星體的Green-Osher型不等式及其應用

中圖分類號：0186.5 文獻標志碼：A

Green-Osher Type Inequality for Star Bodies and Its Applications

DING Jie， ZHANG De-yan， YUAN Ming-yang （School of Mathematics and Statistics，Huaibei Normal University，Huaibei 235OOo，China）

Abstract：To compare the squared norm of the dual relative Steiner polynomial roots with the relative radial function for star bodies P and Q ，a nonnegative real number r₀ was defined by the roots of the j -th dual relative Steiner polynomial. Then analogously to the method of proving Green-Osher inequality for planar convex bodies， a GreenOsher type inequality for star bodies in Rⁿ was deduced. Based on this result，two dual Minkowski type inequalities were obtained.

Keywords： star body;Steiner polynomial; Green-Osher inequality；Minkowski inequality

設 γ 是一條平面簡單閉曲線，若記 L 和 A 為γ的周長和所圍區域面積，則經典的等周不等式陳述了L²-4πA≥0 ，當且僅當γ為圓周時等號成立。經典等周不等式對曲線的凸性不做要求，即非凸曲線也有等周不等式成立，若 γ 是平面凸曲線時， Gage^[1] 證明了一個重要的等周不等式，即

其中， κ 為γ的曲率，不等式（1）被稱為Gage不等式。與此同時，Gage驗證了不等式（1）對“bone\"形曲線不成立，說明式（1）對非凸曲線不一定成立。式（1）在研究平面凸曲線的演化問題中起到重要作用[2-5]。1999年，Green等[借助凸函數將不等式（1）推廣到更一般的形式：設 F（x） ）是 （0，+∞ ）上的凸函數，則

其中， r（θ） 是γ的曲率半徑， t₁ 和 t₂ 表示由 γ 所圍凸區域的Steiner多項式的兩個根， S¹ 為單位圓周，F（x）=1/x 時，式（2）恰好是著名的Gage不等式，有關Green-Osher不等式的證明和應用可參考相關文獻[7-10]

記 Rⁿ 為 n 維歐氏空間， hⁿ 為 Rⁿ 中所有凸體（ Rⁿ 中有非空內部的緊致凸集）的集合， V（?） 為凸體的 n 維體積。經典的 Brunn-Minkowski不等式作為凸體理論的核心，是以凸體的Minkowski加法為基礎建立起來的[11-16]。1962年，Firey[17]引入 L_? 加法，推廣了凸體的 Minkowski 加法。1993 年，Lutwak[18]在此基礎上將Brunn-Minkowski理論推廣到 L_? -Brunn-Minkowski理論，在此過程中誕生了許多等周型不等式，并且等周不等式的研究從未間斷[19-26]。

對任意的凸體 K，E∈Aⁿ ， K 相對于 E 的相對Steiner公式[27]為 其中，系數 W_j（K，E） ）是凸體 K 相對于凸體 E 的第 j 階相對均值積分。 n=2 時，相對Steiner公式簡化為

A（K+tE）=A（K）+2W（K，E）t+A（E）t²，t?0，

在式（3）的基礎上重新證明了相對幾何中的Green-Osher不等式[28]。

對偶理論中，用星體代替凸體，用星體的徑向函數代替凸體的支撐函數，由此得到一些星體的等周型不等式[29-30]。比較平面凸體的 Steiner 多項式的根與其曲率半徑的大小關系，從而得出平面凸體的Green-Os-her不等式[]，結合星體的基本概念，考慮在 n 維歐氏空間 Rⁿ 中的星體是否存在類似的結論。為此定義一個非負的實數 r₀ ，并給出 Rⁿ 中星體的Green-Osher型不等式。

1預備知識

記 B_n 為 Rⁿ 中的 n 維單位球， S^n-1 為 n-1 維單位球面。用 x?y 表示 Rⁿ 中向量 x，y 的標準內積， 表示 x 的歐氏范數。設 P 是 Rⁿ 中的緊致星集，若徑向函數 ρ_P（u）=max{λgt;0|λu∈P} ， u∈ S^n-1 ，是正的連續函數，則稱緊致星集 P 為星體。記 Sⁿ 為 Rⁿ 中所有星體的集合，設 P，Q∈Sⁿ ，若ρ_P（u）/ρ_Q（u） 是與 u∈S^n-1 無關的常數，則稱星體 P 和 Q 互為膨脹。

設 Ψ_c 是一個實數，則星體的Minkowski數乘定義為 cP={cx：x∈P} ，從徑向函數的定義可得，當 cgt; 0時，有 ρ_cP（u）=cρ_P（u） ， ρ_P（cu）=c^-1ρ_P（u） ， u∈S^n-1 。

根據文獻[31]，對于 α，β?0 ，徑向線性組合 定義為 。設 P₁，P₂ ，…，P”∈S\"，對偶混合體積V（P，，P2，，Pn）定義為V（P，，P，，P，）=1?（204號 ρ_P1（u）_ρP2（u）…ρ_Pn（u）dS（u） ，其中， dS（u） 是 S^n-1 上的 n-1 維體積微元。若 P₁=…=P_n-j=P ，且P_n-j+1=…=P_n=Q ，則對偶混合體積 可記作 ，稱其為 P 相對于 Q 的第 j 階對偶相對均值積分。若 Q=B_n ，則 稱為 P 的第 j 階對偶均值積分，記作 。

