三塊平板對研的理論探討

中圖分類號：TH161

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.07.002 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Theoretical Exploration on Whitworth Three Plates Method

HU Penghao1*LIAO Jinwei1 SHI Zhaoyao2 GUAN Bingliang3 1.School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering，Hefei University of Technology， Hefei，230009 2.Beijing Engineering Research Center of Precision Measurement Technology and Instruments， Beijing University of Technology，Beijing，100124 3.Jiujiang Ruyang Precision Technology Co.，Ltd.，Jiujiang，Jiangxi，332100

Abstract： The principle of three plates method was expressed intuitively and easy to operate，but lacked theoretical analysis. It was necessary to find the theoretically reasons for three flat plates always obtaining high-accuracy planes. Fractal theory was used to establish a 3D model for flat plates， and a mathematical simulation method was constructed to simulate of three-plate matching and scraping processes. Iteration and convergence analysis revealed the internal mechanism of the surface which was gradually flatened after the scraping. The correctness of the theoretical analysis was verified by point counts and flatness error evaluation based on experiments.

Key words： three-plate principle; high precision plane;mathematical simulation; fractal theory

0 引言

1830年，英國機械學家約瑟夫·惠特沃斯發明了三塊平板對研、刮削加工精密平面的方法，促進了精密工程的發展。三塊平板對研至今仍是高精度平面加工的必要甚至唯一手段。該方法延伸到高精度平面檢測，形成了經典的三面互檢法[1-2]。

三塊平板對研操作簡單，即在三塊平板上涂覆紅丹油，然后按照一定順序兩兩對研，將研得的高點刮去，循環操作之后三塊平板的平面精度逐漸同步提高[3]。三平板對研的原理表述簡單、意義明確，但一直缺乏數學上的分析和論證，因此本文旨在探尋三平板對研的內在機理和理論依據。

1理論建模與仿真

機械零件的表面形貌通常包含宏觀形狀誤差、表面波度和表面粗糙度。表面輪廓放大后發現，局部與整體的形貌相似，且表面形貌到原子尺度仍有統計精細的、自相似的結構[4-6]。這些特征與分形的核心特征吻合，而且已有學者采用分形對粗糙表面進行表征并證明了有效性[7，因此本文采用分形理論對平板表面形貌進行建模。

表面微觀形貌模擬常用的模型為基于Weierstrass-Mandelbrot函數建立的粗糙表面分形模型[8、描述自然界隨機分形的分數布朗模型[9]、分形插值曲面模型[10-11]。分形插值曲面的應用范圍廣，適用于模擬分析一些復雜的幾何形體，如焊縫、斷層等，且只需少量的基礎信息即可擬合出形體曲面的整體形態。

分形插值曲面作為一種特殊的分形幾何有著廣泛的應用。自然界中的很多實物不具有光滑性而是具有分形特征，如地形、山脈、巖石的斷裂表面[12]。樣條函數常用于建立和模擬各種實物的表面模型，但得到的表面模型不能反映兩相鄰、已知信息點的局部特征。運用分形插值原理對曲面進行分形模擬得到的精度比插值方法高，因此本文選擇分形插值曲面模型構建三塊平板的形貌和結構特征。

1.1分形插值曲面的數學模型

設 [a，b]，[c，d] 為插值區間，令 I=[a，b] J=[c，d] ，插值區域 c?y?d} ，以 Δx.Δy 為步長，剖分插值區間[a，b]，[c，d] ：

得到區域 D 的插值點的數據 （x_n，y_m，z_n，m） ，其中， n=1，2，…，N;m=1，2，…，M 。構造二元分形插值函數 f：DR （實數域），且滿足 f（x_n ，y_m）=z_n，m 。

