三種常用量子化方法的應用與優勢分析

摘要：回顧了量子力學的算符量子化方法、路徑積分量子化方法和相空間量子化方法的提出及核心思想，討論了這三種量子化方法在一維諧振子問題中的具體應用;最后，結合得出一維諧振子的能級、波函數的不同途徑，分析了這三種量子化方法在一維諧振子問題求解中的優缺點。

關鍵詞：量子化方法;Schrodinger方程;路徑積分量子化；Wigner函數；一維諧振子中圖分類號：043.；G42 文獻標識碼：A 文章編號：2096-3998（2025）04-0098-11

量子力學是研究微觀粒子運動規律的科學，是現代科學和技術最重要的基礎之一，它為人們認識微觀世界提供了理論框架，其自身也在不斷地發展和完善。在研究微觀粒子系統的量子問題時，量子力學經歷了不同的發展途徑[1]，先后出現了九種量子力學的表述形式[2]，其中波動力學形式、矩陣力學形式、路徑積分形式和相空間形式比較常見。另外，還有密度矩陣形式，二次量子化形式，變分形式，導航波形式和哈密頓—雅可比形式。這些量子力學的表述在數學表示和物理概念上存在明顯的區別，但每種表述形式對實驗結果做出了相同的預測。物理概念和數學表示上的不同，讓每種量子力學的表述形式所對應的量子化方法也不相同，這為人們從不同的視角理解微觀世界的運行規律提供了可能的途徑。研究分析不同的量子化方法，對尋找有益于解決微觀粒子系統問題的途徑與正確理解微觀世界意義非凡，例如，John vonNeumann從數學層面上證明了兩種量子表述是等效的[3」，即波動形式與矩陣形式僅是兩個極端，量子力學可有無數種描述方式。

三種量子化方法的回顧

1.1 算符量子化方法

量子力學的波動形式[47]容易被接受，其出現比矩陣形式晚半年。Schrodinger 在1926 年給出了非相對論的含時 Schrodinger方程：

他基于波粒二象性的概念，從經典力學的波動方程出發構造了 ，并將經典力學中的正則變量（坐標、動量）轉換為算符，通過正則對易關系 將經典物理量轉換為量子算符。正則量子化提供了一種從經典理論到量子理論的自然過渡，通過正則量子化可以更深人地理解量子系統的動力學行為，以及它們與經典物理量之間的關系。其構建的量子力學描述：粒子狀態用空間的波函數ψ（r，t） 表示，物理狀態隨時間的演化由式（1）給出， ∣ψ（r，t）∣²dτ 用來計算空間中某時刻在微元 dτ 內找到粒子的概率。波動形式將注意力從“可觀測量\"轉移到了“態”上。

Schrodinger本希望能夠把量子力學寫成一種符合直覺的形式，但最終令他失望[2]。由于波函數只能存在于位形空間而不是實際的三維空間，它僅是計算觀測結果的數學工具，不是空間中的實體。由于波函數可以疊加，這意味著一個量子系統可以同時處于多個狀態的疊加，只有當進行測量時系統才“坍縮\"到其中一個可能的狀態。

矩陣量子化[8-11]作為量子力學的第一種現代表述形式，由 Heisenberg、Borm 和P.Jordan 于1925 年完成，核心思想是針對Bohr模型中許多觀點，其中電子的軌道、頻率等都不是可以直接觀察的。受到Einstein 在相對論中對時間、空間作“操作定義”的影響，Heisenberg提出只用光譜線的頻率、強度、偏極化等概念構造一個新的力學體系——可觀測量。他提出只有那些可以直接觀察到的量才有意義，將這些可觀測物理量用矩陣表示，并且量子化條件通過矩陣的本征值來實現。在矩陣表述形式中算符的地位比較重要，通過把算符引入量子力學，并建立了算符與矩陣的關系，這項工作是Bom與青年數學家N.Wiener合作完成的[5]。例如，可觀測量 Δ_a 用算符 表示，對于函數 f（x） 在 ∣ψ? 態測量的期望值 f（a） （204號就為 ，可觀測量算符 隨時間的變化，而 |ψ? 態則不隨時間變化，這樣本征問題處理起來比較順暢。坐標算符和動量算符被表示為厄米算符，滿足特定的對易關系，能量相應的算符稱為哈密頓量，是坐標和動量的函數，也是一個厄米算符。

