基于X形擴(kuò)散濾波的逆時偏移低頻噪聲壓制方法

中圖分類號：P631 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.13810/j.cnki. issn.1000-7210.20240281

Abstract： Thereverse time migration（RTM） imaging method is highly favored for itsability to conduct imaging on complex geological structures without being constrained by the imaging angle. However，this method has its inherent low-frequency noise，thus significantly degradingthe migration imagingquality. Therefore，accurately suppressing the low-frequency noise of RTM is crucial for high-quality migration imaging results. Based on the conventional RTM approaches，this study conducts a detailed analysis of the mechanisms that generate low-frequency noise in RTM. Specifically，the Laplacian filtering method iscurrntly the most commonly adopted suppression method，but it still retains a portion of the low-frequency noise and alters the amplitude information of the seismic data.To this end，alow-frequency noise suppression method based on X-shaped diffusion filtering is proposed.This method is aglobal nonlinear iterative filtering approach that introduces a diffusion function derived from thermodynamics into the RTM noise suppression process，with the RTM data containing low-frequency noise taken as the input.Then，byadjusting the diffusion coeficient and the number of iterations，an X-shaped complementary denoising operator for complex dipping structures is introduced，and a damping function for difusion is set to flexibly control the difusion extent. This allows for the separation of effective signals and low-frequency noise in relatively amplitude-preserving conditions.Numerical simulations on both simple and complex models demonstrate that the X-shaped diffusion filtering method can quickly and ac curately suppress low-frequency noise in RTM and produce high-quality migration results. Keywords： reverse time migration，low-frequency noise，noise suppression，X-shaped diffusion filtering 姜大建，李振春，徐凱，等．基于X形擴(kuò)散濾波的逆時偏移低頻噪聲壓制方法[J].石油地球物理勘探，2025， 60（4） ：912-922. JIANG Dajian，LI Zhenchun，XU Kai，et al. Low-frequency noise suppression for reverse time migration based on X-shaped diffusion filtering[J]. Oil Geophysical Prospecting，2025，60（4） ：912-922.

0 引言

在地震勘探中，疊前偏移成像方法起著至關(guān)重要的作用。它主要包括Kirchhoff積分偏移法1、基于單程波方程的偏移法以及基于雙程波方程的逆時偏移（Reverse TimeMigration，RTM）法[3]。其中，基于雙程波動方程的逆時偏移技術(shù)具有諸多優(yōu)點(diǎn)，如可以正確成像不同傳播類型波場、適應(yīng)速度橫向變化劇烈的區(qū)塊等。隨著計算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，逆時偏移成像方法的應(yīng)用從簡單構(gòu)造轉(zhuǎn)向復(fù)雜構(gòu)造，從最初的疊后資料逐步擴(kuò)展到疊前地震資料，并進(jìn)一步推廣至彈性波領(lǐng)域。研究者們不斷提出新的理論和方法以適應(yīng)不同的地質(zhì)條件[4-6]。

成像質(zhì)量的優(yōu)化是逆時偏移中的一個重要研究領(lǐng)域。由于逆時偏移中存在著固有的低頻噪聲，而如何準(zhǔn)確、有效地壓制低頻噪聲去獲取高質(zhì)量的偏移剖面，一直以來都是地球物理學(xué)者們努力的方向[7-11]。學(xué)者們主要從最小二乘偏移成像振幅補(bǔ)償、使用無反射雙程波動方程進(jìn)行波場構(gòu)建、角度域道集疊加和濾波方法等四個方面進(jìn)行了大量研究。曲英銘等[12-13]在起伏海底界面和黏質(zhì)介質(zhì)偏移成像中分別引入最小二乘逆時偏移方法，不僅能對起伏海底界面和黏質(zhì)介質(zhì)界面進(jìn)行準(zhǔn)確成像，還能壓制成像過程中的低頻噪聲。郭振波等[4將最小二乘逆時偏移方法引人黏聲介質(zhì)中，不僅對振幅實現(xiàn)了補(bǔ)償，還壓制了低頻噪聲。雖然最小二乘逆時偏移成像方法能壓制偏移成像過程中的低頻噪聲，但是該方法計算量比較大。