令 X 方向的壓縮變換為

Y 方向的壓縮變換為

ψ_m（y）=c_my+d_m

由 φ_n（x₀）=x_n-1，φ_n（x_N）=x_n，ψ_m（y₀）=y_m-1， ψ_m（y_M）=y_m ，可得

令 Z 方向的壓縮變換即分形插值函數 f 的隱函數[13]為

F_n，m（x，y，z）=e_n，mx+f_n，my+g_n，mxy+αz+k_n，m

式中： α 為垂直比例因子即決定分形插值曲面分形維數（粗糙程度）的自由參數， 0?αlt;1 。

由條件 φ_n（x₀）=x_n-1，φ_n（x_N）=x_n， ，可得

g_n，m=[z_n-1，m-1-z_n，m-1-z_n，m-1+z_n，m-

α（z_0，0-z_n-1，m-1z_N，0-z_0，M+z_N，M）]

（x₀y₀-x_Ny₀-x₀y_M+x_ny_M）^-1

e_n，m=[z_n-1，m-1-z_n，m-1-α（z_0，0-z_N，0）-

f_n，m=[z_n-1，m-1-z_n，m-1-α（z_0，0-z_0，M）-

k_n，m=z_n，m-e_n-1，mx_N-f_n，my_M-αz_N，M-g_n，mx_Ny_M （204（5）

令迭代函數系

W_n，m（x，y，z）=（φ_n（x），ψ_m（y），F_n，m（x，y，z））

1.2 生成平板表面

為與后續的刮削實驗過程匹配，選購3塊經過粗銑的鑄鐵平板，在每塊平板中間位置取30mm×30mm 正方形區域，如圖1所示，測得每個區域16個點的 Z 坐標（其值是基于三坐標測量機上定義的基準零點，并作為生成平板模型的初始數據），表1所示為A平板上點的 Z 坐標。

圖1A平板被測數據點示意圖Fig.1 Schematic diagram of measured data points in plane

表1A平板上點的高度

Tab.1 Heiqht ofpointsinplate A

以表1數據為例，基于分形插值曲面數學理論，將 X，Y 方向插值數設置為3，垂直比例因子α=0.3 ，利用MATLAB軟件進行分形插值并繪制第一次插值后的曲面。如圖2所示，一次插值后的曲面基本表征了平板表面的宏觀幾何形狀誤差，圖3為第一次插值曲面的二維云圖。

圖2第一次插值曲面

Fig.2 Surfaceof thefirst fractal interpolation

在第一次插值曲面的基礎上反復迭代獲得不同的幾何形貌表面，第二、第三次插值后的曲面三維形貌如圖4、圖5所示，圖6和圖7是插值后的曲面對應的二維云圖。

由圖4、圖5可以看出，隨著插值次數的增大，粗糙度特征越來越明顯，且平面度誤差特征、表面波度、粗糙度特征同時顯現出來，實現了平板表面形貌的綜合表征。

對于B、C平板的表面高度，選用與A平板表面高度相同的參數進行迭代運算，生成曲面見圖8。

2 三面互研過程仿真

3塊平板對研傳統工藝的刮削過程如下：① 以平板A為基準，對平板B、C進行研點刮削，然后只刮平板B、C，使它們與平板A大體貼合。此時，平板B、C的表面形貌均具有與A板形貌幾何互補的特點，然后對研對刮平板B、C。平板B、C的形貌具有相似性（同凸或同凹），二者對研對刮后，平面度誤差減小。 ② 以平板B為基準，對平板A、C進行研點刮削，使它們與平板B達到貼合狀態。此時，平板C、A的刮面形狀基本一致，對研對刮平板C、A。 ③ 以平板C為基準，對平板B進行研點刮削，待C板與B板貼合后，將B板與A板對研對刮。按以上述順序往復循環，直至任意兩塊平板的研點情況為虛實相近，無凹凸。刮研的過程中，基準板轉動 90^° 檢驗扭曲[14]。刮研順序如圖9所示。

圖9平板循環刮研法順序

Fig.9Cyclic scraping method of the original plate

實踐中，工人知道只有嚴格按照這個順序有規律地反復循環研點刮削操作，才能保證3塊平板的精度逐漸提高。從數學上看，反復進行研點刮削意味著迭代，平板精度逐漸提高意味著收斂。