雖然大多數應用中波動力學相較矩陣力學都更直接，但JohnvonNeumann從數學層面上證明了兩種量子表述是等效的[3]，波動形式與矩陣形式僅是兩個極端。對于諧振子的問題，波動力學的Hermi-tian 多項式處理起來顯得繁瑣，矩陣力學的算符方法[1]要容易，只是遇到處理含時變量或考慮全同粒子時遇到問題，需要采用二次量子化。

1.2 路徑積分量子化方法

Feynman 在1942年提出了量子力學的路徑積分[12-16]表述形式。他從經典力學的原理延伸并提出粒子在某時刻的狀態完全由過去時刻的所有可能的狀態來決定，一個量子系統從初始狀態到最終狀態的總概率振幅是所有可能路徑的概率振幅之和，每一路徑的振幅由該路徑的經典作用量通過下式給出：

式中， K_fi 是從初始狀態 i 到最終狀態 f 的概率振幅， s 是作用量， ? 是約化Planck 常數， 表示對所有可能路徑的積分。Feynman 提出作用量概念是受到 Dirac 思想的啟發[12]，他還提出傳播函數、轉移概率、傳播子等概念。傳播函數對所有路徑的概率幅疊加可用無窮積分給出波函數在有限時間后的變化，

式中， K（x_t，t+ε;x，t） 為傳播函數，每條路徑都有各自的幾率振幅 ，幾率振幅都有各自的位相并且與路徑的作用量S[（t）]成正比，即Φ[（t）]=AeS[]。

路徑積分提供了一種從量子描述中得出經典物理定律的橋梁，它揭示了在微觀尺度上可通過考慮粒子所有可能的路徑并將其概率振幅進行累加來決定粒子的行為。從宏觀尺度上看，由于Planck常數? 非常小，大多數路徑的貢獻會相互抵消，只有作用量最小的路徑在求和中占主導地位。Feynman 路徑積分思想為人們提供了關于量子世界反直覺行為的深人理解，展示了量子力學中Planck 常數 ? 的重要作用。隨著規范場理論的發展[16]，路徑積分得到廣泛應用，為量子場論提供了強有力的工具，后來推廣到超出非相對論量子力學的領域。

1.3 相空間量子化方法

量子力學相空間表述中最著名的是Wigner函數，源于Wigner（1932）的經典著作[17」，他在推導 Bolt-zmann 公式的量子修正項中引人了相空間分布函數。由于Wigner函數僅是一個準幾率分布函數，一開始沒有引起大的關注。1975年，Moyal從量子力學的內部邏輯出發找到了一種新的量子化方法[18-9]，在

相空間中對量子力學進行表述，將系統的狀態用Wigner函數表示，當引人密度算符 得到包含對應密度矩陣的相空間分布函數 W（x，p，t） ，

系統隨時間的演化方程可以寫為

這種邏輯完整而且獨立的量子化方法中不需要選擇特定的表象空間，可觀測值用該物理量的經典函數與相應的 Wigner 函數在相空間中的積分給出[19-21]，在這種形式中物理狀態隨時間的演化由 Wigner函數所滿足的Moyal星本征值方程決定。相空間量子化通過算符而非實數變量來描述系統的坐標和動量，對于定態，它的邊緣分布分別對應于坐標空間和動量空間測量到粒子的幾率分布函數，引入Wigner函數后用可觀測量的平均值表示量子力學的平均值。

式（2）中定義* =exp[（ [（δj-δδx）]，表示Moyal-Weyl乘積。一個函數滿足 Moyal-Weyl乘積但不足以能成為一個量子相空間的Wigner函數。相空間中的任意函數 f（x，p） 與 g（x，p） 的 ?_h 星乘，利用平移公式 后表示為

