算古尋今

一年一度的暑假又到啦！在這個假期里，和父母一起逛一逛博物館吧！博物館里有各種文物——制作精美的古代樂器，刻畫著復雜紋飾的青銅器，記錄著天文與歷法的甲骨，記載著珍貴史料的古代帛書通過這些文物，同學們不僅能穿越時空感受歷史的厚重，更能從中發現數學無處不在。

文物1賈湖骨笛

文物年代：距今約7800—9000年出土地點：河南舞陽賈湖遺址

賈湖骨笛是中國迄今發現的最古老的吹管樂器，也是世界上最早的笛類樂器之一。它的發現將中國音樂的起源推進至8000多年前，證明遠古先民已掌握復雜的樂律知識。

現在居所：河南博物院

調音孔，直徑0.15厘米

小酷龍提示

音孔，直徑0.36厘米

從1983年到2024年，賈湖遺址一共進行了10次考古活動，出土40多支骨笛。這支編號為M282：20的骨笛是出土的賈湖骨笛中最完美的一支，幾乎沒有破損，是河南博物院的“鎮院之寶”

形制工藝

為什么賈湖骨笛能保存8000多年呢？考古學家細致研究了每一支骨笛的形態，最后發現，賈湖骨笛竟然是用丹頂鶴翅膀的尺骨制成！丹頂鶴的尺骨外堅內空，質地緊密，強度很高，非常耐腐蝕，因此才能保存至今。

制作骨笛時，先截去尺骨兩端的骨關節，再清理內部，然后設定孔位，最后，使用石制鉆頭鉆出音孔。

數學奧秘

因鳥類個體間的差異，骨笛的長短、粗細、厚薄與內腔形狀各異，賈湖先民是如何將不同形態的尺骨制作成音階分明的樂器的？

不同孔的骨笛

賈湖先民對音階的感知，經歷了由簡到繁、循序漸進的過程。早期的骨笛，只有5個或6個孔；發展到中期，骨笛增至7個孔；到了晚期，骨笛上出現了8個孔。

M341：1骨笛距今8600—9000年（早期）5孔

M341：2骨笛距今8600—9000年（早期） 6孔

M78：1骨笛距今8200—8600年（中期）7孔 M253：4骨笛距今7800—8200年（晚期）8孔

音階和音分

音樂學家對賈湖骨笛進行過測音實驗，發現多數賈湖骨笛都能吹奏七聲音階，音分誤差很小。七聲音階，就是我們最熟悉的“哆、來、咪、發、嗦、啦、西”這7個音。“西”之后再往上一級，就又回到了“哆”這個音，只不過這個“哆”比前一個“哆”要高，聽起來更尖亮，頻率剛好是前一個“哆”的兩倍！從“哆”到高音“哆”，就叫作“一個八度”

這是M282：20骨笛，它的第1孔至第5孔的5個音之間的音分差與現在的十二平均律音分差完全相同。

人們把一個八度平均分成1200份，每份就叫作1音分。音分是用來衡量兩個音之間間隔的單位，就像“厘米”“毫米”一樣，是音樂里的“刻度尺”。以M282：20骨笛為例，它和現在的十二平均律相比，各音孔平均音分差僅17音分左右。

文物2人面魚紋彩陶盆

文物年代：距今約6000一6800年出土地點：陜西西安半坡遺址

人面魚紋彩陶盆是國家一級文物，于2013年列入《第三批禁止出國（境）展覽文物》名錄，是我國最高級別的文物保護對象之一。該陶器也是仰韶文化最具代表性的器物之一。

形制工藝

考古學家在半坡遺址收集的陶片超過50萬片，而完整或能夠復原的陶器有近1000件。這些陶器包含多種用途，如盛水、存放糧食、煮食物等。其中，人面魚紋彩陶盆是最具代表性的一件，其制作過程包含5個步驟。

① 從河邊或湖邊取黏土，除去雜質，反復揉搓，使其泥質均勻。

② 將黏土揉成直徑約_1～2 厘米的長泥條。把泥條盤在底座中間并一圈一圈往上繞，形成大致成型的器物。

③ 用泥漿或濕布將器物表面抹平，讓器壁更加光滑，然后用手推動底座緩緩轉動起來。

④ 一只手緩慢旋轉底座，一只手不斷修改、拍打成型的器物，使器物厚薄均勻，外形規整。

⑤ 在器物上繪制圖案，再經過幾天自然風干，讓器物變硬，然后放入窯中經 800^°C～ 1000^°C 的溫度燒制成型。

數學奧秘

前面介紹的制陶步驟 ② 、 ③ 、 ④ ，就是陶器制作史上的慢輪制陶技術，通過“旋轉一下，塑形一下，再旋轉一下，再塑形一下”的方法，使得陶器在旋轉過程中獲得均勻的圓形橫截面。如果同學們去西安半坡博物館參觀，就會發現半坡村出土的大部分陶器（包括盆、罐、碗等）的橫截面都是圓形。

半坡先民雖然沒有掌握與圓形相關的數學公式，但早就意識到了圓形的各種優點。

西安半坡博物館

優點1

圓形結構在力學上更為穩固，能夠均勻地分散壓力，減少陶器在使用過程中的破裂風險。一個圓口罐，無論從哪個角度施力，都能實現受力，不易破裂或變形。

優點2

圓形盆或罐在舀米、盛湯時，旋轉和攪拌更順手。使用勺子、棍子攪動食物時，也不會卡角。而且沒有棱角的內部，更容易用水沖洗或用手擦拭，利于保持干凈衛生。這對儲存食物或水很重要。

優點3

圓形結構受熱更均勻，在燒制過程中不容易出現破裂或變形；用來做飯、燒水時，也不易變形開裂。

文物3玉龜和玉版

文物年代：距今5300-5600年出土地點：安徽含山凌家灘遺址

玉龜和玉版是中國考古史上出土的最神秘的文物之一。歷史學家認為，它們極有可能是中國最早的占卜工具之一，在中國的數學史、科學史上有著特殊意義。

至于玉版就更有意思了。出土時，玉版夾在背甲和腹甲中間，上面刻有“八芒星”和多個小孔，考古學家認為，玉版上的圖案可能與天文、節氣、方位或歷法有關。

數學奧秘

凌家灘的玉龜和玉版一經“面世”，學者們就一致認為它們和我國傳說中的河圖洛書有關。我國古代的經典文獻如《周易》《尚書》等均記載了河圖洛書的故事。

故事1 相傳公元前2200年，伏羲氏主宰天下，他仰觀天象，俯瞰大地，忽見有一匹龍馬浮出黃河水面，龍馬背上有一幅圖，它將這幅圖獻給伏羲氏治理天下。圖上有55個黑白圈，用直線連成1至10的10個自然數，自然數分兩層排列。黃河在古代被稱為“河”，因此后人稱這幅圖為“河圖”。

故事2 相傳公元前2000年，大禹為了治水日夜奔忙，三過家門而不入。他的舉動感動了上天，上天指派神龜從洛水中躍出，神龜馱著一冊治水神書獻給大禹。神書上有45個黑白圈，用直線連成1至9的9個自然數。洛水是黃河的支流，古人稱為“洛”，因此后人稱這冊治水神書為“洛書”。

河圖洛書雖然是傳說，但和凌家灘的玉龜和玉版相似程度極高。將河圖用現代數學語言翻譯出來，就是一個奇數陣列和偶數陣列

將洛書用現代數學語言翻譯出來，把里面的點數改寫成阿拉伯數字后，就得到一個3階幻方。

縱、橫、斜共8條線上的3個數字，其和皆等于15。

總的來說，這套玉龜和玉版承載著遠古先民對天文和數學的基本認知。

文物4

彩陶旋渦紋尖底瓶

文物年代：距今4700—5100年出土地點：甘肅隴西呂家坪

距今5700年前，仰韶文化向西北傳播，在黃河中上游地區形成了馬家窯文化。彩陶旋渦紋尖底瓶就是馬家窯文化彩陶作品的代表作，是國家一級文物。

現在居所：甘肅省博物館

小酷龍提示

它是1971年在隴西縣首陽公社呂家坪出土的，由一位村民在取土時挖到。這件瓶子十分完整，幾乎沒有破損，村民將其帶回家后，用來裝潤滑油，掛在墻上。1976年，它才被文物普查組發現并征集到博物館。