本文嘗試從理論上解釋這個工藝順序的作用，以及與收斂之間的內在聯系。

2.1 三面互研法的理論基礎

平板的幾何形貌曲面函數復雜，包含的數據量較大，為簡化分析，取平板上的任意一個截面的線函數分析。假設A、B、C板在兩兩對研的過程中存在板與板之間完全重合的情況，在某一個相互接觸的截面上，3個平板線截面形狀可用函數g（x），f（x），h（x） 表達，且函數 g（x），f（x），h（x） 在 [a，b] 上存在二階導數，平板寬度為 b-a 。

如圖10所示，將A板與B板對研的過程編號為Ⅰ，令 F（x）=g（x）+f（x+y_k），k=0，1，… n ，其中， y_k 為區間 （a，b） 的分段節點。相鄰節點之間的距離相等，大小等于對研過程中兩平板相互錯動的步長，以此來模擬兩平板對研時的相互錯動的距離。

圖10 三個平板的線截面函數Fig.10Line cross-section function of three flat plates

由于 F（x） 在 （a，b） 連續，則存在極大值點x_k 。給定一個足夠小的 r （防止刮研去除量過大），取 δ_k=r ，則極大值點 x_k∈（x_k-δ_k，x_k+ δ_k ），見圖11。

圖11 刮研去除量的范圍 Fig.11 Range of scraping removal

將對研過程離散化，在平板對研的過程中可以得到 n+1 個極大值，在A板與B板刮研一次后，得到B板截面的線函數表達式為

f₁（x）=

同樣地，將A板與C板對研的過程編號為Ⅱ，C板截面的線函數表達式為

t=0，1，…，n

將B板與C板對研的過程編號為Ⅲ，C板截面的線函數表達式為

u=0，1，…，n

B板截面的線函數表達式為

τυ=0，1，…，n

將B板與A板對研的過程編號為 IV ，A板截面的線函數表達式為

g₁（x）=

v=0，1，…，n

將C板與A板對研的過程編號為 ΔV ，A板截面的線函數表達式為

i=0，1，…，n

C板截面的線函數表達式為

l=0，1，…，n

將C板與B板對研的過程編號為 ，B板截面的線函數表達式為

s=0，1，…，n

A板與B板刮研一次后，A板的截面線函數g₃（x） 與B、C相同，這里不再贅述。從A、B、C板的截面線函數可看出， g₂（x），f₂（x），h₂（x） 與g₃（x），f₃（x），h₃（x） 并沒有本質區別，只是迭代的次數不同，因此對 g₂（x），f₂（x），h₂（x） 的分析和對 g₃（x），f₃（x），h₃（x） 的分析具有相同的效果。 g₂（x），f₂（x），h₂（x） 的分段函數區間可能存在重疊，為探究區間重疊產生的原因，選擇其中一個函數進行分析。

以編號Ⅲ為例，此時B板的截面線函數表達式為 f₁（x），C 板的截面線函數表達式為 h₁（x） 假設 f₁（x） 的極大值點為 x₀，h₁（x） 的極大值點為 x₁ 。令 h₂（x）=f₁（x）+h₁（x） ，因為 h₂（x） 在

從式（15）可看出， f₁（x） 與 h₁（x） 的極大值點相同時，不存在區間重疊。若 f₁（x） 與 h₁（x） 的極大值點不同，則 h₂（x） 的截面線函數為式（9），此時可能存在區間重疊的情況。

由以上分析可知，是否存在區間重疊的可能性與兩塊板的極大值點是否相同有關，即兩塊板的極大值點相同時不存在區間重疊，兩塊板的極大值點不同時區間有重疊的可能。區間重疊的實際意義是一個接觸高點被鏟刮多次，區間不重疊則是對另外一個接觸高點進行鏟刮，使平板表面多個點被鏟刮，進而使表面的接觸高點增多。