或者

將上述Moyal-Weyl乘積中的一個函數換成哈密頓量 H（x，p） 后，有

Ef（x，p）

或者

Ef（x，p）

顯然 I（x，p） 在 ?_Π? 星乘中與哈密頓量 H 是對易的。在量子力學的傳統表述中，與時間相關方程的求解通常以定態方程的譜為前提，與時間無關的純態Wigner函數在 星乘中與哈密頓量 H 對易[19]，且服從 ?_? 星乘本征值方程，即Wigner函數服從Moyal能量本征值方程

或者

式中， E 為能量本征方程 的本征值。

在量子相空間中每個點代表系統的一個可能的量子態，不確定關系也包含在相空間的Wigner函數和 Moyal方程中[18.22]。Wigner函數的動力學演化方程描述量子系統的演化，通過這種方法能夠更深入地理解和描述量子系統的動力學行為。單個粒子的量子態原則上不能用實驗觀測，量子現象倚重數學工具來描述，于是基于Wigner函數的這種量子化方法在現代量子力學測量中意義非凡。例如，文獻[23]對氨原子束在雙縫干涉實驗中的Wigner函數進行了測量，得到的結果與理論計算一致。

相空間量子化方法在量子光學、核物理、量子計算、量子混沌以及量子信息的控制和傳遞中扮演著重要角色。為解決經典相空間上的任意可觀測值的量子化問題，相空間量子化方法涉及到量子化方案的選擇，Weyl量子化方案是其中最流行的方案之一，引入量子算符與普通空間函數之間的Weyl變換可將對易相空間問題推廣到非對易空間和非對易相空間。Moyal-Weyl量子化方法在處理量子體系的非對易拓撲相和非對易能級方面也引起了人們的興趣和關注，具有潛在的應用價值。

2算符量子化方法在諧振子問題中的應用

諧振子是量子力學中非常重要的模型，是解決量子力學中許多實際問題的基礎模型，諧振子在理論研究和實際應用中均具有重要意義[24」。

2.1一維諧振子的Schrodinger方程

坐標表象下，一維諧振子 Schrodinger方程表示為（ （-2mdx2+m2x2）（x）=E（x），引人無量綱變量 mx代替坐標x，并令λ= ，方程可寫為

考慮到 時， λ?ξ² ，式（3）簡化為

解式（4）得到 ψ（ξ）=c₁e^-ξ2/2+c₂e^ξ2/2 。結合波函數標準條件，當 時應有 c₂=0 ，記 ψ（ξ）=H（ξ） （2 e^-ξ2/2 。由諧振子有限性、有界性，式（4）表示為 ，簡化為

H^′′-2ξH^′+（λ-1）H=0

2.2一維諧振子波函數與能級

分離變量和級數解法得到量子化滿足條件是常用方法[25-27]。設 ，則 ，得到 ，其中 k^′=k-2 。式（5）可寫成

顯然，僅當+2（k+1）（k+2）-b2+b（λ-1）=0有解，則有+2=（k+1）（k+2）b bko

由于 b₁≠0 ，結合有限性條件需要 b_k+2=0 ，則遞推關系式中有 2k+1-λ=0 ，帶人到 ，得到 于是，式（5）又寫成

H_n^′′-2ξH_n^′+2nH_n=0，

求解式（6）后得到H（g）=（-1）\"e2d e2。令ψn=Ne22Hn（，并使用歸一化條件] 代人 =αx后有（-1）2n

則波函數表示為 ，其中

2.3一維諧振子矩陣力學方法

對于本征值，特別是能量本征值的求解，常采用邊界條件求解坐標或能量表象下的微分方程。實際應用中，諧振子亦可采用矩陣力學解法[11，83]。

引人復變量a= ，將諧振子的哈密頓量改寫為

。由于 [p，x]=px-xp=-i? ，于是有 和 T分別取 a⁺a 和 aa⁺ 的共軛，有 （a⁺a）⁺=a⁺a，（aa⁺）⁺=aa⁺ ，發現 a⁺a 和 aa⁺ 都是Hermitian的。于是有