形制工藝

馬家窯文化的陶器和半坡人面魚紋彩陶盆的制作過程相似，也是在河邊取土，制成泥坯，再用慢輪制陶技術加工，最后燒制成陶器。兩者最大的區別是陶器上繪制的紋路不同。

馬家窯陶器上繪制著大量旋渦、水波紋。考古學家認為，這是因為馬家窯文化的人們住在黃河邊上，他們從洗衣、吃飯到干活，都依賴于黃河，所以黃河河面波光鄰鄰的旋渦紋樣就被他們記錄在了陶器上。

馬家窯文化的鋸齒旋渦壺

馬家窯文化的彩陶雙耳罐

數學奧秘

馬家窯文化的陶器類型非常豐富，有甕、壺、罐、盆、碗等許多類型。這些陶器都是用來盛放東西的，底部大都很平坦，可以垂直放在地面上。和這些容器相比，尖底瓶顯得非常奇怪——它無法直接站立，也不容易穩定放置，且容積也不大。先民制作這樣奇怪的瓶子是用來做什么呢？

? 猜測用途：取水

最開始，考古學家猜測，尖底瓶是用來在河邊打水的。在使用時，人們把尖底瓶放入河中，它就會自動下沉。當水注滿以后，由于尖底瓶的重心發生變化，瓶口便朝上直立豎起，提起系在瓶口兩側的繩子，就可以把裝滿水的尖底瓶從河里吊出來，因為瓶口非常小，打出來的水不會溢出來。

但后來有人做了實驗，發現尖底瓶不可能是取水器，因為一旦灌入水后，整個瓶子就會因為重心高于瓶耳而歪斜，根本不可能用于取水。

確定用途：釀酒

近年來，因為技術和儀器的進步，很多極微小的成分也可以被檢測出來。考古學家做了大量實驗，檢測出尖底瓶內部的微量成分，發現這種瓶子居然是用來釀酒的！

從數學角度講，尖底瓶的底部像一個倒置的圓錐，尖底結構可以讓雜質、沉淀物自動聚集到最底部，形成自然的分層——上層是清澈的液體，下層是沉淀物。這種外形很有優勢，哪怕到了今天，工業上用來發酵的罐子大都采用圓錐底。

在新石器時代，人們大都住在河邊，這里土壤松軟，可以很輕松地把尖底瓶插入土中。土壤里的溫度穩定且能避光，是一個天然的“恒溫箱”，尖底瓶插人土中，能為酒曲和原料提供一個比較恒定、適宜的發酵環境。

發酵完成后，人們就可以喝酒了！人們把尖底瓶拿出來傾倒酒液時，酒從瓶口流出，由于瓶底尖窄，可以避免過多地攪動沉淀物，使倒出的酒更清澈。

文物5良渚玉琮王

文物年代：距今約4300—5300年出土地點：浙江杭州反山12號墓

玉琮是一種“內圓外方”的筒型玉器，被譽為“琮王”的這件文物是中國首批禁止出國（境）展覽的珍貴文物之一。作為已發現的良渚玉琮中最大、最重、做工最精美的一件，它代表了良渚文化玉器制作的最高成就。

形制工藝

良渚文化時期，人們沒有金屬工具，全靠石器和人力制作玉器，所以這件玉琮王的制作非常難，保守估計都要制作數年時間，而且只能由最頂級的工匠完成，其制作流程大致如下：

① 用線切割

把玉石從野外搬回工坊后，工匠用線切割。也就是將麻繩、馬尾、皮條等柔性的線狀物，裹上解玉砂（解玉砂就是硬度比玉高的沙子），再放置在玉石上來回拉動，像鋸子一樣，把一大塊玉料切割成小塊玉料。

② 鉆孔

③ 雕刻

工匠用竹管或錐狀石器加解玉砂持續轉動，從上下兩面對鉆，在玉器中鉆出一個孔，有點兒像不間斷地“鉆木取火”。玉琮越厚，鉆孔的時間就越長。

在玉琮上雕刻神人獸面紋和其他紋路作為裝飾。刻紋的方法包含浮雕、透雕、陰線刻三種。良渚先民用石制或骨制的刻刀，配合解玉砂等研磨材料，手工刻出細如發絲的線條。

數學奧秘

如果你從上往下俯瞰，會發現玉琮王并不是完全的內圓外方，它里面確實有圓，外側卻由4段圓弧組成，并非直線。

為什么玉琮王的外側是圓弧面呢？這反映出良渚玉器工匠對幾何學有著非常深刻的認識：當人站在圓弧面交界處時，左右眼分別透過不同弧面看到同一人臉紋飾的不同側面，大腦把這兩幅稍有差異的圖像融合為一，就會產生較強的立體感，這正是現代“裸眼3D”技術的原理

玉琮王俯瞰圖和線稿圖

怎么理解這件事呢？當你站在一面平直的墻前面，很難判斷墻的厚度和形狀；但如果是一個有弧度的山坡，你會自然而然地分辨出它的凸起和凹陷。人眼天生擅長識別連續彎曲的曲面，因為這些曲線提供了豐富的高光與陰影變化，讓大腦能迅速捕捉到深度信息。

文物6蛋殼黑陶高柄杯

文物年代：距今4200—4500年出土地點：山東日照東海峪遺址

蛋殼黑陶高柄杯，是一種杯口像蛋殼一樣薄的黑色陶杯，下面接一個細長杯托。它是大汶口文化晚期和山東龍山文化的代表性器物之一，是山東博物館的“鎮館之寶”。

形制工藝

和前面提到的半坡陶器、馬家窯陶器相比，蛋殼黑陶高柄杯實在太薄了！為什么能制作出這么薄的陶器，是因為龍山文化的先民們已經發明了快輪制陶技術

對慢輪制陶技術，通常一個人就能完成。而快輪制陶技術，往往需要兩人：一個人用腳或手拉動機械結構，讓轉盤高速旋轉起來，另一個人則趁著轉盤高速旋轉時，用雙手對泥坯塑形，制作成不同形狀和厚度的陶坯。

數學奧秘

為了研究那么薄的黑陶是怎么制作出來的，考古學家對其工藝進行了復原，發現想要使用快輪制陶技術制作出僅有1毫米厚度的黑陶，要求轉盤的轉速不低于100轉/分鐘。

轉速和離心力

轉速是一個專業的數學名詞，其單位是“RPM”，意思是“轉/分鐘”。100RPM的意思是，每分鐘轉100圈。這樣的轉速會產生相當大的離心力。什么是離心力呢？想象一下，你坐在轉椅上，別人快速地轉動轉椅，如果你沒有扶好把手，就會被甩出轉椅。這股“被甩出去”的力量，就是離心力。

當轉盤的轉速達到100RPM時，離心力會大到讓陶工迅速拉出幾毫米厚度的泥胚。

離心力拉動泥壞向外甩出

當然，轉速也不是越快越好，速度太快，離心力就特別大。因為離心力和轉速的平方成正比，例如轉速是300RPM時，泥壞受到的離心力是100RPM轉速的9倍。在這樣大的離心力之下，容易把泥壞甩出轉盤。因此，即便制陶技術發展到了現代水平，電機控制的制陶轉盤的轉速通常也不會超過 300RPM G

