正方體的認識大單元教學結構化設計

人教版小學數學教材將正方體的認識置于五年級下冊“長方體和正方體”單元。傳統教學中，圖形特征、展開圖、折疊等知識的教學往往孤立進行，導致學生難以建立整體認知。本文立足大單元教學視角，以點、線、面、體等空間要素的關聯性為核心，整合正方體的認識相關知識，構建“特征感知一操作探究 $$ 動態轉化 $$ 遷移應用\"的結構化教學路徑，引導學生理解正方體點、線、面、體之間的內在邏輯聯系，增強空間觀念。

一、空間要素關聯缺失的學情歸因

根據皮亞杰的認知發展階段理論，五年級學生處于從具體運算階段向形式運算階段過渡的關鍵時期，雖已具備初步的分類思想和一定的歸納能力，能通過動手操作獲取信息，但空間想象能力較弱，深入理解立體圖形要素之間的關聯存在困難，需要借助直觀載體加以理解。通過課堂觀察及前測分析，筆者發現學生學習正方體相關內容時常常陷入以下困境。一是圖形特征記憶碎片化，如學生知道正方體有6個面、12條棱、8個頂點，但難以解釋這些要素數量之間的內在聯系，無法解釋為何頂點個數是棱條數的 ，同時，對于“面對一個正方體，至少能看到幾個面”等實際問題，缺乏利用圖形特征推理的意識。二是對展開圖認知不系統，如學生雖然能識別“1-4-1型\"等正方體展開圖，但是無法理解一個正方體為何存在11種展開方式。三是從二維到三維的轉化有障礙，如學生在根據正方體展開圖想象其立體形態時需要依賴實物折疊驗證，缺乏空間推理策略，經常出現面的位置錯亂或折疊方向顛倒的問題，反映出他們對6個面之間位置關系認知的薄弱；反之，學生將正方體轉化為展開圖時，難以合理“剪開\"棱來保持面的關聯性。

學生的上述表現對應折射出傳統教學的三方面問題。第一，知識學習鏈斷裂。如先聚焦“6個面完全相同、12條棱長度相等、8個頂點”等要素認識正方體，再孤立地學習正方體的展開圖及表面積計算等，缺乏“要素關聯\"教學主線。第二，模型支撐不足。正方體展開圖的動態折疊過程缺乏可視化模型支撐，導致抽象的“面-棱”關系未能轉化為可操作的學習載體，致使學生的空間想象缺乏具象依托，無法將展開圖與其立體結構建立有效關聯。第三，空間思維培養斷層。從具體操作到抽象想象的過渡缺少腳手架，學生被困在“動手做”層面，未發展出“腦中構\"的能力，難以在操作中提煉展開圖折疊還原為立體圖形（從二維到三維的轉化）的空間軌跡，無法實現從實物感知到心理表象形成的思維進階。

二、以要素關聯為核心的大單元知識整合

針對上述問題，筆者以培養學生數學核心素養為立足點，以“理解正方體要素的內在關聯\"為大單元主題，整合人教版數學五年級下冊第三單元“正方體的認識\"相關知識點，構建三層進階單元目標（如表1所示）。

表1“正方體的認識”三層進階單元目標

基于以上三層進階單元目標，筆者以空間要素的動態關聯為錨點，提出如下教學設計思路：橫向關聯方面，將正方體的特征、展開圖、折疊相關知識整合起來教學，視為正方體要素解構與重組的統一過程；縱向進階方面，從摸、數、剪等形式的實物操作逐步過渡到想象、繪圖、推理等形式的思維表象操作；思維載體選擇方面，借助小棒、橡皮泥、3D動態軟件等工具，使抽象的“面-棱”關系可視可感。這樣設計，一是通過橫向關聯串聯起零散知識，解決知識學習鏈斷裂問題；二是通過設計多樣化的思維載體，解決模型支撐不足問題；三是通過縱向進階設計思路，解決空間思維培養斷層問題。

