一道幾何題引發的高效課堂教學探究

關鍵詞自主學習；高效課堂;;一題多解

教學中要達到高效課堂，教師需通過認真備課，精心設計，根據教學內容以及學生的實際情況，設計出能最大限度地激發學生學習興趣、調動學生學習積極性的教學內容，以達到高效課堂的目的.為此，教師在課堂教學中要做好導人環節、評價爭議，把控全局，讓課堂真正成為學生自主學習的舞臺，同時學生通過動腦、動手和動口，一方面可以培養數學語言表達能力，邏輯思維能力，另一方面學生可以在互相的學習中增長知識，提高各方面的素質.最后，課堂中教師要及時給予評價，引導學生積極參與課堂教學，以期達到你追我趕的課堂效果.以下是筆者教學過程中一堂真實的課堂教學，與讀

者分享.

在學生學習完《相似》的內容后的一節習題課中，筆者向學生展示了這樣一道幾何題.

題目 如圖1，在直角 ΔABC 中，∠BAC=90^°，AD⊥ （24號BC 于點 D ，點 o 在邊 AC 上，連接 OB 交AD 于點 F，OE⊥OB 交邊 BC 于點 E.

圖1

（1）求證：ΔABF?ΔCOE ：

（2）當點 o 為邊 AC 的中點， 2時，如圖2，求 的值；

圖2

（3）當點 o 為 邊 AC 的中點 n 時，如圖2，求 的值.

這道題引發了學生的學習興趣，大家積極討論，給出了七種解法，筆者現將課堂記錄如下：

第一時段帶領同學共同完成題目閱讀，由于大家對相似三角形證明方法有了一定的積累，針對第（1）問，在讀題完成后，馬上有學生給出了如下解答：因為 ，所以 ∠AOB+ ∠COE=∠AOB+∠ABO=90^° ，所以 ∠COE= ∠ABO ，同理可證 ∠BAF=∠C ，所以 ΔABF

師：非常正確，表達也非常準確.（贏得全班的掌聲）

第二時段從第（2）問和第（3）問的設置上，通過分析同學們很容易發現后一問是尋找前一問的規律，是從特殊到一般的過程.因此，只要第（2）問能夠解決，第（3）問就好解決.所以本堂課的重點就在如何處理第（2）問.

生1：（展示輔助線，如圖3）連接 EF，OD. 因為∠ADC σ=σ ∠FOE=90^° ，所以 ∠ADC+ ∠FOE=180^° ，所以 O，E，D，F

圖3

四點共圓，所以 因為 oD 是直角ΔACD 斜邊上的中線，所以 OD=OC ，所以 ∠ODE 又 ∠EOF=∠BAC ，所以ΔOEF～ΔABC ，所以

教師點評要求 OF 與 OE 的比，連接 EF 最直接.證明 ΔOEF～ΔABC 也很容易.該同學巧妙地運用了四點共圓，同弧所對的圓周角相等，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等結論為

相似創造一對關鍵的角相等.

圖4

生2：我與生1的 的做法不一樣.如圖 4，過 o 作 OG⊥AD 于 點 因為 CD⊥AD ， 所以 OG//CD ，所以

OG 是 ΔACD 的中位線.同時， ΔOFG～ΔBFD ，所以 因為（1）已證 ΔABF? ΔCOE ，又 AB=AO=OC ，所以 ΔOFG?ΔBFD 所以 OE=BF

因為 ΔABD?ΔCBA，ΔCAD?ΔCBA ，所以 ，所以 ，所以 （204號

教師點評 通過構造一條垂線段，創造了一對相似三角形，充分利用到原直角三角形兩直角邊的比值，同時將 oF 與 OE 的比轉化為 oF 與 BF 的比.轉化的數學思想非常好.

此時，第三位同學舉手示意

生3：我不是作 AD 的垂線，而是作 CD 的垂線.這樣OG是△ACD的中位線，所以DF//OG，BF = 2.下面的步驟與生2相同.

這時，第四位同學也舉手了.

生4：如圖5，過 o 作 OG⊥AC 交 _AD 的延長線于點 G ，因為AB = AO，∠BAC =∠AOG = 90°，∠OAG=∠ABG ，所以 ΔABC ?ΔOAG ，所以 OG= AC=2AB. 因為 AB// OG，所以

圖5

2.前面的同學已證 OE=BF ，所以

教師點評該同學往外延伸，構造出我們最熟悉的全等三角形，同時也構造了平行，證明過程簡潔明了．看來輔助線的選擇至關重要，那么有沒有不做輔助性的方法呢？

此時已有同學開始討論了起來

生5：設 AB=1 ，則 ，前面同學已證得 ΔABD～ΔCBA～ΔCAD ，所以 BD：AD：AB ，所以 設 OE=BF=x ，在直角 ΔABO 中， BO ，所以 .因為∠BDF=∠BOE，∠OBE ，所以 ΔBDF～ΔBOE ，所以 所以 解得 負值舍去），所以

（所有人都驚奇該生的計算功底，課堂再次響起了掌聲.）

教師點評一道幾何題用代數的方式算出來了，該生向我們展示了代數與幾何的緊密關聯.我們只要理清楚所有邊的數量關系，無需輔助線，也能得到結果.

隨著師生之間的熱烈討論，各種有趣幾何方法都表達了出來，最后筆者給出了如下建立坐標系的解法．如圖6，以A為原

圖6

點，建立平面直角坐標系.設 B（0，1），O（1，0），C（2， （2號0），可得直線 BO 解析式： ，直線 BC 解析式

延長 ΔEO 交 y 軸于點 G. 因為 ∠BOG= 90° ∠AOB=45^° ，所以 ∠AOG=45^° ，所以直線 _GE 為 y =x-1 ，點 E 為直線 _GE 與直線 BC 的交點.

聯立解析式 y=x-1 和 x-1，得E的坐標為 ，從而 ，又由于已證得 ，所以可求得 D 點坐標為 ，可得直線 AD 為 y=2x. 同理， F 為直線 BO 與 AD 的交點.聯立解析式 y=2x 和 y=-x+1 ，得 F 點的坐標為 ，最后利用兩點間的距離公式求出 所以

教師點評利用函數的方式解決了這個問題，雖然角度比較特殊，過程比較復雜，但也開拓了解題的另一種思路.

第三時段 有了第（2）問的各種解法，引導學生進行類比歸納，可得：當 o 為邊 AC 的中點 時

這堂課雖然只解決了一道題，但我們學到了通過添加輔助線的方法，以及用代數和函數的觀點解決幾何問題的方法.同時，數學中的轉化思想，數形結合思想，類比思想也在我們的頭腦中留下了印跡.通過一道題的多種解法，大家彼此學習，拓寬自己，不但培養了學生的思維能力、合作意識和創新精神，也通過這種探究式的教學方式，讓學生積極主動參與的課堂教學，加深了對幾何知識的理解和應用，提升了數學核心素養.

參考文獻

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