還有一些學(xué)者通過改進(jìn)波場延拓方法、引入方向阻尼因子、優(yōu)化成像條件等手段，不斷提高成像精度并減少對偏移速度場精確估計的依賴。Baysal等[15通過采用無反射波動方程進(jìn)行波場延拓，該方程能顯著降低邊界處的反射系數(shù)，從而提高了成像的清晰度。但是該方法只能應(yīng)用于疊前資料，而不能應(yīng)用于疊后資料。隨后，F(xiàn)letcher等[16在雙程波動方程中引入方向阻尼因子衰減模型內(nèi)部界面處產(chǎn)生的非必要反射，提升了成像質(zhì)量。柯璇等17將一步法波場延拓法引人RTM，實現(xiàn)了高精度成像效果。Zhang等[8提出了偽空間域聲波方程，進(jìn)一步提高了偏移成像質(zhì)量。

在成像過程中，低頻噪聲往往聚集在大角度成像區(qū)域，研究者們提出了角度域濾波、波場分解、直接濾波等方法對其進(jìn)行壓制。Fomel[19提出了平面波分解法并用于獲取角度域道集，通過限制成像角度來抑制低頻噪聲。Yoon等[20]將Poynting矢量引入波場分解方法。王保利等21提出了提取逆時偏移的角度域共成像點(diǎn)道集方法以壓制低頻噪聲。Yang等22將傳統(tǒng)的Poynting矢量與通過Hilbert變換波場派生的輔助向量相結(jié)合，進(jìn)一步降低了算法的不穩(wěn)定性，并獲得了更高質(zhì)量的角度集資料。Zhang等[23對常規(guī)Laplace濾波進(jìn)行了振幅補(bǔ)償，提升了保幅性。Fei等[24提出了基于Hilbert變換的全波場分解法。杜啟振等25發(fā)現(xiàn)逆時偏移中低頻噪聲的壓制方法主要分為兩類，一類是逆時偏移在波場重構(gòu)的過程中減少背向反射；另一類是在成像過程中選擇小角度的波進(jìn)行成像，并且在成像后對其做濾波處理，即有目標(biāo)、有選擇地進(jìn)行成像。陳可洋[26]提出了一種相對保幅的低頻噪聲壓制方法，對偏移噪聲進(jìn)行了準(zhǔn)確的壓制。但是擴(kuò)散濾波方法在實現(xiàn)的過程中，只在相鄰四個方位進(jìn)行濾波處理，因而導(dǎo)致擴(kuò)散濾波在傾斜、復(fù)雜構(gòu)造區(qū)域?qū)吘壭畔⒌谋Ａ粜Ч话恪?/p>

為此，本文從常規(guī)逆時偏移出發(fā)，對逆時偏移的低頻噪聲產(chǎn)生機(jī)制進(jìn)行詳細(xì)分析。然后，介紹三類常用的低頻噪聲壓制方法，并在此基礎(chǔ)上提出針對復(fù)雜傾斜構(gòu)造的基于X形擴(kuò)散濾波的低頻噪聲壓制方法。該方法是一種全局非線性迭代濾波方法，將熱力學(xué)領(lǐng)域的擴(kuò)散函數(shù)引人逆時偏移噪聲壓制中，通過調(diào)節(jié)控制擴(kuò)散系數(shù)和迭代次數(shù)，實現(xiàn)低頻噪聲和有效信號的分離。最后，通過對簡單模型和復(fù)雜模型進(jìn)行試算以驗證方法效果。將基于X形擴(kuò)散濾波的方法引入逆時偏移中，能快速準(zhǔn)確地壓制逆時偏移中的低頻噪聲，獲取高質(zhì)量的偏移成像結(jié)果，可為后續(xù)的地震資料處理和解釋提供幫助。

1方法原理

1.1偏移噪聲產(chǎn)生機(jī)理

采用雙程波動方程[27-31]進(jìn)行逆時偏移成像，相比單程波更能改善復(fù)雜區(qū)域的成像效果，但往往會帶來由背向散射項引起的低頻噪聲[32-33]。低頻噪聲是逆時偏移中最主要、最常見的問題之一，它會降低成像剖面質(zhì)量，對后續(xù)成像資料的處理和解釋造成干擾。

