法

中圖分類號：P631 文獻標識碼：A DOI：10.13810/j.cnki.issn.1000-7210.20240276

Abstract： The traditional method of seismic data acquisition involves separate excitation between shots，leading to low construction eficiency. The simultaneous-source acquisition technique，which involves simultaneous or delayed excitation of multiple shots， has significantly improved construction efficiency.To process multi-source seismic data conventionally，it is essential to separate the mixed data into single-source data. However， traditional data separation methods sufer from low eficiency. On the basis of the separation method using sparse inversion，this paper develops fast projection onto convex sets（FPOCS） algorithm through ntroducing an inertial parameter into the conventional POCS algorithm.Additionally，to address the problem that random time-delay encoding causes local continuity of aliasing noise and thus reduces separation accuracy，this paper proposes a method of periodic sinusoidal time-delay encoding. During the iterative process，the curvelet transform is used as a sparse basis，the soft thresholding function as the threshold model，and the exponential threshold formula as the threshold update formula.As aresult，the blending interference from other sources becomes more discrete，and the aliasing noise is distributed uniformly within a certain delay time，which reduces the dificultyin simultaneous-sourcedata separation.The results obtained from theoretical analysis and processing of measured data demonstrate that the two methods proposed in this paper not only greatly improve the con

vergence speed but also effectively enhance the accuracy of simultaneous-source data separation and have good anti-noise performance.

Keywords： simultaneous-source acquisition，curvelet transform，fast projection onto convex sets（FPOCS） algo rithm，periodic time-delay encoding

楊熙熙，張華，付立恒，等．基于快速凸集投影與周期正弦延遲時間編碼的混源數據分離方法[J].石油地球物 理勘探，2025，60（4）：923-936.

YANG Xixi，ZHANG Hua，FU Liheng，et al. Simultaneous-source data separation method based on fast projection onto convex sets and periodic sinusoidal time-delay encoding[J]. Oil Geophysical Prospecting，2025，60（4）： 923-936.

0 引言

傳統的地震數據采集方式與當前日益增加的勘探需求相矛盾，既要考慮震源激發的時間間隔，又要考慮震源之間的距離。為了提高地震勘探的采集效率，Silverman在1979年通過專利發表了多震源混采技術，Beasley2在1998年應用脈沖型震源實現了海上多震源采集，利用疊加濾波和偏移成像技術分離混采數據，證明了多震源采集技術的可行性和優勢。多震源混采技術不僅提高了地震勘探的效率，還改善了地震數據的質量，較傳統地震采集方式優勢大。

多震源混采獲得的地震數據，除了包含主震源的地震記錄，還存在來自其他震源較強的混疊干擾。針對多震源混采數據的分離，研究者們一開始利用最小二乘法進行偽分離，得到了兩張重復的地震剖面，但偽分離數據并不等同于單震源數據。為了將多震源混合數據分離成單震源數據，Chen等[3首次提出使用整形正則化迭代的方法分離混采地震數據，為后續研究提供了一種新的分離思路；2016年，Zu 等4使用線性周期變化的時間延遲編碼代替隨機時間延遲編碼對多震源數據進行分離，進一步提高了分離結果的精度;同年，Qu等[5結合軟閾值函數與硬閾值函數的特點，提出了新的firm閾值函數，通過改進閾值函數的方式改善了數據分離效果。后來，Gan等利用一種面向結構的中值濾波方法成功分離出單個震源數據； Zu 等通過三維的曲波變換CurveletTransform并在多個尺度分別設定閾值，得到了較單一尺度閾值更好的數據分離效果；Chen等[8提出了一種迭代降秩的算法處理多震源混合數據，有效抑制了混疊噪聲干擾。再后來， Zu 等通過深度學習方法，使用卷積神經網絡訓練多震源混采數據模型，進一步提高了數據分離的效率;Bai等[10]改進了奇異譜分析方法并應用到混合數據的分離，結果表明該方法去除混疊噪聲效果很好;Wang 等[]提出了在主頻波數域使用凸集投影算法（Projec）tionsontoConvexSets，POCS）對多震源數據進行分離，該方法不僅極大提升了計算效率，而且可以在數據量更小的情況下得到較好的分離結果，具有一定的工業應用價值。

