傅里葉變換在信號(hào)處理技術(shù)中的應(yīng)用場(chǎng)景

【關(guān)鍵詞】傅里葉變換；信號(hào)處理；應(yīng)用場(chǎng)景；MATLAB實(shí)現(xiàn)

引言

傅里葉變換作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，是近代數(shù)學(xué)分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)中的重要研究方向之一。它的提出最早源于法國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·傅里葉在研究熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)提出的思想，即任何周期函數(shù)都可以表示為一系列正弦波和余弦波的疊加。此理論的延伸使傅里葉變換可以將非周期函數(shù)映射到頻率域，并揭示信號(hào)中所包含的頻率成分及其強(qiáng)度分布。

隨著傅里葉變換在信號(hào)處理技術(shù)方面逐步取得進(jìn)步，其應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷拓展，國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者于學(xué)術(shù)研究期間陸續(xù)提出新的見(jiàn)解，傅里葉變換的理論體系由此變得更加完善。在國(guó)內(nèi)，傅里葉變換不僅在理論數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，并且在信號(hào)處理、通信系統(tǒng)、物理工程學(xué)以及生物醫(yī)學(xué)成像等諸多領(lǐng)域同樣獲得了廣泛應(yīng)用。借助傅里葉變換，這些應(yīng)用能實(shí)現(xiàn)從時(shí)間域或空間域向頻率域的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而解決大量復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。

一、常見(jiàn)的幾種傅里葉變換

傅里葉變換是一種分析信號(hào)的方法。它把正弦波當(dāng)作信號(hào)的構(gòu)成要素，一方面能夠?qū)π盘?hào)的構(gòu)成要素加以分析，另一方面還能夠?qū)⑦@些構(gòu)成要素來(lái)合成信號(hào)。在各個(gè)不同的研究領(lǐng)域中，傅里葉變換會(huì)呈現(xiàn)出不同形式的變體，如連續(xù)傅里葉變換（ContinuousTime Fourier Transform，CTFT）、離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）以及快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）等。

（一）連續(xù)傅里葉變換

CTFT適用于定義在整個(gè)實(shí)數(shù)域上且非周期的連續(xù)信號(hào)f（t），其定義如公式（1）所示：

F（ω）=∫+∞－∞f（t）e－jωtdt（1）

公式（1）表明，將時(shí)間域信號(hào)f（t）通過(guò)與復(fù)指數(shù)函數(shù)e－jωt相乘，并對(duì)全域積分，可得該信號(hào)在頻率域中的表示F（ω）。

傅里葉逆變換將頻率域信號(hào)還原為時(shí)間域信號(hào)，如公式（2）所示：

f（t）=12π∫+∞－∞F（ω）ejωtdω（2）

兩者構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng)的變換關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)在時(shí)間域和頻率域之間的轉(zhuǎn)換。

（二）離散傅里葉變換

DFT是數(shù)字信號(hào)處理中的基礎(chǔ)變換，當(dāng)信號(hào)是離散的、有限長(zhǎng)時(shí)，傅里葉變換的離散形式適用，其定義為公式（3）：

X［k］=∑N－1n=0x［n］e－j2πNkn，k=0，1，2，…，N－1（3）

其中，x［n］表示長(zhǎng)度為N的離散時(shí)間信號(hào)，X［k］表示頻率域的離散頻譜，k表示頻率索引或離散頻率點(diǎn)。

離散傅里葉變換的逆變換公式如式（4）所示：

x［n］=1N∑N－1k=0X［k］ej2πNkn，n=0，1，2，…，N－1（4）

（三）快速傅里葉變換

雖然DFT在數(shù)字信號(hào)的頻域分析中有著廣泛的應(yīng)用，但由于其在處理較長(zhǎng)的離散序列信號(hào)時(shí)計(jì)算復(fù)雜度較高，計(jì)算效率比較低，所以在應(yīng)用時(shí)受到了一定的限制。FFT[13]是實(shí)現(xiàn)DFT的一種快速算法，它利用DFT系數(shù)的對(duì)稱性和周期性，可以大大減少DFT的計(jì)算量和復(fù)雜度，從而可以高效計(jì)算DFT，因此FFT在實(shí)際工程中應(yīng)用更加廣泛。快速傅里葉逆變換（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）的計(jì)算原理與FFT類似，其將頻域離散序列快速恢復(fù)到時(shí)域離散序列，同樣是一種快速算法。

二、傅里葉變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用

隨著傅里葉變換理論體系不斷地發(fā)展并趨于完善，其豐富的數(shù)學(xué)性質(zhì)在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中展現(xiàn)出了很強(qiáng)的功能性。特別是在信號(hào)處理領(lǐng)域，其應(yīng)用的范圍相當(dāng)廣泛，涉及了諸多不同的領(lǐng)域，如頻譜分析、濾波操作、信號(hào)的壓縮處理、信號(hào)恢復(fù)相關(guān)工作、圖像處理環(huán)節(jié)以及語(yǔ)音處理等。接下來(lái)著重對(duì)傅里葉變換在頻譜分析以及圖像處理這兩方面的具體應(yīng)用展開(kāi)闡述。