根據(jù)時間一致性原理，成像點(diǎn)位于同時刻震源正向延拓波場與接收逆向延拓波場上[34]。基于雙程波偏移的互相關(guān)成像條件表示為

式中： u_s，u_r 分別表示震源波場和檢波器接收波場；t為時間。

為解釋低頻噪聲的物理意義，將震源波場和接

收波場分別根據(jù)成像點(diǎn)處波傳播的方向分為上行波場和下行波場，用得到的四個分量將基于全波場的互相關(guān)成像條件分為四個分量，即

式中： u_s^u，u_s^d 分別表示震源波場的上行波場和下行波場； u_r^u，u_r^d 分別表示接收波場的上行波場和下行波場。

成像公式可改寫為

I₁，I₂ 的成像分別如圖1a和圖1b所示。由圖可見，震源波場的下行波場與檢波點(diǎn)波場的上行波場進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算后，其結(jié)果類似于單程波偏移的成像條件，主要呈現(xiàn)為一次反射波的成像效果；震源波場的上行波場與檢波點(diǎn)波場的下行波場的互相關(guān)結(jié)果呈現(xiàn)出能量較弱的一次波成像結(jié)果。這兩個互相關(guān)項都在真實反射點(diǎn)上成像，因此稱 I₁，I₂ 為前向散射項。

圖1前向散射項 （a，b） 和背向散射項 （c，d） 波傳播示意圖

如圖1c、圖1d所示 ?，I₃ 與 I₄ 分別代表震源波場的上行波場與檢波點(diǎn)波場的上行波場之間、震源波場的下行波場與檢波點(diǎn)波場的下行波場之間的互相關(guān)，這些互相關(guān)項在偏移剖面中造成假成像點(diǎn)，因此稱為背向散射項。

由圖1可見，此時反射角相對較大， I₂ 在頻率域表現(xiàn)出低頻特征。但當(dāng)偏移速度變化較劇烈或反射界面很復(fù)雜時，回轉(zhuǎn)波的出現(xiàn)會使成像結(jié)果出現(xiàn)假像，如圖2所示。此時， ?_J3 在成像剖面中表現(xiàn)為假成像點(diǎn)，且其能量可能強(qiáng)于多次波的成像結(jié)果。

圖2回轉(zhuǎn)波假成像點(diǎn)

由上述可得，用雙程波動方程模擬的震源波場在遇到波阻抗界面時，由于正傳波場和反傳波場都會產(chǎn)生背向散射，成像結(jié)果中不僅包含真實成像點(diǎn)，還包含了假成像點(diǎn)和低頻噪聲。此外，由于地下淺層部分背向散射能量較強(qiáng)，低頻噪聲主要存在于深度較淺的區(qū)域。

1.2偏移噪聲壓制方法

根據(jù)對假成像的不同壓制策略，低頻噪聲的壓制方法主要分為三類：修改波動方程、優(yōu)化成像條件和成像后直接進(jìn)行濾波處理[35]。

1.2.1 修改波動方程

修改波動方程的噪聲壓制法的核心是通過對波動方程進(jìn)行改進(jìn)，使低頻噪聲能量在傳播的過程被削弱。Baysal等3通過恒定波阻抗，將入射時的界面反射完全消除；Fletcher等5在選定地下界面后，通過在反射界面上引入阻尼系數(shù)消除背向散射。這一類方法在實際操作中流程簡單，實現(xiàn)方便，但由于其同時消除了回轉(zhuǎn)波、棱柱波等具有多個傳播方向的波，使雙程波逆時偏移的優(yōu)勢喪失，因此不適用于高陡、傾角、巖丘等結(jié)構(gòu)。

1.2.2優(yōu)化成像條件

優(yōu)化成像條件法的核心思想是對成像條件進(jìn)行改造，開展選擇性成像，使最終的偏移結(jié)果中只包含有效波能量。常使用的修改條件主要有波場分解類和角度域衰減類。波場分解類方法是通過分離震源波場和檢波場的上、下行波場，根據(jù)前述噪聲產(chǎn)生機(jī)理，只對形成真實反射面的散射項進(jìn)行互相關(guān)。角度域衰減類方法是通過提取角度域共成像點(diǎn)道集，只保留其中較小角度部分進(jìn)行成像，以對低頻噪聲進(jìn)行壓制，該類方法在實際操作中通常耗時長。