下面給出對偶混合體積的一些基本性質和對偶的Aleksandrov-Fenchel不等式。

命題 1^[31] 若 P，Q，P_j，Q_j∈Sⁿ ， 1?j?n ，則：（1） 是連續的；（2） （3） ，其中 λ₁，…，λ_ngt;0;（4） 若 P_j?Q_j （ 1?j?n ），則（2 ，等號成立當且僅當對所有的 j 有 P_j=Q_j ，其中 j∈{1，…，n} 且 ：（7） 。

命題2[31] 對偶的Aleksandrov-Fenchel不等式表述為

式中 11，…，P_n 互為膨脹且膨脹中心為原點。

關于對偶 Steiner 公式，文獻[32]已給出： ，其中， 可表示為 。

受經典Steiner多項式啟發，若 P，Q∈S^s，t∈C，j=0，…，n-2 定義 P 相對于 Q 的第 j 階對偶相對Steiner多項式為 Ψ_tΨ_Ψ 的一個二次三項式： 。由對偶的Aleksandrov-Fenchel 不等式，得 ，則

記 t₁，t₂ 為 f（t） ）的兩個共軛復根，即 ， ，其中， i 是虛數單位。設

簡記為 ，受文獻[6]的啟發，可得定義1。

定義1設 P，Q∈Sⁿ（n≥2） 且 φ（u）=ρ_P（u）/ρ_Q（u） ，其中 ρ_P（u） 和 ρ_Q（u） 分別是 P 和 Q 的徑向函數。對于 j=0，…，n-2 ，因 ，設 Σ₁ 是這 S^n-1 中達到上述上確界的最小子集， Σ₂ 是其在 S^n-1 上的補集，那么一定存在 a∈ （204號（20號 R⁺ ，使 Σ₁?{u|φ（u）≥a} ， Σ₂?{u|φ（u）?α} 。

對于給定的 j∈{0，…，n-2} ，令 （20（2 k=1，2 ，則有 且 φ₁?φ₂ ，因此，存在一個 b?0 ，使（20

對于固定的星體 P∈Sⁿ ，令 ：， ），則 f（r） 是 [0，+∞ ）上的連續函數且 f（r）∈[0，+∞， ）。因此，可定義 [0，+∞] ）上的一個實數

其中， 且

2 主要結果及其證明

在證明星體的Green-Osher型不等式前，首先需要證明命題3。

命題3設 P，Q∈Sⁿ（n≥2） ，若 P 和 Q 不互為膨脹，則 φ₁gt;φ₂ 。

證明：設 φ₁=φ₂ ，對任意的 Σ?S^n-1 ，使得 由定義1可知

令 ， （20 ，現證明 A=? 且 B=? 。因 且 ，若 ，則 C^′?C ，使

，因此

這與式（6）矛盾，即 A=? 。

若 ，同理， B=? 。

現在，證明星體的Green-Osher型不等式。

定理1設 P，Q∈Sⁿ（n≥2） ， ρ_P 和 ρ_Q 分別是 P 和 Q 的徑向函數。若 φ=ρ_P/ρ_Q ， F（x） ）是（0，+∞ ）上的嚴格遞增的凹函數，則對所有的 j=0，…，n-2 有

其中， 是 P 相對于 Q 的第 j 階對偶相對Steiner多項式根的范數，式（7）中的等號成立當且僅當 P 和Q 互為膨脹。

證明：由Jensen不等式，得

即

則 。由式（4）、式（5）以及F（x） ）是增函數，得 。因此

下證等號成立的條件。若 P 和 Q 互為膨脹，令 φ（u）=C （ C 為常數）。由定義1和式（4）可知 φ_k=C ，（202 ， k=1，2 。令 C，則 W（PQF（d=F）又因為 ，所以式（7）中的等式成立。

已知式（7）中的等式成立，要證 P 和 Q 互為膨脹，只需證明 P 和 Q 不互為膨脹時不等式（7）是嚴格的即可。若 P 和 Q 不互為膨脹，由命題3可知 ，則 ， k=1，2 。因此， k=1，2 ，表明 P 和 Q 互為膨脹。

3應用

設 P∈Sⁿ ，文獻[33]中定義了 P 的對偶錐體積概率測度 ，即

設 ω 為單位球面 S^n-1 上的任意Borel集，參照相關文獻[30]，定義 P 的第 j 階對偶錐體積測度 則 。

當 j=0 時， V_P，0^* 是 P 的對偶錐體積測度，簡記為 V_P^* 。定義星體 P 的第 j 階對偶錐體積概率測度為 ，即

當 j=0 時， 是式（8）中 P 的對偶錐體積概率測度。

設 PQ∈Sⁿ，ω 為單位球面 S^n-1 上的任意 Borel集，定義 P 相對于 Q 的第 j 階相對對偶錐體積測度（204號 W_P，Q，j^* ， ，則 dW_{P，Q，j}^*=

定義 P 相對于 Q 的第 j 階相對對偶錐體積概率測度： ，并且

當 Q=B_n ， 時，式（10）即為式（9）。

在星體的Green-Osher型不等式中分別取 和 ，得到下面兩個Minkowski型不等式。

定理2若 P，Q∈Sⁿ（n≥2） ，則對于 j=0，…，n-2 ，有 等號成立當且僅當 P 和 Q 互為膨脹。

定理3 若 P，Q∈Sⁿ（n≥2） ， mgt;1 ，則對于 j=0，…，n-2 ，有 ，等號成立當且僅當 P 和 Q 互為膨脹。

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