例探解析幾何問題中的隱含同構(gòu)結(jié)構(gòu)

摘要代數(shù)法是研究解析幾何問題的基本方法，而運(yùn)用該方法最重要的是構(gòu)建各種代數(shù)式或者方程.本文闡述了同構(gòu)式的基本特征以及在解析幾何中的具體應(yīng)用，并提出了構(gòu)建同構(gòu)式解決問題的幾點(diǎn)建議.

關(guān)鍵詞同構(gòu)式;代數(shù)法;解析幾何

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)中的主干內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).解析幾何問題的解決都繞不開運(yùn)用直線方程和曲線的方程聯(lián)立，建立交點(diǎn)（或切點(diǎn)）的某個(gè)坐標(biāo)滿足的一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理（或直接求出交點(diǎn)（或切點(diǎn)）），然后代人題目中的條件求得結(jié)果.這種解法運(yùn)算量較大，學(xué)生容易產(chǎn)生“心有余而力不足”之感，因此，對(duì)于解析幾何中的某些問題，探求簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法是必要的.構(gòu)造同構(gòu)式解題將會(huì)一定程度上降低運(yùn)算量，提升數(shù)

學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

1 兩個(gè)案例一從零理解同構(gòu)式及其構(gòu)造

案例1（切點(diǎn)弦所在直線方程）設(shè)二次曲線 ，過點(diǎn) P（x₀ ，y₀ ）作 T 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 ^A，B ，則直線 AB 的 （204號(hào)

證明 設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，則知 T 在 A 處的切線方程為 y+F=0，在B處的切線方程為Axχ + 為 T 在 ^A，B 兩點(diǎn)處的切線都經(jīng)過 P ，所以 Ax₀x₁+ Ey+y+F =0②.所以直線AB的方程為Axχ +

評(píng)注上述過程中的 ① 和 ② 兩個(gè)方程是結(jié)構(gòu)相同的方程，不同之處是方程中 ^A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)不同.由于經(jīng)過不同兩點(diǎn) ^A，B 的直線是唯一確定的，且任意直線的一般方程都是關(guān)于直線上任一點(diǎn) （x，y） 的二元一次方程.因此可以肯定直線 AB 的方程為 ε=0 .那么，為什么可以運(yùn)用這種方法解決問題？原因在于 ^A，B 兩點(diǎn)具有相同的幾何特征.首先直線 PA 和 PB 都與曲線 T 相切且兩條切線都經(jīng)過 P ，其次直線 PA 和 PB 可以理解為曲線 T 分別在 ^A，B 處的切線，而曲線 T 上任一點(diǎn)處的切線方程具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu).

案例2 （橢圓的“蒙日?qǐng)A”方程）設(shè)橢圓 T 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，過點(diǎn) P（x₀，y₀） 作 T 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 ^A，B. 若 PA⊥PB ，則 P 的軌跡方程為 x²+y²=a²+b² ：

證明 （僅以焦點(diǎn)在 x 軸上的情形進(jìn)行說(shuō)明）若 T 的過 P 的切線 PA 和 PB 的斜率存在，設(shè)切線方程為則 y₀=kx₀+m 聯(lián)立 消去 y 得 （a²k²+b²）x²+ 2a²kmx+a²m²-a²b²=0. 則 Δ=4a²b²（a²k²+b²- m²）=0 ，即 a²k²+b²-m²=0 ，即 a²k²+b²-（y₀- kx₀Ψ）²Ψ=0 ，整理得 （a²-x₀²）k²+2x₀y₀k+b²-y₀²= 0.設(shè)切線 PA 和 PB 的斜率分別為 k₁，k₂ ，則 k₁，k₂ 為方程 （a²-x₀²）k²+2x₀y₀k+b²-y₀²=0 的兩根.因?yàn)?PA⊥PB ，所以 ，整理得 當(dāng)兩條切線 PA 和 PB 其中一條切線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)也適合方程 x₀²+y₀²= a²+b² .因此， P 的軌跡方程為 x²+y²=a²+b²

評(píng)注上述解答過程中隱藏著結(jié)構(gòu)相同的方程，即 （a²-x₀²）k₁²+2x₀y₀k₁+b²-y₀²=0 和（ a² -x₀²）k₂²+2x₀y₀k₂+b²-y₀²=0 ，由此可得到 k₁ ，k₂ 滿足的一元二次方程.為什么可以運(yùn)用這種方法解題？原因在于 PA，PB 具有相同的幾何特征.首先PA，PB 都與橢圓相切， PA，PB 都經(jīng)過同一點(diǎn) P 因此，若 T 的過 P 的切線 PA 和 PB 的斜率都存在，則它們的方程可以用統(tǒng)一形式假設(shè)，進(jìn)而運(yùn)用一元二次方程的韋達(dá)定理構(gòu)建斜率關(guān)系解題

綜上所述，當(dāng)幾何圖形中的兩個(gè)以上的幾何要素具有相同的兒何特征時(shí)，可以構(gòu)造同構(gòu)方程或代數(shù)式解題.具體解題流程為：

第一步，明確要研究的幾何要素，如點(diǎn)、線（包括直線，曲線）；

第二步，明確幾何要素滿足的幾何特征，如點(diǎn)在直線（曲線）上，直線與曲線相切，若干條直線過同一點(diǎn)等等；

第三步，選擇合適的方法構(gòu)建同構(gòu)方程（或代數(shù)式）.

