數(shù)列中的放縮技巧

利用放縮法判斷與證明數(shù)列不等式問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是抓住數(shù)列不等式中的不等式視角切入，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式或其他相關(guān)的關(guān)系式進(jìn)行合理變形處理，對(duì)中間過(guò)程或者最后的結(jié)果，或利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行放縮，或利用不等式性質(zhì)進(jìn)行放縮，與結(jié)論中所證明的不等式加以對(duì)比，放縮處理，巧妙證明.

1先求和再放縮

先求和再放縮，實(shí)質(zhì)上是一類很常見的題目，這類放縮實(shí)質(zhì)上是考查數(shù)列求和及其應(yīng)用，放縮的結(jié)果也很松.實(shí)際解題過(guò)程中，往往是利用裂項(xiàng)相消法或錯(cuò)位相減法求和后，再合理加以放縮處理.

例1（2024年河北省石家莊市高考數(shù)學(xué)模擬試卷）記 S_n 為等差數(shù)列 {a_n} 的前 n 項(xiàng)和，已知 a₂=-3 +S₁₀=-100

（1）求 {a_n} 的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 T_n ，證明：

（1）解析：設(shè)等差數(shù)列 {a_n} 的公差為 d ，則

整理得 解得{a=-1， ， （20所以 所以數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式為 （2）證明：依題，令

由（1）可知 a_n=-2n+1 ，可得

所以

因?yàn)?n∈N^* ，可得 ，所以

感悟提升：解決此類涉及先求和再放縮的數(shù)列綜合應(yīng)用問(wèn)題，往往是先對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行合理的化簡(jiǎn)變形，再對(duì)數(shù)列求和（可以是特殊的等差、等比數(shù)列求和，也可以是錯(cuò)位相減法、分組法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法求和等），在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的放縮，完成解題目標(biāo).

2先放縮再求和

先放縮再求和，是數(shù)列放縮問(wèn)題的?？碱愋?，對(duì)放縮對(duì)象的處理需要一定的技巧，是數(shù)列放縮中的難點(diǎn).實(shí)際解題過(guò)程中，往往是將通項(xiàng)放縮為可裂項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，然后裂項(xiàng)求和；或?qū)⑼?xiàng)放縮為等比結(jié)構(gòu)（等差比結(jié)構(gòu)），然后錯(cuò)位相減求和.處理原則就是將不易求和放縮成易求和再放縮[1].

例2（2024年江蘇省南京市高考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷）已知函數(shù) x，把方程|f（x）|=2的正數(shù)解從小到大依次排成一列，得到數(shù)列 {a_n} . Ω_n∈N^* ·

（1）求數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式；

（2）記 ，設(shè)數(shù)列 {b_n} 的前 n 項(xiàng)和為 T_n ，求證：

（1）解析：因?yàn)? ，令 ∣f（x）∣=2 即 ，所以 k∈Z ，解得 x= 2k+1（k∈Z） 一

所以方程 ∣f（x）∣=2 的正數(shù)解從小到大依次為1，3，5，7，… ，所以 a_n=2n-1

（2）證明：依題 ，數(shù)列 {b_n} 的前 n 項(xiàng)和為

所以

所以

感悟提升：解決此類涉及先放縮再求和的數(shù)列綜合應(yīng)用問(wèn)題要注意兩個(gè)方面.（1）使用情境：針對(duì)的是部分結(jié)構(gòu)復(fù)雜、不方便直接進(jìn)行數(shù)列求和的數(shù)列，但數(shù)列通項(xiàng)比較方便放縮（通常放縮成等差數(shù)列、等比數(shù)列、差比數(shù)列或裂項(xiàng)相消數(shù)列）；（2）解題步驟：先放縮數(shù)列的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行數(shù)列求和，完成解題目標(biāo).

3“雙向\"綜合放縮

“雙向\"綜合放縮，是數(shù)列不等式判斷與證明中的一類綜合應(yīng)用問(wèn)題，借助“雙向\"來(lái)混合設(shè)置.實(shí)際解題過(guò)程中，基于“雙向\"設(shè)置，同時(shí)融合先求和再放縮與先放縮再求和等不同技巧、方法，實(shí)現(xiàn)數(shù)列不等式的判斷與證明.

例3[2024年遼寧省大連育明高級(jí)中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷]已知數(shù)列 {a_n} 中， ，且滿足3a_n，2a_n+1，a_na_n+1 成等差數(shù)列.

（1）證明：數(shù)列 是等比數(shù)列；（2）記 {a_n} 的前 n 項(xiàng)和為 S_n 求證：

證明：（1）依題，可得 4a_n+1=3a_n+a_na_n+1

結(jié)合 ，利用數(shù)列的遞推關(guān)系可得 a_n≠ 0恒成立，則上式恒等變形并整理可得

合理配湊有 ，即 所以數(shù)列 首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列.

（2）（

因?yàn)? （204號(hào) ，所以 由于 所以當(dāng) n?2 時(shí) ，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_nlt;

綜上分析，可知不等式 成立.

感悟提升：解決此類涉及“雙向\"綜合放縮的數(shù)列綜合應(yīng)用問(wèn)題，在對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式變形并放縮的基礎(chǔ)上加以合理放縮，同時(shí)對(duì)數(shù)列求和的結(jié)果也進(jìn)一步加以巧妙放縮處理，綜合應(yīng)用，“雙向\"奔赴，實(shí)現(xiàn)數(shù)列不等式的判斷與證明.進(jìn)行放縮處理時(shí)，巧妙聯(lián)系證明的數(shù)列不等式結(jié)論，要注意放縮目標(biāo)與幅度的合理把握與聯(lián)系.

其實(shí)，利用放縮法判斷與證明數(shù)列不等式問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征及不等式的基本性質(zhì)，通過(guò)不等式的基本性質(zhì)，巧妙借助放縮法來(lái)處理，或先求和再放縮，或先放縮再求和等，都可以實(shí)現(xiàn)數(shù)列不等式的巧妙轉(zhuǎn)化與證明[2].

而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要合理根據(jù)數(shù)列不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇相應(yīng)的技巧、方法來(lái)切人，同時(shí)合理綜合數(shù)列、不等式等對(duì)應(yīng)知識(shí)的基本技巧與方法，融合其他相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等，全面提升綜合應(yīng)用能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]李光輝.例談高考數(shù)列不等式證明中通項(xiàng)放縮的策略[J].高中數(shù)理化，2025（Z1）：118-121.

[2王敬博.巧放縮，妙證數(shù)列不等式[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2025（5）：38.Z