（一）頻譜分析

傅里葉變換最為直接的一項(xiàng)應(yīng)用是頻譜分析。借助傅里葉變換，我們能夠把處于時(shí)間域中的信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率域里的頻譜，以此來(lái)對(duì)信號(hào)的頻率成分展開(kāi)分析。接下來(lái)以音頻信號(hào)為例來(lái)理解頻譜分析的應(yīng)用。（1）音頻信號(hào)采樣環(huán)節(jié)。選取一個(gè)音頻文件，對(duì)其實(shí)施采樣操作，從而能夠獲取到一連串離散的數(shù)字信號(hào)。（2）FFT計(jì)算。對(duì)采樣數(shù)字信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換計(jì)算，得到信號(hào)在頻域上的能量分布的具體情形。（3）繪制頻譜。頻譜圖能夠?qū)⑿盘?hào)在不同頻率上的能量分布狀況展示出來(lái)，借此可以較為直觀地獲取到頻域方面的信息。（4）結(jié)果分析。通過(guò)對(duì)頻譜圖加以觀察，能夠?qū)π盘?hào)的頻率分量、頻率范圍、能量的分布狀況等進(jìn)行分析，從而可以更進(jìn)一步地了解信號(hào)所具備的特性。

（二）濾波

濾波[4]能夠切實(shí)有效地將信號(hào)里的噪聲去除掉，以此來(lái)提升信號(hào)的質(zhì)量。傅里葉變換在信號(hào)濾波方面的應(yīng)用包含以下三個(gè)步驟。（1）運(yùn)用FFT把信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)變至頻域，方便在頻域中對(duì)信號(hào)展開(kāi)分析。（2）根據(jù)實(shí)際需要，可以有選擇性地對(duì)頻譜予以過(guò)濾或者修改，以此達(dá)到濾波的效果。如去除高頻成分，而將低頻成分保留下來(lái)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)低通濾波；或者去除低頻成分，保留高頻成分，從而實(shí)現(xiàn)高通濾波。（3）利用IFFT把經(jīng)過(guò)濾波處理后的頻域信號(hào)再轉(zhuǎn)換回時(shí)域，如此便可以得到已經(jīng)完成濾波的信號(hào)。傅里葉變換的這一應(yīng)用，使濾波技術(shù)變得簡(jiǎn)單有效，在通信領(lǐng)域中獲得了十分廣泛的應(yīng)用。

（三）圖像處理

傅里葉變換在圖像處理領(lǐng)域的應(yīng)用[57]也相當(dāng)廣泛，它借助二維傅里葉變換，能夠把圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，如此一來(lái)，我們便可以對(duì)圖像里的頻率成分展開(kāi)分析。以圖像處理中的邊緣檢測(cè)為例，這是一種檢測(cè)圖像邊緣的技術(shù)手段。圖像的邊緣是圖像中灰度值發(fā)生劇烈變化的區(qū)域，一般情況下，其往往會(huì)呈現(xiàn)出高頻成分的特征。它的應(yīng)用包含以下三個(gè)步驟：（1）運(yùn)用傅里葉變換將圖像從空間域映射到頻率域，圖像分解為其自身的頻率成分；（2）應(yīng)用高通濾波器濾除掉圖像里的低頻成分，只保留其中的高頻成分，從而實(shí)現(xiàn)邊緣檢測(cè)；（3）對(duì)濾波后的頻域圖像實(shí)施傅里葉逆變換，將圖像再轉(zhuǎn)換回空間域，這樣就能得到邊緣突出的圖像了。例如，在醫(yī)學(xué)影像中，邊緣檢測(cè)能夠檢測(cè)出患者腫瘤發(fā)生病變的具體位置，進(jìn)而可以輔助醫(yī)生更為有效地診斷病情。

（四）傅里葉變換的綜合運(yùn)用

當(dāng)傅里葉變換與其它變換結(jié)合使用時(shí)，如短時(shí)傅里葉變換、希爾伯特變換、Z變換、拉普拉斯變換等，能夠產(chǎn)生一系列更加強(qiáng)大的功能，以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)更加全面的分析和處理。這在提升信號(hào)處理的效率及質(zhì)量方面，有著非常重要的意義。這些變換方法各有其特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要依據(jù)信號(hào)具體呈現(xiàn)出來(lái)的特性以及不同的應(yīng)用場(chǎng)景，選擇合適的變換方法。例如，把傅里葉變換和小波變換結(jié)合起來(lái)加以運(yùn)用[8]，可以借助二者各自的優(yōu)勢(shì)，對(duì)圖像展開(kāi)分析和處理。

三、用MATLAB實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的應(yīng)用

示例1如圖1所示，展示了在MATLAB中用傅里葉變換對(duì)一段音頻信號(hào)進(jìn)行頻譜分析的過(guò)程，包括讀取音頻文件、計(jì)算其傅里葉變換并繪制頻譜圖（見(jiàn)圖2）。

示例2是一個(gè)在MATLAB中實(shí)現(xiàn)傅里葉變換和小波變換綜合運(yùn)用到圖像處理中的基本示例，如圖3所示。展示了在MATLAB中先對(duì)原始圖像（見(jiàn)圖4）進(jìn)行傅里葉變換，再分析其頻率特性（見(jiàn)圖5），然后使用小波變換進(jìn)行圖像分解和重構(gòu)（見(jiàn)圖6）。

結(jié)語(yǔ)

傅里葉變換作為一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，它擔(dān)當(dāng)著連接物理信號(hào)與數(shù)字智能之間的橋梁作用，并且正持續(xù)不斷地在各個(gè)不同領(lǐng)域得到應(yīng)用。當(dāng)下的相關(guān)研究大多聚焦于怎樣提升傅里葉變換的效率及準(zhǔn)確性，同時(shí)也在致力于解決各類場(chǎng)景下所出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題。未來(lái)，隨著數(shù)字科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，傅里葉變換的應(yīng)用勢(shì)必會(huì)在更多的領(lǐng)域當(dāng)中發(fā)揮出極為關(guān)鍵的作用，進(jìn)而有力地推動(dòng)信號(hào)處理技術(shù)不斷向前發(fā)展與進(jìn)步。

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