立德樹人 服務選才 引導教學

1引言

中考數學既承擔著檢驗學生初中階段數學知識掌握程度、關鍵能力與學科素養水平，選拔適配高中階段學習人才的重任，又通過科學命題引導初中數學教學方向，促進師生重視基礎、培養思維，落實課程目標，推動基礎教育階段知識體系的扎實構建，還能以融入生活實際與育人理念的試題助力學生樹立正確價值觀、增強社會責任感與審美素養，為學生全面發展奠定基礎.因此，中考數學命題絕非簡單的試題編制，而是一項關乎學生成長、教育質量提升的系統工程，其重要性不言而喻.它不僅深刻影響著學生當下的學業成就，更在長遠維度上塑造著學生的未來，為他們走向更高層次的學習與生活鋪就堅實道路.

2中考數學命題方向

中考數學作為義務教育階段的重要評估方式，其試題命制方向深刻影響著學生的發展與教育質量的提升.在“雙減”政策全面落地實施的大背景下，中考數學試題必須精準對標義務教育初中課程標準（2022年版）[1]，充分發揮其在立德樹人方面的隱性教育功能，成為培育學生正確價值觀與道德品質的有力助推器；在服務選才層面，要憑借科學合理的題型設置與難度梯度，精準甄別出不同層次與潛力的學生，為高中教育輸送適配人才；在引導教學領域，更要通過精心設計的試題內容與創新題型，切實引導初中數學教學回歸本質，助力師生高效落實課程目標，全方位推動教育高質量發展

2.1 融入多元情境踐行立德樹人

2022年，習近平總書記在黨的二十大報告中著重指出，要全方位貫徹黨的教育方針，扎實落實立德樹人這一根本任務，致力于培育出在德、智、體、美、勞各方面均能全面發展的社會主義建設者與接班人.因此，中考數學試題應實現立德樹人功能.結合數學學科特點，試題可以從挖掘數學文化內涵、聯系生活實際、設置情境與問題等方面入手，如在試題中引入數學史上的故事、數學家的生平事跡或重大數學發現等內容，讓學生在解題過程中感受傳統文化魅力，增強民族自豪感.以社會熱點問題為背景設計數學試題，如環保問題、經濟發展問題、科技創新問題等，這類題目讓學生意識到數學在解決社會問題中的重要性，培養他們關注環境、關心社會的意識和責任感.另外，解題時所需要的相關數學思想方法也是立德樹人重要的途徑.但一個值得注意的關鍵問題是，中考數學命題在借助情境融入以達成立德樹人目標的過程中，切不可采取生硬、機械的融人方式，這樣可能導致情境與數學知識考查相互割裂，使學生在解題時感到突兀，難以真正領會其中蘊含的育人價值.例如，若僅僅為了體現環保主題，在一道簡單的方程計算題前強行添加一段冗長且與計算毫無關聯的環保背景描述，不僅無法讓學生在數學學習中自然地接受品德教育，反而可能分散學生的注意力，影響其對數學問題本身的理解與解答.這就要求命題者深人挖掘數學知識與各類育人主題之間的內在聯系，精心設計情境

2.2 多維策略實現高效選才

中考數學試題作為選拔性考試的關鍵部分，其在服務選才方面發揮著極為重要的作用，因此，在命題時應嚴格依據課程標準，對初中數學代數、幾何、統計與概率等板塊的核心知識進行全方位考查，同時，深入挖掘知識內涵，拓展考查廣度，對于同一知識點，設置不同層次的問題.通過合理設置試題的難度梯度，大比例基礎題保證大部分學生能夠得分，體現考試的公平性，中等比例的中等題區分出具有中等數學素養和學習能力的學生，為高中選拔具備進一步學習能力的生源，少量難題用于選拔數學思維敏銳、具有創新和高階邏輯推理能力的學生，滿足高中對優秀人才的選拔需求.另外，命題應聚焦數學抽象、數學建模及邏輯推理等核心素養考查，結合社會熱點等設置探索諸如開放性問題、新定義、跨學科等創新題型，選拔具有綜合素養、跨學科思維、較強學習潛力及創新思維和探索精神的復合型人才.

