Matlab軟件在“數學模型”教學中的應用探究

摘 要：全國大學生數學建模競賽如火如荼地開展，吸引了大量學生積極參與和熱情投入，因此高等職業院校增設“數學模型”作為選修課程顯得尤為必要。在學習“數學模型”的過程中，Matlab軟件提供了很大的幫助。利用Matlab軟件內置的參數模擬、數值計算、繪制曲線等功能，擴展了教學中的具體案例，以輔助課堂教學。通過理論、實際與數學軟件三者結合的教學模式，激發學生的學習興趣，調動學生的積極性，提高學生的學習熱情，開闊學生的視野，使學生在學習過程中能夠獨立思考和分析，培養學生應用理論解決實際問題的能力，體驗數學的實用價值。

關鍵詞：數學模型 教學改革 Matlab軟件 教學應用

Exploration of the Application of Matlab Software in \"Mathematical Model\" Teaching

LAN Jiaxin

Guangxi Financial Vocational College， Nanning， Guangxi Zhuang Autonomous Region， 530007 China

Abstract： The National College Student Mathematical Model Competition is being vigorously launched， attracting a large number of students to actively participate and enthusiastically invest. Therefore， it is particularly necessary for higher vocational colleges to add \"mathematical model\" as an elective course. Matlab software has provided great help in the process of" learning mathematical models. By utilizing the built-in parameter simulation， numerical calculation， and curve drawing functions of Matlab software， specific cases in teaching have been expanded to assist classroom teaching. Through a teaching model that combines theory， practice， and mathematical software， it aims to stimulate students' interest in learning， mobilize their enthusiasm， enhance their learning enthusiasm， broaden their horizons， enable them to think and analyse independently during the learning process， cultivate their ability to apply theory to solve practical problems， and experience the practical value of mathematics.

Key Words： Mathematical model; Teaching reform; Matlab software; Teaching application

數學模型是一門運用數理邏輯方法和數學語言進行研究的學科，旨在利用數學符號和公式描述客觀事物的特征。該課程起源于20世紀80年代的美國，并在生物學、醫學、地質學、氣象學、經濟學、社會學、工程學等多個領域中得到了廣泛應用，并扮演著至關重要的角色。隨著計算機技術的進步和Matlab等數學軟件的發展，Matlab被廣泛應用于建模處理與分析等領域。許多學者的研究表明，Matlab在促進學生對復雜數學概念的理解和實踐能力方面具有顯著優勢[1-3]。針對高職學生而言，“數學模型”課程的特點是知識點的應用場景多樣、內容抽象且計算復雜，加之學時有限，因此，在授課過程中，如何使抽象內容可視化、簡化復雜計算過程，并激發學生的學習興趣和動手能力，成為每位教師必須思考的問題。本文基于Matlab軟件的實驗教學，涵蓋線性函數和冪函數的參數模擬、微分方程的符號計算等內容，通過Matlab軟件自帶的函數工具箱和學生收集的數據，幫助學生解決實際問題，在實際中理解與掌握理論知識，充分調動學生的學習熱情和主動性，進而提高課堂教學質量和實踐能力。

1 “數學模型”課程教學結合Matlab軟件的必要性

隨著科學技術的飛快發展，越來越多的實際問題需要解決，“數學模型”這個詞也進入公眾的視野。“數學模型”課程主要研究實際生產生活當中所遇到的案例，而解決這些案例需要對其建立數學模型和求解。一般來說，實際生活對應的模型，需要進行適當的簡化假設，但是即使如此，求解所需要的時間和精力都會耗費大量的時間。因此，在當下的信息時代，利用計算機進行模型的計算和求解是非常有效的手段。而Matlab軟件正是其中應用廣泛，簡單實用，功能強大的數學軟件之一。通過利用Matlab軟件求解模型，可以快速迅捷地得到結論。同時，也能夠顯示出生動直觀的圖像。與以往傳統的教學相比，教師無須在黑板上演示復雜的計算和理論的推導，因為這些理論知識比較枯燥乏味，無法提起學生學習的興致，學生也無法接受理論的灌輸。