杯子的高度

龍山文化的黑陶極其精美，同學們如果去山東博物館參觀，一定會注意到博物館里還有多件黑陶高足杯或黑陶高足豆（豆是一種食器，用來盛放食物）。

有意思的是，為什么杯和豆會做成高足的呢？這跟古代中國人的生活習慣有關。早期中國人的起居習慣是席地而坐，杯、豆的高足起到加高的作用，便于人們取放食物。

實驗考古學的研究顯示，當人采取標準跪坐姿態（臀部貼腳跟）時，手部自然垂放高度約為 15～35 厘米，與高足杯高度（ 15～30 厘米）形成合理匹配。

文物７乳釘紋銅爵

文物年代：公元前1750年一前1500年出土地點：河南偃師二里頭遺址

乳釘紋銅爵，是中國目前已知最早的青銅禮器之一，是標志著中國進入青銅時代的關鍵轉折點，被譽為“中華第一爵”。二里頭夏都遺址博物館的館徽使用的就是這件青銅爵。

形制工藝

考古學家在二里頭遺址南邊發現了一處面積達到2萬平方米的鑄銅作坊遺址，出土了銅刀、銅鉞（yué）、鈴等許多青銅器。這說明，從夏代開始，我國的青銅冶煉技術就已經成熟。

青銅是指在純銅中按照一定比例加入錫或鉛等其他金屬而合成的合金。相對于純銅，青銅有很多優點，比如容易融化，加工成的器具硬度大、色澤光亮等。

數學奧秘

同學們都知道，三角形只有三條邊和三個角，一旦邊長確定，其三個內角的大小也隨之唯一確定。對三角形施加外力，它依然保持穩定，這就是三角形的穩定性。但如果是對長方形稍微施加外力，它就可能變成平行四邊形。

同理可知，三足器也具有穩定性。因為兩個點可以確定一條直線，不在同一條直線上的3個點可以確定一個平面，一個平面和平面外的一個點可以形成穩定的三角形支撐結構。

經過A、B、C這3個點確定3條直線，3條直線交錯，確定一個平面。

A、B、C、D這4個點中的任意3個都能構成一個三角形，因此，4個點能構成一個穩定的三角形支撐結構。

相比之下，四足器在地面不平時容易出現“蹺蹺板”現象（古代缺乏精密加工工具，地面無法做到完全平整），而三足器能自然地適應地面的不平，使器物穩固地站立。如果同學們去博物館參觀，就會發現，早在9000年前的賈湖遺址，人類就發明了各種三足器。

二里頭遺址發現的各種三足器

除此之外，三足器的三個支腳通常向外傾斜，為器底提供更大空間，特別適合用來給食物加熱。

文物8土方征涂朱卜骨

文物年代：公元前1250年一前1192年出土地點：河南安陽殷墟遺址

在商代，人們常常使用甲骨來進行占卜活動，占卜完成之后，占卜者會把占卜到的內容刻在甲骨上。這片土方征涂朱卜骨是殷商時期最重要的甲骨之一，學界稱其為“甲骨之王”。

現在居所：中國國家博物館

小酷龍提示

甲骨上的文字采取自上而下、自右而左的豎式排列方式，這種書寫文字的方式和規矩，影響了中國漢字書寫方式幾千年。

形制工藝

商代甲骨指的是兩種不同的實物材料。“甲”指的是烏龜的腹甲（也有少量龜背甲）；“骨”主要指牛的肩胛骨（也有少量豬、羊、鹿等獸骨，但不如牛骨常見）。

商代人拿到烏龜腹甲和牛肩胛骨后，經過清理、鋸削、打磨等多道工序，制成平整的占卜用具。使用時，要在其表面鉆孔再加熱，看甲骨開裂的紋路進行占卜，最后把占卜得到的結果刻在甲骨上。“甲骨文”一詞就是指刻寫在這兩種材料之上的文字。

王最看重占卜之事，我刻的字跡務必工整清晰，不可有絲毫差池。

數學奧秘

土方征涂朱卜骨記錄了商王武丁在兩個月之內的 J4次占卜活動，我們來看看第3次占卜的記錄。

將這段話翻譯成白話文：

癸巳這一天，商王武丁命貞人占卜，問接下來的這十天（即癸巳至壬寅）內是不是有災禍？商王占卜后認為，本旬將有災禍。在癸巳后的第五日丁酉，兩個方國從東、西兩個方向進攻了商王朝的東部和西部。

這段文字里面出現了“癸巳”“旬”“五日”“丁酉”，說明商代人已經掌握了細致而全面的歷法，這體現在以下幾點。

? 商代甲骨文里有關于1月到12月的記載，還提到部分年份里有“十三月”，說明當時已經有了閏月。

? 商代人用十天干、十二地支來記日，他們根據天干地支在序列中的奇偶性（奇數為陽，偶數為陰）將天干地支分為陰陽兩類。

? 每十天為“旬”，一個月有30天，則有一旬、二旬、三旬。一旬之中超出幾天，則用“旬又幾日”。

陽天干：甲、丙、戊、庚、壬；

陽地支：子、寅、辰、午、申、戌；

陰天干：乙、丁、己、辛、癸；

陰地支：丑、卯、巳、未、酉、亥。

商代人讓陽天干和陽地支、陰天干和陰地支分別進行排列組合，得到60個干支：

將天干地支循環往復，可以一直記錄到數百日以后。如今，天干地支記日法在人們日常生活中已很少使用，但是天干地支紀年法還是普遍使用。打開日歷，你就能知道今年是什么干支年了。

文物9何尊

文物年代：約公元前1038年出土地點：陜西寶雞賈村鎮

何尊，是近年來出鏡率最高的文物之一，同學們能在各種紀錄片里看到這件著名的青銅器。它是中國首批禁止出國（境）展覽文物之一，在何尊上，首次出現了“中國”字樣。

現在居所：寶雞青銅器博物院

何尊的銘文

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何尊是中國西周早期一個名叫何的貴族制作的禮器，銘文上記載了何尊鑄造于周成王即位后的第五年。

形制工藝

在西周初年，青銅器的形制還保留著晚商紋飾繁密精美的風格，這件何尊也不例外。何尊整體是天圓地方的造型，主體花紋為獸面紋。它莊重大方，立體感極強。不過對青銅器來說，外形精美與否不是最重要的，關鍵是銘文！

銘文指的是刻在青銅器表面的文字，具有極其重要的歷史、文化和藝術價值。何尊的精美程度其實不如四羊方尊，卻因其銘文而成為青銅尊中最重要的一件。

何尊銘文記錄了這樣一件事：周人滅了殷商之后，周武王計劃在如今的洛陽附近建立新都，以此地作為天下的中心，統治民眾。在銘文中，首次出現了“中國”這個詞。

在華夏民族形成的初期，由于受天文地理知識的限制，總是把自己的居所視為“天下之中”，因而自稱“中國”。至于其他族群或部落，只可能在“中國”的東、南、西、北等各個方向上，因此稱它們為“方國”。

“中”字中間有一豎，這一豎看上去像旗桿，旗桿上有旗幟飄揚，旗桿中間或 有一個“口”字。

“國”字，左邊有一個口，表示城池或國土；右邊是一個“戈”，表示用武器守衛國土與城池。

有意思的是，“中”字展示了一種最古老的辨別位置的方法—一投影測位。

什么是投影測位呢？簡單來說，就是在地上豎一根直桿，太陽照射直桿會在地面上形成一道影子，古人用這道影子的長度來判斷自己的位置。我國最古老的天文學和數學著作《周髀算經》里就有以“周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸”來判斷“天下之中”的標準。

2002年，考古學家在距今約4千年的陶寺遺址中發現了表桿和圭尺。

表桿的長度是影子長度的5倍。日影有1尺6寸長，我們這里就是“天下之中”。

表金桿

這里的周髀，指的是立在地上的表桿，也就是“中”中間那一豎；日晷，指的是表桿在地上的投影。

這句話的意思是：在周代，國家的中心在這樣的一個地方—一夏至日正午的時候，在這個地方豎一根8尺長的表桿，表桿底部放一根圭尺，用圭尺測出的影子長度是1.6尺。

某地在夏至日正午時日影的長度只與當地的緯度有關根據公式可以算出，在北緯35^° 線上，夏至日正午的表桿長度恰好是其日影長度的5倍！殷墟遺址、陶寺遺址都在北緯 35^° 線附近，是中華文明起源研究的重要遺址！