以上是國外對多震源數據分離的研究，中國的相關研究起步較晚。2013年，譚塵青[12用多級中值濾波與曲波閾值迭代去噪算法成功實現了炮分離；2016年，祖紹環等[13]引入Mask算子模擬了不規則采樣下的多震源地震數據分離，實現了對多震源數據的同時重建與分離；2017年，王漢闖等[14提出將小窗口中值濾波與稀疏約束聯合對多震源數據進行去噪，取得了較好的分離效果；同年，朱立華[15通過使用 L₁ 模的閾值噪聲壓制算法計算出了混疊噪聲；2018年，張良等[16利用時間窗邊線檢測和多級中值濾波的方法有效濾除了混疊噪聲，從而實現混采數據的分離；黃遠松[在傳統的SVD分解方法的基礎上，提出一種頻率域增秩的方法，實現了從偽分離數據中去除混疊噪聲；甘叔瑋[18]和陳紅靈[19]通過稀疏反演的方法對多震源地震數據進行了分離處理，成功驗證了稀疏反演分離方法的可行性；2019年，牛晉中[20]研究了不同閾值、傾角估計和稀疏變換對分離效果的影響；2020年，黃德智等[21基于S變換設計了自適應濾波器，并通過多級濾波有效分離了反射信號。此外，為了模擬真實的不規則采樣情況，Zhang等[22]、Zhou等[23]和Wang等[24]針對不規則采樣的多震源混采數據進行了同時重建和分離，分離有效信號與混疊噪聲的同時，還恢復了缺失道的信號。

綜合國際上研究人員的成果，可將多震源數據分離的方法歸納為三類25：第一類是基于濾波去噪的分離方法[。該方法主要利用了不同震源之間的相干性差異，主震源的信號是相干的，而其他震源的信號表現為噪聲干擾，通過濾波的方法可以將混疊噪聲濾除。這類方法簡單、易實現、穩定，但分離質量有待進一步提高。第二類是基于神經網絡和深度學習的分離方法[9.26]，使用神經網絡訓練多震源數據集，最后得到一個訓練好的計算模型，在地震數據重建領域得到了廣泛運用[27-28]。神經網絡類的方法具有計算效率高的優點，但過度依賴算力硬件設備和海量化數據模型，且訓練時間較長。若訓練的數據集過少或者不具有代表性，將會大大降低計算結果的準確度。第三類是基于稀疏反演的分離方法[19]。這類方法使用混合算子模擬多震源的激發，把多震源數據的分離看成一個反演問題，但多震源數據的分離問題通常是欠定的，需要通過稀疏變換和正則化項對反演約束，然后通過迭代方法求解，計算效率快、分離精度高。稀疏反演類方法中常用的稀疏變換包括Radon變換[29]、CT變換[]和Seislet變換[30]。為了對稀疏約束的反問題進行求解，常用的迭代算法有閾值迭代收縮（IterativeShrinkage-ThresholdingAlgorithm，ISTA）算法[24]、POCS[19]和Bregman算法[30]，這些算法也常用于地震數據的重建[31]。另外，王漢闖等[32借助偏移成像的方法直接對多震源數據進行了分離研究，直接偏移成像的方法較先分離后偏移的方法效率更高，多震源數據直接偏移成像的方法在震源距離較遠時分離效果較好，當震源距離較近時，震源間的交叉干擾會比較強，會導致成像效果下降。由于直接偏移成像的方法不穩定，多震源數據更可靠的處理方法是先分離之后再進行數據處理。

