帶分數布朗運動反常擴散方程的數值近似及強收斂性分析

中圖分類號：0175.1 文獻標識碼：A 文章編號：2096-3998（2025）04-0080-12

在自然界和工程實踐中，許多物質傳輸和熱量傳遞過程都可以通過經典的對流擴散方程來描述[12]，這些方程基于整數階微積分能夠有效地模擬簡單的擴散現象。然而，對于具有復雜結構或記憶特性的介質，傳統的模型往往力不從心，如多孔材料、生物組織、金融時間序列等。在這些情況下，分數階微積分提供了一個更為合適的數學模型，它能夠描述介質的非局部特性和歷史依賴性，從而為研究提供新的視角和方法[3-5]。分數階對流擴散方程是分數階微積分在擴散現象中的應用，它通過引人分數階導數，能夠更加精確地刻畫反常擴散過程。而在現實世界中噪聲無處不在，它影響著系統的動態行為，甚至可能誘導出一些非常規的現象。因此，研究隨機分數階對流擴散方程的正則性及其數值方法具有一定的應用價值。Gunzburger 等[6提出受加性時空白噪聲影響的隨機時間分數偏微分方程的時間離散化的尖銳收斂率； W_u 等[7討論了由積分時空白噪聲驅動的隨機子擴散問題的數值方法的強收斂性;Sweilam等[8]提出了時間分數隨機半線性平流擴散方程的數值研究;Soori等[9]研究了一種分數隨機平流-擴散方程在時間上的一種新方案。

分數階高斯噪聲作為傳統的高斯噪聲的推廣，具有長程相關性和自相似性，這種噪聲能夠更好地模擬自然界和人造系統中的噪聲特性。所以，對于分數階高斯噪聲驅動的微分方程數值解的研究已經成為了學術界備受關注的課題，特別是Hurst指數 H∈（1/2，1） 和 H=1/2 已經有了一些數值討論。Wang等[10]提出具有分數噪聲的 SPDEs的明顯均方正則性和數值近似的最優收斂速率;Eftekhari等[1]提出一種新穎高效的運算矩陣，用于求解由多分數高斯噪聲驅動的非線性隨機微分方程;Moghaddam 等[12]進一步研究了分數階隨機偏微分方程的數值方法與實際應用。但對于 H∈（0，1/2） 的研究較少，主要是因為其自相關函數的冪律衰減特性，導致分數階高斯噪聲的協方差核函數表現出奇異性，使得難以得出其數值解。Cao等[13提出在Hurst指數 H∈（0，1/2） ，通過引入特殊的格林函數和伊藤等距公式來進行正則性分析，并采用有限元方法研究PDE空間上的分數階高斯噪聲的數值解。然而，這些技術卻未能充分揭示時間分數階高斯噪聲對溫和解的正則性的影響。本文旨在針對由Hurst指數 H∈（0，1） 定義的分數階高斯噪聲驅動下的分數階對流擴散方程，深人探究其正則性及數值解，并通過應用不等式技術來解決這一問題。

1 預備知識

1.1 函數空間

回顧分數 Sobolev 空間上的一些定義和性質[14-15]。令 D?R^d，s∈（0，1） 的分數 Sobolev 空間 H^s（D） 定義為

H^s（D）={v∈H^s（D）：|v|_H^s（D）lt;+∞}，

其中， ，其范數為 v_H^s（D）=v_L²（D）+v_H^s（D），H^s（ H^s（R^d） 的函數包含在 中，即

進一步，可以得到

同時，也可以表示為

v_H0^s（D）=（1+v²）^s/2F（v）（v）_L²（R^d），

其中， F（v） 是 v 的傅里葉變換，且 注：當 s∈（0，1/2） 時， H₀^s（D）=H^s（D） 。

根據Hilbert-Schmidt算子的相關知識，設 L（U;V） 是由有界線性算子 UV 組成的Banach空間，其中 U 和 V 是兩個可分離的 Hilbert 空間，其范數和內積分別用 |?|_v?|?|v 和 （?，?）_v，（?，?）_v 表示。令 L₂（U;V） （ Σ?L（U;V） ）是由所有Hilbert-Schmidt算子組成的線性空間，其內積定義為 ，其中 S，T∈L₂（U;V），{μ_j}_j∈N^* 是 U 中的標準正交基，注意到上述的定義與標準正交基的具體選擇無關。然后設 H=L²（D） ，內積 （???，??） 與協方差算子 Q 是 H 上的非負自伴線性算子。本文用 表示 s 的 Laplace 變換， E 表示期望，標記 |?|_L（H，H）=：|?| （

