用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)函數(shù)模塊的一個(gè)重點(diǎn)知識點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)思維更是解決函數(shù)綜合復(fù)雜問題的一個(gè)重要工具.

而涉及函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用問題，如函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定、參數(shù)范圍求解以及隱零點(diǎn)應(yīng)用等問題，都可以很好借助導(dǎo)數(shù)法來分析與應(yīng)用，是全面考查考生數(shù)學(xué)“四基”與數(shù)學(xué)“四能\"等方面，有效突破考生學(xué)習(xí)難點(diǎn)與瓶頸的一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).

1零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定

例1已知函數(shù)

（1）求函數(shù) 在點(diǎn) （1，0） 處的切線方程；

（2）當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) G（x）=f（x）-tg（x） （ Γ_t∈R） 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析：（1）由題知 ，則 F^′（x）= ，所以 F（1）=0，F(xiàn)^′（1）=e. （20

故 F（x） 在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為 y=ex-e

（2）當(dāng) 時(shí)， 令 G（x）=0 ，得 解得 業(yè)令函數(shù) ，則 h^′（x）= .令 h^'（x）=0 ，得 或1.當(dāng) 時(shí)，可得 h^′（x）gt;0 ，此時(shí)函數(shù) h（x） 單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，可得 h^′（x）lt; 0，函數(shù) h（x） 單調(diào)遞減；當(dāng) x∈（0，1） 時(shí)，可得 h^′（x）lt; 0，函數(shù) h（x） 單調(diào)遞減；當(dāng) x∈（1，+∞ ）時(shí)，可得h^′（x）gt;0 ，函數(shù) h（x） 單調(diào)遞增.

故當(dāng) x 變化時(shí)， ，h^′（x），h（x） 的變化情況如下表1.

表1

且當(dāng) 時(shí) ，h（x）0，x+∞ 時(shí)， h（x） +∞ x0 時(shí)， h（x）0

故當(dāng) 時(shí)， G（x） 無零點(diǎn)；

當(dāng) t=0 或 或 時(shí)，G（x） 有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 或 時(shí)， G（x） 有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)， G（x） 有三個(gè)零點(diǎn).

總結(jié)提煉：利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，比較常用的方法主要有以下兩種.

（1）圖象法：合理借助函數(shù)所對應(yīng)的圖象，特別是確定函數(shù)的極值或最值及其對應(yīng)的位置，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合來分析函數(shù)的零點(diǎn)問題.特別要注意的是，畫草圖時(shí)有時(shí)候需使用極限思維.

（2）函數(shù)零點(diǎn)存在定理法：合理借助函數(shù)零點(diǎn)存在定理確定對應(yīng)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的零點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、極值、最值以及區(qū)間端點(diǎn)值的正負(fù)取值情況）來分析并判斷函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.

2參數(shù)范圍的求解

例2已知 Φ_agt;0 且 a≠1 ，函數(shù) f（x）=log_ax+ ，若函數(shù) f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

解析：由題意知，函數(shù) f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為方程 在 x∈（0，+∞） 上有兩個(gè)解，等價(jià)于方程 在 x∈（0，+∞） 上有兩個(gè)解.

因此函數(shù) 的圖象在 x∈（0，+∞） 上有兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)函數(shù) ，求導(dǎo)可得到g′（x）=1-2lnχ.當(dāng)g′（x）gt;0時(shí)，0′（x）lt;0 時(shí)， ，此時(shí)函數(shù) g（x） 單調(diào)遞減.

由 2當(dāng)_xgt;1 時(shí)， g（x）gt;0 ，當(dāng) 時(shí)，g（x）0 ，當(dāng) x0⁺ 時(shí)， g（x）∞ 在平面直角坐標(biāo)系中作出 y= g（x） 的圖象如圖1所示.

圖1

由圖1可知 ，所以 E

解得

故填答案：

總結(jié)提煉：利用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)的參數(shù)范圍問題時(shí)，比較常用的方法主要有以下三種.

（1）分離參數(shù)法：合理利用分離參數(shù)來構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為確定相應(yīng)函數(shù)的最值或值域問題，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合來確定兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況；

（2）函數(shù)零點(diǎn)存在定理法：合理借助相應(yīng)定理，巧妙構(gòu)建對應(yīng)的不等式來分析與求解對應(yīng)參數(shù)；

（3）圖象直觀法：將相應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟知的函數(shù)圖象問題，借助圖象的位置關(guān)系來直觀分析，進(jìn)而合理構(gòu)建對應(yīng)的不等式來分析與求解.

3隱零點(diǎn)的應(yīng)用

例3已知函數(shù) 的最小值為—1.

（1）求 a 的值；

（2）已知不等式 在區(qū) 上恒成立，求實(shí)數(shù) Ψ_m 的最大值.

（參考數(shù)據(jù)：

解析：（1）易知 令 f^′（x）gt;0 解得 Δ_xgt;e^a-1 ；令 f^′（x）lt;0 ，解得 0a-1 ：

所以，函數(shù) f（x） 在 （0，e^αα-1） 上單調(diào)遞減，在（e^a-1，+∞） 上單調(diào)遞增.

所以 f（x）_min=f（e^a-1）=（a-1）e^a-1-ae^a-1=-1 解得 a=1

（2）由 可 得 恒成立.

令函數(shù) 2，則求導(dǎo)可得 h^′（x）=e^x-lnx-1

令 ，則

易知 r^′（x） 在 上單調(diào)遞增， ，且 r^′（x） 的圖象在 上不間斷.

所以存在 ，使得 r^′（x₀）=0 ，即 ，則

所以當(dāng) 時(shí)， r（x） 單調(diào)遞減；當(dāng) x∈ （x₀，+∞） 時(shí)， r（x） 單調(diào)遞增.所以 r（x） 的最小值為 （20

由對勾函數(shù)性質(zhì)可得 ，所以 ，從而 h^′（x）gt;0 ，則 h（x） 在 區(qū)間 上單調(diào)遞增.

所以2m≤h 1.995 25，即 m?3.9905. 故存在整數(shù) Ψ_m 滿足題意，且整數(shù) Σ_m 的最大值為3.

總結(jié)提煉：利用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)的隱零點(diǎn)問題時(shí)，常用解決方法的基本步驟有兩步.

第一步，利用特殊點(diǎn)處的函數(shù)值、零點(diǎn)存在定理、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象等，判斷零點(diǎn)是否存在以及零點(diǎn)取值范圍；

第二步，把導(dǎo)函數(shù)在其零點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值等于0作為條件代回原函數(shù)，進(jìn)行化簡或消參.

基于此，用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題時(shí)，關(guān)鍵在于深挖題設(shè)條件的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，從具體要求問題場景入手，采取適當(dāng)措施，抓住“一個(gè)定理（函數(shù)零點(diǎn)存在定理）”，構(gòu)造“一類函數(shù)（新函數(shù)）”，借助“一種思維（極限思維）”，多措并舉，巧妙綜合應(yīng)用，合理化歸與轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)與方程思想，或數(shù)形結(jié)合，或數(shù)學(xué)運(yùn)算，或邏輯推理等，從而達(dá)到巧妙破解函數(shù)零點(diǎn)問題的目的.Z