這種“天下之中”衍生的“中國”觀念，對后世影響極其深遠。

文物１０ 四十三年逨（lai）鼎

文物年代：公元前785年出土地點：陜西眉縣楊家村

2003年1月19日，陜西眉縣楊家村的5位村民在村北的土崖挖土時，一撅頭挖出了一座約兩米見方的土窖，里面整齊擺放著大量青銅器。這件四十三年逨（lai）鼎（甲）就是其中非常重要的一件。

現在居所：寶雞青銅器博物院

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寶雞是西周宗周所在地，譽為“青銅器之鄉”。除了前面提到的何尊，大克鼎、墻盤、速盤、大盂鼎、散氏盤、毛公鼎等國寶文物也都在這里出土。

形制工藝

四十三年速鼎其實不是一件，而是10件，這10件青銅鼎形制、紋飾近乎一致，在尺寸上略有差異。逑鼎是用范鑄法制造的，工藝非常精湛，大致分為以下幾個流程。

①

制模

用泥土做一件樣品，樣品在大小、形狀、花紋等方面一定與將要鑄造的青銅器完全相同。這個樣品被叫作“模”。將模風干或晾干。

制范

將比手掌還要厚的泥片敷在模上，使模的形狀和花紋都印在泥片上。等泥片半干后，將它切割成若干塊從模上取下來，再曬干或烘干，這些泥片就是“外范”。

③ 做芯

工匠把已經取了外范的模的表面均勻地刮去一層，就制成了內范。將要鑄造的青銅器的器壁厚度，由刮層的厚度所決定。

④ 合范

將若干外范碎片重新合攏在一起，用泥土糊好，把內范也放進外范中，這叫“合范”。合范的時候要注意留出澆鑄口和排氣散熱孔。

⑤ 澆筑

將銅液通過澆鑄口灌進內范和外范之間的空間。銅液凝固后，把糊在外范上的泥巴和外范都打碎，所鑄的青銅器就出現在人們面前了。

數學奧秘

同學們在博物館里看到的青銅器大都是青綠色的，而這件四十三年速鼎卻呈現出迷人的金黃色，實際上，這種金黃色才是大多數青銅器本來的顏色。

青銅是我國金屬冶鑄史上最早出現的合金，內含錫、鉛、鋅等多種金屬成分，但真正影響青銅器性質和顏色的關鍵是含錫量的多少。

隨著青銅器中含錫量從低到高，銅合金顏色會經歷紅色、金黃色、橙黃色、黃色、白色的變化過程。

文物11曾侯乙編鐘

文物年代：公元前450年左右出土地點：湖北隨州擂鼓墩

曾侯乙編鐘是中國目前出土的規模最大、保存最完整、音律最全的一套編鐘，也是我國第一批禁止出國（境）展示的文物之一，是湖北省博物館的“鎮館之寶”。

重4.4噸（加上鐘架）

現在居所：湖北省博物館

擂鼓墩2號墓編鐘

小酷龍提示

曾侯乙編鐘是1978年在湖北隨州擂鼓墩1號墓中發現的；1981年的時候，考古人員在距離1號墓僅100米的地方發現了2號墓。

2號墓里也出土了一套由36件甬（yong）鐘組成的大型編鐘，總重量達590千克，這是距今為止出土的僅次于曾侯乙編鐘的第二大成套編鐘

形制工藝

曾侯乙編鐘全套共有65個編鐘，分為鈕鐘、甬鐘、（bó）鐘三種類型。它們看起來相似，但又有區別。

首先，鈕鐘是上面有“鈕”，是可以垂直懸掛的鐘；甬鐘，則有較長的“甬”，必須斜著掛；相比甬鐘和鈕鐘，鐘在外形上最大的區別就是，底部不是凹陷的，而是平口的。

數學奧秘

當我們敲打任何物體時，物體產生的振動會通過空氣傳遞到我們的耳朵，于是我們聽到了聲音。而不同的材質振動時的特性不同，就會發出不同頻率的聲音。曾侯乙墓出土的65個編鐘，每一個都可以發出兩種不同頻率的聲音，這就是所謂的“一鐘雙音”。

曾侯乙甬鐘的仰視圖及線稿圖

由于合瓦形的存在，使同一個鐘可以產生兩種不同的頻率，兩種振動模式疊加，于是在分別敲擊鐘的中央和側面時，會發出兩種不同的樂音。

文物12 商鞅方升

文物年代：公元前344年出土地點：未知

和本期介紹的其他青銅器比起來，商鞅方升非常樸實，沒有復雜的造型，沒有綺麗的紋飾，沒有錯金銀的工藝。然而它正是幫助秦國崛起乃至最終一統天下的重要器物，是上海博物館三大“鎮館之寶”之一。

數學奧秘

根據銘文的記載，商鞅把十六又五分之一立方寸（也就是16.2立方寸）定為1升。我們可以根據這條銘文和現代測量出的參數計算出更多有趣的數據。

秦代的 “寸” 是多長

7尺男兒是多高

方升是一個長方體，計算長方體的體積公式是：長 × 寬 × 高。已知方升的內口長12.4774厘米、寬6.9742厘米、深2.323厘米，根據以上數據，算出方升的容積是：

12.4774×6.9742×2.323≈202.15 （立方厘米）

又根據“體積單位是長度單位的三次方”這一原理，可知：

1立方寸 Ψ=Ψ （1寸）3 1立方厘米 Σ=Σ （1厘米）

因為16.2立方寸 ≈202.15 立方厘米，可以算出：1立方寸 ≈12.478 立方厘米。

從體積關系推導長度關系，需要對“立方厘米數”取三次方根，得到：

1寸 （厘米）

也就是說，秦代的1寸約為2.32厘米。

在我國古代計量體系中，長度單位寸、尺、丈等構成了十進制系統，也就是說，10寸 ^-=1 尺，10尺 ⁼¹ 丈等。由此算出，秦代的1尺等于23.2厘米。

從秦代一直延續到三國時期，1尺的范圍都沒有大的改變，那時候人們常說“七尺男兒”，七尺就是 7×23.2=162.4 （厘米）。

再比如《史記》中記載，“孔子長九尺有六寸，人皆謂之‘長人’而異之。”按照1尺約為23.2厘米，可算出孔子的身高約為222.72厘米，和著名籃球運動員姚明的身高2.26米差不多。

方升的意義

秦始皇統一中國后，發現各地的計量方式各不相同，稱量1升米，各地卻多少不一，無法公平地征稅納糧，于是他下令統一全國各地的度量衡，讓計量單位有了統一的標準，保證了征收稅賦的準確和公平。

繼車同軌、書同 什么是度量衡？

文后，皇帝又統一了度量衡，這下公平了！ 這是中國人日常生活中用于計量的單位總稱。度指的是長短，古代有尺、寸、丈等單位，現在有厘米、米、千米等單位；量指的是體積，古代有升、斗、斛、鐘等單位，現在有立方厘米、立方米等單位；衡指的是重量，古代有兩、斤、石等單位，現在有克、千克噸等單位。商鞅方升就是一個標準量器，告訴我們秦代的1升是多少。