由式（7）、（8）得到 [H，a]=-a?ω ，同理，得到 [H，a⁺]=a⁺?ω 。

令 H₁ 為 H 的一個本征值，取其矩陣元得到矩陣方程

對于 a⁺a 的對角元，有 。由于 ?H₁∣a⁺a∣H₁? 是αlHgt;的模，≥0，同時≥0，所以，當且僅當H-h ，式（9）才恒成立。

由于 所以 H_n 的本征值與 的關系為

引入Dirac 符號 ?x∣n?=ψ_n ，在坐標表象中， 5在不用任何表象時， 。將 Δ_a 和 a⁺ 分別作用于諧振子哈密頓的第 n 個本征態 ψ_n（x） ，有

記基態能量本征值的右矢為 |0? ，而 |a|0=0 。由于 ，則 ，得到激發態的波函數為ψn（x）=〈lngt;=-1

2.4算符量子化的特點

1）從量子化的方法看，坐標表象下引人無量綱量ξ=√x mx代替坐標x，構造單位自由能入= 化Schrodinger方程，級數法解Hermite方程得到多項式解。從Schrodinger方程人手思路簡單，具備微積分知識儲備即可。結合物理含義，若Hermite方程的解是無窮多項式會不滿足邊界條件，只能取有限項才能成為物理意義上的解，從而得到量子化條件 λ=2n+1 。從數學層面上看，Schrodinger方程是無法給出精確解的，但考慮一維諧振子的邊界條件，采用讓解的 n 次多項式在某一段“掐斷”而得到漸近解;諧振子能量本征態是束縛態，讓波函數實現可歸一化。但是，缺陷也很明顯，例如，求解多維諧振子時無法回避大量的計算，涉及微擾問題時顯得困難更大。

2）量子力學的矩陣形式將狀態描述為獨立于時間的矢量，將物理量表述成隨時間變化的矩陣。通過表象變換，把物理量算符寫成矩陣元的形式作用在新基矢，再與舊基矢內積把哈密頓微分方程表達為矩陣乘以波函數，解出矩陣的本征值。在物理上缺乏直觀的圖像，這使得它在解釋某些現象時不如波動力學直觀。在數學結構上，基于矩陣的代數結構卻為量子力學提供了一種嚴謹的數學表述方式。在Hilbert空間算符在矩陣力學中發揮重要作用，算符作用于量子態上很好地表達量子系統經過一次“測量操作”。這是量子力學區別于波動力學的一個重要特征，其中Dirac和Pauli對矩陣力學的貢獻有目共睹，矩陣力學也推動了矩陣算法的發展。

3）在Heisenberg繪景下的能量表象中算符分解方法處理一維諧振子問題要容易，同樣在角動量的問題算符分解也有優勢。矩陣力學的數學形式較為抽象，在多體系統或更復雜的量子系統，矩陣力學會涉及龐大的矩陣運算，但隨著量子計算等技術的發展，矩陣力學的優勢可能會得到更充分的發揮。

3路徑積分量子化方法在諧振子中的應用

3.1Feynman傳播子

含時的 Schrodinger 方程 ，波函數 ∣ψ，t? 隨時間的演化表示為 （20 ，其中 為時間演化算符。Schrodinger 繪景下，力學量和基矢不隨時間變化。進人坐標表象，波函數 ψ（r，t） 中插人一組坐標完備基 ，

K（r，t;r₀，t₀） 是積分算符的核，被稱為傳播子[31]，指從位置 r₀ 在時間 T（T=t-t₀） 內傳播到位置 r 的概率振幅[32]，表示為

幺正的演化算符 滿足 ，可以依次循環向式（10）中插入 N-1 次坐標完備基， ，這樣波函數 ψ（r，t） 的求解過程被轉化為求解傳播子 K（r，t;r₀，t₀）^[33] 。