為研究刮研順序對極大值點相同的概率是否存在影響，采用不同的刮研順序進行數學分析，按照I、Ⅱ、Ⅲ順序對研，則有

F_i（x）=g（x）+f_i（x）

H_i（x）=g（x）+h_i（x）

其中， F_i（x） 為進行I過程的函數表達式，H_i（x） 為進行Ⅱ過程的函數表達式，下標 i 表示對研次數。此時進行Ⅲ過程得

G（x）=f_i^g（x）+h_i^g（x）i=1，2，…，n

其中， f_i^g（x），h_i^g（x） 分別表示用A板刮研后B板和C板的截面線函數。 反映f_i（x），h_i（x） 與 g（x） 的相關性，而且 i 越大，f_i（x），h_i（x） 與 g（x） 的相關性會越強。 G（x） 的實際意義是與B板刮研后，A板、C板均會與B板的表面形貌幾何互補，且對研越多，幾何互補性越強，A板與C板的表面形貌相似程度越高。設f₁^g（x） 的極大值點為 x₀，h₁^g（x） 的極大值點為x₁，x₀=x₁ 的概率為 ρ（x₀=x₁） 。

若按照I、Ⅲ、Ⅱ的順序對研，則有 F_i（x）= g（x）+f_i（x），G_i（x）=f_i^g（x）+h_i（x），F_i（x）

（a，b） 連續，則存在極大值點 x₂ 。

假設 f₁（x） 與 h₁（x） 的極大值點相同即x₀=x₁ ，則 h₂（x） 與 f₁（x），h₁（x） 的極大值點不可能相等，即 x₀≠x₂ 。函數 f₁（x） 和 h₁（x） 在區間 （x₀-δ，x₀+δ） 上皆為一次函數，因此h₂（x） 的極大值點的取值范圍不會在區間 （x₀- δ，x₀+δ） 上，而只在區間 （a，x₂-δ]∪[x₂+δ b ）中。在 f₁（x） 與 h₁（x） 的極大值點相同的情況下，B板與C板對研一次，若 h₂（x） 的極大值點x₂∈（a，x₀-δ） ，得

x∈（a，x₂-δ]?[x₂+δ，x₀-δ）?[x₀+δ，b）

x∈（x₀-δ，x₀+δ）

x∈（x₂-δ，x₂+δ）

為進行I過程的函數， G_i（x） 為進行 I 過程的函數，此時進行Ⅲ過程得

H（x）=g（x）+h_i^f，g（x）i=1，2，…，n

其中， h_i^f，g（x） 表示B板先與A板刮研、再與C板刮研后C板的截面線函數，反映與 f_i^g（x） 相關性。 H（x） 的實際意義是B板先與A板刮研、再與C板刮研，C板與B板表面形貌幾何互補，A板與C板表面形貌相似但相似程度不高。設 g（x） 的極大值點為 x^₂Ψ，h^₁f，g（x） 的極大值點為 x₃°x₂= x₃ 的概率為 ρ（x₂=x₃） L

因此可以看出，刮削順序決定了極大值點相同的概率，概率大意味著刮削后，平面上高點增多，且高點之間能等高。

2.2 平面研合的數值仿真

將分形插值構造的平板表面劃分成一個 N× N 的網格，并提取每個網格點的坐標 （x，y，z） ，其中， （x，y） 為點在平板上的位置， z 為網格點的高度。這樣就將平板形貌模型離散轉化為一個數值矩陣，矩陣元素為平板表面形貌的高度。

將3個數值矩陣按照表2所示的方法進行運算，來仿真分析平板實際對研刮削的效果。

表2仿真模擬實際刮研方法

Tab.2 Simulation of the actual scrapingmethod

如圖12所示，實際刮削中，采用正研的方法對研，三塊平板可能同時出現對角高和對角低的扭曲表面（同向扭曲）。對研時，若高角對低角，則研點會出現虛實一致，導致誤判，因此，必須用對角研點法檢驗，如圖12b所示。研點若采用對角斜磨（高對高、低對低）的方法，則同向扭曲的弊病顯露出來。對于正方形鑄鐵平板，解決同向扭曲的問題只需將平板按正研方向旋轉 90^° 即可。三面互研法的算法流程如圖13所示。

