基于重要情境下高中數學創新題型的解題思路探索

高中數學中，給出新定義或者情境較為新穎的一類習題統稱為創新題型.該類題型對學生的閱讀能力，理解能力要求較高.很多學生因不得法而心存畏懼.針對這一現象，教師應做好創新題型的講解，幫助學生積累經驗，掌握技巧，增強解題的自信心.

解三角形情境

解三角形是高中數學中相對獨立的知識點，主要借助正弦定理、余弦定理解決與三角形相關的問題，相關的習題創設的情境較為新穎，解題的過程中，一方面，應在審題的過程中結合題干給出的幾何圖形，識別要考查的知識點.另一方面，需從不同視角進行分析、推理，靈活應用幾何圖形的性質探尋對應線段、角度之間的關系.借助正弦定理、余弦定理構建方程求解.

例1“不以規矩，不能成方圓”，“規”指的是圓規，“矩”指的是由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺.今有一塊圓形木板，數據如圖1所示，以“矩”量之，然后將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角 α 滿足 ，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）

圖1

A.20cm B.20√3cm C.30√3cm D.30cm

解析先畫出對應的示意圖，將四邊形分割成兩個三角形，運用正弦定理、余弦定理以及均值不等式知識求解.

由題意知圓形木板的直徑為 .設截得的四邊形木板為 ABCD ，設 ∠A= α，AB=c，BD=a，AD=b，BC Ψ=n，CDΨ=m ，如圖2所示.由 且0lt;αlt;π可得 （204，在△ABD中，由正弦定理可得 ，解得 在 ΔABD 中，由余弦定理可得α2 =b2+c2-2bccosα，則80=b2+c2-b ，即 （b+c）²?400 ，則 0

圖2

在 ΔBCD 中， ∠BCD=π-α ，由余弦定理可得80=a²=m²+n²-2mncos（π-α）=m²+n²+ ，則 （m+n）²?100，0

點評解答該題能夠根據需要合理設出對應參數，借助正弦定理、余弦定理分析線段之間的關系，通過構造不等式，求出四邊形周長的最大值.

2 函數情境

函數，部分的創新題，往往采用給出新定義、新概念來命制，要求學生基于對新定義、新概念的理解解決問題.該類問題，解題的關鍵在于如何建立新情境與所學知識的聯系，化陌生為熟悉

例2若 A，B 兩點關于點 P（1，1） 成中心對稱，則稱 （A，B） 為一對“然諾點”，同時把 （A，B） 和 （B A）視為同一對“然諾點”．已知 a∈Z，f（x）= 的圖象上有兩對“然諾點”，則a 的值是.

A.2 B.3 C.4 D.5

解析基于分段函數的認識，先求出 xgt;1 時f（x）=ax-2 關于（1，1）成中心對稱的函數 y=ax -2a+4（xlt;1） ，將問題轉化函數 y=ax-2a+4 與函數 y=（x-2）e^-x 圖象在 （?-∞，1） 上有兩個交點的問題.

當 xgt;1 時，易得 f（x）=ax-2 關于點 P（1，1） 對稱的函數為 y=ax-2a+4（xlt;1） .根據題意可知函數 與函數 y=（x-2）e^-x 圖象在 （Ω-∞，1） 上有兩個交點，將以上兩個函數式聯立，消去 y 可得 ax-2a+4=（x-2）e^-x ，

由 xlt;1 ，得到 ，即 令函數 g（x） 的圖象與直線 存在兩個不同的交點.

令函數 +（-2）3gt;0（xlt;1），函數h（x）在區間 （?-∞，1） 上單調遞增，則 在區間 （?-∞，1） （2號上呈單調遞增，又由 g^′（0）=-1+1=0 ，則當 xlt; 0時， ，當 0'（x）gt;0 ，則函數g（x） 在區間 （?-∞?，0） 上單調遞減，在區間（0，1）上單調遞增，故 g（x）?g（0）=3 ，當 x-∞ 時， g（x） +∞ ， g（1）=e^-1+4 ，函數 g（x） 的大致圖象如圖3所示.