2.3全方位引導教學提質增效

中考數學試題可通過創新題型設計、優化內容導向、合理把控難度等多方面來實現引導教學的功能.如跨學科、探究性試題能引導教師在教學中注重學科間的聯系與融合，培養學生綜合運用多學科知識解決問題的能力，促使教師在教學中開展探究式學習活動，引導學生主動參與知識的發現和建構過程，培養學生的探究能力和創新精神.以課程標準中的核心知識為重點命題，引導教師在教學中緊扣教材和課程標準，合理分配教學時間和精力，突出重點，幫助學生構建完整的知識體系，減輕學生課外負擔.在試題中滲透數學思想方法及數學文化，引導教師豐富教學資源，教授知識的同時注重數學思想方法的滲透和培養.試題整體設置合理的難度梯度，由易到難分布，引導教師在教學過程中引導教師在教學中關注全體學生，重視基礎知識的教學，提升教學質量，促進學生全面發展

3一道以拋物線為載體的代數幾何綜合試題的命制

3.1 試題展示

設拋物線 y=ax²+bx+c 的頂點 P 的縱坐標為a+b+c. （20

（1）求 ^a，b 應滿足的數量關系；

（2）若拋物線上任意不同兩點 A（x₁，y₁），B（x₂，y₃） y₂ ）都滿足：當 時， （x₁-x₂）（y₁-y₂） （204lt;0 ；當 時， （x₁-x₂）（y₁-y₂）gt;0. 直線 y=c 與拋物線交于 M，N 兩點，且 ΔPMN 為等腰直角三角形. ① 求拋物線的解析式； ② 若直線 AB 恒過定點（1，1），且以 AB 為直徑的圓與直線 總有公共點，求 m 的取值范圍.

3.2 命題思路

拋物線是初、高中數學知識承上啟下的一個重要連接點，課程標準對拋物線的基本概念和性質的考查達到探究性理解的水平.本文以函數的基本概念、性質及拋物線圖形相關特點作為切入點進行命題，設置兩個問題，一是通過對拋物線的解析式、頂點坐標、圖像性質、一元二次方程根的存在性、韋達定理等考查學生對基本知識與概念的掌握情況；二是通過對拋物線與一元二次方程、拋物線與平面幾何中的直線、三角形及圓的關系等相關知識進行綜合考查，解題過程需要一定的探究過程，具有一定的運算量和較強的靈活性，考查待定系數法、函數與方程思想以及分類討論思想等數學思想方法，突出對學生的探究能力、數形結合能力、分類與整合能力以及綜合運用數學知識分析并解決問題的能力等數學核心素養的考查.

3.3 加工與調整

根據命題思路，確定第一稿題目如下：

已知拋物線 C：y=ax²+bx+c ，頂點 P 的坐標為（1，0）.

（1）求 ^a，b 應滿足的數量關系；

（2）直線 Ψ_y=Ψ_c 與拋物線交于 M，N 兩點，且ΔPMN 為等腰直角三角形. ① 求拋物線的解析式；② 若直線 _AB 恒過定點（1，1），且 ΔABP 為直角三角形，求直線的解析式.