給出扇形區域和路徑的定義。對于 kgt;0，π/2lt;θlt;π ，將扇形區域定義為

路徑 T_θ，k 定義為

T_θ，k={re^-iθ：r?k}∪{ke^iψ：|ψ|?θ}∪{re^iθ：r?k}，

其中，圓弧方向為逆時針方向，兩條射線方向為虛部遞增且 i²=-1 。

1.2 分數布朗運動

設 是完備概率空間，Bochner空間 ，其范數為

其中， 為樣本空間， F 為 σ -代數， P 為概率測度， p 為范數指數。

定義 1^[16] 設 0H={w_t^H，t≥0} ， w₀^H=0 是一個連續的中心高斯過程，且協方差函數為

特別地，當 H=1/2 時，分數布朗運動是標準布朗運動。

分數布朗運動可以用Wiener積分表示如下：

其中， w 是空間 上的布朗運動，且核函數 K_?H 被定義為

定義 2^[16] 設與高斯過程相關聯的 Hilbert 空間 H 是示性函數 {1_[0，t]，t∈[0，T]} 關于內積（ 1_[0，t] ，1_[0，s]）_H=R（t，s） 生成的線性空間 ε 的閉包， φ∈E?G（φ） 是從 ε 到 G 生成的高斯空間的一個等距，其中1_[0，t]?1_[0，s] 是示性函數，從空間 ε 到 L²（0，T） 的線性算子 K_H，T^* 可定義為

其中，

c_H 是依賴于 H 的常數。特別地，如果 1/2

引理1[17] 設 ψ（t） 是 t∈[0，T] 的一個確定函數，則協方差算子 Q 的隨機積分 w^H 可定義為

其中， {w（t）}_t∈[0，T] 是 U 上的 Q -Wiener過程。

2 解的正則性

考慮如下形式的分數階高斯噪聲驅動的分數階對流擴散方程：

方程（5）定義在區域 D（D?R^d（d=1，2，3） ）是一個凸多邊形域，其中 t∈（0，T] ， Hurst 指數 H∈（0，1） ，s∈（0，1） 的分數階Laplacian 函數 A^s 可定義為[18]

其中，A 是滿足齊次 Dirichlet 邊界條件的負Laplace 算子，令 A=-Δ ，其具有非負遞增的特征值 {λ_k}_k=1^+∞ 和 L² -范數歸一化的特征函數 {?_k}_k=1^+∞;f（u） 是 UU 的一個非線性算子， W_Q^H 是完備的概率空間 ，P，{F_t}_tgt;0） 上的分數階高斯過程，將其定義為

其中， w_k^H 是一維的分數布朗運動， Q 是一個非負自伴線性算子，具有與 A 相同的特征值 ；當 ρ 為實數時， A^-ρQ^1/2 是 H=L²（D） 上的 Hilbert-Schmidt 算子。

2.1 基本的假設和引理

在證明解的正則性之前，需要給出以下有關假設和引理。

假設1設 u，v∈H，f（u） 是 UU 上的一個非線性算子，則有

f（u）_H?C（1+u_H）

其中， C 是正常數。

引理 2^[19] 設 D 為 R^d（d=1，2，3） 中的有界域， λ_k 為 D 中負 Laplace 算子 A=-Δ 的 Dirichlet 邊界問題的第 k 個特征值，則對所有 k?1 有