由圖3可知，當 3-1 時，函數 g（x） 的圖象與直線 y=a 存在兩個不同的交點，由 a∈Z ，則 a =4 ，故選 c

點評該題正確理解“然諾點”是基礎，將問題轉化為兩個函數圖象的交點問題是解題的關鍵.同時，還應用好導數這一工具，研究函數的單調性，結合函數圖象確定 a 的最終取值.

圖3

3數列情境

數列是高中數學的重點知識，最容易出一些較為新穎的題型.在解答該類問題要靈活運用數列知識對題干進行轉化、整理，尤其在比較大小時，應進行適當的放縮

例3高斯是德國著名數學家，用他名字定義的函數稱為高斯函數 ，其中 [x] 表示不超過 x 的最大整數，如 [2.3]=2，[-1.9]=-2 ，已知數列 {a_n} 滿足 a₁=1，a₂=5，a_n+2+4a_n=5a_n+1 ，若 S_n 為數列 的前 n 項和，則 [S₂₀₂₅]= ·

A.2025 B.2026 C.2023 D.2024

解析由 a_n+2+4a_n=5a_n+1 得到 a_n+2-a_n-1= 4（a_n+1-a_n） ，則 {a_n+1-a_n} 是首項為 a₂-a₁=4 ，公比為4的等比數列，則 a_n+1-a_n=4ⁿ .則 a_n+1=（a_n+1 -a_n?+（a_n-a_n-1）+...+（a₂-a₁）+a₁ ，可得 a_n+1 =4\"+4+..+4+1 =4*-1

由題意可得 又由 log₂（4ⁿ⁺¹-1）-log₂324ⁿ⁺¹-1=2n+1 ，則 b_n=2n

貝 ，則 S_n=c₁+c₂+...+c_n-1+ 易得 20232025lt;2024 ，則 （20 [S₂₀₂₅]= 2023. 故選 C

點評順利解答該題需要突破三個關鍵點：其一，正確深入理解高斯函數；其二，會求特殊數列的通項公式，并能根據需要進行正確的放縮；其三，能熟練運用裂項相消法求和.

4 圓相關情境

圓是高中數學知識體系的重要構成部分.圓的方程將圓心坐標、圓的半徑統一起來，給運用代數知識求解圓的問題提供了重要依據.在解答圓的問題時，尤其一些情境較為新穎的問題，應能讀懂題干的言外之意，結合圖形進行分析，找到解題的切人點

例4我國古代給圓下的一個定義為：圓，一中同長也.意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等.現在以點（3，2）為圓心，2為半徑的圓上取任意一點 P（x，y） ，若 ∣3x+4y+a∣+∣6-3x- 4y丨的取值與 x，y 無關，則實數 α_a 的取值范圍是

解析 由題意可得 P（x， y ）所在的圓的方程為 （x-3）² 設 z=1 3x+ ，則 z 可看作點 P 到直線 m：3x+4y+a=0 與直線 l：3x+4y-6 ε=0 的距離之和的5倍.因為 ∣3x+4y+a∣+∣6- 3x-4y∣ 的取值與 x，y 無關，則這個距離之和與點 P 在圓上的位置無關.由圓心（3，2）到直線 l 的距離為 ，則圓與直線 l 是相離關系.要想滿足題意則圓應該在兩條直線之間，如圖4所示

圖4

對于當直線m應滿足3×3+4×2+al 2，整理得到 |?₁₇+?_a|?10 ，解得 a?-7 （舍去）或 a?-27 ，故答案為 （Σ-∞，Σ-27]

點評該題難度不大，但技巧性較強，首先需要將問題 |3x+4y+a|+|6-3x-4y| 轉化為點到兩條直線距離之和.其次，根據題干描述能夠理解“取值與 x，y 無關”這句話.在此基礎上不難構造不等式求出結果.

總之，高中數學中無論一些習題的情境多么新穎，都應通過認真審題，吃透題意，明確要求解的問題，積極對接所學的知識點，聯系積累的解題經驗，必要情況下對要求的問題進行轉化，達到化難為易，順利解題的目的，