分析第（1）小題考查已知函數頂點坐標的計算方法及觀察兩個代數式之間所滿足的等式關系；第（2）小題在第 ① 問求出頂點坐標的基礎上與直角三角形幾何問題相結合，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到拋物線的解析式，難度中等；第 ② 問聯立直線與拋物線的解析式，利用韋達定理以及相似的相關知識可解

考慮到第（1）問和第（2）問之間的整體難度梯度性不強，確定第二稿題自如下：

已知拋物線 C：y=ax²+bx+c ，頂點 P 的縱坐標為 a+b+c

（1）求 ^a，b 應滿足的數量關系；

（2）若拋物線上任意不同兩點 A（x₁，y₁），B（x₂ y₂ ）都滿足：當 時， lt;0 ；當 時， （x₁-x₂）（y₁-y₂）gt;0. 直線 y=c 與拋物線交于 M，N 兩點，且 ΔPMN 為等腰直角三角形. ① 求拋物線的解析式； ② 若直線 _AB 恒過定點（1，1），且 ΔABP 為直角三角形，求直線的解析式.

分析改完后的第（1）問降低了難度，只需要觀察頂點縱坐標 a+b+c 與拋物線表示的關系特征，很容易發現存在的關聯；將原本條件中的縱坐標為0用函數增減性在第（2）的 ① 小題中進行表述，使得整體難度具有梯度感

考慮到直線與圓的位置關系、三角形相似、直角三角形中邊與角的關系也是初中數學的一個重要內容，確定第三稿題目如下：

設拋物線 y=ax²+bx+c 的頂點 P 的縱坐標為a+b+c.

（1）求 ^a，b 應滿足的數量關系；

（2）若拋物線上任意不同兩點 A（x₁，y₁），B（x₂， （2號y₂ ）都滿足：當 時， （x₁-x₂）（y₁-y₂） （20lt;0 ；當 時， （x₁-x₂）（y₁-y₂）gt;0. 直線 y=c 與拋物線交于 M，N 兩點，且 ΔPMN 為等腰直角三角形. ① 求拋物線的解析式； ② 若直線 AB 恒過定點（1，1），且以 AB 為直徑的圓與直線 y=m 總有公共點，求 ?_m 的取值范圍.

分析前兩小題不變;最后一問在第二稿中難度不大，沒有一定的區分度，所以提升難度，改成“恒成立”問題：總有實數根等價于不等式恒成立.考查的相關知識有：韋達定理、三角形相似、函數與方程、不等式間的關系等，具有較強的綜合性

3.4 解答分析

3.4.1 思路分析

第（1）小題求解的關鍵點在于求出頂點坐標并探究坐標之間的關系，而易錯點在于含參二次函數由一般式轉化為頂點式學生在計算上容易出現問題.

第（2）小題第 ① 問求解的關鍵點是結合第（1）小題的結論，再利用數形結合思想從已知條件中再找出 ^a，b，c 所滿足的其他等式關系，這是本小題的一個易錯點和難點.

第（2）小題中的第 ② 問，一般的思路就是根據兩個函數的交點問題所滿足的式子里尋找所滿足的不等式，但圓的方程在中學還沒涉及到，因此需要根據圖形找出其他的等式，從中尋找所滿足的不等式，本小題的關鍵點在于利用數形結合的數學思想方法，將圓與直線之間的交點問題轉化成三角形邊長之間的關系，體現了數形結合與轉化思想，同時為拋物線與斜線段交點問題提供了解答思路

3.4.2 解法呈現

解（1）（法一）由題得 （204號 ∴4a²+4ab+b²=0∴2a+b=0

（法二）當 x=1 時 ?y=a+b+c ，即該拋物線經過點 （1，a+b+c） ，又拋物線的頂點 P 的縱坐標為a+b+c ，則點 （1，a+b+c） 是拋物線的頂點，則 ，即 2a+b=0

（2） ① 當 時， （x₁-x₂）（y₁-y₂）lt; 0；即當 x₁2 時， y₁gt;y₂ ，即當 時， y 隨 x 的增大而減小;同理，當 時， y 隨 x 的增大而增大.所以 agt;0 ，且對稱軸為 a，b=-2a ，故拋物線為 y=a（x-1）² .令 y=c ，則ax²-2ax+a=a ，解得 x=0 或 2，∴MN=2