以上解題過程中，最關(guān)鍵的是第二步，只有明確同構(gòu)式產(chǎn)生的根源，才能通過第三步選擇合適的方法構(gòu)建同構(gòu)式.

2 典例探析

例1（兩直線經(jīng)過同一點(diǎn)構(gòu)造同構(gòu)）已知 F 為 拋物線 C：y²= 4x 的焦點(diǎn)，過 F 作兩條互相垂直的 直線 l₁ ， l₂ ，直線 l₁ 與 C 交于 ^A，B 兩點(diǎn)，直線 l₂ 與 c 交于 _D，E 兩點(diǎn)，則 ∣AB∣+∣DE∣ 的最小值為.

A. 16 B.14 C. 12 D. 10

解由題知直線 l1，l2 的斜率都存在且不為零，設(shè) l1 的斜率為 k1 ，則 l2 的斜率為 設(shè)直線 l1，l2 的統(tǒng)一方程為 y=k（x-1） .聯(lián)立 {y2y=k（x-1）， 消去 y 整理得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0

設(shè)方程 k²x²-（2k²+4）x+k²=0 的兩個(gè)根分別為 x₁，x₂ ，則由韋達(dá)定理得 τ=1.

設(shè)直線 y=k（x-1） 截 C 所得弦長(zhǎng)為 L ，則 L= 以 k₁ ， 代替 L 中的 k 得 ∣CD∣=4（1 .所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 即 k₁ Ψ=±Ψ1 時(shí)取得等號(hào)，所以 ∣AB∣+∣DE∣ 的最小值為16.

評(píng)注直線 l₁，l₂ 都過點(diǎn) F ，且都與拋物線相交，因此它們具有相同的幾何特征，將它們的方程統(tǒng)一進(jìn)行假設(shè)，由弦長(zhǎng)公式得到 ∣σ_∣AB 丨和丨CDI的統(tǒng)一表達(dá)式L=4（1+2） ，再用 l₁，l₂ 的斜率替換弦長(zhǎng) L 的斜率 k 即可得到 ∣AB∣ 和 ∣?CD∣ ，最后運(yùn)用基本不等式求得最值.本題中，弦長(zhǎng)l AB∣ 和 ∣CD∣ 所滿足的代數(shù)式結(jié)構(gòu)相同，即是同構(gòu)代數(shù)式.值得說(shuō)明的是，在表示弦長(zhǎng) ∣∣AB 一和 |?CD? 1時(shí)，也可用拋物線的定義得到.

例2（兩直線與曲線相切構(gòu)造同構(gòu)）拋物線 c 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) o. 焦點(diǎn)在 x 軸上，直線 l：x=1 交 C 于 P，Q 兩點(diǎn)，且 OP⊥OQ. 已知點(diǎn) M（2，0） ，且 ?M 與 l 相切.

（1）求 C 和 ?M 方程；

（2）設(shè) A₁，A₂，A₃ 是 c 上的三個(gè)點(diǎn)，直線 A₁A₂ A₁A₃ 均與 ?M 相切.判斷直線 A₂A₃ 與 ?M 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解 （1）C 的方程為 y²=x ?M 的方程為 （x- ，過程略.

（2）設(shè) A₁（x₁y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）. 若 A₁A₂ 斜率不存在，則 A₁A₂ 方程為 x= 1 或 x=3

若 A₁A₂ 方程為 x=1 ，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè) A₁ （1，1），則過 A₁ 與圓 M 相切的另一條直線方程為 y=1 此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在 A₃ 不合題意;

若 A₁A₂ 方程為 x=3 ，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè) A₁ （3， ） ，則過 A₁ 與圓 M 相切的直線 A₁A₃ （x-3），又kAA3 所以 y₃=0，x₃=0 ，所以 A₃（0，0） ，此時(shí)直線 A₁A₃，A₂A₃ 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，所以直線 A₂A₃ 與圓 M 相切;

若直線 A₁A₂，A₁A₃，A₂A₃ 斜率均存在，則 k_A1A2= ，所以直線A₁A₂ 方程為 ，整理得 x-（y₁） ，同理直線 A₁A₃ 的方程為 x-（y₁ +y₃）y+y₁y₃=0 ，直線 A₂A₃ 的方程為 x-（y₂+y₃）y （204號(hào) ，因?yàn)?A₁A₂ 與圓 M 相切，所以 整理得 （y₁²-1）y₂²+2y₁y₂+3 ，因?yàn)?A₁A₃ 與圓 M 相切，同理 +2y₁y₃+3-y₁²=0②. 所以 y₂，y₃ 為方程 （y₁²-1）y² +2y₁y+3-y₁²=0 的兩根， 到直線 A₂A₃ 的距離 " ，所以直線 A₂A₃ 與圓 M 相切.