以上傳統的分離方法普遍存在收斂速度過慢的問題，為了進一步提高迭代的收斂效率，本文在稀疏反演分離方法的基礎上，首先改進常規POCS，通過在POCS中加入慣性參數，得到了快速凸集投影算法（Fast Projection onto Convex Sets，FPOCS）算法[33；然后針對隨機時間編碼造成混疊噪聲出現局部連續導致分離精度下降的情況，提出了周期正弦變化的時間延遲編碼方法，使來自其他震源的混疊干擾變得更加離散，混疊噪聲在一定時間延遲內均勻分布，降低了多震源數據分離的難度，提高了分離數據的質量。

1方法原理

1.1多震源混采數據分離基礎理論

圖1a為傳統的單震源地震數據，可以發現在每個道集地震記錄都是連續的。圖1b為包含三個震源的多震源混采數據，其中震源1、震源2、震源3的單炮記錄如圖2a、圖2b、圖2c所示，在檢波點域中，震源2的信號是連續的，震源1與震源3由于時間延遲的存在都變成了散亂的混疊噪聲。多震源混采數據的激發原理如式（1）所示，將每個震源都設置不同的時間延遲編碼

d=r₁d₁+…+r_id_i+…+r_md_m

式中： d 為混采數據； m 為震源的數量； d_i 為第 i 個震源的數據； T_i 為第 i 個震源對應的時間延遲編碼算子，表達式為

式中：F和 F^-1 分別表示傅里葉變換和傅里葉反變換；j為虛數單位； ω 為角頻率； t_i，k 表示第 i 個震源激發第 k 炮的延遲時間； M 為檢波點域內的總道數。對式 （1）變換可得各個震源數據的表達式

式中： T_i^-1 表示第 i 個震源時間延遲算子的逆； Γ^-1d

表示第 i 個震源的偽分離數據。

1.2多震源數據分離算法

1.2.1凸集投影算法

式（3由 Ψ_m 個方程和 Ψ_m 個未知數組成，未知數和方程數相等，該方程只存在一個等式，卻存在 ∣m 個未知數，因此，該方程欠定。若要對其求解，必須加入一定的約束條件。本文使用POCS[19]，在式（3）的基礎上加入稀疏約束條件，直接使用偽分離數據減去每次迭代估計的混疊噪聲，再通過稀疏變換與閾值對迭代結果處理。其迭代式如下

1.2.2快速凸集投影算法

POCS的參數設置簡單，能夠很好地分離混疊噪聲與有效信號。但常規的POCS迭代收斂速度較慢，計算周期較長。若能進一步提高迭代收斂速度，該方法的應用價值將大大提高。2009年，Beck等[35提出使用梯度加速策略Nesterov加速技術對普通的迭代收縮閾值算法進行改進，并成功將ISTA方法的收斂速度從 O（1/k） 提升到 O（1/k² ）。本文在常規的POCS中加入慣性參數，通過慣性參數將前兩次迭代結果進行線性組合，得到動量項 D^′n ，通過動量項 D^′n 來更新 Nⁿ ，使每一次迭代不僅僅依賴上一次的迭代結果，而是受前兩次迭代結果的綜合影響，達到加快收斂速度的目的。本文將此算法稱為FPOCS，其迭代式為

D^′′=D^′+a_n（Dⁿ-D^n-1）

式中： a_n 為慣性參數，用于調整動量項 D^′n 中前兩次迭代結果的權重，其數值從 逐漸增大。

1.3周期正弦時間延遲編碼

目前，多震源通常采用隨機時間延遲編碼激發，可以使其他震源的干擾信號在共檢波點域表現為不相干的混疊噪聲。然而，隨機延遲編碼只能保證時間延遲的大小是隨機的，并不能保證時間延遲的離散性。因此，隨機延遲時間編碼可能存在局部連續，從而使混疊噪聲出現局部連續的情況。在分離的過程中，連續的混疊噪聲會被錯誤地判斷為有效信號而保留下來，導致分離精度大幅度降低。為此，本文提出了周期正弦變化的延遲時間編碼方法，周期變化的時間延遲編碼不僅可以提高混疊噪聲在檢波點域的離散度，而且可以使混疊噪聲在一定的時間范圍內均勻分布。這種編碼方式有效避免了隨機時間延遲編碼出現局部連續，可以進一步提高分離精度。常用的隨機時間延遲編碼算子如式（2）所示，隨機時間延遲 t_i，k 的大小是隨機變化的，周期正弦時間延遲編碼的 t_i，k 是呈周期性變化的，其表達式為

