“圓柱與圓錐”單元深度學習實踐探索

“圓柱與圓錐”是小學數學“圖形與幾何\"領域的重要內容。本文以“圖紙”為教學主線，通過“設計平面圖紙 $$ 制作立體圖形”和“變換平面圖形 $$ 構建立體圖形\"兩個教學環節，引導學生深度探究圓柱與圓錐的表面積及體積，發展空間觀念，提高實踐能力。

一、設計平面圖紙，制作立體圖形

教學中，教師通過設計平面圖紙、制作立體圖形，把學生腦海中的圓柱與圓錐一步步變成有形的、真實的立體圖形，讓學生真切地觸摸到圓柱與圓錐的數學本質。

1.分解、繪圖、合成，再認圓柱

課堂中，教師讓每名學生拿出課前準備的同樣的紙質圓柱模型，并引導：“沿不同路徑剪裁圓柱側面，其側面展開圖形狀如何？\"學生動手操作，有的沿高剪，得到矩形；有的斜著剪，得到平行四邊形；還有的沿曲線剪，得到不規則圖形。隨后，教師引導學生對比不同展開方式所得圖形，通過進一步剪拼發現三種形狀的側面展開圖均可轉化成矩形，從而直觀感知“化曲為直”的數學思想。

從立體圖形到平面圖形的分解是訓練學生的順向思維，通過平面圖形重構立體圖形則是培養學生的逆向思維。基于此，教師組織學生嘗試繪制圓柱設計圖，組面成體。教學中，教師先以核心問題“任意兩個圓與矩形能否組合成圓柱？\"驅動探究，引發學生積極討論。學生發現，畫設計圖時只有當底面圓的周長等于矩形的一條邊長時，才能組合成圓柱。繼而，教師提出問題“當圓柱側面展開圖為正方形時如何設計？”深化學生思考。學生類比推理得出：設計這類圓柱時，必須保證底面圓的周長等于側面正方形的邊長。

在制作圓柱模型即合成環節，學生根據圓柱設計圖，把對應的兩個圓形紙片和一張長方形（或正方形）紙片剪下來，將長方形（或正方形）紙片卷成一個圓筒，確保其一條邊的兩端精確對齊并粘貼牢固（這條邊的長度決定了圓柱的高），再將兩個圓形紙片分別粘貼到卷好的圓筒兩端，確保圓形邊緣與圓筒邊緣完美對接且粘貼牢固（圓形的半徑決定了圓柱的底面大小）。學生通過觀察和討論多個圓柱作品“高矮胖瘦”的差異總結規律：底面圓半徑的長短決定圓柱截面大小即圓柱的“胖瘦”；側面邊的長短決定圓柱的“高矮”。這一教學過程不僅直觀呈現了圓柱表面積計算原理，還讓學生在具象操作中建立了平面圖形與相應立體圖形的空間對應關系。

2.猜測、驗證、發現，續學圓錐

學生在積累了關于圓柱展開圖的學習經驗后，研究圓錐展開圖便水到渠成。教師引導：“一個圓錐由哪幾部分組成？\"學生通過觀察發現圓錐由一個圓形底面和一個側面組成，并基于已有操作經驗，想象出圓錐側面展開圖為扇形，還通過小組討論得出扇形弧長等于底面周長的猜想。

為引導學生驗證猜想，教師基于“圓錐側面展開圖是扇形”和“扇形弧長等于底面圓的周長\"兩個假設，引導學生小組討論以下問題：如何設計實驗驗證圓錐側面展開圖是扇形？如何比較圓錐展開圖的弧長與底面圓的周長？學生初步探究并小組討論后，提出按照假設繪制圓錐平面圖并嘗試將其圍合成圓錐的驗證辦法。教師引導學生共同確定繪制步驟： ① 確定扇形的半徑（如4厘米）和圓心角（如 90^° ），繪制扇形； ② 計算扇形弧長（即底面圓的周長）； ③ 根據底面圓的周長計算其半徑，繪制底面圓形。隨后，學生剪拼圖形，制成圓錐，驗證了假設的正確性。