如圖1，過點 P 作 PH⊥MN 于 H，…ΔPMN 為等腰直角三角形，： ，： a=1

：．解析式為 y=x²-2x+1

② 直線 AB 恒過定點（1，1），故可設 AB 解析式電為 y=kx-k+1. 聯立 愛得 x²-（2

，從而x₁+x₂=k+2，x₁x₂ Θ=k

圖1

如圖2，設以 AB 為直徑的圓與直線 y λ=λ_m 交于點 Q（q， m ），則 （2090^° ，分別過 ^A，B 作直線 y=m 的垂線 AC BD ，垂足分別為 c ，D 則 ∠QAC =∠BQD，∴tan∠QAC = tan∠BQD， 即 三

圖2

y₂）m+y₁y₂=q（x₁+x₂）-x₁x₂-q². （20： ，且 x₁+x₂ 1 ，整理得 q²-（2+k）q+m²-（k²+2）m+ 1+k=0（*） ：

：以 AB 為直徑的圓與直線 y=m 總有公共點Q ，故 Q 點總存在，即方程 （*） 總有實數根，：. Δ? 0，即 ，即（4m+1）k²-4m²+8m?0 對任意 k 恒成立，（i）當4m+1=0 時， ，此時 不成立，舍去；（ii）當 4m+1gt;0 時， ，即 -4m²+8m≥ 0，解得 0?m?2

綜上所述， m 的取值范圍為 0?m?2

3.5 試題評析

本試題涵蓋了直線、拋物線、一元二次方程、三角形相似、直角三角形邊角關系及圓周角等課程標準里要求的基礎知識.第（1）小題通過由解析式及頂點坐標公式求點的坐標，已知條件中點在某一函數圖像，本質是頂點坐標所滿足的函數關系式，考查學生分析、猜想能力，嘗試從不同角度考查學生獲取“數”與“形”的相關信息.第（2）小題涵蓋了函數圖像、方程和函數、三角形相似、圓等知識，需要學生綜合運用數學知識來解決問題，確保了試題具有較好的效度和可推廣性，具有一定的區分度，有利于服務選才.試題中考查學生數形結合、方程與函數、轉化、分類討論等思想和方法，考查學生的邏輯推理、數學抽象、直觀想象、代數運算能力，固本強基，實現立德樹人的目的.

3.6 命題拓展

筆者所命制的題還可以作出如下三種方式的拓展，讀者可自行解答.

方案一若直線 AB 恒過定點（1，1），且以 _AB 為直徑的圓與直線 總沒有交點，求 m 的取值范圍.

方案二 若直線 l 恒過定點 ，且與拋 物線 C 相交于 A，B 兩點，若 PA=4PB ，求直線 l 的解 析式.

方案三 若直線 l 恒過定點 ，且與拋物線C相交于A、B兩點，問+ 的值是否是一個定值.若是，請求出這個定值;若不是，請說明理由.

4結論

中考作為基礎教育階段的關鍵節點，其命題質量對學生發展、教育走向影響深遠.中考數學命題，絕非簡單的知識羅列，而是承載著多重使命.從立德樹人層面，它需將價值塑造融入數學知識，培育學生正確三觀與社會責任感；于服務選才角度，要精準甄別不同思維層次與知識運用能力的學生，為高中輸送適配人才；在引導教學方面，指引教師優化教學內容與方法.基于此，本文深入探究中考數學試題命制方向，并以拋物線這一兼具代數與幾何特性的重要載體，命制了一道代數幾何綜合試題，詳細呈現命制全過程，力求在遵循義務教育課程標準、深挖數學本質中，實現對學生核心素養的深度培育，為中考數學命題實踐提供有益參考與范例

參考文獻

[1]教育部.關于印發義務教育課程方案和課程標準（2022年版）的通知：教材[2022]2號［A/OL].（2022-04-08）[2023-04-20].

[2]陳思慧.命題落實立德樹人根本任務的實踐指向[J].福建教育學院學報，2024，25（07）：69-73.