綜上，若直線 A₁A₂，A₁A₃ 與圓 M 相切，則直線A₂A₃ 與圓 M 相切.

評(píng)注首先推導(dǎo)由拋物線上兩點(diǎn)確定的直線方程表達(dá)式，利用直線 A₁A₂，A₁A₃ 與圓 M 相切，構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)的方程 ①② ，從而得到 A₂，A₃ 的縱坐標(biāo)之和與之積，進(jìn)而利用圓心到直線的距離與圓半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系. A₁，A₂，A₃ 三點(diǎn)都在拋物線上，它們具有相同的幾何特征，所以直線 A₁A₂，A₁A₃，A₂A₃ 的方程具有相同的結(jié)構(gòu).此外，直線 A₁A₂，A₁A₃ 均與圓 M 相切，利用直線與圓相切的條件也可構(gòu)建兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的方程，從而構(gòu)造同構(gòu)式是可行的.

例3（兩點(diǎn)均在曲線上構(gòu)造同構(gòu)型）已知橢圓

過點(diǎn) A（0，-2） ，以四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為

（1）求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過點(diǎn) P（0，-3） 的直線 l 的斜率為 k ，交橢圓 E 于不同的兩點(diǎn) ^B，C ，直線 AB 交 y=-3 于點(diǎn) M 直線 AC 交 y=-3 于點(diǎn) N ，若 ∣PM∣+∣PN∣?15 ，求 k 的取值范圍.

解（1）橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （過程略）.（2）設(shè) ^AB，AC 的直線方程分別為 y=k₁x-2 y=k₂x-2 ，易知 聯(lián) （20 得

將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代人橢圓方程 4x²+5y²=20 ，得4+5（3k₁-2k）²=20（k-k₁）² ，整理得 25k₁²-20kk₁ +4=0① ，同理 25k₂²-20kk₂+4=0②. 所以 （204號(hào) 400k²-400gt;0 ，解得 ∣k∣gt;1，k₁，k₂ 是方程 25x²- 20kx+4=0 的兩根，所以 因?yàn)?k₁ ，k₂ 同號(hào)，所以 ，解得 -3?klt;1 或 1 （202

評(píng)注點(diǎn) B 是直線 AB，l，E 的公共點(diǎn)， C 是直線AC，l，E 的公共點(diǎn)，它們具有相同的幾何特征.首先用直線 AB 與 l 聯(lián)立求得 B 的坐標(biāo)，那么 c 的坐標(biāo)與B 的坐標(biāo)具有相同的結(jié)構(gòu)，再利用 ^A，B 兩點(diǎn)在 E 上構(gòu)建關(guān)于直線 ^AB，AC 斜率的相同結(jié)構(gòu)的方程，最后表示 ∣PM∣+∣PN∣ 求得結(jié)果.運(yùn)用構(gòu)造同構(gòu)式解決本題減少了運(yùn)算量，有利于提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

例4 （共線向量系數(shù)構(gòu)造同構(gòu)型）如圖1，橢圓 經(jīng)過點(diǎn) ，離心率 ，直線 l 的方程為 x=4

（1）求橢圓 c 的方程；

（2）AB 是經(jīng)過右焦點(diǎn) F 的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn) P ，設(shè)直線 AB 與直線 l 相交于點(diǎn) M 記 PA，PB，PM 的斜率分別為 k₁，k₂，k₃ 間：是否存在常數(shù) λ ，使得 若存在，求 λ 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解（1）橢圓 C 的方程 ，過程略.

圖1

（2）設(shè) M（4，m） ，則 設(shè) 則 將 A 的坐標(biāo)代人橢圓方程，得 ，整理得 9t²=4m²+36 設(shè) ，同理可得 9s²=4m²+36 因?yàn)?s≠t ，所以 s=-t. 所以 同理 ，所以 2k₃ ，所以存在常數(shù) λ=2 符合題意.

評(píng)注構(gòu)造兩組共線向量 與 BF，在這兩組共線向量中，A，B兩點(diǎn)具有相同的結(jié)構(gòu)特征，因此它們的坐標(biāo)具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，利用 ^A，B 兩點(diǎn)在橢圓上構(gòu)造兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的方程.相比常規(guī)解法，該解法新穎別致.

構(gòu)造同構(gòu)式在解析幾何問題中的應(yīng)用非常廣泛，其理論基礎(chǔ)是圖形中的相關(guān)幾何要素具有相同的幾何特征，在相同的幾何特征支撐下，會(huì)導(dǎo)致相應(yīng)幾何量具有相同代數(shù)結(jié)構(gòu)的表示，從而可用構(gòu)造同構(gòu)式的方法解題.在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，一定要對(duì)圖形中幾何要素間的位置關(guān)系，度量關(guān)系等深人分析，找到構(gòu)建同構(gòu)式的基礎(chǔ)，方能順利解題。