基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊多屬性決策方法

中圖分類號：E917：0225 文獻標志碼：A DOI：10.3969/j.issn.1673-3819.2025.04.013

引用格式：.基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊多屬性決策方法[J].指揮控制與仿真，2025，47（4）：87-93.ZHONGJ. Hesitantfuzymulti-atributedecision-makingmethodbasedoncredibilityinductonandmembershipweightingJ.CommandCntrolamp; Simulation，2025，47（4） ：87-93.

Hesitant fuzzy multi-attribute decision-making method based on credibility induction and membership weighting

ZHONG Jing

（ArmyCommand Collegeof thePLA，Nanjing211899，China）

Abstract：A hesitant fuzzymulti-atribute decision-making method basedoncredibilityinductionand membership weighting isconstructed，takingintoaccounttheprofessoaldifferencsinexpertevauationsfromdiffrentfieldsandthedupication of decisionvaluesamong multiple experts.Byendowingdiferent experts with credibilityanddecisionvaluemembership，the expertevaluationroleis maximized，andthehesitantfuzyentropyweightmethod isused toasign weightvaluestottributes，taking intoaccountbothsubjectiveandobjectivefactors.Theresearch method proposed inthisarticleprovides new ideasforhesitantfuzymulti-atributedecision-making，andfinallyverifies theeffectivenessoftheproposed modelthroughnumerical examples.

Keywords：hesitation fuzzymulti-atributecomprehensive decision-making；expertcredibility；weightedmembershipdegree；entropy weighting method

多屬性決策也稱有限方案多指標決策，是指在考慮多個屬性的情況下，選擇最優備選方案或進行方案排序的決策問題，是現代決策科學的一個重要組成部分，普遍存在于人類日常活動中。它的理論和方法在工程、技術、經濟、管理和軍事等諸多領域中都有廣泛的應用[1-3]。多屬性決策的流程通常是確定決策目標，構建指標體系，專家評估，利用集成算子得出決策結果。由于專家在評估不同方案的指標值時往往存在模糊性， Zadeh^[4] 提出模糊集的概念用來表達對象對集合的不明確的隸屬關系，采用0-1的數值表述，如專家評估某一方案在該指標下的隸屬度為0.2。之后，更多的研究者對模糊理論進行了拓展，得到了2-型模糊集[5]、直覺模糊集[6、區間值模糊集[7]、區間值直覺模糊集[8]等。然而，這些模糊理論均不能解決專家們的分歧問題，即存在多個決策值的情況。如A、B兩個專家評估某方案在某一指標下的隸屬度分別為0.2和0.4，且互不妥協，采用傳統的模糊理論很難得到最終評估結果。因此，Torra[9]提出了猶豫模糊理論，是模糊理論的另一種推廣形式。該理論允許備選方案的指標評估值包括多個隸屬度，可表示為一個隸屬度集合形式（0.2，0.4）。我們稱單個指標下的隸屬度集合為猶豫模糊元，多個指標的隸屬度集合{（0.2，0.4），（0.4，0.7），…為猶豫模糊集。猶豫模糊集理論是一種非常實用的模糊信息處理工具。猶豫模糊多屬性決策的流程示意圖如圖1所示。

猶豫模糊決策問題普遍存在于日常生活中，吸引了學者們的廣泛研究，研究人員提出了多樣化的猶豫模糊多屬性決策方法，但仍存在以下難點：

（1）存在決策重復以及專家可信度不同的情況

猶豫模糊集理論很好地解決了專家評估時的猶豫模糊性問題，但是當出現多個專家決策重復時，簡單的猶豫模糊集不能傳遞有效的信息。如10位專家對A方案在某個指標下進行評估時，5位專家給出隸屬度為0.4，4位專家給出隸屬度為0.5，1位專家給出隸屬度確定評估目標 建立評估 指標 專家評估 選擇信息集成算子 從備選方案中指標體系 賦權值 綜合猶豫模糊信息 選擇最優為0.9。在評價B方案時，1位專家給出隸屬度為0.4，1位專家給出隸屬度為0.5，8位專家給出隸屬度為0.9。若按照傳統的多屬性決策方法直接將重復值去除，得到A、B兩個方案在該指標下的猶豫模糊評估值均為（0.4，0.5，0.9），此表達方式默認每個隸屬度的取值概率相同，這顯然不合理。此外，不同專家在決策領域的專業度不同，給出的隸屬值應該具有不同的可信度[10]