基于上述原因，社會和高校愈加重視知識的應用性，關注大學生實際操作能力。因此，越來越多的高等職業院校開始開設“數學模型”這門選修課。這不僅是為了讓學生掌握數學知識，更重要的是培養他們將數學知識應用于解決實際問題的能力。其主要目的是提高大學生將理論與實踐相結合的能力，提升學生的數學素養，實現學以致用的目標。因此，必須要改變過去落后的教學手段，讓學生對難以理解的抽象概念和理論不再死記硬背，也不能讓學生陷入復雜煩瑣的計算中，否則教學效果只會事倍功半，更不用談面對實際問題應該怎么去解決應用理論知識，無法培養學生創造力。所以，結合Matlab數學軟件和計算機，不僅能夠快速有效地解決求解模型，而且能夠讓課堂教學生動形象化，幫助學生直觀地理解抽象的數學內容，化枯燥為有趣，激發學生學習數學的興趣，為培養大學生的實踐能力、創新意識起到積極作用[4-5]。進一步來說，一年一度的全國大學生數學建模競賽從最初的幾十支隊伍發展到如今的成千上萬支隊伍參賽，競爭異常激烈。為了在眾多參賽隊伍中脫穎而出并取得優異成績，熟練使用Matlab軟件顯得尤為關鍵。競賽中，參賽者需要處理大量數據，而整個競賽時間僅為3 d，手工計算既費時又費力，更不用說還要抓緊時間撰寫相應的論文。因此，掌握Matlab軟件的使用成為必然。通過在教學中結合Matlab軟件，不僅可以潛移默化地提升學生的實操能力，還能夠為他們的未來打下堅實的軟件基礎。

2 “數學模型”課程教學中應用Matlab軟件的路徑

2.1 擬合線性函數與冪函數參數的教學

線性函數和冪函數是兩類非常簡單的函數。通常來說，線性函數公式如下。《數學模型（第五版）》[6]第2.6節中給出了評選男子舉重總冠軍的線性函數模型和冪函數模型[7]。雖然模型很簡單，但是模型的優劣取決于應用效果，而并不是采用了高深的數學方法。因此，培養學生利用簡單函數去建立模型解決實際問題是很有必要的。

1920年國際舉重聯合會成立，總部設在匈牙利首都布達佩斯，這也是舉重的最高組織機構。舉重通常是按照運動員的體重來劃分級別，現有最新的舉重級別，女子共有10個級別，分別為45、49、55、59、64、71、76、81、87、87kg以上。舉重在很大程度上需要依靠運動員全身力量來完成，而且人體的力量與體重息息相關。因此，建立線性函數模型和冪函數模型來尋找運動員體重與力量之間的聯系就顯得尤為重要。在傳統的板書授課中，手動計算復雜的參數擬合方程和清晰、直觀地展示函數圖像都存在一定的困難，學生也缺乏實際動手操作的機會，這往往導致他們的學習興趣不高。然而，結合Matlab軟件進行教學，可以將抽象的概念和圖形直觀化，使學生通過圖形來加深對知識點的理解，從而幫助他們理解和快速掌握所學內容。利用Matlab軟件，學生不需要手動計算復雜的參數擬合方程，可以將更多的精力投入理解方法原理和思維方式上，教學效果因此會大大提升。

接下來，本文將以最新收集的女子舉重世界紀錄為研究案例[8]，利用Matlab軟件平臺，開展對線性函數模型與冪函數模型參數的擬合分析，旨在揭示并量化女子舉重成績與其體重之間的潛在關系。通過這一過程，可以深入分析不同體重級別運動員成績變化的趨勢規律，從而為體育訓練的科學化提供堅實的數據支持與理論依據。

。

在一般情況下，體重越大，舉重能力越強。然而，在比賽時，無法準確得知創造紀錄的運動員的實際體重。考慮到運動員通常會將體重調整到各級別的上限，因此采用各級別的上限作為運動員比賽時的實際體重。由于+87 kg以上級別沒有體重上限，因此舍棄該組數據。利用Matlab軟件，首先繪制舉重總成績的散點圖。在編輯窗口中輸入Matlab代碼程序：

x=[45，49，55，59，64，71，76，81，87]'; y=[200，221，234，249，264，273，278，284，294]'; plot（x，y，'r*'）

運行程序，得到效果如下圖1所示。

從圖1可以觀察到，舉重總成績與體重之間存在一定的線性關系。可以推斷：隨著體重的增加，總成績也會增加。對于抓舉和挺舉的世界紀錄，同樣可以使用這種方法進行模擬。通過Matlab繪制散點圖，可以直觀地顯示出這一關系，從而幫助學生加深對相關知識點的理解與記憶。

接著，利用Matlab本身內置的工具箱，進行線性函數模型和冪函數模型的參數擬合。在編輯窗口中輸入Matlab代碼程序：

x=[45，49，55，59，64，71，76，81，87]'; y=[200，221，234，249，264，273，278，284，294]';

myfunc=inline（'beta（1）*x+beta（2）'，'beta'，'x'）;beta0=[1，100]';beta=nlinfit（x，y，myfunc，beta0）

運行結果可得返回值b0=2.109 2、b1=117.657 6。因此，擬合得到的線性函數模型的方程為

式（3）中：為舉重總成績，單位為kg；為體重，單位為kg。通過Matlab程序實現了舉重總成績和體重的線性函數模型擬合，可以在有限的成績數據下得到預測結論，為實際應用提供參考。

最后，利用Matlab軟件進行冪函數模型的擬合。在編輯窗口中輸入Matlab代碼程序：

x=[45，49，55，59，64，71，76，81，87]'; y=[200，221，234，249，264，273，278，284，294]';

myfunc=inline（'beta（1）*（x.^（beta（2）））'，'beta'，'x'）;beta0=[10，2]';beta=nlinfit（x，y，myfunc，beta0）