為進一步探究圓錐特性，教師用細線穿過圓錐的頂點與底面圓心，幫助學生明確拉直細線后頂點與圓心間線段的長度即為圓錐的高。通過對比高與扇形的半徑，學生發現高短于扇形的半徑，由此引出“扇形的半徑稱為圓錐的母線”的概念。

二、變換平面圖形，構建立體圖形

教學中，教師可以通過旋轉、疊加等操作將平面圖形轉化為立體圖形，引導學生觀察并描繪其形態與生成過程，進而理解立體圖形與平面圖形的聯系，實現知識的內化與能力的提升。

1.洞悉本質，體會一個面的運動

教師可以組織學生動手操作，通過快速旋轉長方形、三角形硬紙板的操作活動，結合空間想象，理解立體圖形的形成過程，感知立體圖形的體積。在探究圓柱的生成方式時，教師指導學生將長方形紙板貼于木棍上，引導他們想象以長或寬為軸旋轉的過程，嘗試兩種不同的貼法，進而提出問題：“以長或寬為軸，形成的圓柱有什么不同？\"學生發現，以長為軸旋轉形成的圓柱“高且瘦”，以寬為軸旋轉形成的圓柱“矮且胖”。隨后，教師改換視角，借助動畫演示圓垂直平移形成圓柱的過程，揭示“同一立體圖形可由不同平面圖形通過不同運動方式生成”。在探究圓錐的生成方式時，教師引導學生操作直角三角形紙板，觀察以直角邊為軸旋轉形成圓錐的過程，通過對比發現以不同直角邊為軸旋轉形成的圓錐形態的差異。在此基礎上，教師演示以斜邊為軸旋轉生成“雙圓錐組合體”的過程，以拓展學生認知。

學生理解面的運動能生成立體圖形后，教師可以設置透視圖繪制任務，幫助他們直觀、深入地把握平面圖形與立體圖形的關聯。教材中的立體圖形多以透視圖呈現，基于此，教師在教學中先展示實物，如出示一個圓柱形水杯，再出示相應的透視圖，引導學生觀察，幫助他們理解實際的圓形底面在透視圖中要轉化為橢圓來呈現的視覺現象，進而指導其繪制以長方形不同邊為軸旋轉形成的圓柱透視圖，在透視圖中標注原長方形位置并總結關聯量之間的關系。隨后，教師提出遷移性任務一—嘗試畫出圓錐的透視圖。在學生小組合作繪制圓錐透視圖的過程中，教師重點引導他們明確旋轉軸對應高，另一條直角邊對應底面圓的半徑。

2.打破常規，想象多個面的疊加

教學中，教師以圓片疊加為例，引導學生理解“體由面累積而成”的數學本質。教師創設情境：“聰聰想做一個圓柱，就用卡紙剪出很多圓片，他能做出一個圓柱嗎？\"這個問題引起學生的認知沖突，一部分學生認為不能，因為做圓柱還需要一個長方形；另一部分想象力豐富的學生認為可以，因為很多圓片疊起來就能得到圓柱。教師及時肯定后者的想法并提問：“如果要疊起來形成圓柱，對這些圓片有什么要求？\"學生得出圓片大小要一樣。教師進而引導學生想象將100個、200個，甚至更多的圓片疊起來會形成什么，學生認識到會形成更高的圓柱。

教師順勢把問題引向圓錐：“圓錐可以由圓片疊加形成嗎？”一名學生基于剛剛獲得的經驗進行遷移，提出假設：“我覺得每次疊加上去的圓片比上一張小一點點，慢慢疊加，直至圓片小成一個點，就能形成圓錐。\"教師引導學生閉上眼睛想象：先放第一張圓片，再放比第一張小一點的第二張圓片，再放比第二張小一點的第三張圓片放的圓片越來越小，最后小到近似一個點，便形成圓錐。

最后，教師引導學生通過對比表系統歸納圓柱與圓錐的異同，辨析它們的特征，強化知識關聯（見表1）。

表1圓柱與圓錐基本特征對比表

學生系統梳理知識脈絡，在對比圓柱與圓錐特征差異的過程中，經歷了“觀察 $$ 比較 $$ 抽象”的完整認知過程，實現了知識的結構化。

（作者單位：襄陽市東津新區漢水小學）