依托租船問題滲透優(yōu)化思想

人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)租船問題是典型的優(yōu)化問題。教師如何引導(dǎo)學(xué)生提出可能的租船方案，并通過調(diào)整找到最省錢的方案，形成解決這類問題的基本模型和優(yōu)化思想呢？

構(gòu)建真實(shí)問題情境。教師出示題目：“大客船45座，費(fèi)用900元；小客船28座，費(fèi)用700元。四年級(jí)416人春游時(shí)需要乘船，怎樣租船最省錢？”題中信息量較大，學(xué)生需要在準(zhǔn)確提取有效信息的基礎(chǔ)上，憑借生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)“租大客船便宜”這個(gè)隱含條件，并結(jié)合生活實(shí)際尋找最省錢的方案?；诖?，教師給學(xué)生充足的時(shí)間，讓他們思考、提取有效信息。學(xué)生先讀題，提取出“416人乘船，大客船限乘45人、費(fèi)用900元，小客船限乘28人、費(fèi)用700元\"等信息，然后試算，發(fā)現(xiàn)矛盾沖突，即大客船人均成本低（20元/人）但會(huì)空位導(dǎo)致浪費(fèi)，小客船座位安排相對(duì)靈活但人均成本高（25元/人）。教師據(jù)此提出核心問題：如何組合租船能使總費(fèi)用最少？

把握優(yōu)化思維過程。教師引導(dǎo)學(xué)生按照以下路徑分析問題，形成優(yōu)化策略，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階。首先，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目信息算出大客船每個(gè)座位的均價(jià)為 900÷45=20 （元），小客船每個(gè)座位的均價(jià)為700÷28=25 （元），再通過比較發(fā)現(xiàn)只租一種船不合算，初步形成優(yōu)化意識(shí)—一要盡可能多租座位均價(jià)更便宜的大客船、少租小客船。接著，教師引導(dǎo)：如何找到大客船、小客船恰當(dāng)?shù)臄?shù)量呢？學(xué)生提出，假設(shè)全租大客船，根據(jù) 416÷45=9 （條）11（人），可知租9條大客船的情況下還剩11人未上船；剩下的11人租大客船或小客船均可，但由于每條小客船的費(fèi)用明顯比每條大客船少，所以加租1條小客船省錢。教師點(diǎn)撥：我們先假設(shè)全租大客船，算出需要幾條船、余幾人，如果余下的人剛好坐滿一條小客船（無空位），此時(shí)就是最優(yōu)方案，求出總費(fèi)用即可；如果余數(shù)比較小，余下的人不夠坐滿一條小客船（有空位），說明有空位被浪費(fèi)，我們還需要嘗試調(diào)整方案。然后，學(xué)生根據(jù)“租9條大客船和1條小客船”的方案，計(jì)算租船的總費(fèi)用為 900×9+700×1=8800 （元）。教師引導(dǎo)：此時(shí)小客船上有空位，租9條大客船和1條小客船的方案究竟是不是最省錢的方案呢？學(xué)生分析：最后租的這條小客船上實(shí)際只有11人，有17個(gè)空位，很可能有更優(yōu)化的方案，我們可以嘗試減少大客船的數(shù)量、增加小客船的數(shù)量，看總費(fèi)用如何變動(dòng)。獨(dú)立探究并小組交流后，學(xué)生匯報(bào)：去掉1條大客船，這條大客船上的45人和余下的11人正好可以坐滿2條小客船，此時(shí)總費(fèi)用為 900×8+ 700×2=8600 （元），也就是租8條大客船和2條小客船的方案更省錢。由此，學(xué)生感悟到既滿足“盡可能租大客船”又滿足“無空位”是最省錢的方案。

建立解決問題模型。此環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生反思解決問題的過程，總結(jié)優(yōu)化策略，建立解決這類問題的基本模型。根據(jù)學(xué)生的總結(jié)發(fā)言，教師梳理出如下內(nèi)容：如果乘船的總?cè)藬?shù)剛好坐滿全部大客船，則全租大客船省錢；如果乘船的總?cè)藬?shù)在盡可能租大客船的情況下有剩余，剩余人數(shù)租小客船剛好無空位，則剩余的人租小船更合算；如果乘船的總?cè)藬?shù)在盡可能租大客船的情況下有剩余且剩余的人乘小客船有空位，則采用“減大補(bǔ)小”的方法調(diào)整租船方案，并在調(diào)整中比較、確定最省錢的方案?；诖?，師生共同梳理解決租船問題的基本模型：第一步，求單價(jià)，做比較；第二步，求數(shù)量，做選擇；第三步，求總價(jià)，做調(diào)整。

（作者單位：天門市競(jìng)陵西關(guān)小學(xué)）文字編輯劉佳