例析幾道基于牛頓迭代法為背景的創新題
2025-09-08 00:00:00胡尚軍
中學數學研究 2025年8期
關鍵詞牛頓迭代法;高考創新壓軸題;函數零點
在數學領域，牛頓迭代法作為一種重要的數值計算方法，具有深遠的理論意義和廣泛的應用價值.近年來，隨著高考對學生綜合素養和創新能力要求的不斷提高，高考數學壓軸題的形式和內容也在不斷創新.以牛頓迭代法為背景的試題逐漸出現在高考數學試卷中，這類試題不僅考查學生對函數，導數等基礎知識的掌握程度，更著重考查學生的知識遷移能力，創新思維和綜合運用知識解決問題的能力.
1 牛頓迭代法概述
牛頓迭代法，是一種用于求解函數零點的數值計算方法.其基本思想是利用函數 y=f（x） 在某點的切線來近似代替函數曲線，通過不斷迭代，逐步逼近函數的零點.
對于函數 f（x） ，若已知 xn 處的函數值 f（xn） 和導數值 f′（xn） ，則下一個迭代點 xn+1 的計算公式為：
通過不斷重復上述迭代過程， xn 會越來越接近函數 f（x） 的零點.牛頓迭代法具有收斂速度快，精度高等優點，但也存在一定的局限性，其收斂性依賴于函數的性質和初始值的選擇
2 試題呈現與解析
例1（雅禮中學2024屆高三3月測試題）物理學家牛頓用”作切線 \" 的方法求函數零點時，給出了”牛頓數列\"，它在航空航天中應用非常廣泛.其定義是：對于函數 f（x） ，若滿足 
f（xn）=0 ，則稱數列 {xn} 為牛頓數列.已知 f（x）= x4 ，在橫坐標為 x1=1 的點處作 f（x） 的切線，切線與x 軸交點的橫坐標為 x2 ，用 x2 代替 x1 重復上述過程得到 x3 ，一直下去，得到數列 {xn}. （1）求數列{xn }的通項公式；（2）若數列 {n?xn} 的前 n 項和為Sn ，且對任意的 n∈N* ，滿足 
，求整數 λ 的最小值.
解析（1）對 f（x）=x4 求導得 f′（x）=4x3 則由牛頓數列的定義 （xn+1-xn）f′（xn）+f（xn）=0 ，可得 （xn+1-xn）×4xn3+xn4=0. 因為 xn≠0 （從迭代的實際意義來看，初始值 x1= 1≠0 ，且后續迭代過程中若 xn=0 則無法按規則繼續迭代），所以 xn+1= xn所以數列{x}是以=1為首項， 
為公比的等比數列，其通項公式 
（2）由（1）知 
，易得求 Sn= 
由 ①-② 得 
所以 Sn= （204號
因為 
，即 
，化簡得 
設 
，計算得 
當 nlt;5 時 ，bn+1-bngt;0，bn 單調遞增;當 n= 5時， bn+1-bn=0 ；當 ngt;5 時， bn+1-bnlt;0，bn 單調遞減.所以b的最大值為bs=b。=4×9×9
，所以整數 λ 的最小值為30.
評析本題第（1）問通過對牛頓數列定義的運用，導出數列 {xn }的遞推關系，進而確定其為等比數列，考查學生對新定義的理解.第（2）問在求數列{n?{xn. 的前 n 項和時，運用錯位相減法，考查學生的運算能力.最后求整數 λ 的最小值，通過構造新數列并分析其單調性，綜合考查學生對數列性質的靈活運用能力.
例2（安徽六安第二中學25屆高三模擬試題）從函數的觀點看，方程的根就是函數的零點，設函數的零點為 r. 牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法一牛頓法.具體做法如下：先在 x 軸找初始點 P0（x0，0） ，然后作 y=f（x） 在點 Q0（x0，f（x0）） 處切線，切線與 x 軸交于點P1（x1，0） ，再作 y=f（x） 在點 Q1（x1，f（x1） 處切線（Q1P1⊥x 軸，下同），切線與 x 軸交于點 P2（x2，0） ，再作 y=f（x） 在點 Q2（x2，f（x2）） 處切線，一直重復，可得到一列數 Φ：x0Φ，x1Φ，x2Φ，…，xn .顯然，它們會越來越逼近 r. 于是，求 r 近似解的過程轉化為求 xn ，若設精度為 ε ，則把首次滿足 ∣xn-xn-1∣lt;ε 的 xn 稱為 r 的近似解.
（1）設 f（x）=x3+x2+1 ，試用牛頓法求方程f（x）=0 滿足精度 ε=0.4 的近似解（取 x0=-1 ，且結果保留小數點后第二位）；
（2）設函數 
（i）由以前所學知識，我們知道函數 g（x）=2x 沒有零點，你能否用上述材料中的牛頓法加以解釋？
（ii）若設初始點為 P0（0，0） ，類比上述算法，求所得前 n 個三角形 
， 
ΔPn-1Qn-1Pn 的面積和.