其中， C_d=（2π）²B_d^-2/d ， |D| 為 d 的體積， B_d 為單位 d 維球的體積。

2.2 解的先驗估計

下面給出方程（5）的解在空間和時間中的正則性。首先定義算子 S（t） ：

根據可解性估計[20]，其滿足：

其中，

進一步，還可以將 S（t） 寫為

其中， {E_k（t）}_k=1^+∞ 定義為

且有以下的估計成立：

通過Laplace變換與逆變換，方程（5）的溫和解可以寫為

定理1（空間正則性）設 u 為方程（5）的溫和解且 A^-ρQ^1/2_L2lt;+∞ ，其中 ρ∈[0，sH） ，則溫和解 u 滿足：

其中， δ∈[0，sH-ρ） 。

證明 通過式（8）可以得到：

對于I，利用式（6）、假設1及Cauchy-Schwarz不等式，可得：

為了確保I的有界性，需要滿足 -2δ/sgt;-1 ，即 δ

對于 I ，根據式（1）式（3）引理1及Burkholder-Davis-Gindy不等式，可得

對于 I₁ ，由于表達式 K_?H（t，s） 在 H∈（0，1/2） 和 H∈（1/2，1） 有兩種不同的形式，下面將分情況討論：

（a）當 H∈（0，1/2） 時，根據 K_?H（ι，s） 的表達式，可得：

（b）當 H∈（1/2，1） 時，可得：

為了確保 的有界性，需要滿足 2H-2（δ+ρ）/sgt;0 ，則 δ

對于 I₂ ，根據初等不等式，當 x，y?0，0 ，有下面的估計：

根據式（4）和式（9），則有

根據 和 I₂ 的估計可知，對于 I 存在一個常數 Cgt;0 ，使得 E|A^δu|_H²?C 成立。故結合Ⅰ和 I 的估計，定理1證畢。

下面給出 u 的時間正則性分析。

定理2（時間正則性）設 u 為方程（5）的溫和解且 |A^-ρQ^1/2|_L2lt;+∞ ，其中 ρ∈[0，sH]∩[0，s] ，則溫和解 u 滿足

其中， γ

證明 根據式（8）可得：

I+II

由于當 時，有 |Ψ（e^zτ-1）/τ^γ|?C|z|^γ ，利用Holder不等式，則對于I可得：

為了確保I的有界性，只需要 γ∈[0，1] 0

對于 I ，我們將其分為兩部分可得：

對于 ，利用Burkholder-Davis-Gindy不等式，可得：

同理，對于 I₂ 可得：

由于表達式 K_H（t，s） 在 H∈（0，1/2） 和 H∈（1/2，1） 有兩種不同的形式，下面分情況來討論 I_1，1 和Ⅱ2，1。

（a）當 H∈（0，1/2） 時，根據 K_?H（t，s） 的表達式，對于 I_1，1 可得：

對于 I_2，1 ，可得：

故當 H∈（0，1/2） 時，只需 2H-2ρ/s-2γgt;0 ，即 γ1，1 和 有界。

（b）當 H∈（1/2，1） 時，對于 I_1，1 可得：

對于 I_2，1 ，可得：

故當 H∈（1/2，1） 時，只需 2H-2ρ/s-2γgt;0 ，即 γ1，1 和 有界。

對于 I_1，2 ，根據式（9）則有

同理，對于 I_2，2 可得：

故當 γ

3 空間離散與誤差分析

這一節中，利用譜Galerkin 法[18]對分數階Laplacian 進行離散，并建立誤差估計。首先，通過 H_N= S {sin{?₁，?₂，…，?_N} 引人 H 的有限維子空間，其中 N∈NΨ^* ，并定義投影算子 P_N H?H_?N 為

定義 A_N^s H?H_N 為

因此，方程（5）的譜Galerkin半離散格式可寫為

進一步，通過Laplace變換與逆變換可以得到

其中，

根據 A_N^s 和 P_N 的定義，將 u_N 寫為

與定理1和定理2的證明同理，可以得到 u_N 的以下兩個估計。

定理3設 u_N 為方程（10）的溫和解且 A^-ρQ^1/2_L2lt;+∞，ρ∈[0，sH） ，則 u_N 滿足

其中， δ∈[0，sH-ρ） 。

定理4設 u_N 為方程（5）的溫和解且 A^-ρQ^1/2_L2lt;+∞ ρ∈[0，sH]∩[0，s] ，則 u_N 滿足

其中， γ

現在給出空間誤差估計。

定理5設 u 和 u_N 分別是方程（5）和方程（10）的溫和解， |A^-ρQ^1/2|_L2lt;+∞ 且 ρ∈[0，sH） ，則有（E|u-u_N|_H²）^1/2?C（N+1）^-2δ/d，