文物13杜虎符

文物年代：公元前337年一前325年出土地點：陜西西安沈家橋村

杜虎符是我國現存最早的虎符實物，于1975年在西安一處秦代遺址出土，它不僅是我國極為難得的古代虎符樣本，而且是研究古代軍事制度的珍貴資料。

形制工藝

杜虎符用了錯金青銅工藝，這是一種極其昂貴、繁瑣的工藝。杜虎符的材質是青銅，虎身上有錯金銘文9行，共40字，從虎頸自左向右，由背部向腹部用小纂書寫，內容是：

兵甲之符，右在君，左在杜，凡興士被甲，用兵五十人以上，必會君符，乃敢行之。

這段文言文的意思是：

這是一枚調兵的符。右半符掌握在君王手中，左半符在杜地的軍事長官手中，凡要調動50人以上的帶甲士兵，杜地的左符就要與君王的右符相合，才能行動。

兵符做成虎形是有象征意義的。虎是一種非常威猛的食肉猛獸，筋骨強健，性格兇猛，行動迅捷，所以古人把虎當作勇敢精神的象征，并常以虎來形容與軍隊、戰爭有關的人和事。

數學奧秘

戰國時代，戰爭頻繁，軍情緊急，稍有閃失就可能丟城失地。更何況山高水遠，沒有現代通信手段，君王就靠虎符傳達軍令。那么，虎符到底是怎么實現認證功能的呢？

① 虎符通常設計成小巧、隱匿的造型，內部還有獨特的卯榫結構，兩半虎符拼起來可以完美契合。

③ 虎符的使用有嚴格的規定，專符專用，一地一符，絕不可能用一個虎符同時調動兩個地方的軍隊。

② 虎符在制造時，尺寸是嚴格保密的，每個虎符的大小都不一樣，而且在兩半虎符的接縫處往往有特殊的文字，這是一種防偽標志（類似現代的騎縫章）。

秦陽陵虎符

虎符是用來驗證身份的，和當代密碼學的認證原理類似。比如我們每次打開手機時要輸入密碼或指紋解鎖，流程是怎樣的？

首先，拿到新手機時，會要求我們輸入6位數解鎖密碼或錄人指紋，手機就會生成一個認證符并保存下來；下次我們想用手機的時候，輸入密碼或按指紋解鎖，手機就會調用認證算法，對我們輸入的信息進行處理，生成一個新的認證符，新的認證符會和所存儲的認證符進行一一比對，如果比對成功，那么認證通過，我們就可以使用手機了。

也就是說，給手機設置一個密碼，相當于鑄造了虎符的右邊；當你使用手機的時候，你輸入密碼，這就是虎符的左邊。兩個密碼一致，就可以使用手機了。

文物14鄂君啟金節

文物年代：約公元前323年出土地點：安徽壽縣邱家花園

這是一套極其特別的文物，分為“車節”和“舟節”，是戰國中期楚懷王頒發給鄂君啟的免稅通行憑證。啟是楚國的貴族，被封到鄂地，因此被稱為“鄂君”；至于金節，則是銘文里的自稱。

形制工藝

鄂君啟金節使用了青銅錯金工藝。首先，工匠用青銅制成竹節，再在節上刻字，又利用黃金延展性較好的特性，將黃金錘制成細小的金絲，最后用小錘子和小（zan）子將金絲砸進青銅器表面刻字的溝槽里。

據考古學家考證，車船到達的各關口處，守關的官吏手中會有鄂君啟金節的資料，如金節的外形數據、工藝特征、銘文的內容等，官吏見到了金節，與記錄的參數比對核實后，即可免稅放行，即便有人使用偽造的金節，也很容易被識破。

數學奧秘

節是古代商業、交通運輸以及稅收的重要見證。舟節和車節上的銘文寫明了陸路和水路的運輸規模、路線范圍和免稅規則

舟節的免稅法

舟節指的是水路運輸貨物的免稅憑證。楚國在現在的長江流域，水系很發達，水路運輸非常普遍。當時水路運輸貨物的工具主要有兩種：舟和（kua）。舟節規定，三舟與一的運載量相同。

原文 屯三舟為一（它是一種比舟大一點的船），五十，歲一返。

釋義

可以免稅50艘大船或者150艘小船，一年內往返

車節的免稅法

在沒有水路運輸的地方，只能陸路運輸。陸路運輸貨物的工具包括三種：車，牲畜（馬、牛等），擔徒（就是人力挑擔）。車節規定了三種運輸工具的換算方法。

原文 車五十乘，歲一返。毋載金、革、黽（min）、箭。如馬、如牛、如植（té），屯十以當一車；如擔徒，屯二十擔以當一車，以毀于五十乘之中。

釋義 最多免稅50輛車，一年內往返。禁止運輸青銅、皮革等軍用物資。如果用馬、牛等牲畜拉貨物，10匹牲畜與1車的運載量相同；如果用挑夫運輸，20人與1車的運載量相同。這些都要從50輛車的運載總量中減去。

根據銘文的免稅規則可以看出來，它本質上是一道道結合數量、容量、單位換算的“數學應用題”。鄂君啟金節所規定的運輸配額、折算規則與關卡登記，要求守關的官員在日常執法中熟練運用加減運算、乘除運算、單位折算等基本技能，由此可見，楚國基層官員具備扎實的數學應用能力。

那么船隊和車隊的運載量分別是多少呢？根據考古學家的計算，1條舟的運載量約為6噸，150條舟能運輸900噸。至于車隊，一輛車大致能運輸0.5噸，50輛車能運輸25噸左右，可見水路的運載量遠遠大于陸路的運載量。

文物15九九乘法口訣簡牌

文物年代：公元前221年一前207年出土地點：湖南龍山縣里耶鎮

2002年，湖南的考古人員在湖南湘西里耶的一口古井中發現了記載著秦國歷史的36000余枚秦代簡牘，其中3枚上用墨書寫著我們耳熟能詳的“九九乘法口訣”。這是目前世界上最早、最完整的乘法口訣實物，它的出現改變了世界數學史。

寬4.5厘米

現在居所：湖南博物院/ 里耶秦簡博物館

小酷龍提示

九九乘法表使用的漢字并不復雜，只有少部分字與現代漢字不同。例如，“五”寫作“X”；用“廿（niàn）”“卅（sà）”“冊（xi）”來表示二十、三十和四十。

九 區八 +九+- 仕玩WT三面 房 山區術 7 二百一 區市四

形制工藝

在考古學中有“干千年、濕萬年，不干不濕就半年”的說法，意思是，長期穩定濕潤且缺氧的環境（如泥沼、深井、水下或密封墓室），可使有機質文物保存很久（甚至上萬年）。

里耶秦簡就出土于一口古井中。井內長期保持濕潤，淤泥堆積厚重，形成了一個密閉、缺氧、濕度穩定的環境，使簡牘始終處于相對恒定的濕度和溫度中，因此這36000余枚秦代簡牌歷經2000多年的歲月洗禮，仍然保存得較為完整。

出土里耶秦簡的古井復原圖

數學奧秘

實際上，九九乘法口訣的出現時間遠在秦代之前。我們可以根據下面這則古代文獻中記載的故事了解到這一點。公元前7世紀，齊國國君齊桓公招納賢才，來了一個只會背誦九九乘法口訣的人。齊桓公很失望，此人說：“如果您連我這樣只會背誦九九乘法口訣的人都能以禮相待，天下的賢士豈會不紛紛前來？”齊桓公聽后，深以為然，于是禮待此人。消息傳出后，四方賢士紛紛前來應征。

從這個故事可以看出，至少在春秋時期，普通人就能背誦九九乘法口訣。同學們把自己背誦的九九乘法表，和這件文物中記錄的口訣進行對比，就會發現幾點不同之處：

1.文物中的九九乘法口訣是從“九九 ∴ 十一”開始的，“九九”是口訣開頭的兩個字。2.文物中總共記錄了39句口訣，其中 1×9=9 ， 1×8=8 ， 1×7=7 ， 1×6=6 ， 1×5=5 1×4=4 ， 1×3=3 這7句沒有列出來。3.口訣最后多了一句“二半而一”，二半而一指的是： ，出現了分數。4.最后一句“凡千一百一十三字”，說的是乘法口訣中所有乘積的和等于1113。