式中 ?_P 為周期長度，時間延遲大小和周期長度均可以設置，其表達式為

式中： a_i 表示第 i 個震源最大的延遲時間；mod （m-

^1，?） 表示取余函數。

2 理論數據

2.1 數據混合

本文理論數值模擬的數據來源于三個單炮地震數據的合成，地震數據均為256道，采樣間隔為4ms ，每道600個采樣點，如圖2a、圖2b、圖2c所示。分別采用隨機時間延遲編碼與周期正弦時間延遲編碼將三單炮數據混合，時間延遲的大小均在[-300ms，300ms] 內變化，周期正弦時間延遲的周期為5，混合后的數據如圖2d、圖2e所示。在混合后的地震數據中，震源2的同相軸信號仍連續，但震源1和震源3由于時間延遲的影響，地震信號變成了比較散亂的混合噪聲。通過對比兩種時間延遲編碼方法的混合數據，可以發現隨機時間編碼的混疊噪聲存在幾處局部連續，周期編碼混合數據的混疊噪聲離散度更高，且周期時間編碼的混疊噪聲在一定時間范圍內均勻分布。圖3a、圖3b、圖3c分別對應圖2b、圖2d、圖2e中地震數據對應的曲波系數，中心分布低頻信號系數，四周分布高頻信號的系數。通過對比三個數據的曲波系數可以發現，隨著混疊噪聲的加入，圖3b和圖3c中的曲波系數變得更加混雜。此外，通過對比圖3b和圖3c，可以發現隨機時間編碼混合數據的曲波系數比周期時間編碼混合數據的曲波系數更大，這是由隨機編碼的局部連續性引起的，會導致閾值公式（式（6））中的初始閾值變大。因此，在迭代過程中需要一個較大的閾值壓制混疊噪聲，而較大的閾值可能損傷有效信號。反之，周期時間編碼的混合數據則可以使用一個較小的閾值分離有效信號與混疊噪聲，有利于保護有效信號。

2.2理論數據的分離

為了定量分析FPOCS和周期正弦時間延遲編碼對數據分離質量的影響，定義如下信噪比公式

式中 ：f₀ 表示原始未混合的單震源數據 ;f 表示迭代得到的分離結果。信噪比越高，意味著分離效果越好，有效信號泄露越少，混疊噪聲去除得越徹底，信噪比不僅可以定量地判斷分離質量的優劣，還可以檢測算法是否達到收斂。此外，還可以通過對比分離結果、誤差、頻譜等信息來判斷分離效果的優劣。

圖3不同地震數據在曲波域中的系數

為了比較FPOCS和周期時間編碼方法與常規方法的優劣，額外加入POCS和ISTA兩種常規的分離算法進行對比。分別使用三種算法對兩種不同時間延遲編碼的混合數據進行分離，各算法參數設置均一致，以震源2迭代20次的分離結果為例。圖4a為ISTA隨機編碼分離結果，其信噪比為17.66dB；圖4b為POCS隨機編碼分離結果，其信噪比為18.29dB；圖4c為FPOCS隨機編碼分離結果，其信噪比為19.19dB；圖4d為ISTA周期編碼分離結果，其信噪比為20.04dB；圖4e為POCS周期編碼分離結果，其信噪比為20.87dB；圖4f為FPOCS周期編碼分離結果，其信噪比為21.83dB。圖5為圖4對應分離誤差的頻譜圖，圖6為分離誤差的局部放大圖，通過對比三種分離算法的分離結果、誤差和誤差頻譜，可以明顯發現FPOCS與周期時間編碼的分離質量更好、誤差更小，周期編碼對應的ISTA、POCS和FPOCS三種算法分離結果的信噪比分別提升了2.38、2.58和2.64dB，周期編碼的分離質量提升了 10% 以上，凸顯了本文方法的優勢。