（2）屬性權值未知

屬性權值的不同會產生不同的決策結果，科學合理地制定屬性權值具有重要意義[11]。但現實問題中，屬性權值大多是部分未知或完全未知。因此，楊利平等人[12]基于專家指定指標權值對防空兵作戰方案進行評估，得到了較好的評估結果。謝瑋煒[13]在對防空兵偵察力量機動部署方案優選時采用了AHP法對指標賦權。田福平等人[14]基于動態指標和靜態指標分別賦權值進行綜合模糊方案評估。楊偉龍等人[15]利用多人層次分析法對指標賦權，完成潛艇作戰方案評估。雖然這些方案評估中均考慮了指標權值的重要性，然而，這些方法有的直接指定了指標權值，有的采用專家主觀賦權[13-15]，往往都具有一定的隨意性。

（3）集合算子的多樣性

多屬性猶豫模糊決策中存在多個評估指標，每個指標評估值是多個隸屬度的集合，使得決策較為復雜。因此，需要利用集合算子處理猶豫模糊信息，得到備選方案的決策單值進行比較。基礎的集合算子有Xia等人[提出的猶豫模糊加權平均算子（HFWA）和猶豫模糊加權幾何算子（HFWG）。接著更多的延伸算子被提出，如Chiclana等人[17]提出的猶豫模糊有序加權平均算子（HFOWA）和猶豫模糊加權幾何算子（HFOWG），Xia等人提出基于可信度誘導猶豫模糊加權平均算子（CHIFWA）[18]。目前，還沒有學者提出合適的算子來解決前面所提的研究難點。

針對上述情況，本文提出了一種基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊多屬性決策框架。首先，考慮專家在評估過程中可能受到多種因素的影響，如個人經驗、知識背景以及主觀偏見等，導致給出的評估結果可能存在不確定性的情況，本文引入了可信度誘導機制，通過綜合考慮專家的歷史表現、專業資質以及當前評估任務的復雜性等因素，為每位專家的評估結果賦予相應的可信度權重，減少因專家主觀性而導致的評估偏差，使最終的決策結果更加客觀和公正。其次，模糊集中的隸屬度值存在相同或相近的情況，導致決策過程中的信息冗余和沖突，從而影響決策結果的準確性和可靠性。本文采用了隸屬度加權的方法[19]，根據隸屬度值在各個模糊集中的分布情況，為每個隸屬度賦予不同的權重，以區分其在決策過程中的重要性和影響力。此外，本文采用了猶豫模糊熵權法[20]，通過比較不同指標下方案評估值的信息熵大小賦權值，具有客觀性強、操作簡單的優點。最后，本文提出一種新穎的基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊集合算子，合理地對專家可信度、隸屬度權值以及指標權值等猶豫模糊信息進行集成，并通過案例模擬驗證了所提方法的有效性。實驗結果表明，我們所提出的方法在處理這些問題時表現出了良好的性能，不僅能夠有效解決評估中的難點和挑戰，還能夠提供可靠和準確的決策結果。

1猶豫模糊集基礎知識

1.1猶豫模糊集的基本概念

定義 1^[4] 給定論域 X，E={?x，h_E（x）?∣x∈X} 稱為 X 上的猶豫模糊集（hesitant fuzzy set，HFS），其中， h_?E（x） 是猶豫模糊元（hesitantfuzzyelement，HFE），是由區間[0，1］上幾個不同的數構成的集合，表示 x 屬于集合 E 的若干種可能隸屬度。為了簡化表達，猶豫模糊元 h_?E（x） 通常寫為 h（x） 。

例1設 X={x₁，x₂} 為一個給定的集合，其中h（x₁）=（0.2，0.3，0.4） h（x₂）=（0.5，0.3） 為兩個猶豫模糊元，分別表示 x_i（i=1，2） 屬于 E 的隸屬度所組成的集合。那么， E 就被稱為一個猶豫模糊集 E={?x₁ ，（0.2，0.3，0.4）?，?x₂，（0.5，0.3）?? 。

定義2[16] 給定3個猶豫模糊元 h（x），h₁（x） 和h₂（x） ，定義了如下運算法則：

為了比較不同的猶豫模糊元，給出了如下定義：

定義3[21] 給定猶豫模糊元 h（x） ，則稱

為 h（x） 的得分函數；其中， l_h（x） 表示 h（x） 中包含的隸屬度個數。

定義4 給定猶豫模糊元 h（x） ，則稱

為 h（x） 的離散函數。

給定兩個猶豫模糊元 ，基于得分函數和離散函數，得到如下比較準則：

（1）如果 S（h₁（x））gt;S（h₂（x）） ，則 h₁（x） gt;h₂（x） ：（2）如果 S（h₁（x））=S（h₂（x）） ，則：V（h₁（x））gt;V（h₂（x）） 時，有 ：V（h₁（x））=V（h₂（x）） 時，有 h₁（x）=h₂（x） 。