九九乘法口訣一直在演變發展著。到了南北朝時期，九九乘法口訣里的“而”字改成了“如”字。例如，成書于公元5世紀的《孫子算經》里就寫著“一九如九”“一八如八”“二四如八”等，順序依然是從大到小。

又過了幾百年，時間來到了宋代。宋代是我國數學發展的高峰時期，數學家們認為乘法口訣的順序不符合數學中常用的從小到大的排序方式，于是將乘法口訣的順序改了過來，又加上了1和1至9的乘積，九九乘法口訣變成“一一如一”到“九九八十一”，共45句，與現在的九九乘法表幾乎一致。到了現在，“如”字又被改為“得”字，九九乘法口訣終于變成同學們背誦的九九乘法表。

文物16秦陵彩繪銅車馬

文物年代：約公元前221年一前210年出土地點：陜西西安秦始皇陵

1980年冬，我國考古工作者在秦始皇陵封土西側發掘出土了兩乘大型彩繪銅車馬，這是迄今為止我國所發現的年代最早、體形最大、保存最完整的青銅車馬，是考古所見的最大的組合型青銅器。

形制工藝

這兩組銅車馬的結構十分復雜，工藝水平極高。如二號銅車馬是由3462個零件組合而成的，其中金制品700多件，銀制品900多件，零件大小不一，厚薄、粗細不同，形狀各異。要把這些零件組裝成一輛車，必須設計得非常精準。而且銅車馬的不同部位因功能不同，各個部位的青銅合金比例也各有不同。

數學奧秘

在現代社會，汽車工業代表一個國家的工業水平，涉及電子、信息、冶金、材料、化工、設計等幾乎所有學科，有著極其龐大的產業鏈。在古代，車輛制造同樣是衡量一個國家綜合實力的重要標志。

我們以一號銅車馬為例，通過觀察這輛車，你可以看到那個時代最先進的科學技術、最高等的數學水平。

一號銅車馬的側視圖

文物17馬王堆帛書

文物年代：公元前180年一前170年出土地點：湖南長沙馬王堆漢墓

在20世紀70年代，考古史上出現了一樁載入考古史冊的重大發現，那就是湖南長沙的馬王堆漢墓。馬王堆漢墓出土文物數量巨大，而且保存基本完好。在出土的帛（bó）書中，考古學家發現了如《周易》《五星占》《老子》等著作，填補了許多歷史空白。

高約48厘米寬約85厘米鉤出紅色豎線墨字書寫

《周易》

現在居所：湖南博物院

小酷龍提示

馬王堆帛書是在馬王堆3號墓發掘出土的。在該墓的東邊有一個長約59.8厘米、寬約36.8厘米、高約21.2厘米的長方體漆書箱，馬王堆漢墓帛書均出土于其中。

形制工藝

我國古人對絲織品有各種稱呼，比如絹（輕薄而堅韌的絲織品，通常為平紋，表面光滑，適合書寫）、紈（潔白細膩、比絹更精致的絲織品）、綺（有彩色花紋的、裝飾性很強的高級絲織品）、羅（質地稀疏、輕薄透氣的絲織品）等。

帛就是絲織品的總稱，個別情況下指的是沒有染色的絲織品。馬王堆漢墓的帛書是生絲織成的細絹。帛比竹簡輕便、柔軟，但成本極高，只有貴族或重要文書才會用帛書寫。

數學奧秘

馬王堆帛書有42種，共10多萬字，內容包括政治、經濟、哲學、歷史、天文、地理、醫學、軍事、體育、文學、藝術等眾多學科。其中，《周易》和《五星占》是和數學關系最為緊密的兩冊書。

《周易》和六爻

在我國傳統文化中，有6部極其重要的儒家著作，被稱為“六經”，分別是《詩》《書》《易》《禮》《樂》《春秋》。其中，《易》是年代最早的著作，據說是周文王姬昌寫的，因此也被稱為《周易》。馬王堆帛書《周易》，就系統地介紹了其中的六十四卦。

六十四卦是《周易》占卜的最基本單元，由6個爻（yáo）組成。“爻”有兩種形態，一種是陽爻，一種是陰爻。

陽爻—— 陰爻— —

將陽爻與陰爻進行不同方式的排列組合，就能形成各種卦象。

老陽 少陰 少陽 老陰

2個爻的組合

3個爻的組合

共4種卦象，分別對應老陽、少陰、少陽、老陰。

共8種卦象，分別是乾、坤、震、巽（xun）、離、坎、艮（gen）、兌。

部分64卦

6個爻的組合

構成了 2⁶=64 種不同的卦象，這便是《周易》中的六十四卦。

100乾坤屯蒙需訟師比

爻是怎么算出來的

那么，爻是怎么來的呢？答案是通過數學運算得來的。在古代，人們用50根蓍（shi）草（一種野草）的根莖來進行運算。現在，我們用50根小棍來模擬這一過程。

第一步：準備工作

準備小棍50根，取出1根小棍放在桌面上方，余下49根參與運算。

第二步：生成第一爻

① 將49根小棍隨意分成左右兩堆② 從右堆中取出1根小棍，放在一旁。

③ 分別對左右兩堆以4根為一組數數，余數可能為1、2、3、4（若整除則余4）。

④ 將左余數、右余數和步驟 ② 中取出的1根小棍并在一起，不再參與后續運算

⑤ 將剩下的小棍聚在一起，隨機分為左右兩堆，重復前面的步驟 ② 到步驟 ④ C

⑦ 4根一組的組數稱為“爻數”。若爻數為7或9，對應陽爻；若爻數為6或8，對應陰爻。

第三步：生成其他爻

重復生成第一爻的過程，接著生成二爻、三爻、四爻、五爻、六爻，得到6個爻數，在爻數旁記錄對應的陽爻和陰爻。這樣，我們就得到了一個六十四卦的卦象。

需要注意的是，如果爻數里有9，把其對應的陽爻改為陰爻，如果爻數里有6，把陰爻改為陽爻，這一過程稱為“變卦”

從上面的過程可以看出，生成六十四卦本質上就是數學的同余問題。每次分小棍、取余數的步驟，都是在做“除以4”的運算，可見《周易》和數學的聯系十分緊密。所以在古代中國，術數往往不分家，數學家很多時候也被看作是“掌握神秘力量”的術士。

《五星占》的術數

《五星占》則第一次全面地使用了水（辰星）、金（太白）、火（熒惑）、木（歲星）、土（鎮星）五大行星的名稱，還記錄了它們和地球的會合周期。以金星為例，帛書中

在地平線下16.4天

什么是會合周期？

假設你和朋友在操場環形跑道上沿著同一方向跑步，你跑得慢，朋友跑得快。當朋友追上你，再次和你并肩時，中間的這段時間就是你們的“會合周期”。

是這樣記載的：

金星的晨星（在東方升起、東方落下）階段是224天；接著因為靠近太陽或陽光太強等原因，以至于無法觀測的時間是120天；接著是昏星（在西方升起、西方落下）階段，也是224天；最后在地平線下運行16.4天，又再次從東方升起來。

把這段話的4個數字加起來，就是金星的會合周期，它比現在測量的天數583.92天只多0.48天。

除了金星外，《五星占》還記錄了土星和木星的會合周期：土星的會合周期為377天，比現在的測量值378.09天只少1.09天；木星的會合周期為395.44天，比現在的測量值少3.44天。

文物18

滿城銅漏

文物年代：約公元前150一前113年出土地點：河北滿城漢墓

1968年，考古工作者在河北滿城發掘、清理了西漢中山靖王劉勝及其妻竇綰的墓葬，兩墓共出土金、銀、銅、鐵、玉、石、陶、漆等類文物一萬多件。這座墓中出土了很多“最早”“第一”，其中就包括一件青銅漏刻，它是我國歷史上有準確年代可考察的最早的計時儀器。