通過以上試驗，FPOCS算法與周期正弦時間延遲編碼已經初步展示了在多震源數據分離的優勢。為了進一步了解所提兩種方法對分離效果的影響，對理論數據50次迭代內的信噪比進行測試，得到了各算法與時間編碼的信噪比曲線（圖7）。常規的ISTA、POCS算法在迭代3O次后基本收斂，ISTA算法隨機編碼與周期編碼最后分別收斂到18.33和20.82dB；POCS隨機編碼和周期編碼最后分別收斂到18.89和21.76dB；FPOCS在迭代15次時基本收斂，隨機編碼和周期編碼最后分別收斂到19.14和21.94dB。通過對比信噪比曲線可以發現，無論使用哪種分離方法，周期正弦時間延遲編碼的分離效果都明顯好于隨機時間延遲編碼，信噪比得到了較大幅度提升，分離精度都提升了10% 以上。同理，無論使用哪種時間延遲編碼，FPOCS的分離效率都高于其他兩種常規分離算法，FPOCS的分離效率比常規的POCS算法提升了約 40% 。

圖7理論數據信噪比曲線

實測數據通常包含大量的隨機噪聲，勢必會影響多震源混采數據的分離效果。為了評估隨機噪聲對分離效果的影響，在兩種時間延遲編碼的混合數據中都加入大小相同的隨機噪聲（圖8）。仍以震源2迭代20次的分離結果為例，迭代參數與不加隨機噪聲時一致，分離結果如圖9所示。圖9a為ISTA隨機編碼分離結果，其信噪比為17.04dB；圖4b為POCS隨機編碼分離結果，其信噪比為17.64dB；圖4c為FPOCS隨機編碼分離結果，其信噪比為18.42dB；圖4d為ISTA周期編碼分離結果，其信噪比為18.86dB；圖4e為POCS周期編碼分離結果，其信噪比為19.61dB;圖4f為FPOCS周期編碼分離結果，其信噪比為20.35dB。對比三種算法的分離結果可以發現，在含隨機噪聲的情況下，各方法仍能有效地分離有效信號與混疊噪聲，盡管信噪比與不含噪聲相比有一定降低，但本文方法相較于

圖8加噪混合數據

在FPOCS基礎上，本文研究了時間延遲大小對分離效果的影響。分別對比了兩種時間延遲編碼在 ±100，±200，±300，±400 和 ±800ms 時間延遲范圍內的分離結果，周期正弦時間延遲編碼的周期p=5 ，對比結果如表1所示。通過分析表1中的數據，發現周期時間編碼的分離效果明顯好于隨機時間編碼，而且隨著延遲時間范圍的增大，兩種時間編碼的分離信噪比都隨之上升。

傳統方法的提升依舊明顯，展示出良好的穩定性與抗噪性能。

此外，還研究了周期長度 P 對分離效果的影響，分別對比了周期 P 為2、5、8、15、30時的分離效果，結果如表2所示。發現過大或者過小的周期長度都會降低分離結果的質量，原因是由于過大或過小的周期長度會增加混疊噪聲的連續性，導致分離質量的下降。

表1不同延遲時間范圍的信噪比 （p=5） （號

圖9加噪分離結果

表2不同周期長度的信噪比

3 實際數據

為了進一步檢驗FPOCS與周期時間編碼在實際應用中的效果，將某海上采集的兩實測地震數據剖面混合來模擬真實的多震源混采數據，如圖 10a 圖10b所示。兩實測數據均為180道，道間距為 25m 每道以時間采樣間隔 4ms 采集500個采樣點，即采樣時長為2s。分別使用兩種時間延遲編碼方法對兩震源數據進行混合，延遲時間大小均選取在[-300ms ， 300ms 范圍內變化，圖10c與圖10d分別展示了隨機時間編碼與周期時間編碼的混合數據，可以發現隨機時間編碼混合數據中的混疊噪聲仍然存在一定的局部連續情況，而周期編碼混合數據的混疊噪聲更加離散。