三、助推認知發展的三維進階教學設計

1.要素解構，在操作中建立特征關聯

經過前一課時“長方體的認識”教學，學生對“面、棱、頂點\"等概念已有初步認識?；诖?，筆者設置核心任務“解構正方體”及其三個學習活動，旨在引導學生理解正方體點、線、面的內在關聯。

活動一：觀察感知。筆者引導學生觀察生活中常見的正方體物品，如魔方、禮物盒、紙巾盒、骰子等，并在觀察過程中通過提問引導他們逐步深入思考一一通過“正方體有幾個面？每個面是什么形狀？這些面有什么特征？”等問題，引導學生初步感知正方體面的特征；通過“這些面相交形成什么？它們有什么特征？”等問題，引導學生發現正方體的棱，數棱的數量，感知棱的長度關系；通過“棱和棱相交處形成什么？”等問題，引導學生感知正方體的頂點，明確頂點數量。

活動二：觸摸探析。筆者引導學生開展觸摸正方體模型的游戲，讓他們結合觸摸感受，深化對正方體面、棱、頂點及其關系的認識。游戲中，學生要完成以下任務： ① 用手掌撫過正方體的面，說一說有什么感受； ② 用食指沿著正方體的棱緩慢滑動，說一說有什么感覺； ③ 用指尖輕輕觸碰正方體的頂點，觀察頂點位置，感受它是尖尖的。隨后，筆者提問：“一個頂點由幾條棱相交形成？一條棱連接幾個面？正方體的頂點、棱、面之間有什么內在關聯？\"借助具體實物分析問題后，學生明確：頂點是3條棱的交匯點，棱是面與面的交界線，面是構成正方體的基本平面圖形，它們共同形成正方體的空間結構。

活動三：框架組裝。筆者提供橡皮泥小球（用于代表正方體的頂點）和長短不同的多根小棒（用于代表正方體的棱）等學具，作為學生小組合作組裝正方體框架的“腳手架”。在操作中，筆者適時提出“ ① 你準備用幾個小球、幾根小棒，為什么？ ② 如果小棒長度不同，能拼成正方體嗎？ ③ 每個小球要連接幾根小棒？”等問題，幫助學生通過具身操作鞏固正方體棱長相等、每3條棱相交于1個頂點等特征，進而自主發現各要素之間的內在關聯。例如，面與棱的關聯是，正方體有6個面，每個面有4條棱，每條棱被相鄰2個面共享，因此總棱數可用“ 6×4÷2 ”計算，得出12條；頂點與棱的關聯是，正方體有8個頂點，每個頂點連接3條棱，每條棱連通2個頂點（被重復計數），因此總棱數可用 8×3÷2^? 計算，同樣得出12條；面與頂點的關聯是，共6個面，每個面有4個頂點，每個頂點被3個面共享，因此總頂點數可用 6×4÷3 計算，得出8個。

2.動態轉化，在展開與折疊中理解互逆關系

本環節的核心任務是引導學生探究“如何將正方體展開為平面圖”和“如何將平面圖折疊為正方體”，讓他們在展開與折疊中發現正方體面的位置排布規律。為此，筆者分如下步驟教學。

第一步，分類探究展開圖。學生分組活動，將正方體禮物盒沿棱剪開，讓其成為一個平面圖形。筆者巡視指導，收集體現不同剪法的作品。交流環節，筆者引導學生根據展開圖的特征進行分類。通過對比觀察，師生共同歸納出正方體展開圖按照每層含有面的數量可以分為四類：如圖1所示“1-4-1”型展開圖有6種，如圖2所示“2-3-1型”展開圖有3種，如圖3所示“2-2-2型”展開圖有1種，“3-3”型展開圖也有1種（圖略）。

