世紀(jì)難題的終章： 探尋龐加萊猜想的奧種

在本刊2025年5月號(hào)的《數(shù)學(xué)史話》中，我們?yōu)榇蠹医榻B了世界七大數(shù)學(xué)難題之一的“NP完全問題”。本期登場(chǎng)的“龐加萊猜想”，同樣位列這七大難題之中，而且是七大難題中唯一一個(gè)被解決了的問題。

龐加萊猜想，顧名思義，是著名數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊（1854年—1912年）提出的一個(gè)數(shù)學(xué)猜想。在了解這個(gè)數(shù)學(xué)猜想之前，我們不妨先走進(jìn)這位被稱為“世上最后一位偉大的科學(xué)全才”的傳奇人生。

龐加萊出身于一個(gè)地位顯赫的法國家族，他的一個(gè)堂弟曾多次擔(dān)任法國總統(tǒng)和總理，他還有一個(gè)堂弟當(dāng)過法國教育部長(zhǎng)。不過龐加萊本人對(duì)政治并無興趣，反而從小就展現(xiàn)出無與倫比的數(shù)學(xué)天賦。童年時(shí)，龐加萊因?yàn)橐暳Σ缓每床磺搴诎澹险n基本靠聽，成績(jī)卻依舊穩(wěn)居全校第一的寶座，隨后考人頂尖大學(xué)——巴黎綜合理工學(xué)院（著名數(shù)學(xué)家泊松、柯西都曾在這里讀書）。

當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展出眾多分支：分析、代數(shù)、幾何、數(shù)論等，龐大的知識(shí)體系讓學(xué)者們只能選擇其中一門進(jìn)行學(xué)習(xí)和探索。龐加萊卻不一樣，他的研究覆蓋了所有數(shù)學(xué)分支！在他的一生中，發(fā)表論文500多篇，著書30多部，研究領(lǐng)域更是廣泛，涵蓋數(shù)學(xué)、物理、科學(xué)和哲學(xué)等，可謂一騎絕塵。

1904年，他提出了一個(gè)后來被命名為“龐加萊猜想”的拓?fù)鋵W(xué)問題：

任何一個(gè)單連通的、緊致的三維流形必同胚于一個(gè)三維球面。

這句話的每個(gè)字我都認(rèn)識(shí)，但連起來簡(jiǎn)直是天書！看起來好深?yuàn)W！

別緊張，大部分人都看不懂，接下來讓龐加萊來向你解釋這個(gè)猜想里的每個(gè)詞是什么意思，逐個(gè)擊破。

什么是單連通的？

如果我們?cè)谀硯缀涡螤钌先我馓滓粋€(gè)圈，在不離開表面的情況下，圈能夠縮回成1個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)圖形就叫作“單連通的”。

根據(jù)這兩個(gè)例子可以看出，球體是單連通的，環(huán)不是單連通的

什么是緊致的？

一個(gè)空間是“有限”的就叫作緊致的，比如地球的表面就是有限的，我們能通過一塊塊地圖完全拼接出地球的表面。

什么是三維流形？

這個(gè)概念比較抽象，我們可以簡(jiǎn)單地去理解。首先是三維的概念，大家都知道我們生活的世界就是一個(gè)普通的三維空間。

12塊月形圖拼出地球的表面

流形則是一類幾何形體，想象一下，你站在一座大山上，從你腳下這一小塊地方看，地面是平的，像一張紙；但如果你坐上飛機(jī)，從高空俯瞰整座山，會(huì)看到地面其實(shí)是彎曲起伏的。這種“局部看起來是平的，但整體可能是彎的”的東西，就是流形！

至于三維流形，理解起來就更難一些了。想象你住在一個(gè)超大號(hào)的軟泥球中，每次只關(guān)注你身邊的那一小塊，軟泥球表面和內(nèi)部看起來都像我們熟悉的三維空間；但如果離遠(yuǎn)一點(diǎn)從整體看，它可能被捏成了各種奇怪的形狀。

最后，我們來看看什么是同胚。

簡(jiǎn)單來說，兩個(gè)圖形的點(diǎn)的位置關(guān)系一一對(duì)應(yīng)就叫“同胚”，在拓?fù)鋵W(xué)中這兩個(gè)圖形是相同的。

地鐵線路圖和地鐵的實(shí)際走向不完全一樣，但圖上的每一條線路、每一個(gè)站點(diǎn)，都能一一對(duì)應(yīng)到真實(shí)的路線和車站。這就是“同胚”，只要對(duì)應(yīng)關(guān)系保持不變，形狀怎么“扭”都沒關(guān)系。