在 t-t₀ 時段進行 N 次分割后，每段的時間寬度表示為 令 t=t_n，r=r_n ，則

使用Campbell-Baker-Hausdorf 公式 展開

可以得到

在無窮分割后時間寬度 ε0，dtε ，于是哈密頓量可表示為 ，代人傳播子的表達式，得到

無窮分割后，考慮 ，指數上可寫作積分形式[33]，對式（11）進行積分就得到傳播子[34]

3.2一維諧振子的能級與波函數

進人能量表象， ∣n? 表示能量表象的基矢，諧振子哈密頓本征函數為 ，將式（10）傳播子應用完備性條件 ，得到

新定義 ，簡單計算后得到 ，對式（12）進行替換，用厄米算符形式[3]給出

對比式（12），得出

3.3Feynman路徑積分量子化的特點

1）路徑積分將所有可能的路徑作為量子系統演化的基礎，提供了一種直觀的物理圖像;物理概念上，傳播子、轉移概率、傳播函數對量子系統的描述比較容易理解。它在多個領域內有著重要應用[35]，也因其獨特的思考方式和深刻的物理內涵而受到高度評價。路徑積分理論容易從量子力學擴展到量子場論，尤其是在處理量子場論時可以方便地進行量子化；也易于從非相對論形式推廣到相對論形式，并能夠將含時問題和不含時問題統一在同一框架下。路徑積分在計算一些復雜問題時讓問題變得簡單，隨著量子計算和量子通信技術的發展，路徑積分量子化方法可能將會成為研究量子算法和量子通信協議的重要工具之一。

2）路徑積分量子化在概念上非常直觀，求解一維諧振子問題上處理積分還算簡潔，但是，當系統具有無限多的自由度時，會涉及到非常復雜的積分;在有些情況下可能不如其他方法方便，例如，在量子場論中，路徑積分方法可能會遭遇到無限大的問題，需要通過重整化技術解決。如何更高效地計算成為研究方向，當下運用機器學習和深度學習等方法可以用來加速計算過程。

4Moyal量子化方法在諧振子中的應用

4.1一維諧振子的Moyal方程

文獻[19，36-38]中Wigner函數滿足的Moyal本征值方程為 H（x，p）?_?W（x，p）=EW（x，p） ，其中*n=exp[（ [（?-?）]。由算符平移公式exp（aa）f（x）=f（x+a），得到