圖10實際混合數據

對于使用兩種時間延遲編碼混合的實際數據，分別采用ISTA、POCS和FPOCS三種算法分離，各算法的參數設置一致，以震源1迭代20次數據分離結果為例（圖11）。圖11a為ISTA隨機編碼分離結果，信噪比為9.27dB；圖11b為POCS隨機編碼分離結果，信噪比為9.77dB；圖11c為FPOCS隨機編碼分離結果，信噪比為10.58dB；圖11d為ISTA周期編碼分離結果，信噪比為10.22dB；圖11e為POCS周期編碼分離結果，信噪比為10.55dB；圖11f為FPOCS周期編碼分離結果，信噪比為11.38dB。顯然，在實際數據的測試中，FPOCS的分離效果仍是最好的，信噪比最高；相較于隨機時間編碼，周期時間編碼的分離質量也更好，對應的ISTA、POCS和FPOCS的信噪比分別提升了0.95、0.78和 0.83dB ，周期編碼混合數據的分離信噪比提升了約 8.6% 。圖12為圖11所對應的分離誤差頻譜，圖13為各方法對應的局部誤差放大圖。通過對比各方法的誤差與誤差頻譜的強度，可以發現本文方法的分離誤差明顯更小，進一步證實了FPOCS與周期正弦時間延遲編碼在混采數據分離領域的優勢。

通過以上實測數據的分離試驗，周期正弦時間延遲編碼與FPOCS的實用性得到了充分驗證。為了進一步了解實測數據在后續迭代的收斂情況，分別計算了50次迭代內數據分離結果的信噪比（圖14）。ISTA與POCS在迭代30次基本收斂；ISTA隨機編碼與周期編碼最后分別收斂到9.64和10.53dB；POCS算法隨機編碼與周期編碼最后分別收斂到10.44和11.12dB；FPOCS在迭代16次基本收斂；隨機編碼與周期編碼最后分別收斂到10.62和11.25dB。對比各方法的信噪比曲線發現，FPOCS的收斂速度仍然高于其他兩種常規算法，收斂速度提升了約 46% ，且收斂結果的信噪比也有小幅度提升。周期正弦時間編碼的三種算法信噪比較隨機時間編碼分別提升 0.89，0.68，0.63dB ，對分離質量的改善效果明顯。

圖14實際數據信噪比曲線

4結論

多震源混合采集技術大幅度提高了地震勘探采集效率，但采集的混合數據包含多個震源的地震記錄，為了對混采數據進行傳統的處理與解釋，通常需要將多震源混采數據分離成單個震源的地震記錄，再進行常規流程處理。為了得到一種更高效的分離方法，本文基于稀疏反演分離方法，改進了常規的POCS，得到了快速FPOCS。針對傳統隨機時間延遲編碼存在局部連續的問題，提出了新的時間延遲編碼方法一一周期正弦時間延遲編碼。理論數據的模擬與實測數據的測試結果表明，FPOCS與常規的分離方法相比，大幅提升了收斂速度，較常規的POCS提升了約 40% ，大幅節約了計算的時間成本。此外，還研究了延遲時間大小和周期長度與隨機噪聲對本文方法分離效果的影響，結果表明延遲時間越大，分離結果越好，周期長度過大或者過小都會導致分離結果變差，同時也證明了本文方法有良好的抗噪性能。研究結果驗證了本文方法在理論和實際應用中的可行性和優越性，為多震源混采數據分離的進一步研究和應用提供了有力支持。

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（本文編輯：趙君）

作者簡介

楊熙熙碩士，1998年生；2020年獲東華理工大學勘查技術與工程專業學士學位，2024年獲東華理工大學地球物理學專業碩士學位；現就職于中國電建集團江西省電力設計院，主要從事地震數據重建及混采數據分離的研究。