1.2.3 成像后濾波

成像后濾波法是一種直接針對成像結(jié)果進(jìn)行濾波處理的簡便方法。這種方法無需復(fù)雜的預(yù)處理步驟，因此操作起來相對簡單、直接。其中常用的濾波方法包含拉普拉斯濾波法、導(dǎo)數(shù)濾波法、高通濾波法以及最小二乘濾波法等[36]。每種方法都有其獨(dú)特的應(yīng)用場景和優(yōu)勢。通過這些濾波方法，可以有效地改善成像質(zhì)量，提高成像的清晰度和準(zhǔn)確性。其中，最常用的是拉普拉斯濾波法。

1.3基于X形擴(kuò)散濾波低頻噪聲壓制方法

成像后濾波法直接對成像結(jié)果進(jìn)行低頻噪聲濾除，不需要在波場延拓和成像時做處理，操作起來簡單、快捷。在地震資料成像領(lǐng)域，拉普拉斯濾波法是目前最常用的濾波方法，但它依舊保留一部分低頻噪聲，且改變地震數(shù)據(jù)的振幅信息。針對這些問題，本文提出了X形擴(kuò)散濾波法。下面將介紹這兩種濾波方法。

1.3.1 拉普拉斯濾波去噪原理

為直觀介紹拉普拉斯濾波法對地震偏移剖面的噪聲壓制原理，本文在波數(shù)域?qū)绽顾阕拥念l率域表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)。Zhang等23提出了針對逆時偏移結(jié)果中低頻噪聲的拉普拉斯濾波法。在二維空間中，拉普拉斯算子表示為

將式（4）進(jìn)行傅里葉變換，得到波數(shù)域的表達(dá)式

FFT（?²）-（k_x²+k_z²）=-∣k₁∣²

式中：FFT為快速傅里葉正變換； k_x，k_z 分別表示水平、垂直方向上的波數(shù)； k_l 為成像域波數(shù)矢量。

k₁ 可以表示為

k_l=k_R-k_S

式中： k_s 表示震源波場的波數(shù)矢量； k_R 表示檢波點(diǎn)波場的波數(shù)矢量。

k_l，k_s，k_R 的矢量關(guān)系如圖3所示，根據(jù)余弦定理可得

式中： θ 為反射角； v 為速度； ω=2πf， 其中 f 為頻率。

將式（7）代入式（5），得到拉普拉斯算子的頻率域表達(dá)式

由此可見，拉普拉斯濾波對成像結(jié)果的作用實際上等同于對逆時偏移的角道集進(jìn)行了 cos²θ 的衰減處理，并同時給振幅帶來了 -4ω²/γ² 的影響。

圖3成像波數(shù)域矢量計算示意圖

1.3.2 X形擴(kuò)散濾波去噪原理

擴(kuò)散濾波法是一種全局非線性迭代濾波方法，主要應(yīng)用于熱力學(xué)領(lǐng)域，它可以在相對保幅的條件下將有效信號與低瀕噪聲分開。各向同性非線性擴(kuò)散濾波方程的微分形式記為

u_i，j-1^t-4u_i，j^t）

式中 i，j 分別為水平、垂直方向的網(wǎng)格點(diǎn)。

為了簡單起見，用 N 代替 t 來表示迭代次數(shù)，則

Δu_i，j-1^N-4u_i，j^N）

在實際程序?qū)崿F(xiàn)的過程中，由于只在相鄰四個方位進(jìn)行濾波處理，導(dǎo)致擴(kuò)散濾波在傾斜、復(fù)雜構(gòu)造區(qū)域?qū)吘壭畔⒌谋Ａ粜Ч话恪榇耍琙hang等[引入針對復(fù)雜傾斜構(gòu)造的X形補(bǔ)充去噪算子，該算子的 3×3 矩陣表示為

引入X形補(bǔ)充去噪算子后的X形擴(kuò)散濾波的差分公式表示為

由于X形擴(kuò)散濾波的結(jié)果受擴(kuò)散系數(shù) α 、迭代次數(shù) N 的影響，因此在面對更加復(fù)雜多樣的地質(zhì)構(gòu)造時，可以靈活地選取合適的參數(shù)以獲得高質(zhì)量的成像結(jié)果，這相當(dāng)于人為設(shè)置擴(kuò)散阻尼函數(shù)來調(diào)控擴(kuò)散的程度。