形制工藝

滿城銅漏是目前出土文物中年代最早的一個漏刻，材質是青銅材質，結構比較簡單，顯示時間的原理也簡單：壺里裝著水，壺的底部開一小口，壺中放一根刻有刻度的木桿，木桿下方有一個底盤，讓木桿漂浮在水面上，當水流出的時候，木桿和水面一起下降，人就可以在蓋口讀出時間了。

數學奧秘

因為對計時的需求，幾千年中，漏刻得到快速的發展，中國古人的聰敏智慧，使漏刻發展到登峰造極的地步，精確度不斷提高。

東漢時期：二級漏刻出現

在西漢時，漏刻通常只有單獨的一個。但人們發現，當水壺內的水較多時，水流速度會相對快一些；當水量減少時，水流會相對減緩，這樣就會影響時間的計量精度。為了解決這個問題，東漢時期，古人發明了二級漏刻。所謂二級漏刻，就是在漏壺的上方再加一個壺，不斷漏水的壺也在接水，這樣流水速度會比較均勻，測出來的時間更精準，誤差一般在1分鐘內。

晉之后：多級漏刻出現

人們很快發現，二級漏刻還是不夠精確，還需要不斷改進。到了西晉，已出現三級漏刻；到隋唐時期，已有四級漏刻。

到了宋代，人們在四級漏刻的基礎上增加了很多精細的結構，甚至實現了自動計時和自動報時，堪稱古代的“鐘表機芯”，而且非常精確，每晝夜的誤差僅有幾分鐘。

宋代的蓮花漏示意圖

小知識

在中國國家博物館中收藏有一件元代的漏刻，這套漏刻由日壺、月壺、星壺和受水壺4個壺組成，依次放在階梯式的座架上。在受水壺中央立有一把銅尺，上面刻著12時辰，銅尺前插有一支木浮箭，下為浮舟，隨著受水壺中水位的升高，舟浮箭升，銅尺刻度表示具體時辰。

文物１９“劉賀” 螭紐玉印

文物年代：公元前92年一前59年出土地點：江西南昌海昏侯墓

2015年，江西海昏侯墓的考古現場震驚了世人。這個墓葬極盡奢華，出土文物近兩萬件，包括金器、玉器、青銅器、竹簡、木牘等等。而確認海昏侯劉賀身份的關鍵，是一枚隨葬玉印。

現在居所：南昌漢代海昏侯國遺址博物館

小酷龍提示

發現這枚玉印時，它位于墓主劉賀的腰部位置。在漢代，這種私印都被主人隨身攜帶，因為私印在日常生活中被頻繁使用，在日常文書往來、身份確認和物品封檢等方面，都能起到大作用

形制工藝

劉賀的這枚玉印由和田玉制成，質地細膩，溫潤光潔，玉石上方雕刻了一條螭龍，四足俱全，昂首回顧，極富動感和神性。玉印上陰刻篆書“劉賀”二字，字形工整大氣。古代印章主要有兩種刻字方式：陰刻與陽刻。當印章上的字凹進去時，則為陰刻；當印章上的字凸出來時，則為陽刻。

除了這枚“劉賀”印外，海昏侯墓還出土了一枚玉印，叫“大劉印記”，也是和田玉材質的，印面邊長為1.76厘米、高為1.64厘米，同樣非常小巧。

數學奧秘

根據前面的數據，同學們可以看出，劉賀的玉印非常小。實際上，在秦漢時期，不管是皇帝、諸侯王、官員的印，還是普通人的印，印面都是邊長2厘米左右的正方形，和同學們在影視作品中看到的很大的印完全不同。

例如西漢皇后的印章“皇后之璽”，邊長是2.8厘米；云南晉寧石寨山出土的西漢金質“滇王之印”，邊長是2.4厘米。

前面介紹商鞅方升時，我們已經算出秦漢時1寸約等于2.32厘米，也就是說，即便是皇后的印，邊長也不到1.2寸。因此，秦漢時的印章被叫作“方寸之印”。

根據出土文物和文獻記載，漢代的印章字數不一，從兩個字到十六個字甚至更多。為了能在“方寸”之間合理安排多字印文，漢代工匠們對正方形印面進行了精妙的幾何分割，將印面劃分為若干區域，使每個字都能均衡地分布其中。

將印面沿垂直中軸線一分為二，兩個字各占一半。

將印面沿垂直中軸線一分為二，右側長方形再均分為上下兩個小正方形。

分為 2×2 的正方形網格，每個字占據一個小正方形。

五字印 六字印 七字印 八字印 九字印分為3列，其中兩列上 分為兩 分為3列，其 分為3列， 分為 3×3 （20

下對半分，每個字占據一 行三列，每個 中兩列上下三等 其中兩列上下三 的正方形網

個長方形。 字占據一個 分，每個字占據 等分；一列兩等 格，每個字占小長方形。 一個方形。 分。每個字占據 據一個小正一個小方形。 方形。

文物２０象牙算籌

文物年代：公元1年左右出土地點：陜西佑圣宮一號漢墓

算籌，是古人用來計算的小棍子。因為絕大多數算籌都是用草根、竹子或木頭制成的，不太容易保存到幾干年后。因此，我國目前發現的算籌實物很少，其中最珍貴的就是這套陜西出土的象牙算籌。

現在居所：陜西歷史博物館

小酷龍提示

在漢代，一套算籌有271根。到了隋唐，一套算籌約有360根。

形制工藝

這套算籌非常精美，是將堅硬的象牙經過切割、打磨、拋光等多道工序制作而成的，表明當時已具備成熟的測量和加工技術。每根算籌的直徑誤差極小，長度誤差僅0.1厘米左右，反映了工匠對工具的精準把控。

數學奧秘

算籌是中國獨創的計算工具，有著獨特的計算規則。古人到底怎么用這些小棍子進行計 算呢？

用算籌表示數字

用算籌來表示數字，主要有兩種方法，一種是橫式，一種是縱式。

為什么每個數有兩種表示方法？其實這是一種糾錯機制。古人用算籌擺數字時，交替使用橫縱兩式，個、百、萬用縱式，十、千、十萬用橫式，以此類推。將橫式和縱式交錯起來，不容易出錯。

縱橫交錯的數字也可以提示0的存在，如果操作者看到兩個距離很近的橫式（或縱式）數字相鄰，就說明中間應該還有個零，計算時千萬別對錯數位。

算籌進行乘法運算

掌握數字寫法后就可以進行乘法、除法運算了。我們以兩數相乘為例來解說。假設我們要計算 48×67 ，那么，步驟是：

① 先把兩個數字如下所示擺放好。

② 讓上數第一位和下數第一位相乘。

一個數在上方，一個數在下方。讓下方的這個數字的最后一位和上數的第一位對齊。上下兩數之間留出空行。

上數第一位4乘以下數第一位6后，得到2400，把2400放在上數、下數之間。

讓上數第一位和下數第二位相乘。

④ 讓上數第二位和下數第一位相乘。

上數第一位4乘以下數第二位7后，得到280，把280加到2400上，得到2680。

上數第一位用完后，刪掉。再讓上數第二位8乘以下數第一位6，得到480，再加上2680，得到3160。

⑤ 讓上數第二位和下數第二位相乘。

⑥ 運算完成后刪掉乘數和被乘數

上數第二位8乘以下數第二位7后，得到56，再并入中間的3160，得到3216。

將上數和下數（兩個乘數）刪掉，只留下3216。

漢代至唐代，是算籌發展最繁榮的時期；到了明代，算籌逐漸淡出歷史舞臺；到了清代，算籌被算盤完全取代。

文物21

五星出東方利中國”錦護臂

文物年代：公元100年一280年出土地點：新疆和田地區尼雅遺址

1995年10月，中日尼雅遺址學術考察隊成員在新疆尼雅遺址一處古墓中發現了一塊精美的織錦護臂，上面有8個字：“五星出東方利中國”。這件文物色彩絢爛，織工精細，是中國首批禁止出國（境）展覽文物之一。