運行結果可得返回值b0=27.735 5、b1=0.532 6。因此，擬合得到的冪函數模型的方程為

通過結合Matlab軟件，學生可以在短時間內完成參數模擬計算，具有高重復性和靈活性，擺脫了煩瑣的手動計算。同時，Matlab軟件的使用也可以讓學生自主進行實踐操作，其方法簡單明了，適用性強。學生可以從課本知識出發，利用所學內容自主搜集數據并得出結論，這不僅充分調動了學生的學習主動性，還激發了他們對Matlab軟件學習的興趣。通過圖像、文字和實踐操作相結合的教學情境，學生的學習體驗得到了增強，從而也提高了課堂教學質量。

2.2 Logistic模型的實踐教學探討

在人口預測模型中，Logistic模型是一個非常重要的模型，它涉及常微分方程的求解，并且能夠很好地模擬有限資源環境下的人口增長情況。一般來說，Logistic模型通常表示為

式（5）中：為關于時間的人口數量；為內稟增長率；為最大可承載人口數。Logistic模型同樣也被廣泛應用于生態學、經濟學等多個領域，用以描述類似的增長過程，例如：物種在生態系統中的擴散、市場份額的增長等。該模型的S形曲線不僅適用于生物種群動態的研究，還用于預測技術采用率、疾病傳播等其他隨時間變化的現象。Matlab軟件使Logistic模型的分析和可視化變得更為便捷。Matlab提供了強大的數值計算能力和繪圖工具，可以用來對Logistic模型進行參數估計、穩定性分析和模擬不同初始條件下的人口增長趨勢。《數學模型（第五版）》第5.1節中[6]給出了r=0.280 5、K=352.054 8的數據，在初始人口的條件下，調用Matlab軟件中的符號計算，可以對該微分方程進行快捷的計算和畫圖。Matlab軟件程序如下。

第一步，定義符號變量：syms P（t）；

第二步，定義微分方程和初始條件：eqn=diff（P，t）==0.2805*P*（1-P/352.0548）;cond = P（0） == 3.9；

第三步，求解微分方程并畫出圖形：solution=dsolve（eqn，cond）;fplot（solution，[0，25]）;title（'Logistic模型'）;xlabel（'時間（t）'）;ylabel（'人口（P）'）；

第四步，化簡微分方程：roundedsolution=vpa（solution，7）。

說明： 2

這種結合理論講解與實際操作的教學方法，不僅有助于加深學生對Logistic模型原理的理解，還能夠提高他們解決實際問題的能力。教師可以在課堂上演示如何設置初始條件，選擇適當的參數和，并通過對學生進行指導，觀察不同參數下的人口增長曲線特征。通過這種方式，學生不僅可以獲得更加直觀的感受，了解Logistic模型在不同領域的廣泛應用，同時也能夠掌握使用Matlab軟件求解常微分方程的方法。這種方法鼓勵了學生的主動參與和探索精神，這對培養他們的科學思維和解決問題的能力具有重要意義。

綜上所述，無論是簡單函數如線性函數和冪函數在舉重成績預測中的應用，還是Logistic模型等復雜模型在人口增長預測中的使用，Matlab軟件都提供了強大的支持，使理論教學更加生動直觀，學生可以更深入地理解模型背后的原理。結合Matlab進行的教學方法不僅簡化了復雜的數學運算，還增強了學生的動手實踐能力和自主探索精神。這種方法鼓勵學生積極思考、勇于嘗試，有助于培養他們的科學思維和創新能力。

3 結語

數學模型的建立與求解離不開Matlab軟件的輔助。通過在教學中引入Matlab軟件，讓學生親自動手實踐，收集并處理實際數據，能夠為他們提供一種新穎且有效的學習體驗。在這一過程中，學生不僅能夠提高對數學建模的主動學習能力，還能夠增強解決實際問題的自信心。對于教師而言，這種方法克服了傳統教學的枯燥乏味，營造了生動直觀的教學環境，從而激發學生的興趣與探索欲望，培養他們自主思考、分析和解決實際問題的能力。因此，在數學建模課程的教學過程中引入Matlab軟件是非常必要的。

對于教育工作者而言，采用Matlab作為教學工具的意義遠不止于此。它幫助教師突破了傳統授課模式中的局限性，如內容單一、形式僵化等問題，轉而創建出一個充滿活力、直觀易懂的學習環境。這種轉變不僅極大地提高了課堂的吸引力，而且有效地激發了學生的好奇心和探究精神，促進了他們在獨立思考、深度分析及實際問題解決方面能力的發展。綜上所述，在數學建模課程中合理利用Matlab軟件，不僅是適應現代教育發展趨勢的必然選擇，也是培養學生綜合素質、提升教學效果的重要手段。

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