用MATLAB仿真三面互研的過程，給定兩塊平板刮研次數為3，每次刮研磨去量為 1μm 三面互研過程循環20次，圖14所示為仿真的結果。

3仿真分析結果

按照三面互研法規定的順序 I～U 進行仿真，得到仿真結果，其中A、B、C板的接觸高點數分別為566、545和355。

為驗證極大值點相同的概率與刮研順序是否相關，以順序Ⅲ、V、Ⅱ、Ⅳ、V、I和順序Ⅱ、V、I、V、V、Ⅲ進行仿真，結果如表3所示。由表3

可以看出，按照三面互研法的順序進行刮研得到的接觸高點明顯比另外兩種順序多且三塊平板上的接觸點數量大致相同，這意味著極大值點相同的概率與刮研順序之間有很強的相關性。

通常采用 25mm×25mm 的面積中支撐點數、單位面積的支承面積比率、工作面的平面度誤差來評定刮削后3塊平板的精度[15]，表4列出了不同精度等級平板的參數。

表4 200mm×200mm 的刮制鑄鐵平板精度等級與要求

Tab.4 200mm×200mm scraped cast iron plate precision grade and requirements

平面度誤差不能全面反映刮削后的平板真實精度，因此本文選擇支撐點數和平面度誤差來綜合評判平板的平面精度。如圖15所示，2個表面的平面度誤差相同但支撐點數相差大，顯然，左圖平板的接觸剛度更大。刮削的本質是增加等高的接觸點并保證這些點分布均勻，以增大接觸剛度，同時客觀上也減小了平面度誤差。

采用平面度誤差評定平板的平面精度雖然不全面，但可以量化平板的平面精度，通過比對平面度誤差判斷平板的精度等級。本文采用最小二乘法評定平面度誤差[16]。在插值曲面上固定間隔取16個點，利用最小二乘法評定平面度誤差，A、B、C板的初始平面度誤差分別為 13.4μm，8.3 μm、11.5μm 。刮研后三塊平板的平面度誤差如表5所示，可以看出，3塊平板刮研后的平面度誤差均減小但減小程度不同。

表5不同刮研順序下三塊平板的平面度誤差

Tab.5 Flatnesserrorof three flatplatesunderdifferent scrapingsequences

實際運用中，需同時考慮3塊平板精度提升的一致性和同步性，所以對不同刮研順序得到的3個平板的平面度誤差進行方差（衡量平面度誤差值的差異程度）分析，如表6所示。方差小意味三塊板的平面度精度在一個水平上，方差大反映三塊板的平面度精度相差較大，不能同步收斂。工藝規定的順序 I～V 不僅改善了3塊板的平面度，且3塊板的平面度誤差收斂速度大致相同，誤差接近。

表6不同刮研順序下3塊平板平面度誤差的方差Tab.6 Variance of flatness error of 3 flat platesunderdifferent scraping sequences μm²

3塊平板的刮削順序組合共有720種，仿真分析這720種組合對應的平板平面度誤差及方差。如圖16所示，絕大多數組合的平面度誤差的方差比較大，說明絕大多數組合對應的三塊板平面度誤差不能同步收斂；部分組合的平面度誤差的方差小，意味著對應順序的三塊板平面度誤差接近，但這不意味平面度精度高。因此，仍以前面建立的三塊板初始形貌數據，對方差小的刮研組合進行平面度誤差的比較。

單看方差，比規定順序小的刮研組合共有

圖16所有刮研順序的方差

Fig.16 Variance of all scraping sequences

198種。如圖17所示，大部分刮研組合的3塊平板平面度誤差均值小于規定順序，精度最高的刮研順序為Ⅱ、IⅢ、V、N、I、V，說明在特定的平板初始表面形貌特征下，最優的刮研順序并不是三面互研規定的刮研順序，不同的平板初始形貌存在最優的順序。刮研工藝規定的刮研順序的主要優勢在于，不論三塊平板的表面初始形貌如何，按照這個順序總是能獲得高精度的表面，具有普適性。

圖17部分組合的平面度平均值

Fig.17Mean value of flatness of partial combination

4實驗驗證

結合上述理論和仿真分析，聘請高級技師對研刮削了3塊平板，并在粗刮、細刮、精削和刮花四個階段對3塊平板的平面度誤差及支撐點數進行跟蹤測量和評定。

4.1 實際刮削過程

對研之前，用寬刮刀粗刮三塊平板去表皮，消除刀痕。首先在平板上涂抹上一層很薄的紅丹油，以一塊平板為準對研刮削另兩塊，刮刀痕跡順向，成片不重復[17-18]，如圖18所示。