圖1

圖2

圖3

隨后，筆者借助幾何畫板動態演示幾種不同剪法的正方體展開過程，讓學生在直觀感知中思考“正方體展開成平面圖需要剪開幾條棱”“所剪棱的位置怎樣影響展開圖的形狀”。通過小組討論、交流分享，學生發現：無論哪種展開方式，必須剪開7條棱，正方體才能展開成平面圖形，并且展開圖中都有5條棱來連接6個面；所剪棱的位置決定展開圖的形狀，以“1-4-1\"型展開圖所剪棱的位置（如圖4所示）為例，當保留正方體前、后、左、右四個面橫向相連的3條棱、前面與上面相連的1條棱、前面與下面相連的1條棱時，展開圖呈現“中間一行有4個正方形，上面一行和下面一行各有1個正方形”的樣態。

由此，學生認識到剪開的7條棱在正方體上的位置不同，6個面的連接順序和位置排布就不同，因此呈現出不同類型、不同形態的展開圖。

第二步，折疊還原正方體。筆者先提供11種標準展開圖卡片，讓學生小組合作探究其折疊復原的過程。在動手操作中，學生發現正方體相對的面在展開圖中位置不相鄰，而是相間排列、“Z\"字兩端排列。教師小結：相對的面不相鄰是正方體展開圖的典型特征。然后，筆者借助GeoGebra3D動態軟件對非標準展開圖進行虛擬折疊演示，并提出前置問題：① 如果兩個面折疊后相鄰，展開圖中它們的位置需要滿足什么條件？（共享棱） ② 非標準展開圖折疊時為何會出現兩個面重疊的情況？（原有面的位置排布錯誤）學生在問題引領下觀察與思考，提煉出二維展開圖轉化為三維正方體的核心邏輯：一是明確“展開”的本質，即棱的剪開路徑決定展開圖的連通方式；二是明確折疊的關鍵，即相鄰面在展開圖中共享棱且折痕方向一致。

以上教學，筆者通過對正方體不同展開圖分類，培養學生系統性思考的能力；借助軟件動態演示破解學生想象的難點，逐步引導他們理解正方體如何展開、展開圖如何折疊為正方體，并從中抽象出展開與折疊的規則。

3.遷移推演，在想象中實現空間定位

本環節的核心任務是脫離實物操作，在腦海中建構正方體的面、棱的空間位置，解決復雜情境問題。基于此，筆者設置如下兩道練習題。

第一題：展開圖推理。筆者出示如圖5所示正方體及問題\"若沿棱 AD、DC、CB、AD^′、DC^′、CB^′、AA^′ 剪開，從 ①②③ 中選出剪開后的展開圖”，引導學生聚焦棱與面的連接關系，通過分析未剪開的棱的位置，構想展開圖中面的排布邏輯，強化“從剪開到展開”的空間想象力。

第二題：視圖逆向推演。筆者呈現從三個方向觀察小正方體堆疊的視圖（如圖6），引導學生反推其立體形態。

圖6

圖7

學生需基于主視圖（正面）左視圖（左面）俯視圖（上面）的投影規律，推理出立體圖形不同位置的小正方體個數，分析位置上小正方體“必須存在\"和\"可能不存在”的情況，最終明確滿足三視圖的最少小正方體個數及其堆疊形態（如圖7）。由此，學生增強了思維的綜合性和靈活性，發展了空間觀念。

“正方體的認識\"教學不應止步于特征記憶與展開圖識別，而應成為發展學生空間觀念、幾何直觀、推理意識等核心素養的載體。通過以大單元視角整合知識點，以圖形空間要素關聯為核心構建學習路徑，學生得以在操作、觀察、推演的循環中理解二維平面圖與三維立體圖相互變換的邏輯。這種結構化認知不僅能為學生后續探究圓柱展開圖、三視圖問題等奠定基礎，還有助于培養學生用系統思維分析復雜問題的能力。

[作者單位：武漢市光谷第十小學（武漢小學光谷分校）]

文字編輯劉佳