一維諧振子 H=（p²+x²）/2 （取 m=1，ω=1 簡化），由式（13）得到Wigner函數服從的Moyal能量本征值方程為

展開后整理得到

4.2一維諧振子能級和波函數

上述式（14）的虛部為 （x?_p-p?_x）W（x，p）=0 ，由于 W（x，p） 只取決于相空間中的變量 H ，設相空間

的新標量 z=4H/?=2（x²+p²）/? ，則式（14）的實部可以寫為 （z/4-z?_z²-?_z-E/?）W（z）=0

設 為拉蓋爾多項式，可得到一個關于 L（z） 多項式的方程

求解得到Ln=e2（ez\"） 。關于取值，有 ，…。顯然，當且僅當-1 時，方程式（15）才出現有限解，得到

將 L（z） 多項式帶入 ，歸一化后得到 再對W（x，p） 做傅里葉變換，得到 ，其中

4.3一維諧振子的Wigner函數

在得到一維諧振子波函數后可以直接計算 W_n（x，p）^[39-41] 。將波函數 代人下式，

則得到

利用Hermitian多項式生成母函數[40]， ，上述式（16）寫為

整理后得到

取 積分時令 ，式（16）可簡化為

將式（17）利用公式 （204號 積分得到

Hermitian多項式亦可表示為 ∑m！（n-2m）（2x）-2，積分后帶人s=，s₂=0 ，由式（18）得到

代入歸一化系數 ，得到一維諧振子的Wigner函數

4.4Moyal量子化的特點

1）在量子力學相空間表述中，最著名的就是Wigner函數，量子相空間中每個點代表系統的一個可能的量子態，不確定關系也包含在相空間的Wigner函數和Moyal方程中。從Moyal-Weyl乘積得到Wigner函數的Moyal方程的量子化方案中，數學上涉及非交換幾何和代數形變理論等高級數學工具，物理概念理解上的也受到一些挑戰。相對于論文中的其他兩種量子力學的表述形式，相空間表述不再囿于算符和繪景的束縛，其物理直觀也較少，需要深入研究其數學結構和物理意義。

2）在求解諧振子問題時，Wigner函數可由定義公式直接計算，也可由哈密頓量的Moyal方程開始，通過求解星乘本征方程，選取實數解為Wigner函數，再或者解相應的演化方程，得到諧振子的時間演化函數，進而得出Wigner函數[42]。單個粒子的量子態原則上不能用實驗觀測，量子現象倚重數學工具來描述，基于Wigner函數的量子化方法在現代量子力學測量中意義非凡。

5 結束語

矩陣力學表述作為第一種自成體系、邏輯一貫的離散形式的表述，其與經典Poisson括號對應，將位置與動量之間的對易關系對應于矩陣運算，在量子力學的發展中具有重要的地位。Hilbert復空間提出的物理概念——量子態，波動形式將系統狀態表述為隨時間變化的波函數，讓人們能從經典物理的波動視角快速轉換到量子視角，顯得直接而又順理成章，展現Schrodinger等一眾大師的巧妙構思。由Schrodinger方程出發得到諧振子哈密頓相關的厄米多項式，運用分離變量法與級數解法讓諧振子模型深人人心。后來，Johnvon Neumann從數學層面上證明矩陣力學表述和波動形式表述是等效的，它們只是兩個極端，提出量子力學可有無數種描述方式。

Feynman的路徑積分量子化通過對所有可能路徑求和來處理量子力學問題，開啟了一種新的表述方式，物理概念上傳播子、轉移概率、傳播函數對量子系統的描述比較容易理解，至今它在多個領域內有廣泛應用。相空間表述提供了另一種新的視角來描述量子系統，特別是Wigner函數以及從Moyal-Weyl乘積得到Wigner函數的Moyal方程的量子化方案，描述量子相空間中每個點代表系統的一個可能的量子態，量子力學的不確定關系被證明包含在相空間的Wigner 函數和Moyal方程中，不再囿于算符和繪景的束縛，在一定程度上擺脫了Hilbert空間的限制。由于其物理直觀較少，在多數情形下Wigner 函數所滿足的本征方程不易求解，導致相空間量子化方法的應用比較滯后。隨著超弦理論的發展以及相空間量子化方法處理非對易空間問題的優良表現逐漸得到重視，深人研究其數學結構和物理意義還有一些工作可做。

本文分析了不同的量子化方法，從中尋找一些合適的、有益于解決微觀粒子及粒子系統問題的途徑，對人們更直觀地窺探微觀世界運行規律，正確地理解微觀世界有一些意義和啟發。

致謝：在本文的撰寫過程中得到陜西理工大學王劍華教授的幫助，特此致謝。

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［責任編輯：李莉］

Abstract： This paper commenced with a review of the operator quantization methods in quantum mechanics（Heisenberg，Schrodinger），path integral quantization method （Feynman），and phase space quantization methods （Moyal，Wigner）along with their foundational concepts.Subsequently，it examined the specific applications of these three quantization methods in the one-dimensional harmonic oscilator problem.Finally，bycombining theresults of theenergy levels and wave functions of the one-dimensional harmonic oscillator through diffrent approaches，an analysis was conducted on the advantagesand disadvantages of these three quantization methods in solving the one-dimensional harmonic oscillator problem.

Key words：quantization method； Schrodinger equation；matrix formulation；path integral quantization；Wigner function；one-dimensional harmonic oscillator