接下來按照圖9順序進行三面互研。圖19所示為3塊平板在細刮與精刮階段每次刮研后接觸點的變化，接觸點逐漸增多且分布均勻性逐漸改善。

圖18粗刮刀痕

Fig.18 RoughScrapingMarks

圖19細刮與精刮時三塊平板接觸點的變化 Fig.19 Variationofcontactpointsof three flatplates during fine and precision scraping

刮研過程中，A板接觸高點由粗大變細密，但主要分布在四周。B板的接觸高點分布均勻，但比較粗大，多次刮研后，四周的接觸高點變得細小且均勻。C板的接觸高點細小且主要分布在平板的兩側，中間的接觸高點粗大但很少，在刮研過程中，中間出現大量粗大的接觸高點。

3塊平板刮完后，用檢驗平板進行研點。3塊板的接觸高點大小、數量與在平板上的分布情況明顯得到改善，3塊平板的接觸點多且均勻分布，接觸點大小也適中。

由圖19可以看出，平板的表面形貌在刮研中是變化的，三面互研的核心是通過循環刮削逐步消除局部高點，最終使3個平面的表面形貌趨于一致，等高點逐漸增多和密集，最終得到高精度平面。粗刮階段，大量粗大的接觸高點被削除，平板間的接觸面積迅速增大，表面形貌的峰谷值大幅下降；細刮和精刮階段，多次循環刮研后，接觸點高度接近且分布密集，平面度精度提升速度放緩。

對研刮削流程結束后，A板的最終形貌如圖20所示。按照國家標準，不同刮研階段平板25mm×25mm 范圍內的接觸點數如表7所示。

圖20刮削平板最終結果

Fig.20Final result of scraping flat plate

表7不同刮研階段的研點情況

Tab.7 Contact points at different scraping stages

4.2測量平面度誤差

采用三坐標測量機對平面進行測量，采集平面數據點。被測平板尺寸為 200mm×200mm. 0在平板上以等間隔形式采樣（間隔 25.4mm ，共得49個點），利用采集的平面高度評定不同加工階段的平板平面度，如表8所示。

表8刮研不同階段的平面度

Tab.8 Flatness at different stages of scraping μm

三面互研法刮研后，3塊平板的平面度得到明顯改善且大致相同，不同階段的接觸點數和平面度誤差與國家標準規定的平板精度等級和要求基本吻合，這說明該實驗過程和工人操作是正常的，驗證了三面互研法中規定的刮研順序的重要性和有效性。

5結語

1）3塊平板的對研工藝從數學上可以歸結成一個迭代、收斂的過程。

2）無論3塊平板初始形貌特征如何，規定的對研順序能保證每次刮削時產生更多高點且高點等高的概率增大，每塊平板獲得的等高點數大致相等，平面精度快速同步提升。

3）3塊平板初始形貌特征不同時，理論上雖存在一個特定的最優刮研順序，但在實際刮削中測量初始形貌并不現實，因此不具有實用性。

4非規定的對研順序直接影響刮研的效率和3塊平板平面度誤差的一致性。

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（編輯張洋）

作者簡介：胡鵬浩，男，1968年生，教授、博士研究生導師。研究方向為精密儀器設計與制造。發表論文100余篇。E-mail：hu-penghao@hfut.edu.cn。廖進偉*（通信作者），男，1999年生，碩士研究生。研究方向為三維形貌誤差分析及評定。E-mail：2482878998@qq.com。

本文引用格式：

胡鵬浩，廖進偉，石照耀，等.三塊平板對研的理論探討[J].中國機械工程，2025，36（7）：1407-1415.

HUPenghao，LIAOJinwei，SHI Zhaoyao，etal.Theoretical Ex-ploration onWhitworth ThreePlatesMethod[J].China Mechani-calEngineering，2025，36（7）：1407-1415.