其中， δ∈[0，sH-ρ），d 是 的維數。

證明 根據式（8）和式（11），可得：

對于I，利用式（6）、假設1和定理3可得：

為了確保I有界，需要滿足 -δ/sgt;-1 ，即 δ

對于 I ，與定理1的證明同理，可得：

為了確保 I 有界，需要滿足 2H-2（ρ+δ）/sgt;0 ，即 δ

由引理2可得， λ_k^-2δ?Ck^-4δ/d ，并利用Gronwall不等式，則 ，故定理5證畢。

4 時間離散與誤差分析

這一節中，利用隱式歐拉法[10]離散時間算子，并給出相應的誤差分析。令時間步長 τ=T/M ，其中，M∈N^*，t_i=iτ（i=0，1，…，M） ，且 0=t₀1lt;…M=T 則全離散格式可寫為

定義 為

其中， ?_F（t）=f（u_N（t）） 。下面將 P_NF（t） 和 標記為 F_N 和 ，并且有[6]

設 δ_τ（ζ）=（1-ζ）/τ ，其中， 1-ζ 是隱式歐拉法的特征函數。

進一步，可以得到

其中，

這里， ≤0。

為了進行時間誤差估計，需要引入下面的引理

引理 3^[6] 設 θ∈（2/π，arccot（Σ-2/π））， ξ∈（0，1） 。當 z 位于 所包圍的區域時，有 T_θ，k^π 和兩條線 R±iπ/τ ，其中， ，且 δ_τ（e^-zτ） 和（20號 （δ_τ（e^-zτ）+A）^-1 都是解析的，則有

其中， ），常數 均與 τ 無關。

定理6設 和 u_Nⁿ 分別是方程（10）和（12）的解，且 |A^-ρQ^1/2|_L2lt;+∞ ，其中 ρ∈[0，sH]∩[0 s] ，則下式成立：

（E∥u_N（t_n）-u_Nⁿ∥_H²）^1/2?Cτ^H-ρ/s，

證明 根據式（8）和式（11），可得：

對于 I₁ ，利用假設（1）和定理3，可得：

對于 I₂ ，與定理2的證明同理，并利用引理3，可得：

對于 I₃ ，可得：

結合對 I₁，I₂ 及 I₃ 的估計，再利用Gronwall不等式，即可得定理6。

5 數值實驗

由于空間離散引起的誤差可以通過標準參數來得到，因此，主要針對時間離散的強收斂性展開研究。考慮如下描述的分數階高斯噪聲驅動的分數階對流擴散方程：

其中， D=（0，1） 且 T=1 ，令 Q 的特征值 λ_?k=k²π²（k=1，2，…） ，特征函數 0

基于理論分析，可知全離散格式（12）的收斂速率取決于 H，s 和 ρ ，其中 s∈（0，1），ρ 依據引理1和假設 |A^-ρQ^1/2|_L2lt;+∞ ，可得其近似等于 （1+m）d/4 。選取100個樣本的平均值來近似期望，數值解采用網格尺寸 τ=T/L 的完全離散計算，其中 L=2ⁱ（i=3，4，5，6，7，8，9） 。圖1呈現出了對于不同Hurst指數 H 在端點 T 處的時間近似誤差，為便于比較，引入參考的理論階數。

圖1不同Hurst參數下的時間誤差

觀察結果顯示，數值格式的收斂率會隨著 H 的增加而增大，但數值格式的收斂結果與定理6一致，這表明數值方案（12）適用于方程（5），驗證了其數值實驗與理論結果的一致性。

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[責任編輯：魏強］

Abstract：Consider the regularityand numerical methods of a class of fractional convection-diffusion equations driven by fractional Gaussian noise with the Hurst index H∈（0，1） . The fractional Gaussian noise is represented byone-dimensional fractional Brownian motion，and then a second moment estimate for stochastic integrals of fractional Brownian motion is used to analyze the spatiotemporal regularity.Furthermore，the operators in space and time are discretized using spectral Galerkin and implicit Euler methods，respectively， providing error estimates for the established numerical schemes.Finally，numerical experiments are conducted to verify the theoretical results.

Key Words：fractional Gaussian noise；regularity analysis；spectral Galerkin method； implicit Euler method；error estimation