2模型試算

式中： α 表示擴(kuò)散系數(shù)（一般來說 0lt;αlt;0.3 ，擴(kuò)散系數(shù)越大，平滑程度越大）； t 表示擴(kuò)散時間，在計算過程中用迭代次數(shù) N 表示； u₀ 表示初始的偏移圖像； u 表示被濾除的低頻噪聲。可用 u₀-u 表示逆時偏移結(jié)果中的有效信號。

空間階數(shù)選為三階時，用有限差分法對擴(kuò)散濾波方程（式（9））進(jìn)行數(shù)值離散化，得到

為了對比拉普拉斯濾波法和X形擴(kuò)散濾波法對逆時偏移低頻噪聲的壓制效果，首先設(shè)計一個簡單二層平層模型進(jìn)行測試。模型的上層速度為2000m/s ，下層速度為 3000m， s。設(shè)置20炮震源，均勻分布在地表，炮間距為 100m 。同時，在地表間隔 5m 均勻設(shè)置400個檢波器。時間采樣間隔為0.8ms ，采樣時間長度為 1.6s 。

原始逆時偏移成像結(jié)果如圖4a所示，由于照明不均及背向散射，地層淺層部位存在能量較強(qiáng)的低頻噪聲。分別對逆時偏移結(jié)果做拉普拉斯濾波、擴(kuò)散濾波 （α=0.05，N=50） X形擴(kuò)散濾波 （α=0，05 ，N=50. 處理，效果分別如圖 4b～ 圖4d所示。由圖可見，三種方法都可以壓制低頻噪聲，但與拉普拉斯濾波、擴(kuò)散濾波方法相比，X形擴(kuò)散濾波方法對逆時偏移成像結(jié)果中的低頻噪聲的壓制更加徹底。

圖4常規(guī)逆時偏移及不同濾波方法后的偏移成像效果對比

為驗證X形擴(kuò)散濾波法對復(fù)雜模型的適用性，選用鹽丘模型的疊后逆時偏移成像結(jié)果，分別對其進(jìn)行拉普拉斯濾波處理和X形擴(kuò)散濾波處理。鹽丘速度模型如圖5所示，深度為 1.5km ，水平距離為 6.5km ，兩個方向的網(wǎng)格間距均為 10m 。采用主頻為 30Hz 的雷克子波作為震源，設(shè)置100個炮點(diǎn)，均勻分布于地表，炮間距為 65m ，每隔 10m 均勻設(shè)置650個檢波器。時間采樣間隔為 0.8ms ，時間采樣長度為 4.0s 。該模型的逆時偏移結(jié)果以及兩種濾波法處理后的成像剖面如圖6所示。

由于鹽丘模型含有強(qiáng)反差速度結(jié)構(gòu)，過強(qiáng)的一次反射波能量在成像過程中會掩蓋掉其他波形的能量。由圖6a可見，在常規(guī)逆時偏移結(jié)果中，水平構(gòu)造的成像效果相對較好，但鹽丘頂部相對復(fù)雜的構(gòu)造幾乎難以辨認(rèn)。將圖6b、圖6c選取一部分區(qū)域（紅框）進(jìn)行局部放大顯示（圖7）。觀察鹽丘頂部構(gòu)造可以看出，X形擴(kuò)散濾波法相較于拉普拉斯濾波法，在相對復(fù)雜的地質(zhì)構(gòu)造處，能在保證成像軸連續(xù)性的同時消除更多成像假象（如圖7中紅色箭頭所示）。

圖5鹽丘速度模型

圖6鹽丘模型不同方法逆時偏移成像效果對比

由于擴(kuò)散系數(shù) α 是一個非常關(guān)鍵的參數(shù)，它決定了擴(kuò)散的速率，也就決定了對成像結(jié)果的平滑程度。為觀察不同擴(kuò)散系數(shù)對濾波效果的影響，對Marmousi模型（圖8）疊后逆時偏移結(jié)果進(jìn)行測試。分別進(jìn)行拉普拉斯濾波和擴(kuò)散系數(shù)為0.001、0.01、0.1、0.25的X形擴(kuò)散濾波。為便于觀察，截取偏移結(jié)果濾波處理后的局部（圖8紅框）放大顯示（圖9）進(jìn)行對比。