1.2常見的猶豫模糊集合算子

加權平均（WA）算子與加權幾何（WG）算子是在經典決策科學理論中使用最多的集成算子，并被推廣到多屬性決策信息集成中。Xia等人[1通過將加權平均（WA）算子、加權幾何（WG）算子與猶豫模糊數相融合，得到了猶豫模糊加權平均算子（HFWA）和猶豫模糊加權幾何算子（HFWG）。Chiclana等人[17]對模糊元中數據進行排序并對位置進行賦權，提出了猶豫模糊有序加權平均算子（HFOWA）和猶豫模糊有序加權幾何算子（HFOWG）。Xia等人[基于決策者對專業領域的熟悉程度提出了可信度誘導猶豫模糊加權平均算子（CIHFWA）。曾文藝等人[9]針對猶豫模糊元中的隸屬度進行加權，提出加權猶豫模糊元的加權算術平均算子（WHFWA）和加權猶豫模糊元的加權幾何平均算子（WHFWG），強調每個值被選為隸屬度值的可能性的大小。下面介紹幾種典型的猶豫模糊算子：

（1）猶豫模糊加權平均算子（HFWA） 其中， w=（w₁，w₂，…，w_n） 是猶豫模糊元 h_i（i=1，2，… n ）的權值，滿足

（2）猶豫模糊加權幾何算子（HFWG）

其中， w=（w₁，w₂，…，w_n） 是猶豫模糊元 h_i（i=1，2，… n ）的權值，滿足 （204號

（3）加權猶豫模糊元的加權算術平均算子（WHFWA）

其中， ω_γi 表示加權猶豫模糊元 h_i^ω 隸屬度 γ_i∈[0，1] 對應的權值，滿足 表示隸屬度的個數。 w= （204號 （w₁，w₂，…，w_n） 是加權猶豫模糊元 h_i^ω（i=1，2，…，n） （20的權值，滿足 （20號

（4）加權猶豫模糊元的加權幾何平均算子（WHFWG）

其中， ω_γi 表示加權猶豫模糊元 h_i^ω 隸屬度 γ_i∈[0，1] 對應的權值，滿足 表示隸屬度的個數。 w= （w₁，w₂，…，w_n） 是加權猶豫模糊元 h_i^ω（i=1，2，…，n） （20的權值，滿足 （204號

2基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模 糊多屬性決策

針對專家評估時存在決策重復以及不同專家得到的屬性決策值可信度不同的情況，本節將提出一種新的猶豫模糊概念一基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊集，用于表述專家們對猶豫模糊屬性的決策信息，其綜合考慮了專家可信度不同以及隸屬度重復的情況。

2.1猶豫模糊熵權法

屬性賦權是不同屬性在決策中具有不同重要性的體現，根據權值信息構造集成算子，將多個屬性的評價值綜合成單一值進行比較。方案評估中指標賦予不同的權值，得到的決策結果也不同，合理的指標權值可以準確地反映不同方案的優劣，因此，研究如何科學地確定指標權值是十分必要的。常見的賦權方法分為客觀賦權和主觀賦權兩大類。相比于主觀賦權，客觀賦權具有較強的數學理論依據，且操作簡單。

熵權法是一種重要的客觀賦權法，根據不同指標下評估值的差異確定指標權值，差異越大，對應的指標越重要，指標權值越大。劉玉敏等人[22]提出了基于概率猶豫模糊熵的多屬性決策方法，定義了概率猶豫模糊元的猶豫熵、模糊熵以及總熵的計算法則。

本文采用模糊熵進行賦權，第 k 個屬性的模糊熵E_k 計算方法如下： 其中， γ_i^j 為第 i 個方案在屬性 k 下的概率猶豫模糊元 h_i 中第 j 個隸屬度， w_i^j 為 γ_i^j 的概率值， l_i 為 h_i 中隸屬度的個數， m 表示方案的個數。

由信息熵理論可知，熵值的大小用來衡量信息的不確定性。當某個指標的熵值較低時，表示在該指標下，不同方案的評估結果之間存在顯著的差異，體現了各方案在該指標上的獨特性和差異性，表明該指標在評估體系中的重要地位。因此，這里定義第 k 個指標的權值為