現在居所：新疆維吾爾自治區博物館

小酷龍提示

2012年，成都老官山漢墓出土了幾套漢代的提花織機模型。專家通過復原的漢代織機成功復制了該織錦

除了護臂外，考古學家還在同一座墓中發現另一片織錦殘片，它和“五星出東方利中國”錦都是從一大塊織錦上裁下來的。將兩片織錦放在一起后，出現了“五星出東方利中國，誅南羌”的文句。有意思的是，上一次“五星出東方”是1921年，下一次“五星出東方”是2040年。

形制工藝

錦是中國傳統的高級多彩提花絲織物，以精美紋樣、繁復工藝和高昂價值著稱，其名稱源于“金”與“帛”的結合，意思是“價值堪比黃金”的絲織物。

“五星出東方利中國”錦采用了漢錦典型的“五重平紋經錦”工藝，運用了藍、綠、白、紅、黃5種顏色，體現了漢代蜀錦技術的巔峰水平。

數學奧秘

錦的織造需預先對經緯絲線染色，并通過提花織機編織出復雜的圖案，整個過程和計算機編程非常相似。

怎么理解這件事呢？用顯微鏡觀察“五星出東方利中國”錦，你會看到這塊錦是由經線和緯線構成。在紡織行業里，每一塊布料都由經線和緯線交錯織成，經線和緯線的稱呼類似地球的經線和緯線，

“五星出東方利中國”錦有5種顏色，織工織錦時，會把5種顏色的經線設為一組，讓所有的經線都穿過綜框，得到一個個綜片。另外一位織工控制不同的綜片，把部分經線拉高一一這樣，經線就分為上下兩層，可以讓緯線從兩層經線中間穿過去，起到固定作用

經線分上下兩層后，上面的經線設為“1”，這些經線的顏色會被顯示出來；另外4根在下方，就設為“0”。這就可以把整個提花圖案看成是由“1”和“0”組成的矩陣。是不是像二進制編碼？沒錯，這就是蜀錦提花織機的工作原理。

“五星出東方利中國”錦每平方厘米共計220根經線、48根緯線，這是一個非常驚人的數字。與此相比，現在的真絲睡衣，每平方厘米只有130根經線。

文物22

竹林七賢與榮啟期模印磚畫

文物年代：公元420年一500年出土地點：江蘇南京西善橋宮山墓

1960年，考古人員在江蘇南京一座大型南朝磚室墓里發現了“竹林七賢和榮啟期”大幅磚畫，這是我國發現最早、保存最完好的一幅磚畫，也是我國首批禁止出國（境）展覽的文物之一。

現在居所：南京博物院

小酷龍提示

從1960年以來，考古人員在南朝的多座墓葬里發現了多個以“竹林七賢與榮啟期”為題材的畫像磚，它們都是由同一個磚模制作的。

形制工藝

竹林七賢與榮啟期模印磚畫的制作過程非常復雜。首先，畫師在整幅絹上繪制畫稿；然后，工匠根據需要的磚塊數量將畫稿分割成一塊塊長方形畫，根據這些畫制成一塊塊泥質或木質模具；接著，將模具壓印在尚未干硬的磚胚上，形成淺浮雕圖案；

然后，在磚的背面刻上“嵇下行四”“向下行廿一”等字；最后，把磚燒好，再按照順序在墓室墻面進行拼合，得到一張完整的磚畫。

數學奧秘

竹林七賢與榮啟期模印磚畫有兩組，一組是嵇康組，一組是向秀組，每一組由294塊磚拼成（兩組共588塊），每一塊磚都是長方體，長、寬、高分別約為34厘米、14厘米、5厘米。

長34厘米/寬14厘米/高5厘米

這么多大小一致的磚，想要完全拼合起來可一點都不容易，古代工匠采用的辦法是給每塊磚編號，編號的內容為“姓/上、中、下/數字”。

首先是姓，姓指的是“嵇”或“向”，“嵇”指的是畫像磚在嵇康組，“向”指的是畫像磚在向秀組。其次是“上”“中”“下”，指的是上行、中行或下行。整個畫像磚分為三個部分，分別是上行（三順一丁）、中行（三順）和下行（三順一丁）。

最后是數字，表明磚在各行中從右向左數的順序。需要注意的是，上、下行的丁磚和順磚編號相同。也就是說，“向上行廿一”這個編號既有一塊丁磚，又有一塊順磚。

古代工匠通過“姓/上、中、下/數字”三層編號，實現了對數百塊同形磚的唯一標識和精確定位，這展示了現代數學中分層編碼、序數排列、坐標定位與組合計數等核心思想。

文物２３伏羲女媧圖

文物年代：公元651年出土地點：新疆吐魯番阿斯塔那墓地

新疆吐魯番阿斯塔那墓地是西晉到唐代時高昌國的公共墓地，20世紀60年代，考古學家在這里發掘出土了文書、繪畫、泥俑等珍貴文物上萬件，其中包含多件伏羲女媧絹畫。

上寬85厘米

整體呈梯形

小酷龍提示

伏羲和女媧是中國神話里的人類始祖，在漢代畫像石、畫像磚和唐代帛畫中，有大量伏羲、女媧的畫像。從吐魯番阿斯塔那墓地群出土的伏羲女媧絹畫、麻布畫共有幾十幅之多，有些墓中一次就出土了三幅，這一幅保存得相當好，就像昨天剛剛畫出來的。

魏晉南北朝畫像磚上的伏羲女媧圖

現在居所：新疆維吾爾自治區博物館

形制工藝

文物出土的新疆吐魯番地區的氣候屬于典型的干旱氣候，年降水量極少，蒸發量大，空氣干燥。這種環境極大地減緩了有機物的腐敗過程，使得絹畫、紙張、木器等文物能夠長時間保存而不易腐爛。因此，許多伏羲女媧絹畫在地下埋藏千年后仍能保持色彩鮮艷、線條清晰的狀態。

數學奧秘

在唐代的伏羲女媧畫像里，伏羲女媧都是人面蛇身、下半身蛇尾交纏的形象，手中通常拿著規和矩。規和矩是我國古代最重要的兩件繪圖工具，古代工匠用它們來畫圓和方。兩件繪圖工具之所以會被伏羲女媧拿在手中，是因為古人覺得“天圓地方”。規能畫圓，代表了天；矩能畫直線和正方形，代表了大地。

規的用途

在古代，用來畫圓的規主要有兩種：一種是兩腳規，可以畫半徑較小的圓，和同學們常用的圓規基本一致；另外一種規是長條規，它是在木條的兩端插著兩根釘子，固定其中的一端，用另一端來畫比較大的圓，圓的半徑和木條上兩顆釘子的距離一致。

古人常用的兩種規

規的出現對生產力的發展有著極其重要的作用。比如制造車輛時，古人用規檢驗車輪圓不圓；在建筑中，規也為古代宮殿、城墻、墓室等提供了可靠的制圖手段；制造銅錢、銅鏡等日用品時，規也能發揮很大的作用。

矩的用途

矩是一種用來畫直線和直角的尺子，其外形是由長、短兩條邊組成一個直角的“方尺”（現代木工也常常用這種尺）。尺上有刻度，長邊叫“股”，短邊叫“勾”。

古人常用的三種矩

在我國最早的數學專著《周髀算經》中，就記有用矩來測量目標物遠近、高低的各種方法。書中還記載了周公曾向數學家商高請教“用矩之道”的故事。

周公日：“大哉言數，請問用矩之道？

商高日：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。‘

這段話的意思是，商高總結了6種“矩”的測繪功能，即可以定水平、測高、測深、測遠、畫圓和畫方。總的來說，矩在古代城市建筑、家具制造、土地測量、水利設施建設中發揮了極其重要的作用。