圖7圖6b、圖6c紅框區(qū)域放大顯示

圖8Marmousi速度模型和逆時偏移成像

圖9原始逆時偏移（a）及其不同方法處理的逆時偏移（b～f）剖面效果對比

由圖9b、圖9e、圖9f可見，拉普拉斯濾波法和擴(kuò)散系數(shù)較大的X形擴(kuò)散濾波法都會保留一部分由于強(qiáng)反射界面造成的低噪聲。由圖 9c～ 圖9f可知，對于X形擴(kuò)散濾波，擴(kuò)散系數(shù) α 越大，成像結(jié)果的平滑程度也越強(qiáng)。

通過改變擴(kuò)散系數(shù)的大小，可以平衡平滑與邊緣保護(hù)。如果擴(kuò)散系數(shù)過大，則會導(dǎo)致圖像模糊；如果擴(kuò)散系數(shù)過小，則會保留過多的噪聲和細(xì)節(jié)，所以擴(kuò)散系數(shù)的選取至關(guān)重要。經(jīng)試驗，對于常規(guī)的成像結(jié)果，擴(kuò)散系數(shù)選取 0.01～0.05 時，可以實現(xiàn)在保留有效信息的同時盡可能地壓制噪聲。

由圖9b、圖9d可見，相較于拉普拉斯濾波法，選擇合適擴(kuò)散系數(shù) （α=0.01） 的X形擴(kuò)散濾波處理后的偏移結(jié)果中，同向軸更加清晰、連續(xù)性更好，這在一定程度上提升了資料的信噪比。

3 實際資料測試

利用中國東部M探區(qū)實際數(shù)據(jù)測試本文方法。M區(qū)長 x 寬為 1.3km×3.5km ，二維線總炮數(shù)共550炮，炮檢距為 4km ，道間距為 12.5m ，震源主頻為 30Hz 。

圖10a為逆時偏移的成像結(jié)果，從淺層可以明顯看出低頻噪聲。經(jīng)過拉普拉斯濾波后的逆時偏移成像（圖10b），有效能量有明顯的損失，特別是紅色橢圓區(qū)域。而本文提出的X形擴(kuò)散濾波能有效壓制低頻噪聲，且更加有效地保證了成像結(jié)果的質(zhì)量（圖10c）。

圖10M區(qū)常規(guī)逆時偏移及不同濾波方法后逆時偏移的成像結(jié)果對比

4結(jié)束語

本文主要闡述了逆時偏移的基本原理、成像條件、低頻噪聲的產(chǎn)生機(jī)理以及三類針對低頻噪聲的有效壓制方法。首先，探討了逆時偏移中常用的成像條件，特別是互相關(guān)成像條件，因其實現(xiàn)簡便且效率高，目前在實踐中廣泛應(yīng)用。然后，對RTM算法中低頻噪聲的生成機(jī)理以及當(dāng)前主流的噪聲壓制方法進(jìn)行了概述并總結(jié)。詳細(xì)介紹了兩種低頻噪聲壓制方法，即拉普拉斯濾波方法和X形擴(kuò)散濾波法。通過對簡單模型和復(fù)雜模型的數(shù)值模擬，驗證了又形擴(kuò)散濾波法在低頻噪聲壓制方面的有效性和優(yōu)勢。并且，對擴(kuò)散系數(shù)的選取進(jìn)行了測試，給出了擴(kuò)散系數(shù)選取的參考范圍，驗證了所提方法的有效性。該方法可為地震資料的后續(xù)處理與解釋提供幫助。

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（本文編輯：謝結(jié)來）

作者簡介

姜大建高級工程師，1979年生；2002年獲中國石油大學(xué)（北京）地質(zhì)工程專業(yè)學(xué)士學(xué)位；現(xiàn)就職于中國石化石油勘探開發(fā)研究院地球物理技術(shù)研究所，主要從事地震信號處理、成像等方面的研究。