想象你手中有一塊正方體橡皮泥，你可以在不撕裂或黏合其他橡皮泥的前提下把它捏成一個(gè)球，因此正方體和球這兩者是同胚的。

再比如，一塊中間有洞的甜甜圈橡皮泥，在不撕裂或黏合其他橡皮泥的前提下，你可以通過不斷地捏橡皮泥，把它捏成一個(gè)有把手的杯子。也就是說，甜甜圈和杯子是同胚的。

至此，你可能覺得已經(jīng)大致明白了龐加萊猜想的意思，但你還是無法理解這個(gè)猜想的準(zhǔn)確意思，這很正常，畢竟龐加萊本人在提出該問題后也沒能證明成功，只好將它變成了一個(gè)猜想。

龐加萊猜想一經(jīng)提出，立刻吸引了一大批數(shù)學(xué)家摩拳擦掌，參與挑戰(zhàn)。但近百年來，無數(shù)數(shù)學(xué)家都攻不下這道“數(shù)學(xué)堡壘”。

直到20世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)家們換了個(gè)思路：既然三維龐加萊猜想這么難，那我們…干脆往高維空間“跑”？四維、五維高維，大家層層遞進(jìn)，屢戰(zhàn)屢勝，可這對(duì)三維情況卻沒有什么幫助。

我也不差，我證明了四維龐加萊猜想。

我的研究對(duì)高維可是一把利刃，不過在三維這兒銹了。

我證明了五維龐加萊猜想，老弟你呢？

斯蒂芬·斯梅爾

邁克爾·弗里德曼

到了世紀(jì)之交，三維龐加萊猜想依然是未解之謎，克雷數(shù)學(xué)研究所將它列入世界七大難題并懸賞百萬美元。

令人意想不到的是，剛到2003年，也就是在研究所發(fā)布懸賞后僅僅5個(gè)年頭，數(shù)學(xué)界就迎來了一位重量級(jí)天才一一俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼。

23歲獲數(shù)學(xué)博士也不算什么成就吧？都是常規(guī)操作而已啦。

青年佩雷爾曼

難怪?jǐn)?shù)學(xué)家們歡欣鼓舞，畢竟在世界七大難題中，它是迄今為止唯一被解開的謎題。要知道，除了這七大難題，數(shù)學(xué)史上幾乎每一個(gè)難題都有超過百年的高齡。

佩雷爾曼一戰(zhàn)封神，震驚了全世界。但讓人津津樂道的不只是他那令人膜拜的學(xué)術(shù)成就，還有他那顆近乎“超脫”的純粹之心。

時(shí)間來到2006年，第25屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)隆重開幕。主辦方鄭重宣布：“佩雷爾曼因破解龐加萊猜想，榮獲本屆菲爾茲獎(jiǎng)！”這個(gè)獎(jiǎng)嘛，“小樹苗們”肯定不陌生了——它就是數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)，只不過4年才發(fā)一次，還不給超過40歲的“中老年人”發(fā)，獲獎(jiǎng)難度比諾貝爾獎(jiǎng)還高！

然而，在頒獎(jiǎng)現(xiàn)場(chǎng)卻發(fā)生了一件讓所有人始料未及的事一 佩雷爾曼沒來，他拒絕領(lǐng)獎(jiǎng)。

尊敬的國王，請(qǐng)您授予佩雷爾曼教授菲爾茲獎(jiǎng)。

比大會(huì)現(xiàn)場(chǎng)還要尷尬的，是遠(yuǎn)在大洋彼岸的克雷數(shù)學(xué)研究所。

因?yàn)榕謇谞柭C明了龐加萊猜想，克雷數(shù)學(xué)研究所準(zhǔn)備兌現(xiàn)百萬美元獎(jiǎng)金，可他們懸賞時(shí)要求的是將成果發(fā)表在學(xué)術(shù)刊物上，而佩雷爾曼呢？他只是不緊不慢地把論文上傳到一個(gè)數(shù)學(xué)網(wǎng)站，像發(fā)“朋友圈”一樣云淡風(fēng)輕：“我證明出來了，大家隨便看看吧。”

然后 就沒然后了。

佩神呀，您再投一次稿行不？我們好把獎(jiǎng)金給您呀！

克雷數(shù)學(xué)研究所怎么也無法勸動(dòng)佩雷爾曼重新投稿，只好自己破例宣布直接向佩雷爾曼頒發(fā)獎(jiǎng)金——更驚人的來了，佩雷爾曼再次拒絕！沒人知道，這位生活簡(jiǎn)樸到近乎清貧的數(shù)學(xué)家為何會(huì)對(duì)百萬巨款完全沒有興趣！