式中， n 為屬性個數。

2.2基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊集理論

定義5給定論域 X，E^lw={?x，h^lw（x）?|x∈X} 稱為 X 上的基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊集（credibility induced and membership weighted hesitantfuzzyset，CIMWHFS），其中， h^lw（x） 是可信度誘導和隸屬度加權猶豫模糊元（credibilityinducedandmembershipweightedhesitantfuzzyelement，CIMWHFE）。

h^lw（x）=（?l₁γ₁，w₁?，?l₂γ₂，w₂?，…，?l_mγ_m，w_m?） ，l_i∈[0，1] 表示專家評估值 γ_i∈[0，1] 的可信度。需注意的是，同一個專家在不同指標下得到評估值的置信度是不同的，考慮專家對各個領域的專業度存在差異，應區分開。 w_i∈[0，1] 表示 l_iγ_i 的權值，由給出相同 lγ 評價值的專家個數和總的專家個數的比值得到，且 0

例24名專家對方案 A 在兩個屬性 n₁…n₂ 下進行評估，用 l_ki（k=1，2，3，4;i=1，2） 表示第 k 個專家在第 i 個屬性下的可信度，得到專家可信度矩陣 L（l_ki）= ，評估矩陣 （202，3，4;i=1，2 ）表示第 k 個專家在第 i 個屬性下的評估值。計算 中每列元素為該屬性下專家給出的 lγ 值，因此，得到的兩個屬性下基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊元分別為 h^lw（x₁）= （ ?0.04，0.25? ， 0.08，0.5 ， ?0.2，0.25? ）， （ 0.08，0.25 ，lt;0.32，0.25gt;，lt;0.28，0.25），lt;0.16，0.25? ）。基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊集包含所有專家的評估值并考慮了專家在不同領域的可信度，合理、全面地發揮了專家的評估作用。

步驟一：根據方案評估的目的確定方案評估指標體系。

步驟二：多個專家對評估方案的每個指標賦予評估值，構造基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊元 h^lw（x）=（?l₁γ₁，w₁?，?l₂γ₂，w₂?，…，?l_mγ_m，w_m?） 。

步驟三：計算指標權值 2，…，n ，其中， E_k 中的 h_i^σ（j） 值取專家可信度與評估值的乘積 lγ 。

步驟四：采用基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊加權算術平均算子（CIMWHFWA）或者基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊加權幾何平均算子（CIMWHFWA）對每個方案的模糊信息進行集成得到 h^lw（A） 。

步驟五：利用定義7和定義8分別對 h^lw（A_i），i=1 2，…，m 計算得分函數和離散函數。

步驟六：根據分數值和離散值對方案進行排序。

3 應用實例

現以某次演練為例，對 _A，B，C3 套備選方案均進行模擬，利用本文提出的基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊多屬性決策方法對這3套方案進行評估。

步驟一：專家們綜合考慮了指揮協同能力、任務部署情況和裝備數量等靜態指標以及行動效果、重點打擊目標損毀情況等動態指標，最終選擇選擇8個方案評估指標 （C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8） 。

步驟二：邀請4位不同領域的專家 （P1，P2，P3 ，P4 ）分別對方案 A，B，C 在8個指標下進行評估，考慮了構造基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊元。具體步驟如下：

首先，得到評估值，如表1所示。

表1專家對指標的評估值 Tab.1Expert evaluation of indicators

已知專家在不同指標下的可信度如表2所示。

表2專家在不同指標下的可信度

┌ab.2Thecredibilityofexpertsunderdifferentindicators

基于上述兩個表格建立基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊元，并以表格形式展現，如表3所示。

表3基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊元 Tab.3Hesitation fuzzy element based on credibility induction and membership weighting

步驟三：利用公式 ，計算得出8個指標權值：

（0.0554，0.070 2，0.0978，0.1133，0.1330， 0.1561，0.1746，0.1997）

步驟四：采用基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊加權算術平均算子（CIMWHFWA）對 A，B，C 三個方案的猶豫模糊信息進行集成分別得到 h^lw（A） ！h^lw（B），h^lw（C） 并計算其得分函數和離散函數。

S（h^lw（A））=0.8547 ， V（h^lw（A））=0.079 S（h^lw（B））=0.5975 ， V（h^lw（B））=0.056 S（h^lw（C））=0.689 4 ， V（h^lw（C））=0.18 9

步驟五：運用模糊數的比較規則計算方案的優劣順序為 Agt;Cgt;B 。

由結果可知，本文提出的方法符合實際作戰效果，具有實用性和參考性。

4結束語

本文提出的猶豫模糊多屬性決策方法，考慮了專家評估時的可信度以及隸屬度重復的情況，建立了基于可信度誘導和隸屬度加權的猶豫模糊綜合決策框架，合理地解決評估中的難點，使得決策結果更加可靠和準確，并提出兩種集合算子對模糊信息進行集成，通過實例驗證了所提方法的有效性。

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（責任編輯：張培培）