平面區域中的整數解問題解法探究
2025-09-08 00:00:00胡云端
中學數學研究 2025年8期
1真題呈現
（2024湖北中考數學T24）在平面直角坐標系中，拋物線 y=-x2+bx+3 與 x 軸交于點 A（ε-1，0） （2和點 B ，與 y 軸交于點 C
（1）求 b 的值;
（2）如圖 1，M 是第一象限拋物線上的點，∠MAB=∠ACO ，求點 M 的橫坐標;
（3）將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為 L，L 與 y 軸交于點 N. 如圖2，設 L 的頂點橫坐標為 n，NC 的長為 d
① 求 d 關于 n 的函數解析式；
圖1
圖2
②L 與 x 軸圍成的區域記為 ΔU，U 與 ΔABC 內部重合的區域（不含邊界）記為 W ，當 d 隨 n 的增大而增大，且 W 內恰好有兩個橫、縱坐標均為整數的點時，直接寫出 n 的取值范圍.
解析 （1）（2）略.
（3）①? ：將二次函數沿水平方向平移，：圖象L 的解析式為 y=-（x-n）2+4=-x2+2nx-n2 
∣-n2+4-3∣=∣-n2+1∣ ，
② 由 ① 得的解析式可畫出大致圖象如圖3，： d 隨著 n 增加而增加，： - 1?n?0 或 n?1 ΔABC 中含（0，1），（0，2），（1，1）三個整點（不含邊
界）.
情形1：當 U 內恰有2個整數點（0，1），（0，2）時，當 x=0 時， .yLgt;2 ，當 x= 1 時， .yL?1 ， -n2+ 4gt;2 且 -（1-n）2+ 4?1 ， 
圖3
或 
或 
情形2：當 U 內恰有2個整數點（0，1），（1，1）時，當 x=0 時， .1L?2 ；當 x= 1 時， 
，： ?-n2+4≤2 且 -（1-n）2+4gt;1 ， 
或 
或 
情形3：當 U 內恰有2個整數點（0，2），（1，1）時，此種情況不存在，舍去.
綜上所述， n 的取值范圍為 
或 
評注本題主要考查了二次函數綜合，包括用待定系數法求二次函數表達式及二次函數與線段交點的問題，也考查了二次函數與不等式，相似三角形的判定和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質以及數形結合法是解題關鍵.
2 變式探究
變式在平面直角坐標系 xOy 中，直線 l：y= a（x+2）（agt;0） 與 x 軸交于點 A ，與拋物線 E：Y= ax2 交于 B，C 兩點（ B 在 c 的左邊）.
（1）求 A 點的坐標;
（2）如圖4，若 B 點關于 x 軸的對稱點為 B′ 點，當以點 A，B′，C 為頂點的三角形是直角三角形時，求
實數 a 的值;
（3）定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數的點叫作格點，如（-2，1），（2，0）等均為格點.如圖5，直線 l 與拋物線 E 所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點數恰好是26個，求a 的取值范圍.
圖4
解析 （1）（2）略.（3）如圖6，直線 l 與拋物線 E 所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在 y 軸和直線 x=1L…D（0，2a） E（1，a），F（1，3a），∴OD =EF=2a? ：格點數恰好是26個，落在 y 軸和直線 x=1 上的格點數應各為13個，：落在 y 軸的格點應滿足13lt;2a?14 ，即
圖5
圖6
① H 13 lt; 2 alt;7 ，則即 
Elt;7 ，所以線段 EF 上的格點應該為（1，7），（1，
② 若 a=7，yE=7，yF=21 ，所以線段 EF 上的格點正好13個.
綜上， 
或 a=7
評注本題關鍵是弄清格點只能落在 y 軸和直線 x=1 上，各為13個，并對點 D，F 進行定位.
3 類似題求解
例已知函數 
+12）x+2a ，若不等式 f（x）?g（x） 的解集中恰有兩個整數，則實數 αa 的取值范圍是
解析 
，故當 
時，（204號 f′（x）lt;0 ;當 
時 
（20在 
上單調遞減， 
上單調遞增，且f（1）=0 ，又 
的函數圖象開口向下，對稱軸為 x 
f（x）?g（x） 個整數，作圖如7、8所示.
圖7
圖8
（1）若不等式 f（x）?g（x） 的解集中恰有兩個
整數是 
無解.（2）若不等式 f（x）?g（x） 的解集中恰有兩個
（204號
整數是2，3， ，解得 
（204號
：實數 Ωa 的取值范圍是 
4 解題方法歸納
函數中的整數解問題是一般含參問題的特殊化，解題中可采用以下方法求解
（1）能夠參數分離的，通常情況下可利用半分離方法將問題轉化為直線與曲線的位置關系，分別作出兩個函數的圖象找交點；對于直線過定點，只需將直線旋轉即可得到臨界位置，進而列出不等式（組）求出參數的取值范圍；
（2）對于有些函數不能參數分離或者分離很復雜的時候，需要根據函數的特點，對參數進行分類討論再求解；
（3）整數解的問題，關鍵是找出相應的整數解；（4）數形結合和構造思想是解決整數解問題的關鍵.