解析（1）由 f（x）=x3+x2+1，f′（x）=3x2 +2x ，及牛頓迭代法公式，當 x0=- 1 時 f（x0）=1 ，f（x0）=1，則x1 =x-f（x） 
（204號
，則 
≈-1.63.從而|x2-|=|-1- 
0.375lt;0.4 ，滿足精度要求，所以方程 f（x）=0 滿足精度 ε=0.4 的近似解為 x2≈-1.63
（2）（i）由 g（x）=2x，g′（x）=2xln2 及牛頓迭代法公式得 
，所以 {xn }是遞減數列.又因為 g（x）=2xgt;0 恒成立，無論 xn 如何迭代，都無法使 g（ΦXn）=0 ，所以用牛頓法可以解釋 g（x） =2x 沒有零點.
（2 （ii）g（x）=2x，g′（x）=2xln2 ，當 x0=0 時，g（Φx0）=20=1，g′（Φx0）=20ln2=ln2 ，則 x1=x0- 
此時 
的底為
高為 g（ρx0）=1 ，面積為 
由于每次迭代的規律相同，后續三角形的底都為 
，高依次為 g（x1），g（x2），… ，但因為每次迭代的xn變化規律是n+1 =χn-in2' ，所以前 n 個三角形的高都為1（這里是因為 
在 x 每次變化 
時，在這種特殊情況下高不變）.所以前 n 個三角形的面積和 
評析本題（1）問通過具體函數 f（x）=x3+ x2+1 ，考查學生對牛頓迭代法的實際應用能力，包括求導運算，迭代公式的運用以及對精度概念的理解和判斷.第（2）問的（i）小問將牛頓迭代法與函數零點的性質相結合，考查學生對函數和迭代法本質的理解，以及邏輯推理能力.（ii）小問則類比牛頓迭代法的思路，結合三角形面積公式，考查學生的知識遷移能力和綜合運用數學知識解決問題的能力.
例3 （廣東深圳外國語25 屆高三模擬試題）設 r 是函數 y=f（x） 的一個零點，任意選取 x0 作為r 的初始近似值，過點 （x0，f（x0） ）作曲線 y=f（x） 的切線 l1 ，設 l1 與 x 軸交點的橫坐標為 x1 ，并稱 x1 為 r 的1次近似值;過點 （x1，f（x1） ）作曲線 y=f（x） 的切線 l2 ，設 l2 與 x 軸交點的橫坐標為 x2 ，稱 x2 為 r 的2次近似值.一般地，過點 （xn，f（xn））（n∈N*） 作曲線的 y=f（x） 切線 ln+1 ，記 ln+1 與 x 軸交點的橫坐標為 xn+1 ，并稱 xn+1 為 r 的 n+1 次近似值，稱數列{xn} 為牛頓數列.
（1）若 f（x）=x3+x-1 的零點為 r，x0=0 ，請 用牛頓切線法求 r 的2次近似值; （2）已知二次函數 g（x） 有兩個不相等的實數 根 b，c（cgt;b） ，數列 {xn} 為 g（x） 的牛頓數列，數列 {cn }滿足 
，且 
（i）設 xn+1=h（xn） ，求 h（xn） 的解析式；
（ii）證明 
解析 （1）f（x）=x3+x-1 ，且 f′（x）=3x2+ 1.已知 x0= 0 ，則 f（x0）=-1，f′（x0）=1 根據牛頓迭代法公式得=χ?（x） 
利用 f（x1）=1，f′（x1）=4 ，得 x2=x1- 
，所以 r 的2次近似值為 
（2）（i）設 g（x）=a（x-b）（x-c）（a≠0） ，對 其求導得 
根據牛頓迭代法公式可得 
1
，所以 h（xn）= 
（ii）已知 
則 
通過計算有 
1=c2-cn，因為xgt;c，所以cn 
gt;1 （因為 
.又因為 cn+1-cn= 
，所以數列 {cn 單調遞增．從而 
因為 cngt;1 ，所以 
，且 cn 單調遞增， c1 為最小項.
對于 
，由于 ckgt;c1（kgt;1） ，我們可以嘗試用放縮法來處理.考慮函數 
（204號c12+c22+…+cn212 （因為 ck212，k=1，2，…，n）
接下來分析」__1 
的關系.因為 c1gt;1，lnc1gt;0 ，我們可以通過函數的單調性等方法進一步證明 
，所以」+1+ 
評析（i）小問通過對二次函數的牛頓迭代過程的推導，求出 h（xn） 的解析式，考查了學生的代數運算能力和對函數與數列關系的理解.（ii）小問的證明需要學生利用 cn 的表達式推導出 
1_⊥的關系，進而分析數列 {cn 的單調性，再利用放縮法等技巧完成不等式的證明.
